1. Sistem Koordinat Siku-siku di R3
Untuk menyatakan letak sebuah titik di dalam ruang, tiga bilangan dibutuhkan. Setiap titik di dalam ruang dinyatakan dengan 3 bilangan real secara berturut-turut (x, y, z). Supaya suatu titik dapat ditampilkan dalam ruang, yang pertama ambil titik asal O dan tiga garis arah melalui O yang saling tegak lurus satu sama lain. Garis tersebut disebut sumbu koordinat yang dinyatakan sebagai sumbu X (axis), sumbu Y (ordinat), dan sumbu Z (aplikat).
Secara umum, sumbu X dan Y ditampilkan secara horizontal, dan sumbu Z secara vertikal seperti gambar berikut.
Ketiga sumbu koordinat menyatakan tiga koordinat bidang, Bidang XY untuk daerah sumbu X dan sumbu Y, bidang YZ untuk daerah sumbu Y dan sumbu Z, bidang XZ untuk daerah sumbu X dan sumbu Z.
Ketiga bidang koordinat tersebut membagi ruang menjadi delapan bagian yang disebut oktan dan diberi nomor menurut aturan berikut:
Oktan I berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z > 0 Oktan II berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z > 0 Oktan III berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z > 0 Oktan IV berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z > 0 Oktan V berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z < 0 Oktan VI berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z < 0
Gambar II.E.1: Sistem Koordinat Siku-siku di R3 O
X
Y Z
Oktan VII berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z < 0 Oktan VIII berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z < 0
(Suryadi, 1984) 2. Jarak Dua Titik dalam Ruang
Rumus jarak dua titik dalam ruang:
Jarak | | antara titik dan adalah
| | √ ( )
(Hambali, 1986) Bukti:
Untuk melihat apakah rumus tersebut benar, dibuat sebuah balok seperti gambar. Jika koordinat dan maka
| | | | | | dan karena bidang ANBP, berarti
Gambar II.E.2: Jarak Dua Titik di R3 X Z Y O A N B P L Q M C
sehingga :
| | | | | |
| | √ ( )
(Suryadi, 1984) 3. Transformasi Sistem Koordinat
Definisi II.E.1
Translasi adalah pergeseran sistem koordinat di mana sumbu-sumbu dan sedangkan vektor-vektor basis mempunyai panjang dan arah positif yang sama.
Dengan demikian, jika sumbu bergeser menjadi dengan mengawetkan kesejajaran maka koordinat titik P terhadap kedua sistem koordinat adalah
atau ( ) (
) ( )
Gambar II.E.3: Translasi sistem koordinat di R3 𝑋 Y 𝑍 𝑂 𝑌 𝑋 𝑍 𝑂’ (𝑝 𝑝 𝑝 )
Definisi II.E.2
Rotasi adalah perputaran sistem koordinat dengan pusat tetap O(0,0,0).
Jika sistem koordinat dirotasikan ke sistem koordinat maka dimisalkan cosinus arah dari , , dan secara berturut-turut adalah , , dan . Jika adalah koordinat titik P terhadap sistem koordinat dan adalah koordinat titik P terhadap sistem koordinat maka hubungan kedua sistem koordinat adalah 𝑋 𝑌 𝑍 𝑋 𝑌 𝑍 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 𝑂
Dalam matriks : ( ) ( ) (
)
Di mana matriks ( ) disebut matriks rotasi dan dinotasikan
dengan R. Catatan:
Kombinasi translasi dan rotasi disebut transformasi orthogonal yaitu suatu transformasi yang memetakan suatu ruang vektor v R3
tanpa mengubah panjangnya. Dengan demikian, transformasi orthogonal diberikan oleh
Di mana matriks ( ) adalah orthogonal.
Bukti ( ) ( ) ( )
Karena , , dan adalah vektor unit tegak
lurus, diperoleh (
)
Oleh karena itu, R disebut orthogonal.
(Chatterje, 2003)
4. Bidang Datar di R3
Suatu bidang datar V akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang datar tersebut. Misalkan diketahui tiga titik pada bidang datar V, yaitu , , dan .
Berdasarkan gambar di atas diperoleh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉 〈 〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉 〈 〉 X Z Y O R Q P S
Untuk setiap sebarang titik pada bidang rata V berlaku : , dengan dan skalar .
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Sehingga diperoleh persamaan vektoris bidang datar V adalah
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 ... (II.E.1) Selanjutnya, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ disebut vektor-vektor arah bidang yaitu setiap
dua vektor pada bidang yang tidak segaris. Oleh karena itu, persamaan vektoris bidang rata yang diketahui melalui satu titik dan diketahui kedua vektor arahnya ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉 dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉 adalah 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 ... (II.E.2) Persamaan tersebut dapat dibentuk ke dalam persamaan parameter bidang rata sebagai berikut:
... (II.E.3) ... (II.E.4) ... (II.E.5) Apabila dieliminasi dan pada persamaan (II.E.3) dan (II.E.4), diperoleh persamaan:
Subtitusi dan ke persamaan (II.E.5), diperoleh: { } { } atau ( ) ( ) .... (II.E.7) Misalkan : | | | | dan
Persamaan (II.E.7) menjadi
( )
⟺
⟺
⟺ ... II.E.8 Persamaan II.E.8 merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang datar.
(Suryadi, 1984) Berdasarkan persamaan-persamaan sebelumnya diperoleh vektor
〈 〉 | | | | | | ⃗
〈 〉 | ⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Jadi, vektor tersebut merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang datar yang dibentuk oleh ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ . Oleh karena itu, 〈 〉 ⃗ disebut vektor normal dari bidang datar V = 0
tersebut. Vektor normal ini akan memegang peranan penting dalam pembahasan bidang datar.
Berdasarkan persamaan (II.E.7), suatu bidang datar yang diketahui melalui titik dengan vektor normal 〈 〉 ⃗ berbentuk:
(Suryadi, 1984) 5. Garis Lurus dalam R3
Persamaan garis l dalam ruang dimensi tiga dapat ditentukan ketika diketahui dua titik pada garis tersebut, misalnya dan .
Diperoleh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉. Untuk sebarang titik pada l berlaku
Jelas bahwa sehingga didapat persamaan vektoris garis lurus yaitu
〈 〉 〈 〉 〈 〉 Gambar II.E.6 : Garis di R3
X Y Z O P Q R l
Selain itu, persamaan garis juga dapat ditentukan apabila sudah diketahui satu titik sebarang pada l dan vektor arah l yang dimisalkan dengan ⃗ 〈 〉. Oleh karena itu, ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga
〈 〉 〈 〉 Persamaan vektoris l dapat ditulis
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 Dari persamaan vektoris tersebut, dapat di ubah ke dalam persamaan parameter sebagai berikut:
Dengan mengeliminasi diperoleh
(Suryadi, 1984) 6. Konikoida
Konikoida adalah permukaan yang dinyatakan oleh di mana adalah polinomial berderajat dua pada dan . Persamaan umum konikoida ditampilkan sebagai berikut
Konikoida terdiri dari bola, elipsoid, hiperboloid, kerucut, paraboloid, dan tabung. Persamaan umum konikoida dapat ditransformasikan melalui transformasi sistem koordinat menjadi salah satu bentuk standar sebagai berikut
a) : elipsoida.
b) : elipsoida khayal.
c) : hiperboloida daun satu.
d) : hiperboloida daun dua.
e) : kerucut khayal. f) : kerucut. g) : paraboloida eliptik. h) : paraboloida hiperbolik. i) : tabung eliptik. j) : tabung hiperbolik. k) : tabung khayal. l) : silinder parabolik.
m) : sepasang bidang rata berpotongan.
n) : sepasang bidang rata khayal berpotongan.
p) : sepasang bidang rata khayal sejajar.
q) : sepasang bidang rata berimpit.
Dengan dan merupakan bilangan positif.
(Suryadi, 1984) 7. Tabung
Suatu konikoida disebut sebagai tabung apabila memiliki pusat berupa garis lurus. Apabila persamaan umum konikoida berubah menjadi persamaan
Setelah dilakukan transformasi sistem koordinat, maka konikoida disebut tabung lingkaran tegak. Untuk memperoleh titik pusat suatu konikoida dengan persamaan
Digunakan persamaan pusat konikoida sebagai berikut
{
...(*)
Titik pusat berupa garis lurus terjadi ketika Rank A= Rank (A,b) = 2
Rank ( ) rank ( )
Pusat tersebut adalah menggunakan persamaan
{ Persamaan karakteristiknya adalah
|
|
Selanjutnya, nilai karakteristik dapat dimasukkan dalam persamaan
di mana | | dan | |
Suatu tabung lingkaran tegak akan menghasilkan dan sehingga akan diperoleh
atau
dengan .