Teorema 2.2.6. (Aturan pembagian)
1. Fungsi
2.1.1 Fungsi Smooth 12
2.1.2 Fungsi Nonsmooth 14
2.2 Turunan Fungsi Nonlinier 15
2.2.1 Turunan Fungsi Smooth 21
2.2.2 Turunan Fungsi Nonsmooth 22
Bab III Pembahasan
3.1 Fungsi yang Memuat Tanda Mutlak ( | | ) dalam Operasi Aljabar 25 3.2 Fungsi yang Memuat Tanda Mutlak dalam Tanda Mutlak 26
3.3 Subgradien pada Fungsi Nonlinier Nonsmooth 27
Bab IV Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan 37
4.2 Saran 38
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.5.1. Fungsi konveks terdifferensialkan 3
Gambar 2.1.1. Ilustrasi fungsi 6
Gambar 2.1.2. Fungsi kuadrat 7
Gambar 2.1.3. Fungsi kubik untuk 9
Gambar 2.1.4. Fungsi kubik untuk 9
Gambar 2.1.5. Fungsi eksponensial untuk 10
Gambar 2.1.6. Fungsi eksponensial untuk 10
Gambar 2.1.7. Fungsi logaritmik 11 Gambar 3.3.1. Fungsi 27 Gambar 3.3.2. Fungsi 31 Gambar 3.3.3. Fungsi 32 Gambar 3.3.4. Fungsi 32 Gambar 3.3.5. Fungsi 33 Gambar 3.3.6. Fungsi 33 Gambar 3.3.7. Fungsi 34 Gambar 3.3.8. Fungsi 35 Gambar 3.3.9. Fungsi 35 Gambar 3.3.10. Fungsi 36
ABSTRAK
Fungsi nonlinier yang variabelnya mutlak merupakan fungsi nonsmooth yang turunannya dapat diselesaikan dengan metode Subgradien. Sebuah vektor
adalah subgradien dari pada jika
Jika konveks dan terdifferensialkan maka adalah subgradien dari pada . Subgradien pada fungsi yang variabelnya mutlak memiliki nilai yang berbeda pada saat variabel fungsi tersebut menuju dan . Pada fungsi nonliner yang variabelnya memiliki derajat tertentu merupakan gabungan dari beberapa segmen fungsi
nonsmooth sehingga akan terlihat seperti fungsi smooth, namun untuk derajat yang sangat besar fungsi tersebut akan kembali menjadi fungsi nonsmooth.
ABSTRACT
Nonlinier function with absolut variable is nonsmooth function which the derivative can be solved by Subgradien method. A vector is subgradien from
to if
If conveks and differentiable , is subgradien from to . Subgradien from absolut function has different value when the function toward and . Nonlinier function with certain degree variable is affiliation from few segments of nonsmooth function so it looks like smooth function, but in greatest value, that function will revert to nonsmooth function.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Zaman yang semakin berkembang membuat persoalan semakin kompleks, tidak terkecuali persoalan yang melibatkan persoalan matematika. Kompleksitas yang semakin meningkat memunculkan persoalan yang berbentuk nonlinear. Hal tersebut disebabkan karena munculnya faktor-faktor yang membuat ketaklinearan suatu fungsi.
Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang memiliki derajat dua atau lebih. Beberapa bentuk fungsi nonlinier adalah fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi eksponensial, dan fungsi logaritmik. Pada fungsi nonlinear dapat juga berupa fungsi
smooth dan fungsi nonsmooth. Sebuah fungsi dikatakan smooth jika fungsi tersebut dapat diturunkan atau differentiable disetiap titik. Sebaliknya dengan fungsi
nonsmooth yang kontinu juga mempunyai turunan, tetapi pada titik tertentu, misalnya pada titik patah, turunannya merupakan turunan berarah.
Fungsi kontinu nonsmooth dapat dikaji dari sisi analisis konveksitas dan optimisasi (Aubin, 1984) dan dapat pula dikaji dari sisi analisis nonsmooth (Clarke, 1983). Pada analisis konveksitas dan optimisasi, fungsi nonsmooth diselesaikan dengan meminimum dan / atau memaksimumkan fungsi tersebut serta meninjau dari segi konveks graf. Pada analisis nonsmooth, fungsi nonsmooth dikaji pada sisi
Generalizad directional derivative atau turunan berarah. Turunan dari fungsi
1.2Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana menyelesaikan persoalan fungsi nonlinear nonsmooth dengan metode Subgradien.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menyelesaikan masalah fungsi kontinu
nonsmooth dengan metode Subgradien.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Dapat mencari solusi alternatif untuk menyelesaikan persoalan fungsi nonlinear
nonsmooth.
2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan bagi yang hendak melakukan penelitian serupa.
1.5 Tinjauan Pustaka
Persamaan yang tidak linier dan mempunyai derajat dua atau lebih dari dua dikatakan sebagai fungsi nonlinier. Pada fungsi nonlinier grafiknya tidak berupa garis lurus, melainkan dapat berupa kurva atau garis zig-zag. Fungsi nonlinier kontinu adalah fungsi nonlinear dimana tidak terdapat celah (kosong) pada fungsi tersebut.
di mana dan merupakan koefisien.
Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth merupakan fungsi nonlinier yang berada pada garis atau bidang patah dimana pada setiap garis maupun bidang adalah kontinu. Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth merupakan fungsi patah namun konveks.
Bentuk umum pertidaksamaan untuk fungsi konveks terdifferensialkan adalah sebagai berikut:
dimana merupakan turunan dari dan
Gambar 1.5.1. Fungsi konveks terdifferensialkan
Definisi 1.5.1.
David G. Luenberger (1984) menyatakan bahwa sebuah fungsi dikatakan berada pada himpunan konveks S atau dapat dikatakan konveks jika untuk setiap dan setiap α,
Jika untuk setiap α, dan
Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth dapat diselesaikan dengan metode Subgradien. Metode Subgradien pertama kali dikembangkan oleh N.Z Shor (1962) yang digunakan dalam memecahkan masalah transportasi program linear berskala besar. (Goffin, 2010)
Dapat dikatakan bahwa sebuah vektor adalah subgradien dari
pada jika
Jika konveks dan terdifferensialkan maka adalah subgradien dari
pada . (Yi Zhang, 2013)
1.6 Metode Penelitian
Pada penelitian ini, metode yang digunakan bersifat literatur, yaitu dengan melakukan penelitian literatur, penelitian mandiri, pengumpulan bahan melalui buku-buku referensi, maupun bahan-bahan berbentuk jurnal yang diperoleh dari perpustakaan atau internet.
Adapun langkah-langkah yang dilakukan penulis dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Memaparkan beberapa jenis fungsi nonlinier.
2. Menjelaskan pengertian fungsi smooth dan nonsmooth.
3. Menjelaskan pengertian turunan fungsi nonsmooth.
4. Menyelesaikan fungsi nonsmooth dengan metode Subgradien.
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir dalam penelitian ini, seperti fungsi nonlinier, fungsi smooth, fungsi nonsmooth, turunan fungsi smooth, turunan fungsi nonsmooth, dan metode Subgradien pada fungsi
nonsmooth.
2.1Fungsi Nonlinier
Definisi 2.1.1.
Sebuah fungsi dengan nilai real yang didefinisikan pada himpunan bilangan real adalah aturan yang menyatakan setiap bilangan yang berada dalam ke tepat satu bilangan real dinyatakan dengan . Himpunan yang beranggotakan seluruh bilangan di mana didefinisikan disebut Domain atau daerah asal fungsi . Bilangan yang merupakan fungsi dari disebut nilai pada titik , sedangkan himpunan semua nilai disebut Range (jelajah) dari (Razali dkk, 2010).
Gambar 2.1.1. Ilustrasi fungsi
Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang tidak linier, yakni grafiknya bukan berupa garis lurus melainkan berupa kurva atau garis zig-zag.
Bentuk umum dari fungsi nonlinier
di mana dan merupakan koefisien.
Beberapa bentuk dari fungsi nonlinier adalah
1. Fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat dua. Gambar fungsi kuadrat bisa berupa lingkaran, elips, parabola, dan hiperbola.
Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah
di mana dan .
Diberikan beberapa ciri-ciri dari suatu fungsi kuadrat yaitu:
1
1.. Jika dan maka bentuk kurvanya lingkaran.
2
2.. dan mempunyai tanda yang sama maka bentuk kurvanya elips.
3
3.. berlawanan tanda maka bentuk kurvanya hiperbola.
4
4.. dan jika salah satu atau maka bentuk kurvanya parabola.
2. Fungsi kubik
Fungsi kubik adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat tiga.
Bentuk umum dari fungsi kubik adalah
. di mana .
Sebuah fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok
(inflextion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya. Selain titik belok, fungsi kubik memungkinkan mempunyai sebuah titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau kedua titik ekstrim (maksimum dan minimum). Ada tidaknya titik ekstrim pada fungsi kubik bergantung dari besarnya nilai di dalam persamaan.
Gambar 2.1.3. Fungsi kubik untuk
Gambar 2.1.4. Fungsi kubik untuk
3. Fungsi eksponensial
Pada fungsi eksponensial kurvanya berada di kuadran I dan II pada sistem koordinat.
Bentuk sederhana dari fungsi eksponensial
Bentuk umum dari fungsi eksponensial
di mana dan adalah konstanta
Kurva fungsi eksponensial asimtotik terhadap garis
Titik potong kurva eksponensial
G Gaammbbaarr 22..11..55..FFuunnggssiieekkssppoonneennssiiaalluunnttuukk GGaammbbaarr 22..11..66..FFuunnggssiieekkssppoonneennssiiaalluunnttuukk
4. Fungsi logaritmik
Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial yang variabel bebasnya merupakan bilangan logaritma.
B Beennttuukksseeddeerrhhaannaaddaarriiffuunnggssiillooggaarriittmmiikk d diimmaannaa B Beennttuukkuummuummddaarriiffuunnggssiillooggaarriittmmiikk yy d diimmaannaa K Kuurrvvaaffuunnggssiillooggaarriittmmiikkaaddaaddiisseebbeellaahhkkaannaannddaannaassiimmttoottiikktteerrhhaaddaappggaarriiss T Tiittiikkppoottoonnggddeennggaannssuummbbuu–– T Tiittiikkppoottoonnggddeennggaannssuummbbuu–– G Gaammbbaarr 22..11..77 FFuunnggssiillooggaarriittmmiikk
2.1.1 Fungsi Smooth
Sebuah fungsi pada dengan
{ ( ⁄ )
Adalah smooth dan mempunyai turunan 0 pada .
Sebuah fungsi yang kontinu dan mempunyai turunan pada setiap titik diberikan sebagai berikut:
{
di mana adalah polynomial dari derajat
Bukti:
Dengan menggunakan induksi matematika, untuk semua bilangan asli termasuk 0
( ⁄ )
di mana semua adalah kontinu dan dapat didifferensialkan pada
, karena ( ⁄ )
( ) ∑ ( ) ( )
Oleh karena untuk semua bilangan positif diikutsertakan, maka digunakan persamaan fungsi pada fungsi eksponensial.
( ⁄ )
Akan dibuktikan rumus untuk turunan ke dengan induksi matematika. Untuk turunan pertama dari untuk semua dan adalah polynomial dari derajat 0 adalah benar. Akibatnya turunan dari adalah 0 untuk .
( ⁄ )
Tahap induksi matematika dari sampai adalah sama. Untuk
diperoleh turunannya adalah
di mana adalah polynomial dari derajat . Maka turunan pertama dari adalah 0 untuk semua . Turunan
pada , adalah ( ⁄ ) (Wikipedia, 2013). 2.1.2 Fungsi Nonsmooth Definisi 2.1.2.1.
Istilah nonsmooth mengacu pada situasi dimana terjadi smoothness
(differensiabilitas). Sebuah fungsi yang nonsmooth dapat berupa fungsi patah namun tetap kontinu. (Clarke, 1983).
Contoh 2.1.2.1.
.
Fungsi di atas dapat digambarkan sebagai berikut:
0 1 x
-1
Fungsi merupakan dua buah garis yang bertemu pada satu titik, yaitu di titik . Kedua garis memiliki turunan yang berbeda. Turunan dari sebelah kiri adalah dan turunan dari sebelah kanan
adalah . (Martono, 2002)
Berdasarkan contoh di atas fungsi nonsmooth dapat diartikan sebagai fungsi yang mempunyai turunan berarah.
2.2Turunan Fungsi Nonlinier
Definisi 2.2.1
Untuk fungsi maka turunannya di titik didefinisikan oleh:
jika limit ini ada. Jika ada, maka dikatakan fungsi terdifferensialkan (dapat diturunkan) di titik . (Razali dkk, 2010)
Untuk menentukan turunan dari , Langkah-langkah yang harus dilakukan adalah
1. Tentukan
2. Tentukan selisih
3. Bagilah dengan untuk mendapatkan
Thomas, G.B (2012) memaparkan beberapa aturan pada turunan, yaitu:
Teorema 2.2.1. (Aturan Fungsi konstanta)
Jika , di mana adalah konstanta, maka untuk sebarang berlaku
Bukti:
Jadi, terbukti jika maka
Teorema 2.2.2. (Aturan Pangkat)
Jika di mana sebarang bilangan rasional, maka turunannya adalah
Bukti: Langkah 1
Langkah 2 [ ] Langkah 3 [ ] Langkah 4
Ambil limit untuk hasil akhir langkah 3 diperoleh:
Teorema 2.2.3. (Aturan perkalian fungsi dengan konstanta)
Misalkan adalah sebarang bilangan real. Jika ada maka turunan dari fungsi adalah
Artinya turunan dari perkalian konstanta dengan fungsi adalah sama dengan perkalian konstanta dengan turunan .
Bukti:
Teorema 2.2.4. (Aturan jumlah – selisih)
Jika diberikan fungsi di mana dan
terdifferensialkan, maka:
Artinya turunan dari jumlah atau selisih dua fungsi adalah sama dengan jumlah atau selisih dari turunan keduanya. Aturan ini berlaku pada tiga fungsi atau lebih.
Bukti:
Ambil jumlah dua fungsi . Dengan menggunakan definisi turunan Untuk , maka: Langkah 1 Langkah 2 Langkah 3
Kemudian ambil limit pero eh
Langkah 4
Teorema 2.2.5. ( Aturan perkalian )
di mana dan dapat diturunkan, maka turunan dari
adalah Bukti:
Teorema 2.2.6. (Aturan pembagian) Jika diberikan di mana dan terdifferensialkan maka turunannya adalah
Bukti:
2.2.1 Turunan Fungsi Smooth
Beberapa interpretasi penting mengenai turunan, yaitu:
1. Turunan
ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva di
titik .
2. Turunan
ditafsirkan sebagai laju perubahan dari fungsi di titik
.
3. Turunan
ditafsirkan sebagai kecepatan sesaat dari sebuah
persamaan gerak di titik .
Pada fungsi smooth, turunannya ditafsirkan sebagai gradien garis singgung kurva di titik .
2.2.2 Turunan fungsi Nonsmooth
Andaikan adalah sebuah fungsi dan merupakan sebuah titik di maka fungsi tersebut dikatakan Lipschitz terhadap jika terdapat sebuah skalar dan bilangan positifɛsehingga:
| ( ) | e er
di mana B adalah sebuah unit ball yang terbuka di , maka ɛ
adalah open ball pada radius ɛ pada .
Andaikan adalah Lipschitz terhadap dan andaikan vektor lain pada X. Generalizad directional derivative pada di yang menuju , disimbolkan , dan didefinisikan sebagai berikut:
di mana adalah vektor di X dan adalah sebuah skalar positif.
Proposisi 2.2.2
Andaikan adalah Lipschitz pada rank K terhadap , maka:
1. Fungsi adalah finite, positively homogeneous, dan
subadditive pada X, dan memenuhi ‖ ‖.
2. adalah upper semicontinuous sebagai fungsi dari dan hanya sebagai fungsi saja, adalah Lipschitz dari rank K pada X.
Bukti:
Pada kondisi Lipschitz, nilai dari pada ‖ ‖ dimana mendekati dan mendekati 0
p
p p
Dapat disimpulkan bahwa
Andaikan dan berturut-turut konvergen pada , maka terdapat dalam X dan sehingga
‖ ‖
Dengan mengambil limit diperoleh
p
Andaikan dan berada di X, maka
‖ ‖ ‖ ‖ p
p di mana (Clarke, 1983).
Sebagai sebuah fungsi dari adalah positively homogeneous, dan subadditive, sehingga dapat didefinisikan himpunan tak kosong adalah generalized gradien pada di , sebagai berikut:
Dengan mempertimbangkan sifat dari , maka himpunan bagian tak kosong yang konveks pada , untuk setiap
Maka sama dengan .
dapat dikatakan subdifferential pada analisis konveks , dan himpunan dari vektor yang berada di dapat ditulis sebagai berikut :
untuk semua
Yi Zhang (2013) menjelaskan bahwa sebuah vektor adalah subgradien dari pada jika
Jika konveks dan terdifferensialkan maka adalah subgradien dari pada .
BAB 3 PEMBAHASAN
Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth yang diterangkan pada bab sebelumnya, dapat ditentukan turunannya. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara menentukan turunan dari fungsi nonlinier kontinu nonsmooth.
3.1 Fungsi yang Memuat Tanda Mutlak ( | | ) dalam Operasi Aljabar
Berikut adalah contoh bentuk tanda mutlak sebagai ilustrasi:
Pada ilustrasi di atas, tanda mutlak pada fungsi memuat operasi penjumlahan dan pengurangan. Untuk mengubah aturan tanda nilai mutlak pada fungsi seperti ini yaitu dengan cara mengubah tanda nilai mutlak satu persatu secara bergiliran sehingga diperoleh fungsi yang tidak memuat lagi tanda nilai mutlak.
Contoh 3.1.1.
Langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah tanda nilai mutlak sehingga fungsi berbentuk
Selanjutnya mengubah tanda mutlak untuk , sehingga menghasilkan fungsi {
Fungsi menghasilkan empat fungsi yang berbeda ketika tanda mutlak pada fungsi tersebut diubah. Pada saat fungsinya akan berbeda dengan fungsi pada saat . Begitu juga untuk dan .
3.2 Fungsi yang Memuat Tanda Mutlak dalam Tanda Mutlak
Untuk mengubah aturan tanda nilai mutlak pada fungsi yang memuat tanda mutlak dalam tanda mutlak yaitu dengan cara mengubah tanda nilai mutlak pada bagian dalam terlebih dahulu selanjutnya mengubah tanda nilai mutlak pada bagian luar pada fungsi tersebut. Contoh 3.2.1.
Langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah tanda mutlak pada tanda mutlak bagian dalam yaitu , sehingga diperoleh fungsi {
Selanjutnya mengubah tanda nilai mutlak pada masing-masing fungsi sehingga menghasilkan fungsi {
3.3 Subgradien pada Fungsi Nonlinier Nonsmooth
Salah satu fungsi nonsmooth adalah fungsi yang variabelnya mutlak. Subgradien dari fungsi nonsmooth merupakan turunan berarah dari fungsi tersebut, yakni turunan pada saat dan ataupun pada saat dan
1. Diberikan fungsi
Langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah tanda pada
sehingga diperoleh fungsi {
Langkah berikutnya adalah mengubah tanda sehingga diperoleh fungsi { Untuk , diperoleh: dan Maka { Untuk , diperoleh:
dan Maka { Untuk , diperoleh: dan Maka { Untuk , diperoleh: dan Maka { Gambar 3.3.1. Fungsi
Pada bab sebelumnya telah dijelaskan bahwa merupakan subgradien dari fungsi . Maka subgradien dari fungsi adalah
{ { { {
Untuk fungsi yang variabelnya mutlak akan terlihat jelas gambar yang dihasilkan merupakan fungsi nonsmooth. 2. Diberikan
Langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah tanda pada
sehingga diperoleh fungsi {
Langkah berikutnya adalah mengubah tanda sehingga diperoleh fungsi { Untuk , diperoleh: dan
Maka { Untuk , diperoleh: dan Maka { Untuk , diperoleh: dan Maka { Untuk , diperoleh: dan Maka {
Gambar 3.3.2. Fungsi
Maka subgradien dari fungsi adalah
{ { { {
pada fungsi merupakan fungsi nonsmooth namun karena fungsi adalah gabungan dari variabel mutlak dan tidak mutlak maka terbentuk fungsi kuadrat dimana patahan pada fungsi
Beberapa fungsi yang memiliki satu variabel mutlak misalnya
1. Fungsi
Gambar 3.3.3. Fungsi
2. Fungsi
3. Fungsi
Gambar 3.3.5. Fungsi
4. Fungsi
5. Fungsi
Gambar 3.3.7. Fungsi
Ilustrasi geometri dari beberapa contoh fungsi yang memiliki satu variabel mutlak memperlihatkan bahwa variabel mutlak yang mempunyai derajat tertentu merupakan gabungan dari beberapa segmen fungsi nonsmooth
sehingga fungsi tersebut terlihat smooth. Namun pada saat variabel mutlak tersebut mempunyai derajat yang sangat besar fungsi tersebut akan kembali menjadi fungsi nonsmooth.
Beberapa fungsi yang memiliki dua variabel mutlak misalnya
1. Fungsi
Gambar 3.3.8. Fungsi
2. Fungsi
3. Fungsi
Gambar 3.3.10. Fungsi
Ilustrasi geometri dari beberapa contoh fungsi yang memiliki dua variabel mutlak memperlihatkan bahwa:
1. Pada fungsi yang variabel mutlak pertamanya berpangkat dua ditambah dengan variabel mutlak keduanya berpangkat dua, fungsi tersebut akan membentuk fungsi kuadrat sehingga membentuk fungsi smooth.
2. Pada fungsi yang variabel mutlak pertamanya berpangkat genap ditambah dengan variabel mutlak keduanya berpangkat ganjil, fungsi tersebut memiliki bagian smooth dan nonsmooth.
3. Pada fungsi yang variabel mutlak pertamanya berpangkat ganjil ditambah dengan variabel mutlak keduanya berpangkat ganjil, fungsi tersebut merupakan gabungan dari segmen fungsi nonsmooth sehingga akan terlihat smooth.
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini akan diberikan kesimpulan yang di dapat dari hasil tulisan dan penelitian pada bab-bab terdahulu, selanjutnya akan diberikan saran untuk dipergunakan dalam penelitian selanjutnya.
4.1 Kesimpulan
1. Fungsi dengan variabel mutlak merupakan fungsi nonsmooth yang turunannya dapat diselesaikan dengan metode Subgradien.
2. Subgradien dari fungsi nonsmooth merupakan turunan fungsi tersebut yang mempunyai nilai yang berbeda saat dan ataupun pada saat dan
3. Fungsi yang variabelnya merupakan gabungan dari fungsi mutlak dan tidak multak pada derajat tertentu akan terlihat seperti fungsi smooth.
4. Fungsi dengan dua variabel mutlak yang berbeda dapat membentuk fungsi smooth
dan nonsmooth pada bidang yang sama bergantung dari derajat masing-masing variabel.
4.2 Saran
Diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mencari optimisasi pada fungsi nonlinier
DAFTAR PUSTAKA
Aubin, Jean-Pierre dan Ekeland, I. 1984. Applied Nonlinear Analysis. Paris, France.
Clarke, Franks H. 1983. Optimization and Nonsmooth Analysis, Department of Mathematics University of British Columbia, Canada.
Goffin, J. H. 2010. Subgradient Optimization in Nonsmooth Optimization. 20 januari 2012. http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-ismp/43_goffin-jean-louis.pdf
Luenberger, D. G. 1984. Linier and Nonlinier Programming, Second Edition. Berlin: Springer.
Martono, Koko. 2010. Kalkulus. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Razali, M, Siregar, M. N. dan Marpaung, Faridawaty. 2010. “Kalkulus Diffrensial“. Bogor: Penerbit Ghalia Indonesia.
Thomas, G. B, Weir, Maurice. D. dan Hass, Joel. R. 2012. Thomas’ calculus,
TwelfthEdition. Hudson
Zhang, Y. Subgradient Method. 15 Januari 2012. http:// select.cs.cmu.edu/class/10725-S10/recitations/r7/Subgradients.pdf.