8.1 Kekontinuan pada Interval
Secara geometris,f kontinu di suatu titik berarti bahwa grafiknya tidak terputus di titik tersebut. Serupa dengan itu,f kontinu pada suatu interval apabila grafiknya tidak terputus pada interval tersebut. Secara intuitif,f kontinu pada suatu interval apabila kita dapat menggambar grafik fungsi f pada interval tersebut tanpa harus mengangkat pena dari kertas.
Secara formal, sebuah fungsi f dikatakan kontinu pada suatu interval bukaI
jika dan hanya jikaf kontinu di setiap titik padaI. Fungsif dikatakankontinupada interval tutupI= [a, b] jika dan hanya jikaf kontinu di setiap titikc∈(a, b), kontinu kanan dia, dan kontinu kiri dib. (Lihat Gambar 8.1 dan 8.2.)
Gambar 8.1 Grafik fungsi kontinu pada interval buka Contoh 1. Misalkanf :R→Rdidefinisikan sebagai
f(x) =
x, x≤1;
3
Perhatikan bahwaf kontinu di setiap titik kecuali dic= 1. Namunf kontinu kiri di
c= 1, dan karenanyaf kontinu pada interval [0,1]. Karenaf tidak kontinu kanan di
c= 1, makaf tidak kontinu pada interval [1,2].
Gambar 8.2 Grafik fungsi kontinu pada interval tutup
Proposisi 2. Misalkan f terdefinisi pada suatu interval I. Maka, f kontinu pada I jika dan hanya jika, untuk setiap x∈I dan setiap ǫ >0 terdapat δ >0 sedemikian sehingga
|f(x)−f(y)|< ǫ untuk y∈I dengan|x−y|< δ.
Contoh 3. (i) Fungsi f(x) =px+qkontinu pada sebarang intervalI. (ii) Fungsig(x) =|x|kontinu pada sebarang intervalI.
(iii) Fungsih(x) =√xkontinu pada sebarang intervalI
⊆[0,∞). Soal Latihan
1. Misalkan f : [0,5]→Rdidefinisikan sebagai
f(x) =
2x, 0≤x <1; 1, 1≤x≤5.
Selidiki apakahf kontinu di setiap titik pada interval [0,5]. Selidiki kekontinuan
2. Buktikan bahwa fungsif pada Soal 1 terbatas. Tentukan apakah ia mempunyai nilai maksimum dan nilai minimum.
3. Misalkan K >0 danf :I→Radalah fungsi yang memenuhi |f(x)−f(y)| ≤K|x−y|
untuk setiapx, y∈I. Buktikan bahwaf kontinu padaI.
8.2 Sifat-sifat Fungsi Kontinu pada Interval
Sebagai akibat dari Proposisi 8 dan Teorema 11 yang telah dibahas pada Bab 7, kita mempunyai Proposisi 4 dan Proposisi 6 di bawah ini.
Proposisi 4. Misalkan f dan g kontinu pada suatu interval I dan λ, µ∈R. Maka λf+µg danf g kontinu padaI. Juga, jika g6= 0, maka fg kontinu padaI.
Contoh 5. (i) Setiap fungsi polinom kontinu pada sebarang interval.
(ii) Setiap fungsi rasional kontinu pada sebarang interval dalam daerah asalnya. Se-bagai contoh,f(x) = 1x kontinu pada (0,∞).
(iii) Fungsif(x) =x+√xkontinu pada sebarang intervalI
⊆[0,∞), karenaf1(x) =x
danf2(x) =√xkontinu pada sebarang intervalI
⊆[0,∞).
Proposisi 6. Misalkan g : I →J kontinu pada interval I dan f : J → R kontinu pada intervalJ. Makaf◦g kontinu pada I.
Contoh 7. (i) Fungsih(x) =|1+x|kontinu pada sebarang interval, karenaf(x) =|x| dang(x) = 1 +xkontinu pada sebarang interval.
(ii) Fungsih(x) =1+1−√√xx kontinu pada sebarang intervalI⊆[0,∞). Soal Latihan
1. Jelaskan mengapa fungsi berikut kontinu pada sebarang interval. • f(x) =1+1|x|.
• g(x) =√ 1 +x2.
2. Misalkan f kontinu pada suatu interval I dan untuk setiap bilangan rasional
r∈I berlakuf(r) =r2. Buktikan bahwaf(x) =x2untuk setiap x∈I. 3. Misalkan f : [0,1] → [0,1] adalah fungsi kontraktif, yakni memenuhi
ketak-samaan
|f(x)−f(y)| ≤C|x−y|, x, y∈[0,1],
untuk suatu konstantaC dengan 0< C <1. Konstruksi barisan hxnidengan
x1 ∈I dan xn+1 =f(xn), n∈ N. Buktikan bahwa hxni konvergen ke suatu
L∈[0,1], danL=f(L).
8.3 Lebih jauh tentang Fungsi Kontinu pada Interval
Sebagaimana telah disinggung dalam Bab 2, interval [a, b] yang tertutup dan terbatas merupakan himpunan kompak diR. Sekarang kita akan mempelajari keis-timewaan yang dimiliki oleh fungsi kontinu pada interval kompak [a, b].
Teorema 8. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Makaf([a, b]) juga merupakan suatu interval kompak.
Teorema ini merupakan konsekuensi dari beberapa teorema berikut.
Teorema 9. Misalkanf kontinu pada suatu interval I. Maka daerah nilainya, yaitu f(I), juga merupakan suatu interval.
Teorema 10 (Teorema Nilai Antara). Misalkanf kontinu pada suatu intervalI yang memuat a danb. Jika uterletak di antara f(a) danf(b), maka terdapat c di antaraa danbsedemikian sehingga f(c) =u.
Catatan. Teorema 10 setara dengan Teorema 9. Oleh karena itu kita cukup mem-buktikan salah satu di antara mereka.
Bukti Teorema 10. Tanpa mengurangi keumuman, asumsikan a < b dan f(a) < u < f(b). Tinjau himpunan H := {x ∈ [a, b] : f(x) < u}. Jelas bahwa H 6= ∅ karena a ∈ H. KarenaH juga terbatas, maka H mempunyai supremum, sebutlah
c = supH. Di sini a < c < b. Selanjutnya tinggal membuktikan bahwa f(c) = u, dengan menunjukkan bahwa tidak mungkinf(c)< u ataupunf(c)> u.
Andaikan f(c)< u. Karenaf kontinu di c, maka terdapat δ > 0 sedemikian sehingga f c+δ2
< u(?). Jadi c+δ2 ∈ H. Ini bertentangan dengan fakta bahwa
c = supH. Sekarang andaikan f(c) > u. Sekali lagi, karena f kontinu dic, maka terdapat δ > 0 sedemikian sehinggaf(x) > uuntuk c−δ < x≤ c (?). Jadi tidak ada satu pun anggotaH pada interval (c−δ, c]. Ini juga bertentangan dengan fakta bahwac= supH.
Teorema 11. Misalkan f kontinu pada interval[a, b]. Makaf terbatas pada[a, b]. Bukti. Misalkanf tak terbatas pada [a, b]. Maka terdapat suatu barisanhxnidi [a, b] sedemikian sehingga
|f(xn)| →+∞untuk n→ ∞. (1) Karena hxniterbatas, maka menurut Teorema Bolzano - Weierstrass terdapat suatu sub-barisan hxnki yang konvergen ke suatu titik c ∈ [a, b]. Tetapi f kontinu di c, sehinggaf(xnk)→f(c) untukk→ ∞. Ini bertentangan dengan (1). Jadi mestilah
f terbatas pada [a, b].
Teorema 12. Misalkan f kontinu pada interval [a, b]. Maka f mencapai nilai mak-simum dan nilai minimum pada [a, b].
Bukti. Dari Teorema 11 kita tahu bahwa f terbatas pada [a, b]. Misalkan v := supf([a, b]). Konstruksi barisan hxni di [a, b] dengan f(xn) → v untuk n → ∞. Karena hxni terbatas, terdapat sub-barisanhxnkiyang konvergen ke suatu titik c∈ [a, b]. Namun kekontinuan di c mengakibatkan f(xnk)→ f(c) untuk k→ ∞. Jadi mestilah v = f(c), dan ini berarti bahwa v merupakan nilai maksimum. Serupa dengan itu,f juga mencapai nilai minimumnya.
Contoh 13. Persamaan 10x7
−13x5
−1 = 0 mempunyai sebuah akar c ∈(−1,0). Untuk menunjukkannya, misalkan f(x) = 10x7−13x5−1. Maka, f(−1) = 2 dan
f(0) = −1. Karena f kontinu pada [−1,0] dan 0 terletak di antara f(−1) dan
f(0), maka menurut Teorema Nilai Antara terdapatc∈(−1,0) sedemikian sehingga
f(c) = 0. Bilanganc dalam hal ini merupakan akar persamaan di atas.
Contoh 14. Misalkan f : [a, b]→[a, b] kontinu pada [a, b]. Maka, terdapat c∈[a, b] sedemikian sehingga f(c) = c. [Bilangan c demikian disebut sebagai titik tetap f.] Perhatikan bahwa peta dari [a, b] merupakan himpunan bagian dari [a, b], sehingga
kontinu pada [a, b], maka g juga kontinu pada [a, b]. Namun g(a) = f(a)−a ≥ 0 dang(b) =f(b)−b≤0. Menurut Teorema Nilai Antara, mestilah terdapatc∈[a, b] sedemikian sehinggag(c) = 0. Akibatnyaf(c) =c.
Soal Latihan
1. Lengkapi Bukti Teorema Nilai Antara, khususnya bagian yang diberi tanda tanya (?).
2. Buktikan bahwa setiap polinom berderajat ganjil mempunyai sedikitnya satu akar real.
3. Misalkanf kontinu pada suatu interval kompakI. Misalkan untuk setiapx∈I
terdapaty∈I sedemikian sehingga
|f(y)| ≤ 12|f(x)|.
Buktikan bahwa terdapat suatuc∈Isedemikian sehinggaf(c) = 0.
8.4 Kekontinuan Seragam
Proposisi 2 menyatakan bahwa suatu fungsi f kontinu pada sebuah interval I
jika dan hanya jika untuk setiap x∈I dan setiap ǫ >0 terdapat δ >0 sedemikian sehingga
|f(x)−f(y)|< ǫ
untuky∈Idengan|x−y|< δ. Contoh berikut memperlihatkan bahwa secara umum nilaiδ bergantung padaǫdanx.
Contoh 16. Kita telah mengetahui bahwaf(x) = 1
x kontinu pada (0,1]. Diberikan
x ∈ (0,1] dan ǫ > 0 sebarang, kita dapat memilih δ = minx
2,ǫx22 sedemikian sehingga untuky∈(0,1] dengan|x−y|< δ berlaku
1 x−1y = x−y xy = 1 x· 1y · |x−y|< 1 x·2x· ǫx 2 2 =ǫ. Perhatikan bahwa jikaxmenuju 0, makaδ akan menuju 0.
Dalam kasus tertentu, nilaiδ hanya bergantung padaǫ, tidak pada x. Hal ini terjadi pada, misalnya, f(x) =px+q, x∈R, dengan p6= 0. Diberikanǫ >0, kita dapat memilihδ= ǫ
|p| sedemikian sehingga
|f(x)−f(y)|=|p| · |x−y|< ǫ
untuk x, y ∈ R dengan |x−y| < δ. Kekontinuan f(x) = px+q dalam hal ini merupakan kekontinuan ‘seragam’ padaR.
Fungsif :I→Rdikatakankontinu seragampadaI apabila untuk setiapǫ >0 terdapatδ >0 sedemikian sehingga
|f(x)−f(y)|< ǫ
untuk x, y∈I dengan |x−y|< δ. Perhatikan bahwa dalam definisi di atasxdany
muncul setelahδ, yang mengindikasikan bahwaδ tidak bergantung padax(dany). Teorema 17. Fungsi f :I → Rtidak kontinu seragam pada I jika dan hanya jika terdapatǫ0>0 dan dua barisanhxnidanhynidiIsedemikian sehingga|xn−yn|< 1n
dan|f(xn)−f(yn)| ≥ǫ0 untuk setiapn∈N.
Teorema berikut menyatakan bahwa kekontinuan pada interval kompak meru-pakan kekontinuan seragam.
Teorema 18. Jikaf kontinu pada [a, b], makaf kontinu seragam pada [a, b].
Bukti. Andaikan f tidak kontinu seragam pada [a, b]. Maka, menurut Teorema 17, terdapatǫ0>0 dan dua barisanhxnidanhynidi [a, b] sedemikian sehingga|xn−yn|<
1
n dan|f(xn)−f(yn)| ≥ǫ0 untuk setiapn∈N. Karenahxniterbatas di [a, b], maka menurut Teorema Bolzano-Weierstrass terdapat sub-barisan hxnki yang konvergen, sebutlah kec ∈[a, b]. Karena |xn−yn| < n1 untuk setiap n∈N, maka sub-barisan hynkiakan konvergen ke c juga. Selanjutnya, karena f kontinu di c, maka hf(xnk)i danhf(ynk)ikonvergen kef(c). Akibatnya,|f(xnk)−f(ynk)| →0 untukk→ ∞. Ini mustahil karena|f(xn)−f(yn)| ≥ǫ0 untuk setiapn∈N.
Soal Latihan
1. Contoh 16 memperlihatkan bahwa fungsi f(x) = 1
x tampaknya tidak kontinu seragam pada (0,1]. Buktikan bahwa iamemangtidak kontinu seragam pada (0,1].
2. Selidiki apakahf(x) =x2 kontinu seragam pada [0,∞). 3. Buktikan jika fungsif :I→Rmemenuhi ketaksamaan
|f(x)−f(y)| ≤K|x−y|, x, y∈I,
untuk suatuK >0, makaf kontinu seragam padaI. 4. Buktikan bahwa f(x) =√xkontinu seragam pada [0,
9. TURUNAN
9.1 Turunan di Suatu Titik
Diberikan sebuah fungsi, kita seringkali perlu mempelajari bagaimana nilai fungsi itu berubah terhadap peubahnya. Salah satu caranya adalah dengan menghi-tungturunandari fungsi itu.
Misalkanfterdefinisi pada suatu interval terbukaIyang memuat titikc. Maka,
f dikatakanmempunyai turunandi titikc apabila limit lim
x→c
f(x)−f(c)
x−c
ada, dan dalam hal ini nilai limit tersebut disebut turunan dari f di titik c, yang biasanya dilambangkan denganf′(c) atauDf(c).
Jadi, untuk fungsif yang mempunyai turunan dic, kita mempunyai
f′(c) = lim
x→c
f(x)−f(c)
x−c .
Dengan menggantixdenganc+h, kita peroleh
f′(c) = lim
h→0
f(c+h)−f(c)
h .
Catat bahwa f mempunyai turunan di c jika dan hanya jika terdapat suatu bilanganL=f′(c) sedemikian sehingga
f(c+h)−f(c)−Lh=ǫ(h) dengan ǫ(hh) →0 untukh→0.
Secara intuitif, sebuah fungsi f mempunyai turunan di titik c berarti bahwa grafik fungsi y =f(x) mempunyaigaris singgung di titik (c, f(c)) dan gradien garis
singgung tersebut adalahf′(c). Untuk ilustrasi, lihat Gambar 9.1. Persamaan garis singgung pada grafik fungsiy=f(x) di titik (c, f(c)) dalam hal ini adalah
y=f(c) +f′(c)(x−c).
Persamaan ini merupakan hampiran linear untuky=f(x). Jikaxberubah daric ke
c+h, makay akan bertambah kira-kira sebesarhf′(c). Jadi, dengan mengetahuif′, kita mengetahui bagaimanaf berubah (bilaxberubah).
Sebagai catatan, masalah menentukan persamaan garis singgung pada kurva di titik tertentu pertama kali dipelajari oleh Rene Descartes pada 1620-an. Namun, kalkulus diferensial dan integral yang kita kenal sekarang ini ‘ditemukan’ oleh Isaac Newton pada 1665 (namun dipublikasikan pada 1704) dan Gottfried Wilhelm von Leibniz pada 1684.
Gambar 9.1 Grafik fungsif yang mempunyai turunan di titik c
Contoh 1. Misalkanf(x) =x2 dan c= 1. Untuk memeriksa apakahf mempunyai turunan di 1, kita hitung
lim x→1 f(x)−f(1) x−1 = limx→1 x2 −1 x−1 = limx→1(x+ 1) = 2.
Jadif mempunyai turunan di 1, denganf′(1) = 2.
Secara umum dapat ditunjukkan bahwaf(x) =x2mempunyai turunan di setiap titikc∈R, denganf′(c) = 2c. Fungsi f′ :c7→2c disebut sebagaiturunandarif.
Contoh 2. Misalkanf(x) =|x|danc= 0. Perhatikan bahwa lim h→0 f(h)−f(0) h = limh→0 |h| h
tidak ada (?). Karena itu,f tidak mempunyai turunan di 0.
Proposisi 3. Misalkanf terdefinisi pada suatu interval terbukaI yang memuat titik c. Jikaf mempunyai turunan dic, maka f kontinu di c.
Bukti. Perhatikan bahwa
f(x)−f(c) = f(x)−f(c)
x−c ·(x−c)→f′(c)·0 = 0 untukx→c. Jadif(x)→f(c) untukx→c.
Dalam prakteknya, kita sering pula menggunakan kontraposisi dari Proposisi 3 yang menyatakan: jikaf tidak kontinu dic, makaf tidak akan mempunyai turunan di c. Sebagai contoh, fungsif : [0,2]→Ryang didefinisikan sebagai
f(x) =
2x, 0≤x <1; 1, 1≤x≤2,
tidak mungkin mempunyai turunan di 1 karenaf tidak kontinu di titik tersebut. Catatan. Proposisi 3 menyatakan bahwa kekontinuanf dicmerupakan syarat perlu bagi f untuk mempunyai turunan di c. Namun, Contoh 2 memperlihatkan bahwa kekontinuanf dic bukan merupakan syarat cukup untuk mempunyai turunan dic. Soal Latihan
1. Tentukan persamaan garis singgung pada kurvay=x2 di titik (1,1).
2. Tunjukkan bahwaf(x) =x2 mempunyai turunan di setiap titikc∈R, dengan
f′(c) = 2c.
3. Diketahui f(x) =x|x|, x∈R. Selidiki apakahf mempunyai turunan di 0. 4. Berikan sebuah contoh fungsi f yang kontinu di 0 tetapi tidak mempunyai
tu-runan di sana, selainf(x) =|x|.
5. Konstruksi sebuah fungsif :R→Ryang mempunyai turunanhanyadi sebuah titik.
6. Buktikan jikaf mempunyai turunan dic, maka
f′(c) = lim
h→0
f(c+h)−f(c−h)
2h .
Berikan sebuah contoh fungsi yang tidak mempunyai turunan di suatu titik namun limit di atas ada.
9.2 Sifat-sifat Dasar Turunan
Teorema 4. Misalkanf dang terdefinisi pada suatu interval terbukaIyang memuat titikc. Misalkanλdanµbilangan real sembarang. Jikaf dangmempunyai turunan di c, maka λf+µg, f g,dan f /gmempunyai turunan dic, dan
(i) (λf+µg)′(c) =λf′(c) +µf′(c); (ii) (f g)′(c) =f′(c)g(c) +f(c)g′(c);
(iii)fg′(c) = f′(c)g(cg)2−(cf)(c)g′(c) asalkang(c)6= 0.
Bukti. (i) Perhatikan bahwa
1 h λf(c+h) +µg(c+h)−λf(c)−µg(c) = λhf(c+hh)−f(c)i+µhg(c+hh)−g(c)i → λf′(c) +µg′(c) untukh→0.
(ii) Di sini kita mempunyai
1 h f(c+h)g(c+h)−f(c)g(c) = g(c+h)hf(c+hh)−f(c)i+f(c)hg(c+hh)−g(c)i → g(c)f′(c) +f(c)g′(c), untukh→0. (iii) Latihan.
Contoh 5. Misalkann∈Ndanf(x) =xn. Maka turunan darif adalah
f′(x) =nxn−1.
Fakta ini dapat dibuktikan secara induktif. Untukn= 1 atau f(x) =x, jelas bahwa
f(x) = xk, maka f′(x) = kxk−1. Maka, untuk n = k+ 1 atau f(x) = xk+1, kita peroleh
f′(x) =D(xk.x) =D(xk).x+xk.D(x) =kxk−1.x+xk= (k+ 1)xk.
Jadi, menurut Prinsip Induksi Matematika, pernyataan benar untuk setiapn∈N. Teorema 6 (Aturan Rantai). Misalkan g mempunyai turunan di c danf mem-punyai turunan di y=g(c). Maka,f◦g mempunyai turunan dic dan
(f◦g)′(c) =f′(g(c))g′(c). Bukti. Berdasarkan definisi turunan,
(f◦g)′(c) = lim x→c (f◦g)(x)−(f ◦g)(c) x−c = limx→c f(g(x))−f(g(c)) x−c .
Bilag(x)−g(c)6= 0 pada suatu interval terbuka (c−δ, c+δ), maka (f◦g)′(c) = lim x→c f(g(x))−f(g(c)) g(x)−g(c) ·g(xx)−g(c) −c =f ′(g(c))·g′(c).
Namun, bila g konstan (misalnya), maka argumentasi di atas gugur. Untuk meng-atasinya, definisikan
h(y) :=
( f(y)−f(g(c))
y−g(c) , y6=g(c), f′(g(c)), y=g(c).
Perhatikan bahwahkontinu di g(c). Mengingatg kontinu di c, maka menurut Teo-rema 10 pada Bab 7,h◦gkontinu di c. Akibatnya
(f◦g)′(c) = lim x→c f(g(x))−f(g(c)) x−c = limx→ch(g(x))·g(xx)−g(c) −c =f ′(g(c))·g′(c),
sebagaimana yang kita harapkan. Soal Latihan
1. Buktikan Teorema 4 bagian (iii).
2. Misalkan n∈Ndanf(x) =xn. Buktikan dengan menggunakan definisi bahwa
3. Misalkan n∈N. Buktikan
• jika f(x) =x−n (x= 0), maka6 f′(x) =−nx−n−1. • jika f(x) =x1/n(x >0), makaf′(x) = 1
nx1/n−1.
4. Buktikan bahwa untuk bilangan rasionalrsembarang berlaku
D(xr) =rxr−1
asalkanx >0.
5. Misalkan f : R → R mempunyai turunan di x. Buktikan jika f mempunyai inversf−1:R→Rdanf−1 mempunyai turunan diy=f(x), maka
Df−1(y) = 1
Df(x).
9.3 Turunan Tingkat Tinggi
Jikaf mempunyai turunan di setiap titik dalam suatu interval terbukaI, maka kita katakan f mempunyai turunan padaI. Dalam hal ini turunan dari f, yaituf′, merupakan fungsi yang juga terdefinisi padaI.
Selanjutnya kita dapat mendefinisikan turunan kedua dari f sebagai turunan darif′, yang nilainya dic adalah
f′′(c) = lim
x→c
f′(x)−f′(c)
x−c ,
asalkan limit ini ada. Dapat diperiksa bahwa bilaf mempunyai turunan kedua dic, maka f(c+h)−f(c)−hf′(c)−h 2 2 f ′′(c) =ǫ(h), dengan ǫ(hh2) →0 untukh→0.
Turunan kedua darif berkaitan dengan kecekungan grafik fungsi f. Jika f′′ bernilai positif pada suatu interval, maka grafik fungsif cekung ke ataspada interval tersebut. Sementara itu, jika f′′ bernilai negatif pada suatu interval, maka grafik fungsi f cekung ke bawah pada interval tersebut. Dengan mengetahuif′′, kita juga mengetahui bagaimanaf′ berubah.
Setelah menghitung turunan pertama dan kedua dari f, turunan ketiga dan seterusnya dapat didefinisikan secara serupa. Secara umum,f(n)(x) menyatakan tu-runan ke-n, n∈N, darif.
Contoh 7. Jika f(x) = 1 x, maka f′(x) =−x12; f′′(x) = 2 x3; f′′′(x) =−x64;
dan seterusnya. (Dapatkah anda menentukan rumus umumf(n)(x) untukn∈N?) Bilaf mempunyai turunan ke-npada suatu interval yang memuat titikc, maka
f dapat dihampiri oleh suatu polinom berderajat n−1 dan kesalahannya dapat ditaksir dengan turunan ke-n. Lihat Teorema Taylor pada bab berikutnya.
Soal Latihan
1. Buktikan bilaf mempunyai turunan kedua dic, maka
f(c+h)−f(c)−hf′(c)−h
2
2 f
′′(c) =ǫ(h),
dengan ǫh(h2) →0 untukh→0.
2. Tentukan pada interval mana grafik fungsif(x) =x3 cekung ke atas dan pada interval mana ia cekung ke bawah.
3. Tentukan rumus umum turunan ke-ndarif(x) = 1
x.
4. Diketahui f(x) = √x. Tentukan f′(x), f′′(x), dan f′′′(x). Tentukan rumus umumf(n)(x) untukn∈N.
5. Misalkanp(x) adalah polinom berderajatn. Buktikan bahwap(m)(x) = 0 untuk
m > n.
6. Berikan sebuah contoh fungsi yang mempunyai turunan pertama tetapi tidak mempunyai turunan kedua di 0.