DUALITAS DAN ANALISIS SENSITIVITAS

(1)

DUALITAS

DAN

ANALISIS SENSITIVITAS

Dr. Mohammad Abdul Mukhyi, SE., MM.

1

Primal Problem P

minimize

z = cx

subject to

Ax = b

x ≥≥≥≥ 0

Dual Problem D

maximize

v = ππππb

subject to

π

A ≤≤≤≤ c

Theorem.

(Strong Duality) If both P and D are

**feasible, then z* = v*.**

optimum

value is z*

optimum

value is v*

2

(2)

PRIMAL

Koefisien

X

1

X

2

……… X

n

NK

Y

1

a

11

a

12

……… a

1n

≤

b

1

Y

1

a

11

a

12

……… a

1n

≤

_b

2

….

…. …... ….………… …..

Y

m

a

m1

a

m2

………. a

mn

≤

_b

1

NK

≥

_C

1

≥

C

2

……… ≥ C

n

Koefisien fungsi tujuan

(maksimisasi)

k

o

e

fi

s

ie

n

D

U

A

L

K

o

e

fi

s

ie

n

fu

n

g

s

i

tu

ju

a

n

(m

a

k

s

im

is

a

s

i)

Tabel Primal – Dual Linear Programming

3

Tabel Hubungan antara primal - dual

Primal (atau Dual)

Dual (atau Primal)

Batasan I

Variabel I

Fungsi tujuan

Nilai kanan

(3)

The min cost flow problem and its dual

n

i

i=1

Minimize

∑

π

b

_i

subject to

π

_i

−

π

_j

≤

c

_ij

for all ( , )

i j

∈

A

Dual

∑

_j

x

_ij

- ∑

∑

_k

x

_ki

= b

_i

for all i Î N.

and x

_ij

≥

0 for all (i,j) Î A.

Minimize

∑

_(i,j)∈

∈

A

c

ij

x

ij

Primal

5 6

MASALAH PRIMAL

MAX : Z = 3X

₁

+ 5X

₂

S.T.: 2X

₁

≤

₈

3X

₂

≤

₁₅

6X

₁

+ 5X

₂

≤

₃₀

X

₁

>= 0

X

₂

>= 0

MASALAH DUAL

MIN : Y = 8Y

₁

+ 15Y

₂

+ 30Y

₃

S.T.: 2Y

₁

+ 6Y

₃

≥

₃

3Y

₂

+ 5Y

₃

≥

₅

Y

₁

≥

₀

Y

₂

≥

₀

Y

₃

≥

₀

(4)

7

PENYELESAIAN PRIMAL :

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 27.5000000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

X1 .833333 .000000

X2 5.000000 .000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL

PRICES

2) 6.333333 .000000

3) .000000 .833333

4) .000000 .500000

PENYELESAIAN DUAL

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1) 27.5000000

VARIABLE VALUE REDUCED COST

Y1 .000000 6.333333

Y2 .833333 .000000

Y3 .500000 .000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL

PRICES

2) .000000 -.833333

3) .000000 -5.000000

Kendala aktif

variabel

dasar

Z

X

1

X

2

X

3

X

4

X

5

NK

Keterangan

Z

1 - 3

- 5

0

0 X

3

₀

2

0

1

0

8 X

1

₀

0

3

0

1

0

15 X

5

₀

6

5

0

1

30

8

(5)

variabel

dasar

Z

X

1

X

2

X

3

X

4

X

5

NK

Keterangan

Z

1 -3

-5

0

0 X

3

₀

2

0

1

0

8 8/0 = ~

X

1

₀

0

3

0

1

0

15 15/3=

5 X

5

₀

6

5

0

1

30 30/5 = 6

variabel

dasar

Z

X

1

X

2

X

3

X

4

X

5

NK

Keterangan

Z

1 -3

0

0 5/3

0

25 X

3

₀

2

0

1

0

8 X

2

₀

0

1

0 1/3

0

5 X

5

₀

6

0

0 -5/3

1

5

9

variabel

dasar

Z

X

1

X

2

X

3

X

4

X

5

NK

Keterangan

Z

1 -3

0

0 5/3

0

25 X

3

₀

2

0

1

0

8 8/2 = 4

X

1

₀

0

1

0 1/3

0

5 5/0 = ~

X

5

₀

6

0

0 -5/3

1

5 5/6 =

5/6

variabel

dasar

Z

X

1

X

2

X

3

X

4

X

5

NK

Keterangan

Z

1

0

0 5/6

1/2

27½ nilai optimal

X

3

₀

0

1 5/9

-1/3

6⅓

X

1

₀

0

1

0 1/3

0

5 X

5

₀

1

0

0 -5/18

1/6

5/6

10

(6)

Apabila batasan 1 : 3X

₂

≤

_{15 dirubah menjadi 3X}

2 ≤

16 nilai nya akan tetap

11 0,87 27,5 -28,37 Z 37 , 28 26,7 1,67 Z 5,34) x (5 0,56) x (3 Z 34 , 5 5 7 , 26 X 3 , 3 30 5X 30 X 5 3 , 3 30 5X ) 9 5 6( 56 , 0 9 5 18 10 X 10 18X 80 15X 90 X 15 18X 5 x 16 3X 3 x 30 X 5 6X 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 = = ∆ = + = + = = = − = = + = + = = = = = = + → = → = +

Apabila batasan 3 : 6X

₁

+ 5X

₂

≤

_{30 dirubah menjadi}

6X

₁

+ 5X

₂

≤

₃₁

12 0,5 27,5 -28 Z 28 25 3 Z 5) x (5 1) x (3 Z 5 5 25 X 25 5X 31 X 5 6 31 5X 6(1) 1 18 18 X 18 18X 75 15X 93 X 15 18X 5 x 15 3X 3 x 31 X 5 6X 2 2 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1 = = ∆ = + = + = = = = = + = + = = = = = + → = → = +

(7)

Hubungan antara variabel-variabel Primal-Dual dalam

Linear Programming

Variabel Primal

Variabel asli : X

₁

Variabel Slack : X

_n+i

13

Variabel Dual

Variabel surplus : Z

_j

- C

_j

Variabel Asli : Y

_i

Dimana i = 1,2, … m

j = 1,2, … n

PENYIMPANGAN-PENYIMPANGAN DARI BENTUK

STANDAR

14

Konversi Bentuk Bukan Standar Menjadi Bentuk Standar

Dalam Model Linear Programming

terbatas

tidak

j

X

Nilai

i

b

j

X

ij

a

n

1 j

i

b

j

X

ij

a

n

1 j

Z

Minimisasi

:

standar

bukan

Bentuk

=

∑

≥

=

∑

0 '

'

j

X

0,

'

j

X

),

''

j

X

-

'

j

(X

i

b

-

j

X

ij

a

n

1 j

i

b

j

X

ij

a

n

1 j

i

b

-

j

X

ij

a

n

1 j

Z

-

i

Maksimisas

:

standar

Bentuk

≥

≤

=

∑

−

≤

=

∑

≤

=

∑

(8)

15

0 Y

,...

0 Y

;

0 Y

dan

c

Y

a

...

Y

a

Y

a

c

Y

a

...

Y

a

Y

a

c

Y

a

...

Y

a

Y

a

:

/

Y

b

...

Y

b

Y

b

Y

Minimisasi

m 2 1 n mn mn 2n 2n 1n 1n 2 m1 m2 22 21 12 12 1 m1 m1 21 21 11 11 m m 2 2 1 1 0

≥

+

≥

+

≥

+

=

t

s

Mencari bentuk dual dari suatu masalah dual

Perubahan ke

dalam benuk

standar

0 Y

,...

0 Y

;

0 Y

dan

c

Y

a

...

Y

a

Y

a

c

Y

a

...

Y

a

Y

a

c

Y

a

...

Y

a

Y

a

:

/

Y

b

...

Y

b

Y

b

-)

(-Y

i

Maksimisas

m 2 1 n mn mn 2n 2n 1n 1n 2 m1 m2 22 21 12 12 1 m1 m1 21 21 11 11 m m 2 2 1 1 0

≥

−

≤

−

≤

−

≤

−

=

t

s

16

Dual dari dual tersebut (primal)

0 X

,...

0 X

;

0 X

dan

-b

Y

a

...

Y

a

Y

a

-b

X

a

...

X

a

X

a

-b

X

a

...

X

a

X

a

:

/

X

C

...

X

C

X

C

-(-Z)

Minimisasi

m 2 1 n mn mn 2m 2m 1m 1m 2 n1 n2 22 21 12 12 1 n1 n1 21 21 11 11 n n 2 2 1 1

≥

−

≥

−

≥

−

=

t

s

0 X

,...

0 X

;

0 X

dan

b

Y

a

...

Y

a

Y

a

b

X

a

...

X

a

X

a

b

X

a

...

X

a

X

a

:

/

X

C

...

X

C

X

C

Z

Minimisasi

m 2 1 n mn mn 2m 2m 1m 1m 2 n1 n2 22 21 12 12 1 n1 n1 21 21 11 11 n n 2 2 1 1

≥

≤

+

≤

+

≤

+

=

t

s

Perubahan ke

dalam bentuk

standar

(9)

Dual dari suatu masalah dual tidak lain adalah masalah

primalnya.

Batasan yang mengandung tanda persamaan (=)

diperilukan seperti layaknya batasan bertanda ≤; tetapi

batasan non-negatif bagi dual variabel yang

bersangkutan harus dihilangkan (yaitu variabel yang

tidak terbatas nilainya).

Menghilangkan batasan non-negatif pada masalah

primal akan mengakibatkan perubahan batasan pada

masalah dual menjadi bentuk persamaan (=)

17

Masalah Primal (Dual)

Max Z (atau Y

₀

)

Batasan i

bentuk ≤

bentuk =

Variabel X

_j

(atau Y

_j

)

X

_j

≥

₀

X

_j

≥

_{0 dihilangkan}

18

Hubungan bentuk-bentuk Primal - Dual

Masalah Dual (Primal)

Min Y

₀

(atau Z)

Variabel X

_j

(atau Y

_j

)

Y

_j

≥

₀

Y

_j

≥

_{0 dihilangkan}

Batasan j

bentuk ≥

bentuk =

(10)

PRIMAL PROBLEM:

maximize

z = 3x

₁

+ 4x

₂

+6x

₃

+ 8x

₄

subject to x

₁

+ x

₂

+ x

₃

+ x

₄

= 1

2x

₁

+ 3x

₂

+4x

₃

+ 5x

₄

= 3

x

₁

, x

₂

, x

₃

, x

₄

≥

₀

Subject to

y

₁

+ 2y

₂

≥

3 y

₁

+ 4y

₂

≥

6 y

₁

+ 3y

₂

≥

4 y

₁

+ 5y

₂

≥

8 minimize y

₁

+ 3y

₂

DUAL PROBLEM:

Observation 1.

The constraint matrix in the

primal is the transpose of the

constraint matrix in the dual.

Observation 2.

The RHS coefficients in the

primal become the cost

coefficients in the dual.

19

PRIMAL PROBLEM:

maximize

z = 3x

1

+ 4x

2

+6x

3

+ 8x

4

subject to x

1

+ x

2

+ x

3

+ x

4

= 1

2x

1

+ 3x

2

+4x

3

+ 5x

4

= 3

x

1

, x

2

, x

3

, x

4

≥

0 Subject to

y

1

+ 2y

2

≥

3 y

1

+ 4y

2

≥

6 y

1

+ 3y

2

≥

4 y

1

+ 5y

2

≥

8 minimize y

1

+ 3y

2

DUAL PROBLEM:

Observation 3.

The cost coefficients in the

primal become the RHS coefficients in the

dual.

Observation 4. The primal (in this case) is

a max problem with equality constraints

and non-negative variables

The dual (in this case) is a minimization

problem with ≥≥≥≥ constraints and variables

unconstrained in sign.

(11)

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

4.66666700

VARIABLE

VALUE

REDUCED COST

X1

.666667

.000000

X2

.000000

.666667

X3

.000000

.333333

X4

.333333

.000000

ROW SLACK OR SURPLUS

DUAL PRICES

2)

.000000

-.333333

3)

.000000

1.666667

OBJECTIVE FUNCTION VALUE

1)

4.66666700

VARIABLE

VALUE

REDUCED COST

X1

.666667

.000000

X2

.000000

.666667

X3

.000000

.333333

X4

.333333

.000000

ROW SLACK OR SURPLUS

DUAL PRICES

2)

.000000

-.333333

3)

.000000

1.666667

21

Analisis Sensitivitas

Karena terjadi perubahan-perubahan dalam

variabel-variabel, apakah fungsi tujuan maupun fungsi kendala

dengan cara memanfaatkan kaidah-kaidah primal-dual

metode simplek semaksimal mungkin.

Karena tujuannya adalah penyelesian optimal, maka

analisis ini disebut pula Post Optimality.

Perubahan-perubahan yang mungkin terjadi:

1. Keterbatasan kapasitas sumber (fungsi batasan).

2. Koefisien-koefisien fungsi tujuan.

3. Koefisien-koefisien teknis fungsi batasan

4. Penambahan variabel-variabel baru.

(12)

23

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 27.5000000

VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 .833333 .000000 X2 5.000000 .000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES

2) 6.333333 .000000 3) .000000 .833333 4) .000000 .500000 SENSITIVITY ANALYSIS

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 3.000000 3.000000 3.000000 X2 5.000000 INFINITY 2.500000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 8.000000 INFINITY 6.333333 3 15.000000 3.000000 11.400000 4 30.000000 19.000000 5.000000

24

OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 27.5000000

VARIABLE VALUE REDUCED COST Y1 .000000 6.333333 Y2 .833333 .000000 Y3 .500000 .000000

ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) .000000 -.833333 3) .000000 -5.000000 SENSITIVITY ANALYSIS?

OBJ COEFFICIENT RANGES

VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE Y1 8.000000 INFINITY 6.333333 Y2 15.000000 3.000000 11.400000 Y3 30.000000 19.000000 5.000000

RIGHTHAND SIDE RANGES

ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 3.000000 3.000000 3.000000 3 5.000000 INFINITY 2.500000