Gelanggang polinom miring adalah gelanggang yang terdiri dari polinom-polinom atas suatu gelanggang R dalam peubah x dengan perkalian antara polinom-polinom tidak komutatif. Gelanggang R yang digunakan ini biasanya disebut gelanggang tumpuan dari gelanggang polinom miring. Setiap polinom dapat diekspresikan dalam bentuk tunggal sebagai Pn
i=1aixi dengan ai ∈ R. Jika ketidakkomutatifan perkalian dan ketunggalan bentuk ekspresi diaplikasikan ke polinom xa, maka polinom xa akan merupakan polinom berderajat satu dalam bentuk σ(a)x + δ(a). Untuk mendapatkan bentuk perkalian yang terdefinisi dengan baik, σ dan δ haruslah merupakan endomorfisma terhadap grup pen-jumlahan R. Lebih lanjut,
x(ab) = σ(ab)x + δ(ab) dan (xa)b = σ(a)σ(b)x + σ(a)δ(b) + δ(a)b.
Dengan demikian, σ(ab) = σ(a)σ(b) atau σ adalah endomorfisma gelanggang di R dan δ memenuhi δ(ab) = σ(a)δ(b) + δ(a)b yang merupakan definisi dari σ-derivatif.
Gelanggang tumpuan yang digunakan dalam penelitian ini adalah daerah Dede-kind yang dilambangkan dengan D. Oleh karena itu, dalam pembahasan ge-langgang polinom miring selanjutnya digunakan simbol D untuk gege-langgang tumpuan.
Definisi II.21 Misalkan (D, +, .) adalah suatu gelanggang dan σ adalah suatu endomorfisma gelanggang dari gelanggang (D, +, .). Suatu pemetaan δ dari gelanggang (D, +, .) ke (D, +, .) adalah suatu σ-derivatif jika:
(i). δ adalah suatu endomorfisma grup pada grup penjumlahan (D, +). (ii). δ(ab) = σ(a) δ(b) + δ(a)b untuk setiap a, b ∈ D.
Lebih lanjut, δ disebut inner σ-derivatif, jika terdapat a ∈ D sehingga δ = δa dengan δa adalah σ-derivatif yang memenuhi δa(b) = ab − σ(b)a untuk semua b ∈ D.
Sifat inner dari δ akan sangat berpengaruh pada struktur gelanggang polinom miring. Berikut diberikan syarat cukup agar δ bersifat inner.
Teorema II.18 (Xie dkk., 2004) Misalkan δ adalah suatu σ-derivatif dari gelanggang D seperti yang didefinisikan Definisi II.21. Pemetaan δ memenuhi sifat inner jika D adalah lapangan
Menggunakan pengertian σ dan δ yang diberikan di atas didefinisikan gelang-gang polinom miring.
Definisi II.22 (McConnel dan Robson, 1987) Misalkan D adalah suatu ge-langgang dengan identitas 1, σ adalah suatu endomorfisma dari D, dan δ adalah suatu σ-derivatif.
Gelanggang polinom miring atas D dengan variabel x adalah gelanggang:
D[x; σ, δ] = { f (x) = anxn + · · · + a0 | ai ∈ D }
dengan xa = σ(a)x + δ(a), ∀a ∈ D.
Suatu unsur p(x) dari gelanggang polinom miring D[x; σ, δ] mempunyai bentuk kanonik p(x) = r X i=0 aixi, untuk suatu r ∈ Z+ = {0, 1, · · · }, ai ∈ D, i = 1, · · · , r.
Untuk δ = 0 gelanggang polinom miring D[x; σ, δ] cukup ditulis D[x; σ]. Jika σ merupakan suatu automorfisma dan δ = 0, gelanggang seperti ini disebut ge-langgang polinom miring tipe automorfisma. Sedangkan untuk σ = 1 (σ adalah pemetaan identitas) gelanggang polinom miring cukup ditulis D[x; δ] dan biasa
disebut gelanggang polinom miring tipe derivatif. Untuk, σ = 1 dan δ = 0, gelanggang ini merupakan gelanggang polinom biasa.
Untuk mempermudah memahami pengertian gelanggang polinom yang diberikan pada definisi di atas, berikut disajikan contoh.
Contoh 4 Misalkan D = Z + Z√−5. Automorfisma σ pada R didefinisikan sebagai σ(a + b√
−5) = a − b√−5, untuk setiap a + b√−5 ∈ D. Pemetaan δ didefinisikan sebagai δ(a + b√
−5) = b, untuk setiap a + b√−5 ∈ D. Pemetaan δ yang didefinisikan seperti ini memenuhi syarat σ-derivatif. Dengan demikian, D[x; σ, δ] merupakan suatu gelanggang polinom miring.
Sifat ketidakkomutatifan gelanggang polinom miring ditunjukkan oleh hasil perkalian antara polinom-polinom f (x) = (4 − 2√
−5)x dengan g(x) = (3 + 5√ −5)x berikut ini. f (x)g(x) = (4 − 2√−5)x (3 + 5√−5)x = (4 − 2√ −5)x(3 + 5√−5) x = (4 − 2√ −5)σ(3 + 5√−5)x + δ(3 + 5√−5) x = (4 − 2√ −5)(3 − 5√−5)x2 + (4 − 2√ −5)5x = (−38 − 26√ −5)x2 + (20 − 10√ −5)x g(x)f (x) = (3 + 5√−5)x (4 − 2√−5)x = (3 + 5√ −5)x(4 − 2√−5) x = (3 + 5√ −5)σ(4 − 2√−5)x + δ(4 − 2√−5) x = (3 + 5√ −5)(4 + 2√−5)x2 + (3 + 5√ −5)(−2)x = (−38 + 26√ −5)x2+ (−6 − 10√ −5)x
Untuk menganalisis hubungan antara ideal-ideal di D dan ideal-ideal prima di gelanggang polinom miring R = D[x; σ, δ], diperkenalkan konsep-konsep
σ-ideal, δ-σ-ideal, (σ, δ)-σ-ideal, σ-ideal prima, δ-ideal prima, dan (σ, δ)-ideal prima di D.
Definisi II.23 (Goodearl, 1992) Misalkan Σ adalah suatu himpunan peme-taan-pemetaan dari gelanggang D ke dirinya sendiri. Suatu ideal I dari D dikatakan Σ-ideal jika ϕ(I) ⊆ I untuk setiap pemetaan ϕ ∈ Σ. Suatu Σ-ideal sejati I sehingga ketika J, K adalah Σ-ideal yang memenuhi J K ⊆ I, maka J ⊆ I atau K ⊆ I disebut Σ-ideal prima.
Dalam konteks gelanggang D bersama pasangan endomorfisma dan derivatif (σ, δ), definisi di atas digunakan untuk kasus-kasus Σ = {σ}, Σ = {δ} atau Σ = {σ, δ}. Selanjutnya, penulisan bentuk Σ disederhanakan menjadi σ, δ, atau (σ, δ).
Dari definisi di atas dapat disimpulkan bahwa, jika I adalah suatu ideal prima dan σ−ideal, maka I akan merupakan suatu σ-ideal prima.
Contoh 5 Untuk gelanggang polinom miring yang disajikan Contoh 4, akan ditunjukkan bahwa:
1. In = ∪n
i=1a + b√−5 | a, b ∈ (i − 1) + nZ , dengan n =2,3, merupakan σ-ideal tetapi bukan δ-σ-ideal.
2. J =a + b√−5|a ∈ 5Z, b ∈ Z , merupakan σ-ideal tetapi bukan δ-ideal. 3. Kn = a + b√−5|a, b ∈ nZ , dengan n adalah bilangan prima lebih
besar atau sama dengan tujuh, merupakan (σ, δ)-ideal prima. Bukti.
1. Dengan memperhatikan kembali definisi dari σ dan δ pada Contoh 4 dapat dilihat bahwa σ (In) ⊂ In dan δ (In) 6⊂ In. Hal ini terlihat dari, 1 + 3√ −5 ∈ I2 tetapi δ 1 + 3√ −5 = 3 /∈ I2 , dan 2 + 4√ −5 ∈ I3 tetapi δ 2 + 4√ −5 = 4 /∈ I3. Dengan demikian In= ∪n i=1a + b√−5 | a, b ∈ (i − 1) + nZ ,
dengan n =2,3, merupakan σ-ideal tetapi bukan δ-ideal. 2. Karena 5 + 2√
−5 ∈ J tetapi δ 5 + 2√−5
= 2 /∈ J, maka J bukan merupakan δ-ideal.
3. Dengan mudah dapat dilihat bahwa σ (Kn) ⊆ Kn dan δ (Kn) ⊆ Kn. De-ngan demikian Knmerupakan (σ, δ)−ideal dan oleh karena itu merupakan (σ, δ)−prima karena Kn adalah ideal prima.
Beberapa teori dasar hasil peneliti terdahulu tentang polinom miring yang akan banyak digunakan dalam pembahasan selanjutnya, dipaparkan sebagai berikut.
Untuk σ = 1 beberapa hal tentang ideal prima sudah diperoleh.
Teorema II.19 (Goodearl dan Warfield, 1989) Misalkan R gelanggang Noether komutatif yang aljabar atas Q, δ pemetaan derivatif pada R, dan S = R[x; δ] gelanggang polinom miring tipe derivatif.
1. Jika P ideal prima di S, maka P ∩ R δ-ideal prima di R.
2. Jika T δ-ideal prima di R, maka T S ideal prima di S sedemikian sehingga T S ∩ R = T . Selanjutnya, jika P ideal prima di S sedemikian sehingga P ∩ R = T , maka P = T S atau δ(R) ⊆ T . Lebih jauh, Jika δ(R) ⊆ T maka S/T S dan S/P adalah gelanggang komutatif.
3. Semua gelanggang faktor prima dari S adalah daerah integral.
Keterkaitan antara ideal prima dengan σ-ideal prima diberikan pada lema-lema berikut.
Lema II.20 (Goodearl, 1992) Misalkan σ adalah automorfisma pada gelang-gang R dan I adalah σ-ideal di R. Jika R adalah gelanggelang-gang Noether, maka σ(I) = I.
Lema II.21 (Goodearl, 1992) Misalkan σ adalah automorfisma pada gelang-gang Noether R dan I adalah σ-ideal di R. Maka I adalah σ-ideal prima jika dan hanya jika terdapat ideal prima P yang memuat I dan bilangan bulat positif n sedemikian sehingga σn+1(P ) = P dan I = P ∩ σ(P ) ∩ . . . ∩ σn(P ).
McConnel dan Robson (1987) juga mengemukakan keterkaitan antara struktur gelanggang tumpuan dengan struktur gelanggang polinom miringnya. Beberapa hasil penemuan yang dimaksud disajikan dalam teorema berikut.
Teorema II.22 1. Jika σ injektif dan R adalah gelanggang dengan unsur identitas yang tidak memuat unsur pembagi nol, maka R[x; σ, δ] adalah gelanggang dengan unsur identitas yang tidak memuat unsur pembagi nol. 2. Jika σ injektif dan R adalah gelanggang pembagian, maka R[x; σ, δ] adalah
daerah ideal utama.
3. Jika σ automorfisma dan R adalah gelanggang prima, maka R[x; σ, δ] ada-lah gelanggang prima.
4. Jika σ automorfisma dan R adalah gelanggang Noether kanan (kiri), maka R[x; σ, δ] adalah gelanggang Noether kanan (kiri).
Pada kesempatan lain Cohn(2006) memberikan kondisi untuk gelanggang tum-puan agar gelanggang polinom miring merupakan daerah ideal utama.
Teorema II.23 (Cohn, 2006) Misalkan L adalah lapangan, σ automorfisma pada L, dan δ suatu σ-derivatif, maka gelanggang polinom miring L[x; σ, δ] adalah daerah ideal utama.
Keterkaitan antara ideal prima gelanggang polinom miring dengan irisan ideal prima tersebut dengan gelanggang tumpuannya, diberikan berikut.
Teorema II.24 (Goodearl, 1992) Misalkan R = D[x; σ, δ] dengan D adalah gelanggang Noether dan σ adalah automorfisma.
1. Jika P adalah ideal prima di R dan p = P ∩ D, maka paling sedikit satu dari dua kemungkinan berikut bernilai benar.
(a) p adalah suatu (σ, δ)-ideal prima di D.
(b) p adalah suatu ideal prima dari D dan σ(p) 6= p.
2. Jika p adalah sebarang ideal dari D yang memenuhi (a) atau (b) pada bagian (1) di atas, maka p = P ∩ D untuk suatu ideal prima P dari R. Lebih khusus lagi, dalam kasus (a), pR adalah ideal prima dari R. Sedangkan pada kasus (b), terdapat secara tunggal ideal prima P dari R sedemikian sehingga P ∩ D = p, dan R/P adalah daerah integral.
Dari uraian gelanggang polinom miring di atas, terlihat bahwa σ dan δ berpen-garuh pada struktur gelanggang tersebut. Namun demikian, untuk kondisi tertentu, δ tidak mempengaruhi struktur gelanggang polinom miring. Hal ini ditegaskan lema berikut.
Lema II.25 (Goodearl, 1992) Misalkan D gelanggang dan R = D[x; σ, δ]. Misalkan δ inner σ-derivatif pada D dengan δ = δa untuk suatu a ∈ D, maka pemetaan identitas pada D dapat dikembangkan menjadi isomorfisma dari D[y, σ] pada R dengan memetakan y ke (x − a).
Bab III Ideal Prima Gelanggang Polinom
Miring
Struktur gelanggang dapat dikaji dari bentuk ideal-ideal dan gelanggang fak-tornya. Dalam gelanggang polinom miring, ideal prima menjadi bahan peneli-tian yang sangat menarik sampai saat ini. Hal ini ditunjukkan oleh beberapa hasil kajian terbaru yang diterbitkan sejumlah peneliti. Misalnya Bhat (2008) meneliti keterkaitan antara ideal prima asosiasi, yaitu ideal prima yang meru-pakan anihilator dari salah satu unsur taknol di gelanggang yang bersangkutan, di gelanggang polinom miring dan hubungannya dengan ideal prima asosiasi di gelanggang tumpuannya. Lebih lanjut, Bhat (2010) meneliti keterkaitan antara ideal prima lengkap gelanggang polinom miring dengan ideal prima lengkap gelanggang tumpuannya. Selain itu, Nasr-Isfahani dan Moussavi (2010) mem-berikan syarat perlu dan cukup ideal-ideal prima dari gelanggang polinom mir-ing untuk menjadi ideal Goldie.
Pada bab ini, pembahasan utama adalah ideal prima di gelanggang polinom miring. Ada dua alasan yang menjadikan ideal prima sebagai kajian utama. Alasan pertama adalah ideal prima menjadi karakteristik utama suatu gelang-gang prima. Misalnya pada daerah Dedekind, gelanggelang-gang tumpuan yang digu-nakan dalam disertasi ini, mempunyai karakteristik bahwa ideal prima selalu merupakan ideal maksimal dan setiap ideal merupakan perkalian dari ideal-ideal prima. Alasan kedua adalah ideal-ideal prima yang diperoleh akan digunakan membentuk gelanggang faktor pada Bab IV.
Ada beberapa cara atau metode yang dapat digunakan dalam mengkaji karak-teristik ideal prima dari gelanggang polinom miring. Metode yang digunakan disini adalah metode yang memanfaatkan sifat dari gelanggang polinom
mir-ing, khususnya sifat order maksimal. Oleh karena itu, pembuktian bahwa ge-langgang polinom miring dengan gege-langgang tumpuan daerah Dedekind adalah suatu order maksimal ditempatkan di awal, sebelum pembahasan ideal prima.
III.1 Gelanggang Polinom Miring adalah Order
Maksi-mal
Pengantar teori order yang diberikan pada Bab II memaparkan bahwa order didefinisikan pada gelanggang hasil bagi. Sementara itu, tidak semua gelang-gang mempunyai gelanggelang-gang hasil bagi. Namun demikian, untuk gelanggelang-gang polinom miring dengan gelanggang tumpuan daerah Dedekind, McConnel dan Robson (1987) menuangkan serangkaian teori yang, apabila dirangkai menjadi satu, cukup untuk menjamin keberadaan gelanggang hasil bagi dari gelanggang polinom miring tersebut. Teori yang dimaksud dipaparkan pada Lema II.1.
Pada subbab ini dibuktikan bahwa gelanggang polinom ini merupakan order maksimal. Chamarie (1981) telah membuktikan bahwa gelanggang polinom miring merupakan order maksimal. Namun demikian, penelaahan lebih lanjut mendapati bahwa gelanggang polinom miring yang diteliti tidak menggunakan δ (δ ditetapkan sama dengan nol). Dalam subbab ini akan dibuktikan bahwa gelanggang polinom miring adalah order maksimal untuk δ sebarang. Hal ini berarti, disertasi ini melakukan langkah untuk memperluas hasil yang telah diperoleh Chamarie (1981) dalam hal order maksimal. Untuk lebih jelasnya, hasil Chamarie disajikan berikut.
Teorema III.1 Misalkan D order maksimal dan σ adalah automorfisma pada D, maka R = D[x; σ] merupakan order maksimal.
Sistematika pembuktian gelanggang polinom miring sebagai order maksimal disusun dalam beberapa tahap yang ditulis dalam bentuk lema dan teorema
de-ngan menggunakan beberapa notasi. Mulai dari sini, D adalah daerah Dedekind dengan lapangan hasil bagi K. Gelanggang R = D[x; σ, δ] merupakan gelang-gang polinom miring dengan σ automorfisma pada D dan δ suatu σ−derivatif pada D. Berdasarkan Teorema II.22 dan Lema II.1, gelanggang R mempunyai gelanggang hasil bagi, dalam hal ini dinotasikan dengan Q. Jadi R adalah order dari Q yang berarti untuk setiap q ∈ Q, q = a(x)b(x)−1 atau q = c(x)−1d(x) untuk suatu a(x), b(x), c(x), d(x) ∈ R.
Lema III.2 (Amir dkk., 2011(a)) Misalkan a(x), b(x) ∈ R yang meme-nuhi a(x)b(x)−1 ∈ Q dan I adalah ideal dari R. Maka
Ia(x)b(x)−1 ⊆ I jika dan hanya jika Ia(x) ⊆ Ib(x).
Bukti. (⇒)
Misalkan c(x)a(x) ∈ Ia(x) dengan c(x) ∈ I. Maka
c(x)a(x)b(x)−1 ∈ Ia(x)b(x)−1 ⊆ I.
c(x)a(x) = [c(x)a(x)b(x)−1]b(x) ∈ Ib(x).
(⇐)
Misalkan c(x)a(x)b(x)−1 ∈ Ia(x)b(x)−1 dengan c(x) ∈ I. Maka c(x)a(x) ∈ Ia(x) ⊆ Ib(x). Dengan demikian c(x)a(x) = k(x)b(x) untuk suatu k(x) ∈ I. Jadi
c(x)a(x)b(x)−1 = k(x) ∈ I.
Lema III.3 (Amir dkk., 2011(a)) Misalkan a(x), b(x) ∈ R dan I adalah ideal di R. Jika Ia(x) ⊆ Ib(x), maka der(a(x)) ≥ der(b(x)).
Bukti. Misalkan n = min { der(f (x)) | f (x) ∈ I, f (x) 6= 0}, maka
n + der(a(x)) = min{der(f (x)) | f (x) ∈ Ia(x)}, dan n + der(b(x)) = min{der(f (x)) | f (x) ∈ Ib(x)}.
Dengan demikian, karena Ia(x) ⊆ Ib(x), maka n + der(a(x)) ≥ n + der(b(x)). Jadi diperoleh der(a(x)) ≥ der(b(x)).
Lema III.4 (Amir dkk., 2011(a)) Misalkan I adalah ideal dari R dan T = {d ∈ D | d adalah koefisien pemuka suatu f (x) ∈ I dengan f (x) 6= 0} ∪ {0}, maka T σ-ideal dari D dengan σ(T ) = T.
Bukti. Misalkan v, w ∈ T , berarti terdapat polinom-polinom vxt1 + · · · dan wxt2 + · · · dalam I. Selanjuntnya misalkan t = maks{t1, t2}. Jika t = t1, maka dapat dipilih m2 sehingga t = t2+m2dan wxt+· · · = (wxt2+· · · )xm2 ∈ I karena I adalah ideal. Jika t = t2, maka dapat dipilih m1 sehingga t = t1 + m1 dan vxt+· · · = (vxt1+· · · )xm1 ∈ I karena I adalah ideal. Hal ini berarti vxt+· · · dan wxt+ · · · dalam I dengan t = maks{t1, t2}. Sehingga (v + w)xt+ · · · ∈ I. Jadi v + w ∈ T . Pada sisi lain, untuk setiap h ∈ D, (hv)xt1+ · · · = h(vxt1+ · · · ) ∈ I. Jadi hv ∈ T . Selanjutnya, jika vxt1 + · · · dalam I, maka σ(v)xt1+1 + · · · = x[vxt1+ · · · ] dalam I. Jadi σ(v) ∈ T . Dengan demikian disimpulkan σ(T ) ⊆ T . Karena σ merupakan suatu automorfisma, maka dari relasi terakhir ini dapat dibuat barisan rantai naik
T ⊆ σ−1(T ) ⊆ σ−2(T ) ⊆ σ−3(T ) ⊆ · · · .
Karena barisan ini merupakan barisan rantai naik dari ideal-ideal di daerah Dedekind D, maka barisan ini stabil. Artinya, terdapat bilangan asli n sedemi-kian sehingga σ−n(T ) = σ−(n+1)(T ). Dari persamaan terakhir ini diperoleh σ(T ) = T .
Himpunan T yang didefinisikan pada lema di atas adalah suatu ideal dalam daerah Dedekind D. Oleh karena itu, berdasarkan Lema II.15, ideal T dapat dibangun oleh dua unsur, misalkan s1 dan s2. Karena s1, s2 ∈ T maka terdapat dua polinom p1(x), p2(x) ∈ I dengan der(p1(x)) = der(p2(x)) = t sedemikian sehingga s1 dan s2 merupakan koefisien pemuka dari p1(x) dan p2(x), secara berurutan. Selanjutnya dibentuk himpunan S = {d ∈ D | d adalah koe-fisien pemuka dari suatu polinom yang berbentuk d1p1(x) + d2p2(x) dengan d1s1+ d2s2 6= 0 untuk suatu d1, d2 ∈ D}S{0}. Selanjutnya ditunjukkan bahwa T = S. Karena p1(x), p2(x) ∈ I dan anggota S adalah koefisien pemuka dari polinom berbentuk d1p1(x) + d2p2(x) ∈ I, maka jelas S ⊆ T . Pada sisi lain, T adalah ideal dalam daerah Dedekind D jadi T bisa dibangun oleh dua unsur dalam hal ini dimisalkan s1 dan s2 . Jadi, jika d ∈ T , maka d = d1s1 + d2s2 untuk suatu d1, d2 ∈ D. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa d ∈ S karena s1 dan s2 adalah koefisien awal dari polinom p1(x) dan p2(x).
Selanjutnya, S dan t yang dimaksud pada paragraf di atas digunakan untuk membuktikan lema berikut.
Lema III.5 (Amir dkk., 2011(a)) Misalkan I adalah ideal di R dan a(x), b(x) ∈ R dengan a(x) = amxm + · · · + a0 dan b(x) = blxl + · · · + b0. . Jika Ia(x) ⊆ Ib(x), maka am = cσm−l(bl) untuk suatu c ∈ D.
Bukti. Bilangan t dan himpunan S yang digunakan dalam pembuktian ini adalah bilangan t dan himpunan S yang didefinisikan sebelum lema ini. Adapun proses pembuktian dibagi dalam dua tahap. Pada tahap I akan di tunjukkan bahwa Sam ⊆ Sσm−l(bl). Sedangkan pada tahap II akan ditunjukkan bahwa am = cσm−l(bl) untuk suatu c ∈ D.
Bukti Tahap I.
Ambil v ∈ S, maka dapat dipilih w ∈ S sedemikian sehingga σ−t(w) = v. Pemilihan w dapat dilakukan karena σ adalah automorfisma dan σ(S) = S. Karena w ∈ S maka terdapat polinom wxt+ · · · ∈ I. Dengan menggunakan
hubungan, Ia(x) ⊆ Ib(x), diperoleh
[wxt+ · · · ]a(x) = wσt(am)xt+m+ · · · ∈ Ia(x) ⊆ Ib(x).
Sehingga,
wσt(am)xt+m+ · · · =qxt+m−l + · · ·b(x) = qσt+m−l(bl)xt+m+ · · · .
untuk suatu qxt+m−l + · · · ∈ I dengan q ∈ T = S. Dari persamaan terakhir diperoleh
wσt(am) = qσt+m−l(bl) σ−t(w)am = σ−t(q)σm−l(bl)
vam = σ−t(q)σm−l(bl).
Karena σ−t(q) ∈ S, hal ini berarti
Sam ⊆ Sσm−l(bl).
Bukti Tahap II.
Karena S adalah suatu ideal dalam daerah Dedekind D yang merupakan suatu order maksimal, maka diperoleh hal-hal berikut ini.
S am(σm−l(bl))−1 ⊆ S, am(σm−l(bl))−1 ∈ D.
Hal ini mengakibatkan, am = cσm−l(bl) untuk suatu c ∈ D.
Lema III.6 (Amir dkk., 2011(a)) Misalkan I adalah ideal di R dan a(x), b(x) ∈ R, maka
Bukti. Misalkan a(x) = amxm + · · · + a0 dan b(x) = blxl+ · · · + b0. Selanjut-nya proses pembuktian dilakukan dengan induksi pada m − l. Sebagai langkah pertama, dimisalkan m − l = 0.
Dari Lema III.5 diketahui, am = cσm−l(bl) untuk suatu c ∈ D. Koefisien terde-pan (pemuka) polinom a(x) dan (cx(m−l))b(x) sudah sama, sedangkan koefisien berikutnya belum tentu. Oleh karena itu, dipilih p(x) agar semua koefisien a(x) sama dengan semua koefisien (cx(m−l))b(x)+p(x). Hal ini bisa dilakukan karena koefisien-koefisien ini berada dalam daerah Dedekind. Lebih lengkapnya, da-pat diperoleh suatu p(x) yang memenuhi a(x) = cxm−lb(x) + p(x) dengan der(p(x)) < m = l. Sehingga
a(x)b(x)−1 =h cxm−lb(x) + p(x)ib(x)−1 = cxm−l+ p(x)b(x)−1. Karena Ia(x)b(x)−1 ⊆ I, maka Icxm−l+ p(x)b(x)−1 ⊆ I. Oleh karena itu, Ip(x)b(x)−1 ⊆ I. Selanjutnya, karena der(p(x)) < l, maka dengan menggunakan Lemma III.2 dan Lemma III.3, dapat disimpulkan bahwa p(x) = 0. Dengan demikian,
a(x)b(x)−1= cxm−l∈ R. Sekarang misalkan pernyataan,
Ia(x)b(x)−1 ⊆ I mengakibatkan a(x)b(x)−1 ∈ R,
bernilai benar untuk 0 ≤ m − l ≤ k. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa pernyataan tersebut bernilai benar untuk m − l = k + 1.
Dengan cara yang sama dengan kasus m−l = 0, diperoleh, a(x) = cxm−lb(x)+ p(x) dengan der(p(x)) < m. Sehingga
a(x)b(x)−1 =h cxm−lb(x) + p(x)ib(x)−1 = cxm−l+ p(x)b(x)−1. Karena Ia(x)b(x)−1 ⊆ I, maka Icxm−l+ p(x)b(x)−1 ⊆ I. Oleh karena itu, Ip(x)b(x)−1 ⊆ I. Karena der(p(x)) < m, maka der(p(x)) − l ≤ k. Sehingga,
dengan menggunakan hipotesis induksi, disimpulkan bahwa p(x)b(x)−1 ∈ R. Akhirnya diperoleh,
a(x)b(x)−1 = cxm−l+ p(x)b(x)−1 ∈ R.
Lema III.7 (Amir dkk., 2011(a)) Misalkan I adalah ideal dalam R dan a(x), b(x) ∈ R, maka
a(x)b(x)−1I ⊆ I mengakibatkan a(x)b(x)−1 ∈ R.
Bukti. Karena Q merupakan gelanggang hasil bagi dari gelanggang polinom miring R = D[x; σ, δ], dengan D adalah daerah Dedekind, maka menurut [Jate-gaonkar, 1986, hal 6], Q adalah lapangan hasil bagi dua sisi dari R. Oleh karena itu, untuk setiap q(x) ∈ Q dapat dituliskan dalam bentuk q(x) = b(x)−1a(x) untuk suatu a(x), b(x) ∈ R. Dengan demikian, untuk membuktikan lema ini, cukup dibuktikan hal berikut.
Jika b(x)−1a(x)I ⊆ I maka b(x)−1a(x) ∈ R.
Menggunakan teknik dan alur pembuktian yang sama dengan Lema III.6, kali-mat implikasi di atas dengan mudah dibuktikan.
Mencermati rangkaian lema di atas, dapat diperoleh teorema berikut. Teorema III.8 (Amir dkk., 2011(a))
Misalkan R = D[x; σ, δ] adalah gelanggang polinom miring dengan D adalah daerah Dedekind, maka R = D[x; σ, δ] merupakan order maksimal.
Bukti. Dengan mengunakan Lema III.6 dan Lema III.7, secara berturut-turut diperoleh Or(I) = R dan Ol(I) = R. Sehingga berdasarkan Teorema II.2,
R = D[x; σ, δ] merupakan order maksimal.
Teorema III.8 menunjukkan bahwa gelanggang polinom miring R = D[x; σ, δ] merupakan order maksimal. Kondisi ini akan digunakan dalam proses pembuk-tian karakteristik ideal prima minimal di gelanggang polinom miring tersebut pada subbab berikutnya.