METODE SUBGRADIEN PADA FUNGSI
NONSMOOTH
SKRIPSI
MEILIANI
090803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
METODE SUBGRADIEN PADA FUNGSI
NONSMOOTH
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana sains
MEILIANI
090803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
PERSETUJUAN
Judul : METODE SUBGRADIEN PADA FUNGSI
NONSMOOTH
Kategori : SKRIPSI
Nama : MEILIANI
Nomor Induk Mahasiswa : 090803054
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA
PERNYATAAN
METODE SUBGRADIEN PADA FUNGSI
NONSMOOTH
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri., kecuali
beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan
sumbernya.
Medan, 2013
MEILIANI
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Pemurah dan Maha Penyayang, atas limpah karunia-Nya skripsi ini berhasil diselesaikan dalam waktu yang telah ditetapkan.
Ucapan terima kasih penulis sampaikan kepada Bapak Prof. Dr. Drs. Iryanto, M.Si. dan Ibu Dr. Esther Sorta M.Nababan, M.Sc. selaku pembimbing dalam penyelesaian skripsi ini dan penuh kepercayaan untuk menyempurnakan skripsi ini. Panduan ringkas dan padat dan profesional telah diberikan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini. Ucapan terima kasih juga penulis tujukan kepada Ketua dan sekertaris Departemen Matematika FMIPA USU, Bapak Prof. Drs. Tulus, Vordipl. Math., M.Si., Ph.D. dan Ibu Dra. Mardiningsih, M.Si., Dekan dan Pembantu dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara, semua dosen dan pegawai Matematika FMIPA USU, rekan-rekan kuliah khususnya mahasiswa Matematika stambuk 2009 dan Andrew. Akhirnya tidak terlupakan kepada Papa, Mama, Kakak, Adik-adik, dan semua ahli keluarga yang selama ini memberikan bantuan dan dorongan yang penulis perlukan. Tanpa dukungan dari semua pihak yang penulis sebutkan sebelumnya, penulis tidak akan pernah berhasil menyelesaikan skripsi ini.
Medan, Mei 2013
Penulis
ABSTRAK
Fungsi nonlinier yang variabelnya mutlak merupakan fungsi nonsmooth yang turunannya dapat diselesaikan dengan metode Subgradien. Sebuah vektor adalah subgradien dari pada jika
Jika konveks dan terdifferensialkan maka adalah subgradien dari pada . Subgradien pada fungsi yang variabelnya mutlak memiliki nilai yang berbeda pada
saat variabel fungsi tersebut menuju dan . Pada fungsi nonliner yang variabelnya
memiliki derajat tertentu merupakan gabungan dari beberapa segmen fungsi
nonsmooth sehingga akan terlihat seperti fungsi smooth, namun untuk derajat yang sangat besar fungsi tersebut akan kembali menjadi fungsi nonsmooth.
ABSTRACT
Nonlinier function with absolut variable is nonsmooth function which the derivative
can be solved by Subgradien method. A vector is subgradien from to if
If conveks and differentiable , is subgradien from to . Subgradien from absolut function has different value when the function toward and . Nonlinier
function with certain degree variable is affiliation from few segments of nonsmooth
function so it looks like smooth function, but in greatest value, that function will
revert to nonsmooth function.
DAFTAR ISI
3.3 Subgradien pada Fungsi Nonlinier Nonsmooth 27
Bab IV Kesimpulan dan Saran
4.1 Kesimpulan 37
4.2 Saran 38
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.5.1. Fungsi konveks terdifferensialkan 3
ABSTRAK
Fungsi nonlinier yang variabelnya mutlak merupakan fungsi nonsmooth yang turunannya dapat diselesaikan dengan metode Subgradien. Sebuah vektor adalah subgradien dari pada jika
Jika konveks dan terdifferensialkan maka adalah subgradien dari pada . Subgradien pada fungsi yang variabelnya mutlak memiliki nilai yang berbeda pada
saat variabel fungsi tersebut menuju dan . Pada fungsi nonliner yang variabelnya
memiliki derajat tertentu merupakan gabungan dari beberapa segmen fungsi
nonsmooth sehingga akan terlihat seperti fungsi smooth, namun untuk derajat yang sangat besar fungsi tersebut akan kembali menjadi fungsi nonsmooth.
ABSTRACT
Nonlinier function with absolut variable is nonsmooth function which the derivative
can be solved by Subgradien method. A vector is subgradien from to if
If conveks and differentiable , is subgradien from to . Subgradien from absolut function has different value when the function toward and . Nonlinier
function with certain degree variable is affiliation from few segments of nonsmooth
function so it looks like smooth function, but in greatest value, that function will
revert to nonsmooth function.
BAB 1
PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Zaman yang semakin berkembang membuat persoalan semakin kompleks, tidak
terkecuali persoalan yang melibatkan persoalan matematika. Kompleksitas yang
semakin meningkat memunculkan persoalan yang berbentuk nonlinear. Hal tersebut
disebabkan karena munculnya faktor-faktor yang membuat ketaklinearan suatu fungsi.
Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang memiliki derajat dua atau lebih.
Beberapa bentuk fungsi nonlinier adalah fungsi kuadrat, fungsi kubik, fungsi
eksponensial, dan fungsi logaritmik. Pada fungsi nonlinear dapat juga berupa fungsi
smooth dan fungsi nonsmooth. Sebuah fungsi dikatakan smooth jika fungsi tersebut dapat diturunkan atau differentiable disetiap titik. Sebaliknya dengan fungsi
nonsmooth yang kontinu juga mempunyai turunan, tetapi pada titik tertentu, misalnya pada titik patah, turunannya merupakan turunan berarah.
Fungsi kontinu nonsmooth dapat dikaji dari sisi analisis konveksitas dan optimisasi (Aubin, 1984) dan dapat pula dikaji dari sisi analisis nonsmooth (Clarke, 1983). Pada analisis konveksitas dan optimisasi, fungsi nonsmooth diselesaikan dengan meminimum dan / atau memaksimumkan fungsi tersebut serta meninjau dari
segi konveks graf. Pada analisis nonsmooth, fungsi nonsmooth dikaji pada sisi
Generalizad directional derivative atau turunan berarah. Turunan dari fungsi
1.2Perumusan Masalah
Permasalahan yang akan dibahas adalah bagaimana menyelesaikan persoalan fungsi
nonlinear nonsmooth dengan metode Subgradien.
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menyelesaikan masalah fungsi kontinu
nonsmooth dengan metode Subgradien.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Dapat mencari solusi alternatif untuk menyelesaikan persoalan fungsi nonlinear
nonsmooth.
2. Dapat digunakan sebagai tambahan informasi dan referensi bacaan bagi yang
hendak melakukan penelitian serupa.
1.5 Tinjauan Pustaka
Persamaan yang tidak linier dan mempunyai derajat dua atau lebih dari dua dikatakan
sebagai fungsi nonlinier. Pada fungsi nonlinier grafiknya tidak berupa garis lurus,
melainkan dapat berupa kurva atau garis zig-zag. Fungsi nonlinier kontinu adalah fungsi nonlinear dimana tidak terdapat celah (kosong) pada fungsi tersebut.
di mana dan merupakan koefisien.
Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth merupakan fungsi nonlinier yang berada pada garis atau bidang patah dimana pada setiap garis maupun bidang adalah kontinu.
Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth merupakan fungsi patah namun konveks.
Bentuk umum pertidaksamaan untuk fungsi konveks terdifferensialkan
adalah sebagai berikut:
dimana merupakan turunan dari dan
Gambar 1.5.1. Fungsi konveks terdifferensialkan
Definisi 1.5.1.
Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth dapat diselesaikan dengan metode Subgradien. Metode Subgradien pertama kali dikembangkan oleh N.Z Shor (1962)
yang digunakan dalam memecahkan masalah transportasi program linear berskala
besar. (Goffin, 2010)
Pada penelitian ini, metode yang digunakan bersifat literatur, yaitu dengan melakukan
penelitian literatur, penelitian mandiri, pengumpulan bahan melalui buku-buku
referensi, maupun bahan-bahan berbentuk jurnal yang diperoleh dari perpustakaan
Adapun langkah-langkah yang dilakukan penulis dalam penelitian ini adalah sebagai
berikut:
1. Memaparkan beberapa jenis fungsi nonlinier.
2. Menjelaskan pengertian fungsi smooth dan nonsmooth.
3. Menjelaskan pengertian turunan fungsi nonsmooth.
4. Menyelesaikan fungsi nonsmooth dengan metode Subgradien.
BAB 2
LANDASAN TEORI
Pada bagian ini diberikan beberapa konsep dasar yang menjadi landasan berpikir
dalam penelitian ini, seperti fungsi nonlinier, fungsi smooth, fungsi nonsmooth, turunan fungsi smooth, turunan fungsi nonsmooth, dan metode Subgradien pada fungsi
nonsmooth.
2.1Fungsi Nonlinier
Definisi 2.1.1.
Sebuah fungsi dengan nilai real yang didefinisikan pada himpunan bilangan real
adalah aturan yang menyatakan setiap bilangan yang berada dalam ke tepat satu
bilangan real dinyatakan dengan . Himpunan yang beranggotakan seluruh bilangan di mana didefinisikan disebut Domain atau daerah asal fungsi . Bilangan yang merupakan fungsi dari disebut nilai pada titik , sedangkan himpunan semua nilai disebut Range (jelajah) dari (Razali dkk, 2010).
Gambar 2.1.1. Ilustrasi fungsi
Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang tidak linier, yakni grafiknya bukan
berupa garis lurus melainkan berupa kurva atau garis zig-zag.
Bentuk umum dari fungsi nonlinier
di mana dan merupakan koefisien.
Beberapa bentuk dari fungsi nonlinier adalah
1. Fungsi kuadrat
Fungsi kuadrat adalah fungsi yang mempunyai pangkat tertinggi dari
variabelnya adalah pangkat dua. Gambar fungsi kuadrat bisa berupa lingkaran,
elips, parabola, dan hiperbola.
Bentuk umum dari fungsi kuadrat adalah
di mana dan .
Diberikan beberapa ciri-ciri dari suatu fungsi kuadrat yaitu:
Fungsi kubik adalah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah
pangkat tiga.
Bentuk umum dari fungsi kubik adalah
. di mana .
Sebuah fungsi kubik setidak-tidaknya mempunyai sebuah titik belok
(inflextion point), yaitu titik peralihan bentuk kurva dari cekung menjadi cembung atau sebaliknya. Selain titik belok, fungsi kubik memungkinkan
mempunyai sebuah titik ekstrim (maksimum atau minimum) atau kedua titik
ekstrim (maksimum dan minimum). Ada tidaknya titik ekstrim pada fungsi
Gambar 2.1.3. Fungsi kubik untuk
Gambar 2.1.4. Fungsi kubik untuk
3. Fungsi eksponensial
Pada fungsi eksponensial kurvanya berada di kuadran I dan II pada sistem
koordinat.
Bentuk sederhana dari fungsi eksponensial
Bentuk umum dari fungsi eksponensial
di mana dan adalah konstanta
Kurva fungsi eksponensial asimtotik terhadap garis Titik potong kurva eksponensial
G
Gaammbbaarr 22..11..55..FFuunnggssiieekkssppoonneennssiiaalluunnttuukk
GGaammbbaarr 22..11..66..FFuunnggssiieekkssppoonneennssiiaalluunnttuukk
4. Fungsi logaritmik
Fungsi logaritmik merupakan kebalikan dari fungsi eksponensial yang variabel
2.1.1 Fungsi Smooth
Sebuah fungsi pada dengan
{ ( ⁄ )
Adalah smooth dan mempunyai turunan 0 pada .
Sebuah fungsi yang kontinu dan mempunyai turunan pada setiap titik
diberikan sebagai berikut:
{
di mana adalah polynomial dari derajat
Bukti:
Dengan menggunakan induksi matematika, untuk semua bilangan asli
termasuk 0
( ⁄ )
di mana semua adalah kontinu dan dapat didifferensialkan pada
, karena
( ) ∑ ( ) ( )
Oleh karena untuk semua bilangan positif diikutsertakan, maka digunakan persamaan fungsi pada fungsi eksponensial.
( ⁄ )
Akan dibuktikan rumus untuk turunan ke dengan induksi matematika.
Untuk turunan pertama dari untuk semua dan adalah polynomial dari derajat 0 adalah benar. Akibatnya turunan dari adalah 0
untuk .
( ⁄ )
Tahap induksi matematika dari sampai adalah sama. Untuk diperoleh turunannya adalah
di mana adalah polynomial dari derajat . Maka
Istilah nonsmooth mengacu pada situasi dimana terjadi smoothness
Fungsi merupakan dua buah garis yang bertemu pada satu titik, yaitu di titik . Kedua garis memiliki turunan yang berbeda. Turunan dari sebelah kiri adalah dan turunan dari sebelah kanan
adalah . (Martono, 2002)
Berdasarkan contoh di atas fungsi nonsmooth dapat diartikan sebagai fungsi yang mempunyai turunan berarah. (dapat diturunkan) di titik . (Razali dkk, 2010)
Thomas, G.B (2012) memaparkan beberapa aturan pada turunan, yaitu:
Teorema 2.2.1. (Aturan Fungsi konstanta)
Jika , di mana adalah konstanta, maka untuk sebarang berlaku
Bukti:
Jadi, terbukti jika maka
Teorema 2.2.2. (Aturan Pangkat)
Jika di mana sebarang bilangan rasional, maka turunannya adalah
Bukti:
Langkah 1
Teorema 2.2.3. (Aturan perkalian fungsi dengan konstanta)
Misalkan adalah sebarang bilangan real. Jika ada maka turunan dari
fungsi adalah
Artinya turunan dari perkalian konstanta dengan fungsi adalah sama dengan perkalian konstanta dengan turunan .
Bukti:
Teorema 2.2.4. (Aturan jumlah – selisih)
Jika diberikan fungsi di mana dan terdifferensialkan, maka:
Artinya turunan dari jumlah atau selisih dua fungsi adalah sama dengan jumlah
Bukti:
Ambil jumlah dua fungsi . Dengan menggunakan definisi turunan
Untuk , maka:
Langkah 1
Langkah 2
Langkah 3
Kemudian ambil limit pero eh
Langkah 4
Teorema 2.2.5. ( Aturan perkalian )
di mana dan dapat diturunkan, maka turunan dari
adalah
Bukti:
Teorema 2.2.6. (Aturan pembagian)
Jika diberikan
di mana dan terdifferensialkan maka
turunannya adalah
Bukti:
2.2.2 Turunan fungsi Nonsmooth
Andaikan adalah sebuah fungsi dan merupakan sebuah titik di maka fungsi tersebut dikatakan Lipschitz terhadap jika terdapat sebuah skalar dan bilangan positifɛsehingga:
| ( ) | e er
di mana B adalah sebuah unit ball yang terbuka di , maka ɛ adalah open ball pada radius ɛ pada .
Andaikan adalah Lipschitz terhadap dan andaikan vektor lain
pada X. Generalizad directional derivative pada di yang menuju , disimbolkan , dan didefinisikan sebagai berikut:
hanya sebagai fungsi saja, adalah Lipschitz dari rank K pada X.
p homogeneous, dan subadditive, sehingga dapat didefinisikan himpunan tak kosong adalah generalized gradien pada di , sebagai berikut:
Dengan mempertimbangkan sifat dari , maka himpunan bagian tak kosong yang konveks pada , untuk setiap
BAB 3
PEMBAHASAN
Fungsi nonlinier kontinu nonsmooth yang diterangkan pada bab sebelumnya, dapat ditentukan turunannya. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana cara menentukan
turunan dari fungsi nonlinier kontinu nonsmooth.
3.1 Fungsi yang Memuat Tanda Mutlak ( | | ) dalam Operasi Aljabar
Berikut adalah contoh bentuk tanda mutlak sebagai ilustrasi:
Pada ilustrasi di atas, tanda mutlak pada fungsi memuat operasi penjumlahan dan pengurangan. Untuk mengubah aturan tanda nilai mutlak pada fungsi seperti ini
yaitu dengan cara mengubah tanda nilai mutlak satu persatu secara bergiliran sehingga
diperoleh fungsi yang tidak memuat lagi tanda nilai mutlak.
Contoh 3.1.1.
Langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah tanda nilai mutlak sehingga fungsi berbentuk
Selanjutnya mengubah tanda mutlak untuk , sehingga menghasilkan fungsi pada bagian dalam terlebih dahulu selanjutnya mengubah tanda nilai mutlak pada bagian luar pada fungsi tersebut.
Contoh 3.2.1.
Langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah tanda mutlak pada tanda mutlak
bagian dalam yaitu , sehingga diperoleh fungsi
{
Selanjutnya mengubah tanda nilai mutlak pada masing-masing fungsi sehingga
3.3 Subgradien pada Fungsi Nonlinier Nonsmooth
Salah satu fungsi nonsmooth adalah fungsi yang variabelnya mutlak. Subgradien dari fungsi nonsmooth merupakan turunan berarah dari fungsi tersebut, yakni turunan pada saat dan ataupun pada saat dan
1. Diberikan fungsi
Langkah pertama yang dilakukan adalah mengubah tanda pada
sehingga diperoleh fungsi
{
Langkah berikutnya adalah mengubah tanda sehingga diperoleh fungsi
{
Langkah berikutnya adalah mengubah tanda sehingga diperoleh fungsi
Gambar 3.3.2. Fungsi
Maka subgradien dari fungsi adalah
{
{
{
{
pada fungsi merupakan fungsi nonsmooth namun karena fungsi adalah gabungan dari variabel mutlak dan tidak mutlak maka terbentuk fungsi kuadrat dimana patahan pada fungsi
Beberapa fungsi yang memiliki satu variabel mutlak misalnya
1. Fungsi
Gambar 3.3.3. Fungsi
2. Fungsi
3. Fungsi
Gambar 3.3.5. Fungsi
4. Fungsi
5. Fungsi
Gambar 3.3.7. Fungsi
Ilustrasi geometri dari beberapa contoh fungsi yang memiliki satu variabel
mutlak memperlihatkan bahwa variabel mutlak yang mempunyai derajat
tertentu merupakan gabungan dari beberapa segmen fungsi nonsmooth
sehingga fungsi tersebut terlihat smooth. Namun pada saat variabel mutlak tersebut mempunyai derajat yang sangat besar fungsi tersebut akan
Beberapa fungsi yang memiliki dua variabel mutlak misalnya
1. Fungsi
Gambar 3.3.8. Fungsi
2. Fungsi
3. Fungsi
Gambar 3.3.10. Fungsi
Ilustrasi geometri dari beberapa contoh fungsi yang memiliki dua variabel
mutlak memperlihatkan bahwa:
1. Pada fungsi yang variabel mutlak pertamanya berpangkat dua ditambah
dengan variabel mutlak keduanya berpangkat dua, fungsi tersebut akan
membentuk fungsi kuadrat sehingga membentuk fungsi smooth.
2. Pada fungsi yang variabel mutlak pertamanya berpangkat genap
ditambah dengan variabel mutlak keduanya berpangkat ganjil, fungsi
tersebut memiliki bagian smooth dan nonsmooth.
3. Pada fungsi yang variabel mutlak pertamanya berpangkat ganjil
ditambah dengan variabel mutlak keduanya berpangkat ganjil, fungsi
BAB 4
KESIMPULAN DAN SARAN
Pada bab ini akan diberikan kesimpulan yang di dapat dari hasil tulisan dan penelitian
pada bab-bab terdahulu, selanjutnya akan diberikan saran untuk dipergunakan dalam
penelitian selanjutnya.
4.1 Kesimpulan
1. Fungsi dengan variabel mutlak merupakan fungsi nonsmooth yang turunannya dapat diselesaikan dengan metode Subgradien.
2. Subgradien dari fungsi nonsmooth merupakan turunan fungsi tersebut yang mempunyai nilai yang berbeda saat dan ataupun pada saat dan
3. Fungsi yang variabelnya merupakan gabungan dari fungsi mutlak dan tidak
multak pada derajat tertentu akan terlihat seperti fungsi smooth.
4. Fungsi dengan dua variabel mutlak yang berbeda dapat membentuk fungsi smooth
4.2 Saran
Diperlukan penelitian lebih lanjut untuk mencari optimisasi pada fungsi nonlinier
DAFTAR PUSTAKA
Aubin, Jean-Pierre dan Ekeland, I. 1984. Applied Nonlinear Analysis. Paris, France.
Clarke, Franks H. 1983. Optimization and Nonsmooth Analysis, Department of Mathematics University of British Columbia, Canada.
Goffin, J. H. 2010. Subgradient Optimization in Nonsmooth Optimization. 20 januari 2012. http://www.math.uiuc.edu/documenta/vol-ismp/43_goffin-jean-louis.pdf
Luenberger, D. G. 1984. Linier and Nonlinier Programming, Second Edition. Berlin: Springer.
Martono, Koko. 2010. Kalkulus. Jakarta: Penerbit Erlangga.
Razali, M, Siregar, M. N. dan Marpaung, Faridawaty. 2010. “Kalkulus Diffrensial“. Bogor: Penerbit Ghalia Indonesia.
Thomas, G. B, Weir, Maurice. D. dan Hass, Joel. R. 2012. Thomas’ calculus,
TwelfthEdition. Hudson
Zhang, Y. Subgradient Method. 15 Januari 2012. http:// select.cs.cmu.edu/class/10725-S10/recitations/r7/Subgradients.pdf.
