IV.2 Gelanggang Faktor Gelanggang Polinom Miring
IV.2.2 Gelanggang faktor gelanggang polinom miring
Pembahasan gelanggang faktor diawali dengan penyajian lema sederhana yang berkaitan dengan gelanggang faktor.
Lema IV.11 (Goodearl, 1992) Misalkan D[x; σ, δ] adalah suatu gelanggang polinom miring dan I adalah suatu (σ, δ)-ideal dari D, maka
1. (σ, δ) dapat dikembangkan menjadi endomorfisma dan σ-derivatif pada D/I
2. ID[x; σ, δ] adalah suatu ideal di D[x; σ, δ] 3. D[x; σ, δ]/ID[x; σ, δ] isomorfik dengan D/I
[x; σ, δ].
Teori berikut memberikan karaktristik ideal prima P yang membentuk gelang-gang faktor Dedekind prima pada gelanggelang-gang polinom miring tipe automor-fisma. Proses pembuktian teori tersebut dilakukan dalam beberapa tahap. Tahap-tahap pembuktian dituliskan dalam bentuk lema dan teorema.
Lema IV.12 (Marubayashi, 2009) Misalkan σ adalah automorfisma pada daerah Dedekind D dan ideal tidak prima p adalah σ-ideal di D, maka terdapat ideal prima m di D yang memenuhi m ⊃ p dan m = m2+ p.
Bukti. Untuk kondisi seperti yang ada pada lema ini, maka berdasarkan Lema II.21 terdapat ideal prima m yang memuat p dan bilangan bulat positif n sedemikian sehingga σn+1(m) = m dan p = m ∩ σ(m) ∩ . . . ∩ σn(m). Hal ini berarti
m⊇ m2+ p ⊇ p ⊇ mσ(m) . . . σn(m).
Selanjutnya berdasarkan Lema II.14, diketahui bahwa himpunan ideal-ideal prima yang memuat p adalah {m, σ(m), . . . , σn(m)}. Andaikan, m % m2 + p, maka menggunakan Teorema II.13,
untuk suatu i1, . . . , ik∈ {1, . . . , n}. Lebih lanjut,
m2 ⊆ m2+ p = mσi1(m) . . . σik(m) m ⊆ σi1(m) . . . σik(m) ⊆ σi1(m).
Karena m ideal maksimal, maka m = σi1(m). Hal ini kontradiksi dengan p= m ∩ σ(m) ∩ . . . ∩ σn(m) dan p 6= m.
Lema IV.13 Misalkan R = D[x; σ] dengan D adalah daerah Dedekind, σ adalah automorfisma, dan δ adalah σ−derivatif. Misalkan P adalah suatu ideal prima minimal dari R dengan P = p[x; σ] dan p adalah σ-ideal prima dari D tetapi bukan ideal prima. Jika m adalah ideal maksimal yang memuat p, dengan σ(m) 6= m, maka M = m + xR adalah ideal maksimal di R dan M = M2+ P . Bukti. Misalkan N ideal di R dan M ( N , berarti terdapat a(x) = anxn+ an−1xn−1+ . . . + a1x + a0 ∈ N tetapi a(x) /∈ M . Karena anxn+ an−1xn−1 + . . . + a1x ∈ M ⊆ N , maka 0 6= a0 ∈ N ∩ D dan a0 ∈ m. Karena m maksimal/ maka N ∩ D = D. Akibatnya, N = R.
Untuk membuktikan M = M2 + P cukup dibuktikan M ⊆ M2 + P , karena sudah jelas M ⊇ M2 + P . Misalkan f (x) ∈ M = m + xR. Bentuk f (x) dapat dituliskan seperti berikut.
f (x) = a + x[gnxn+ gn−1xn−1+ . . . + g0]
= a + σ(gn)xn+1+ σ(gn−1)xn+ . . . + σ(g0)x.
dengan a ∈ m dan gnxn+ gn−1xn−1+ . . . + g0 ∈ R. Pada sisi lain,
Mengacu pada bentuk f (x) dan M2, diperoreh hal berikut. Misalkan
uixi+1 ∈ xRm dan vixi+1∈ mxR untuk i = 1, . . . , n,
maka dapat dipilih wixi+1∈ xRxR yang memenuhi
σ(gi)xi+1= uixi+1+ vixi+1+ wixi+1.
Dengan demikian σ(gi)xi+1 ∈ M2 untuk i = 1, . . . , n. Untuk membuktikan σ(g0)x ∈ M2, ditinjau dua kasus, yaitu σ(g0) ∈ m dan σ(g0) /∈ m. Jika σ(g0) ∈ m, maka σ(g0)x ∈ mxR ⊆ M2. Jika σ(g0) /∈ m, maka pilih b ∈ m sedemikian sehingga σ(b) /∈ m. Pemilihan ini dapat dilakukan karena σ(m) 6= m. Mengacu pada hal-hal, σ(g0) /∈ m, σ(b) /∈ m, dan D/m adalah lapangan, maka dapat dipilih σ(c) ∈ D\m sehingga σ(g0) = σ(c)σ(b)+l untuk suatu l ∈ m. Akibatnya,
σ(g0)x = σ(c)σ(b)x + lx = xcb + lx ∈ xRm + mxR ⊆ M2.
Selanjutnya, menggunakan kesamaan m = m2+ p dari Lema IV.12, jelas bahwa a ∈ M2 + P . Hal ini melengkapi pembuktian bahwa f (x) ∈ M2 + P yang berakibat M ⊆ M2 + P .
Teorema IV.14 (Wang, Amir, dan Marubayashi, 2010) Misalkan R = D[x; σ] dengan D adalah daerah Dedekind, σ adalah automorfisma, dan δ ada-lah σ−derivatif. Misalkan P adaada-lah suatu ideal prima minimal dari R dengan P = p[x; σ] dan p adalah σ-ideal prima dari D. Gelanggang faktor R/P adalah gelanggang Dedekind prima jika dan hanya jika p ∈ Spec(D).
Bukti. Jika p ∈ Spec(D), maka menurut Goodearl (1992) halaman 330, (R/P ) ∼= (D/p)[x; σ] dan (D/p)[x; σ] adalah daerah ideal utama berdasarkan Teorema II.23, sehingga R/P merupakan gelanggang Dedekind prima.
Jika p /∈ Spec(D), maka berdasarkan Lema II.21 terdapat ideal maksimal m di D dengan m ⊃ p dan p = m∩σ(m)∩. . .∩σn(m) untuk suatu bilangan asli n ≥ 1. Tetapkan M = m + xR, maka M adalah ideal maksimal di R dan M = M2+ P
berdasarkan Lema IV.13. Dengan demikian M/P adalah ideal idempoten. Hal ini bertentangan dengan karakteristik dari gelanggang Dedekind yang diberikan pada Teorema II.17. Jadi, R/P bukan gelanggang Dedekind.
Contoh penggunaan Teorema IV.14 untuk menentukan gelanggang Dedekind prima diberikan berikut.
Contoh 9 Misalkan D = Z + Z√−5. Automorfisma σ pada R didefinisikan sebagai σ(a + b√
−5) = a − b√−5, untuk setiap a + b√−5 ∈ D. Gelanggang D[x; σ] merupakan suatu gelanggang polinom miring. Dengan mudah dilihat bahwa In = ∪n
i=1a + b√−5 | a, b ∈ (i − 1) + nZ , dengan n =2,3, merupakan σ-ideal. Maka menurut Teorema IV.14 R/In adalah gelanggang Dedekind prima. Teorema IV.15 (Amir dkk., 2011(a))
Misalkan R = D[x, σ, δ] adalah suatu gelanggang polinom miring lengkap atas daerah Dedekind D. Misalkan juga P adalah ideal prima minimal dari R dan P ∩ D = p 6= 0. Jika p ∈ Spec(D), maka R/P adalah gelanggang Dedekind prima.
Bukti. Karena P adalah ideal prima minimal di R = D[x, σ, δ], maka oleh Teo-rema III.15, P = p[x; σ, δ]. Misalkan p ∈ Spec(D), maka R/P∼= D/p[x; δ]. Keisomorfikan ini dipaparkan oleh Goodearl (1992) halaman 330. Lebih lanjut, Karena D/p adalah lapangan, maka D/p[x; δ] adalah daerah ideal utama ber-dasarkan Theorem II.23. Jadi, D/p[x; δ] adalah gelanggang Dedekind prima, oleh karena itu R/P adalah gelanggang Dedekind prima.
Misalkan P adalah ideal prima dari gelanggang polinom miring. Untuk gelang-gang polinom miring tidak lengkap, R = D[x; σ] atau R = D[x; δ] gelanggelang-gang faktor R/P yang terbentuk merupakan gelanggang Dedekind prima. Dalam ge-langgang polinom miring lengkap R = D[x; σ, δ] akan ditunjukkan bahwa, un-tuk ideal prima P tertentu gelanggang faktor yang terbeun-tuk merupakan daerah
Dedekind.
Dalam gelanggang polinom miring tidak lengkap, gelanggang faktor Dedekind prima dapat dibentuk menggunakan ideal prima yang tidak memuat polinom konstan. Hasil tersebut dikembangkan dalam gelanggang polinom miring lengkap. Teorema IV.16 Misalkan P adalah suatu ideal prima minimal dari R = D[x; σ, δ] dengan P = p[x; σ, δ], dan p adalah suatu (σ, δ)-ideal prima dari D. Maka R/P adalah daerah Dedekind jika dan hanya jika p ∈ Spec(D).
Bukti. (⇐=)
Misalkan p ∈ Spec(D), maka R/P∼= D/p[x; σ, δ]. Selanjutnya, karena D/p lapangan, maka D/p[x; σ, δ] adalah daerah ideal utama berdasarkan Teorema II.23, sehingga D/p[x; σ, δ] adalah daerah Dedekind. Jadi R/P adalah daerah Dedekind.
(=⇒)
Misalkan R/P adalah daerah Dedekind, maka jelas bahwa D/p ⊆ R/P meru-pakan daerah (integral). Oleh karena itu, p ∈ Spec(D).
Untuk gelanggang prima Dedekind, Teorema IV.16 baru berlaku satu arah. Hal ini disebabkan karena gelanggang prima Dedekind lebih lemah dari daerah Dedekind.
Sampai saat ini, gelanggang faktor R/P yang diinvestigasi adalah gelanggang faktor yang dibentuk oleh ideal prima P dengan P ∩ D 6= 0. Untuk ideal prima P dengan P ∩ D = 0, karakteristik gelanggang faktor R/P masih merupakan masalah terbuka. Namun demikian, disertasi ini sudah menunjukkan cara men-cari ideal prima P dengan P ∩ D = 0 melalui pusat gelanggang seperti yang dipaparkan pada bagian awal bab ini.
Bab V Penutup
Pada disertasi ini telah dilakukan pengkajian struktur Gelanggang Polinom Mir-ing. Kajian ini meliputi pusat gelanggang, ideal-ideal prim, dan gelanggang faktor dari gelanggang polinom miring, serta pengkajian gelanggang polinom miring sebagi maksimal order. Mencermati aturan perkalian pada gelanggang polinom miring yang tidak berisfat komutatif, maka jelas terlihat bahwa struk-tur gelanggang tumpuan yang digunakan (daerah Dedekind komutatif) tidak diawetkan pada gelanggang polinom miring.
Pada area pertama, dapat ditunjukkan bahwa gelanggang polinom miring de-ngan gelanggang tumpuan adalah daerah Dedekind komutatif merupakan suatu maksimal order. Hasil tentang maksimal order ini, selanjutnya digunakan un-tuk menenun-tukan karakteristik dari ideal prim minimal.
Pada area kedua, diuraikan karakteristik ideal-ideal prim minimal dari gelang-gang polinom miring. Disini juga ditemukan adanya keterkaitan antara ideal-ideal prim dari gelanggang tumpuan dengan ideal-ideal-ideal-ideal prim gelanggang poli-nom miring.
Pada area ketiga, telah dihasilkan bentuk-bentuk pusat dari berbagai jenis ge-langgang polinom miring. Disini juga ditemukan adanya keterkaitan antara ideal dari pusat gelanggang tumpuan dengan ideal dari pusat gelanggang poli-nom.
Pada area keempat, diteliti mengenai gelanggang faktor dari gelanggang poli-nom miring. Disini ditemukan bahwa gelanggang faktor dapat merupakan gelanggang Dedekind meskipun gelanggang polinom miringnya sendiri bukan
merupakan gelanggang Dedekind.
Hasil yang diperoleh dalam disertasi ini beserta proses penelitiannya telah mem-buka cakrawala baru untuk penelitian di gelanggang polinom miring yang lebih bervariasi. Dalam disertasi ini gelanggang polinom miring yang diteliti adalah gelanggang polinom miring dengan kondisi:
• Gelanggang tumpuan merupakan gelanggang komutatif • Gelanggang tumpuan merupakan daerah Dedekind.
• endomorfisma gelanggang yang digunakan merupakan suatu automorfisma. Dari uraian di atas, dapat dilihat bahwa hal-hal yang dapat dikembangkan un-tuk keberlanjutan penelitian ini, antara lain:
Masalah 1. Mengkaji struktur gelanggang polinom miring yang gelanggang tumpuannya tidak bersifat komutatif.
Masalah 2. Mencari karakterisasi ideal prim minimal dari gelanggang poli-nom miring yang gelanggang tumpuannya bukan daerah Dedekind, misalnya Hereditary Noether Prim (HNP).
Masalah 3. Mengkaji struktur gelanggang polinom miring yang endomorfisma pembangunnya tidak bersifat automorfisma.
Masalah 4. Mencari syarat perlu dan cukup agar gelanggang faktor polinom miring merupakan gelanggang Dedekind prim.
Masalah 5. Mencari pusat dari gelanggang polinom miring R = D[x; σ, δ]. Masalah 6. Apakah gelanggang polinom miring R = D[x; σ, δ] merupakan order maksimal jika gelanggang D merupakan order maksimal.
DAFTAR PUSTAKA
Amir, A.K., Astuti, P., Muchtadi-Alamsyah, I., dan Irawati (2011(a)) : On Maximal Orders and Factor Rings of Ore Extension over a Commutative Dedekind Domain, Far East Journal of Mathematical Sciences, 55(1), 21-30.
Amir, A.K., Marubayashi, H., Astuti, P., dan Muchtadi-Alamsyah, I. (2011(b)) : Corrigendum to Minimal Prime Ideals of Ore Extension over Commuta-tive Dedekind Domain and Application, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications, 21(1), 44-48.
Amir, A.K., Astuti, P., dan Muchtadi-Alamsyah, I. (2010) : Minimal Prime Ide-als of Ore over Commutative Dedekind Domain, JP Journal of Algebra, Number Theory and Applications, 16 (2), 101-107.
Atiyah, M.F. dan McDonald, I.G. (1994) : Introduction to Commutative Al-gebra, Westview Press.
Bell, A.D. (1985) : When are all prime ideals in an Ore extension Goldie?, Comm. Algebra 13 (8), 1743-1762.
Bhat, V.K. (2010) : A Note on Completely Prime ideals of Ore Extension, In-ternational Journal of Algebra and Computation, 20 (3), 457-463.
Bhat, V.K. (2009) : Transparent Ring and Their Extensions, New York Journal of Mathematics, 15, 291-299.
Boucher, D. dan Ulmer, F. (2009) : Coding with Skew Polynomial Rings, Jour-nal of Symbolic Computattion, 44(12), 1644-1656.
Chamarie, M. (1981) : Anneaux de Krull Non Commutatifs, Journal of Algebra, 72, 210-222.
Chin, W. (1987) : Prime ideals in differential operator rings and crossed prod-uct of infinite groups, J. Algebra, 106, 78-104.
Chuang, C.L. dan Lee, T.K. (2007) : Ore Extensions which are GPI-rings, Manuscripta Mathematica, 124(1), 45-58.
Cohn, P. (2006) : Free Ideal Rings and Localization in General Rings, Cam-bridge University Press.
Cortes, W. dan Ferrero, M. (2004) : Pricipal ideals in Ore Extensions, Math.J. Okayama Univ., 46, 77-84.
Cortes, W., Ferrero, M., dan Marubayashi, H. (2008) : Partial Skew Polynomial Rings and Goldie Rings, Communication in Algebra, 38(11), 4284-4295. Ferrero, M., dan Matczuk, J. (1990) : Prieme ideals in skew polinomial rings of
derivation type, Comm. Algebra, 18 (3), 689-710.
Goodearl, K.R. (1992) : Prime ideals in skew polinomial ring and quantized Weyl algebras, Journal of Algebra, 150, 324-377.
Goodearl, K.R. dan Warfield, R.B. (1989) : An Introduction to Noncommuta-tive Noetherian rings, London Mathematical Society Student Text, 16. Helmi, R.M. (2009) : Faktor Prim Gelanggang Suku Banyak, Tesis Magister
ITB Bandung.
Hillman, J.A. (1984) : Polynomial Determining Dedekind Domains, Bull. Aus-tralia. Math. Soc., 29, 167-175.
Hong, C.Y., Kim, N.K., and Lee, Y. (2010) : Skew Polynomial Rings over Semiprime Rings, J. Korean Math. Soc., 47 (5), 879-897.
Irawati, R. (2009) : Gelanggang Herediter, Tesis Institute Teknologi Bandung. Irving, R.S. (1979) : Prime ideals of Ore extension over commutative rings,
Journal of Algebra, 56, 315-342.
Irving, R.S. (1979) : Prime ideals of Ore extension over commutative rings II, Journal of Algebra, 5 (8), 399-423.
Jategaonkar, A.V. (1986) : Localization in Noetherian Rings, Cambridge Uni-versity Press.
Jategaonkar, A.V. (1971) : Skew Polynomial Rings over Semisimple Rings, Journal of Algebra. 19 (8), 315-328.
Leroy, A. dan Matczuk, J. (2006) : Ore Extension Satisfying a polynomial Iden-tity, J. Algebr. Appl., 5 (3), 287-306.
Leroy, A. dan Matczuk, J. (1992) : The extended centeroid and X-inner auto-morphism of Ore extensions, Journal of Algebra, 145, 143-177.
Communi-cation in Algebra, 19, 1893-1907.
Marubayashi, H. (2009) : Komunikasi Personal.
Marubayashi, H., Miyamoto, H., dan Ueda, A. (1997) : Non-Commutative Val-uation Rings and Semi-Hereditary Orders, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht Netherland.
McConnell, J.C. and Robson, J.C. (1987) : Noncommutative Noetherian Rings, Wiley-Interscience, New York.
Milne, J.S. (2008) : Algebraic Number Theory, version 3, www.jmilne.org/math Moussavi, A. dan Hashemi, E. (2007) : On The Semiprimitivity of Skew
Poly-nomial Rings, Mediterranean Journal of Mathematics, 4(3), 375-381. Nasr-Isfahani, A.R. and Moussavi, A. (2010) : On Goldie Prime ideals of Ore
Extensions, Commmunication in Algebra, 38, 1 - 10.
Osserman, B. (2008) : Algebraic Number Theory, Lecture Notes, Dept. of Mathematics, University California.
Passman, D.S. (1987) : Prime ideals in enveloping rings, Trans. Amer. Math. Soc., 302(2), 535-560.
Spindler, K. (1994) : Abstract Algebra With Applications, Volume II, Marcel Dekker, Inc. New York.
Wang, Y., Amir, A.K., dan Marubayashi, H. ( ) : Prime factor rings of skew polynomial rings over a commutative Dedekind domain, Rocky Mountain Journal of Mathematics, to appear.
Xie, G., Marubayashi, H., Kobayashi, S., dan Komatsu, H. (2004) : Non-commutative Valuation Rings of K(x; σ, δ) over a Division Ring K, Jour-nal of The Mathematical Society of Japan, 56(3), 737 - 752.
RIWAYAT HIDUP PENULIS
Penulis dilahirkan pada tanggal 3 Agustus 1968 di Pangkep dari pasangan Ab-dul Wahab Amir dan Nurjannah. Ia lulus dari SMA Negeri 1 Pangkajene pada tahun 1986. Ia memperoleh gelar Sarjana pada tahun 1990 di Departemen Ma-tematika Universitas Hasanuddin dan memperoleh gelar Magister pada tahun 1998 di Universitas Kaiserslautern Jerman. Sejak tahun 1992 ia menjadi staf pengajar di Departemen Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin. Penulis menikah dengan Hamsiah Halim pada tahun 2000 dan dikaruniai dua orang putri bernama Nabilah Pratiwi Amir dan Indhira Fadilah Maghfirah Ramad-hani Amir. Selama mengikuti Program Doktor, penulis menghasilkan publikasi ilmiah dan mengikuti beberapa kegiatan sebagai berikut.
Hasil karya penelitian yang dipublikasikan di jurnal
Amir, A.K., Astuti, P., Muchtadi-Alamsyah, I., dan Irawati (2011) : On Maxi-mal Orders and Factor Rings of Ore Extension over a Commutative Dede-kind Domain, Far East Journal of Mathematical Sciences, 55(1), 21-30. Amir, A.K., Marubayshi, H., Astuti, P., and Muchtadi-Alamsyah, I. (2011) : Corrigendum to Minimal Prime Ideals of Ore Extensin over a Commuta-tive Dedekind Domain and Application, JP Journal of Algebra, Number Theory and Application, 21(1), 44-48.
Amir, A.K., Astuti, P., and Muchtadi-Alamsyah, I. (2010) : Minimal Prime Ideals of Ore over a commutative Dedekind domain, JP Journal of Al-gebra, Number Theory and Application, 16(2), 101-107.
Wang, Y., Amir, A.K., and Marubayashi, H. (2010): Prime factor rings of skew polynomial rings over a commutative Dedekind domain, Rocky Mountain Journal of Mathematics, (accepted).
Amir, A.K., Astuti, P., dan Muchtadi-Alamsyah, I. (2009) : Pusat Gelanggang Polinom Miring Lengkap atas Daearah Dedekind, Jurnal Natur Indone-sia, Lembaga Penelitian Universitas Riau, (submitted).
Hasil karya penelitian yang dipresentasikan di konferensi/seminar Amir, A.K., Astuti, P., dan Muchtadi-Alamsyah, I. (2009) : Contoh Ideal Prim
P dari Gelanggang Polinom Miring yang Membentuk Gelanggang Faktor R/P Menjadi Gelanggang HNP, Prosiding: Seminar Nasional Aljabar,
Universitas Negeri Yogyakarta, Yogyakarta.
Amir, A.K., Astuti, P., and Muchtadi-Alamsyah, I. (2008) : Around Prime and Maximal Ideals of Skew Polynomial Rings over Dedekind domain, Pro-siding: 3rd International Conference on Mathematics and Statisics, IPB Bogor.
Amir, A.K., Astuti, P., dan Muchtadi-Alamsyah, I. (2008): Sekitar Ideal Mak-simal dari Pusat Gelanggang Polinom Miring atas Daerah Dedekind, Pro-siding: Konferensi Nasional Matamatika XIV, UNSRI Palembang.
Presentasi
1. Menyajikan makalah pada Seminar Nasional Matematika Himpunan Pem-inat Aljabar, 30 April 2011, Universitas Pajajaran Bandung.
2. Menyajikan makalah pada Seminar Nasional Matematika Himpunan Pem-inat Aljabar, 27 Maret 2010, UIN Syarif Hidayatullah Jakarta.
3. Menyajikan makalah pada Seminar Nasional Matematika 2010, 6 Pebruari 2010, Universitas Indonesia Jakarta.
4. Menyajikan makalah pada International Conference in Mathematics and Applications, ICMA-MU 2009, 17-19 Desember 2009, Bangkok Thailand. 5. Menyajikan makalah pada The Research Workshop on Algebra and Discussion on Undergraduate and Graduate Algebra Courses Contents, 8 -9 Agustus 200-9, Department of Mathematics Gadjah Mada University, Indonesia.
6. Menyajikan makalah pada Seminar Nasional Aljabar, Pembelajaran Al-jabar dan Penerapannya, 31 Januari 2009. Universitas Negeri Yogyakarta. 7. Menyajikan makalah pada 3rd International Conference On Mathematics
and Statistics, 5-6 Agustus 2008, IPB, Bogor.
8. Menyajikan makalah pada Konferensi Nasional Matematika XIV, 24-27 Juli 2008, UNSRI Palembang.
Kegiatan lain
1. Panitia Joint CIMPAICTPUNESCOMICINNINDONESIA Research -School, Geometric Representation Theory, 1 - 12 Agustus 2011, ITB Ban-dung.
3. Anggota Tim Juri Seleksi Nasional Olimpiade Matematika dan Ilmu Penge-tahuan Alam Bagi Perguruan Tinggi (ON MIPA-PT) tahun 2010-2011. 4. Panitia CIMPA-UNESCO-INDONESIA SCHOOL, Extremal Problem and
Hamiltonicity in Graphs, 2 - 13 Pebruari 2009, ITB Bandung.
5. Kunjungan Penelitian di Tokushima Bunri University, Oktober - Desem-ber 2008. Kagawa, Japan.
6. Peserta pada International Conference on Computational Science, 3-4 De-sember 2007, ITB Bandung, Indonesia.
7. Peserta pada International Conference on Bio Mathematics, 27 - 29 Maret ITB Bandung, Indonesia.
Index
R-ideal, 14 R-ideal fraksional, 14 Z(R), 56 Max0(R), 42 Spec(R), 42 Spec0(R), 42 v-ideal, 15 anihilator, 19 daerah Dedekind, 20, 24 daerah integral, 9dimensi seragam terhingga, 18 endomorfisma, 26
gelanggang Asano prima, 20 gelanggang Dedekind prima, 25 gelanggang Goldie, 19
gelanggang herediter, 23 gelanggang Noether, 18
Gelanggang polinom miring, 26 gelanggang prim, 21 himpunan multiplikatif, 10 ideal terbalikan, 15 inner, 27 order, 10 order maksimal, 13 pusat gelanggang, 56 refleksif, 15 submodul esensial, 17 tertutup secara integral, 23 unsur reguler, 10