BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Sebelum pembahasan mengenai irisan bidang datar dengan tabung lingkaran tegak, perlu diketahui tentang materi-materi sebagai berikut.
A. Matriks
Matriks adalah himpunan skalar (bilangan real atau kompleks) yang disusun secara empat persegi panjang (menurut baris-baris dan kolom-kolom). Skalar-skalar tersebut disebut elemen matriks. Untuk batasnya
menggunakan : ( )
Contoh II.A.1
Matriks real:
Matriks diberi nama dengan huruf besar seperti A, B, C dan lain-lain. Secara lengkap ditulis matriks ( ) artinya suatu matriks A yang elemen-elemennya di mana indeks i menyatakan baris ke-i dan indeks j
menyatakan kolom ke-j dari elemen tersebut.
( ) Baris Kolom
Pandang sebuah matriks ( ) dan yang berarti bahwa banyaknya baris = m serta banyaknya kolom = n.
( )
Boleh ditulis sebagai matriks ( ), disebut ukuran (ordo) dari matriks tersebut. Berikut adalah beberapa hal tentang matriks yang berkaitan dengan pembahasan mengenai irisan tabung lingkaran tegak dengan bidang datar.
1. Operasi Perkalian pada Matriks
Dua buah matriks dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris matriks kedua. Secara definisi adalah sebagai berikut
Definisi II.A.1
Misal matriks A sebagai matriks pertama dan B matriks kedua. Pandang
berukuran dan berukuran maka perkalian AB adalah suatu matriks berukuran di mana:
Contoh II.A.2
(
) dan ( )
Ukuran matriks dan sehingga ada dan berukuran
sehingga (
) di mana
Jadi, ( ).
Secara singkat dapat ditulis
( ) ( ) ( ) ( )
2. Transpose dari Suatu Matriks
Pandang suatu matriks ( ) berukuran maka transpose dari A adalah matriks AT berukuran yang diperoleh dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A, sebagai kolom ke-i dari . Dengan kata lain ( ).
Contoh II.A.3 Misal ( ) maka ( )
3. Beberapa Jenis Matriks Khusus
Suatu matriks terdiri dari berbagai jenis dengan karakteristik khusus pada masing-masing matriks tersebut. Berikut adalah beberapa jenis matriks khusus.
a. Suatu matriks dengan banyak baris sama dengan banyak kolom yaitu n disebut matriks persegi berordo n. Barisan elemen
disebut diagonal utama dari matriks persegi tersebut.
b. Matriks diagonal adalah matriks persegi yang semua elemen di luar diagonal utamanya adalah nol atau untuk .
c. Matriks identitas adalah matriks diagonal dengan semua elemen-elemen diagonal utamanya = 1.
d. Matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri.
e. Matriks hermitian adalah matriks yang transpose konjugatnya sama dengan dirinya sendiri (AH = A).
4. Transformasi (Operasi) Elementer pada Baris dan Kolom Suatu Matris. Anggota dari suatu matriks atau disebut sebagai elemen matriks dapat diubah menurut aturan tertentu. Perubahan tersebut berkaitan dengan baris dan kolom sehingga disebut sebagai transformasi elementer pada baris dan kolom yang diberikan oleh
a. Penukaran tempat baris i dan baris j (baris i dijadikan baris ke-j dan baris ke-ke-j dike-jadikan baris ke-i), ditulis .
Contoh II.A.4 Misal ( ) maka ( )
b. Penukaran tempat kolom ke-i dan kolom ke-j (kolom ke-i dijadikan kolom ke-j dan kolom ke-j dijadikan kolom ke-i), ditulis .
Contoh II.A.5
Untuk A pada contoh II.A.4, (
)
c. Mengalikan baris ke-i dengan skalar , ditulis .
Contoh II.A.6 Jika ( ) maka ( )
d. Mengalikan kolom ke-i dengan skalar , ditulis .
Contoh II.A.7 Jika ( ) maka ( )
e. Menambah baris ke-i dengan p kali baris ke-j, ditulis .
Contoh II.A.8 Jika ( ) maka ( )
f. Menambah kolom ke-i dengan p kali kolom ke-j, ditulis . Contoh II.A.9 Jika ( ) maka ( ) Catatan:
Operasi c, d, e, dan f dapat dilakukan dalam satu langkah yaitu
a. Menambah m kali baris ke-i dangan n kali baris ke-j, ditulis Hi(m)j(n)(A). b. Menambah m kali kolom ke-i dangan n kali kolom ke-j, ditulis
Ki(m)j(n)(A).
dengan skalar m ≠ 0 dan n ≠ 0.
Contoh II.A.10 a. Jika ( ) maka H2(2)3(1)(A) = ( ) b. Jika ( ) maka K2(2)3(2)(A) = ( ) 5. Rank matriks
Rank baris dari matriks A adalah dimensi dari ruang baris matriks A dan rank kolom dari matriks A adalah dimensi ruang kolom matriks A. Rank baris sama dengan rank kolom dari matriks A tersebut, ditulis r(A). Catatan:
a. Rank matriks menyatakan jumlah maksimum vektor-vektor baris/ kolom yang bebas linier.
b. Untuk mencari rank dari suatu matriks dapat digunakan transformasi elementer karena matriks-matriks yang ekuivalen baris/ kolom mempunyai ruang yang sama. Diusahakan mengubah sebanyak mungkin baris/ kolom menjadi vektor nol karena vektor nol bergantung linier.
Contoh II.A.11
Cari rank dari (
)
Dikerjakan secara baris
( ) ( ) ( ) ( )
Baris ke-3 adalah adalah vektor nol, jadi r(A) = 2. 6. Determinan
Setiap matriks persegi A selalu dikaitkan dengan suatu skalar yang disebut determinan matriks tersebut dan ditulis sebagai det(A). Berikut adalah determinan untuk matriks persegi berordo dua dan berordo tiga. Determinan dari matriks persegi A berordo 2 adalah
(
) | | |
Determinan dari matriks persegi B berordo 3 adalah ( ) | | | | | | (Suryadi, 1991)
B. Transformasi Sistem Koordinat di R2
Transformasi sistem koordinat di R2 adalah suatu fungsi yang memetakan ruang vektor di R. Secara sederhana bahwa transformasi ini merupakan fungsi untuk memperoleh suatu persamaan baru pada sistem koordinat yang telah ditransformasikan. Berikut ini adalah dua hal pokok yang perlu diketahui sebelum melakukan transformasi sistem koordinat
1. Akar dan Vektor Karakteristik
Suatu akar karakteristik diperlukan untuk mencari vektor karakteristik. Vektor karakteristik inilah yang akan digunakan sebagai basis natural sistem koordinat yang baru setelah dilakukan transformasi sistem koordinat.
Definisi II.B.1
suatu matriks persegi dan λ adalah skalar yang memenuhi persamaan
(*): ⃗ ⃗ untuk suatu vektor kolom ⃗ maka dikatakan λ adalah suatu akar karakteristik dari dan ⃗ yang memenuhi persamaan (*) disebut vektor karakteristik yang bersangkutan dengan λ.
Contoh II.B.1
Hitunglah akar karakteristik dari ( )
Penyelesaian:
Misalkan λ skalar dan ⃗ ( ) adalah vektor yang memenuhi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(
) ( ) ( )...II.B.1
Persamaan II.B.1 adalah suatu sistem persamaan linier homogen yang dibutuhkan jawaban nontrivial ⃗ sehingga
rank (
) atau | | (disebut persamaan
karakteristik)
⟺
Untuk mencari vektor karakteristik yang bersangkutan, masukkan harga λ ke persamaan II.B.1, diperoleh
Untuk
(
) ( ) ( ) atau
}
Cukup ambil 1 persamaan, misal . Apabila maka
. Jadi, ⃗ ( ) yaitu vektor-vektor yang bersangkutan dengan
Untuk
(
) ( ) ( ) atau
}
Cukup ambil 1 persamaan, misal . Apabila maka
. Jadi, ⃗ ( ) yaitu vektor-vektor yang bersangkutan dengan
.
2. Transformasi Simetris
Pada transformasi ini digunakan matriks simetris. Suatu transformasi linier T pada R2 dan R3 dikatakan suatu transformasi simetris jika untuk setiap R2 dan R3 berlaku
Teorema II.B.1
Akar-akar karakteristik dari matriks A yang simetris adalah riil dan vektor-vektor karakteristik yang bersangkutan dengan akar karakteristik yang berbeda saling tegak lurus.
Hal khusus:
Jika adalah matriks simetris berordo 2 maka diperoleh 2 vektor karakteristik yang saling tegak lurus dan panjangnya 1.
Bukti:
Misalkan dan adalah akar-akar karakteristik dari A maka
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ } ... II.B.2
Lakukan transpose konjugat
( ⃗⃗⃗ ) ( ⃗⃗⃗ ) ⃗⃗⃗ ̅ ⃗⃗⃗ ... II.B.3 Kalikan persamaan II.B.3 dengan ⃗⃗⃗ dan persamaan II.B.2 dengan ⃗⃗⃗
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ̅ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗
Oleh karena itu ( ̅ ) ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , jika diambil maka √ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ adalah panjang ⃗⃗⃗ di mana | ⃗⃗⃗ | . Jadi, ̅ ̅ yang berarti setiap akar karakteristik adalah real. Jika diambil maka karena akar karakteristik yang berbeda sehingga
⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ (saling tegak lurus).
Untuk A2 berordo 2, jika maka jelas dari bukti di atas terdapat ⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗ yang saling tegak lurus dan ambil yang panjangnya 1.
Jika maka pandang persamaan karakteristik
|
|
Diskriminan :
Jumlah dua bilangan non-negatif = 0 berakibat masing-masing bilangan = 0. Jadi, dan .
Persamaan karakteristik menjadi Semua koefisien dari persamaan
} adalah nol.
Jadi semua vektor di R2 merupakan vektor karakteristik dan dapat dipilih 2 vektor yang saling tegak lurus dengan panjang = 1.
Catatan:
Persamaan karakteristik dari matriks
|
|
Jika disebut dan |
| maka
persamaan menjadi
(Suryadi, 1991)
C. Irisan Kerucut (Garis Lengkung Derajat Dua di R2)
1. Persamaan Standar Irisan Kerucut
Persamaan standar irisan kerucut pada sistem koordinat adalah
a. , yaitu suatu elips dengan pusat dengan panjang
setengah sumbunya masing-masing adalah dan . Apabila
maka persamaan menjadi yaitu suatu persamaan
lingkaran yang berpusat di dan berjari-jari . Untuk bentuk
adalah suatu elips khayal dengan pusat .
b. , yaitu suatu persamaan hiperbola berpusat di
dengan sumbu riil dan setengah sumbu khayalnya .
Apabila konstanta 1 pada diganti dengan 0, diperoleh
persamaan-persamaan garis asimtot yaitu
Dapat diuraikan menjadi
atau garis-garis dan
c. , yaitu suatu parabola dengan puncak dan sumbu sebagai sumbu simetris. Fokus parabola adalah dan direktrisnya
. Parabola terbuka ke kanan ketika dan terbuka ke kiri
ketika .
2. Transformasi Irisan Kerucut pada Sumbu-sumbu Utamanya Diketahui persamaan umum irisan kerucut:
... II.C.1
Persamaan di atas dapat ditulis dengan matriks
( ) ( ) ( ) atau di mana ( ) ( ) dan ( )
dinamakan bagian homogen kuadrat dinamakan bagian linier
Untuk mengetahui jenis suatu irisan kerucut, persamaan II.C.1 perlu diubah ke persamaan standar dengan cara translasi atau rotasi sistem koordinat kartesius.
a. Translasi
Definisi II.C.1
Translasi sistem koordinat ke adalah perubahan sistem koordinat di mana sumbu-sumbu dan sedangkan vektor-vektor basis mempunyai panjang dan arah positif yang tetap.
Misalkan titik awal yang baru berkoordinat terhadap sistem koordinat lama. Suatu titik terhadap sistem koordinat lama akan mempunyai koordinat terhadap sistem koordinat
baru dengan hubungan: }
Bagian linier dari persamaan II.C.1 dapat dihilangkan melalui translasi dan titik awal sistem koordinat baru akan menjadi pusat irisan kerucut tersebut. (Surjadi, 1982) 𝑂 𝑌 𝑋 𝑗 𝑖 𝑗 𝑖 𝑂 𝑝 𝑝 𝑌 𝑋 𝑃 𝑥 𝑥
Gambar II.C.1:Translasi sistem koordinat di R2
b. Rotasi
Untuk melenyapkan suku kembar dari bagian homogen kuadratis
dilakukan rotasi sistem koordinat ke
sistem koordinat baru di mana vektor-vektor karakteristik dari (matriks simetris) yang panjangnya 1 dan saling tegak lurus dijadikan vektor-vektor basis dari sistem tersebut.
(Suryadi, 1991)
Teorema II.C.1
Diketahui transformasi linier dan simetris dengan vektor-vektor karakteristik ⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ sehingga ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , di mana
| ⃗⃗⃗ | | ⃗⃗⃗ |
Jika diadakan rotasi ke yaitu sistem koordinat dengan ⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗ sebagai vektor-vektor satuan maka bentuk homogen kuadrat:
menjadi
Bukti
( )
Pada sistem koordinat baru :
Jadi, ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ karena ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ dan ⃗ ⃗ Akibat II.C.1
Persamaan derajat dua dapat
diubah menjadi , jika dan ialah akar-akar dari persamaan karakteristik dari transformasi linier dan simetris
|
|
3. Jenis-jenis Irisan Kerucut yang Dinyatakan Oleh
a. Jika , , dan atau , , dan maka persamaan dapat dijabarkan menjadi
b. dan yang satu positif dan yang lain negatif, . Persamaan dapat dijabarkan menjadi
⟺ atau
dan .
Dikatakan bahwa irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus yang saling berpotongan.
c. dan keduanya positif atau negatif dan , persamaan dapat
dijabarkan menjadi
⟺ atau
dan
Irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus imaginer yang berpotongan dan hanya mempunyai satu titik yang real yaitu titik 0. d. Salah satu bilangan karakteristik positif, yang lain sama dengan 0 dan
negatif, persamaan dapat dijabarkan menjadi ⟺ , atau
Irisan kerucut berubah corak menjadi sepasang garis lurus sejajar. e. Salah satu bilangan karakteristik positif, yang lain sama dengan 0 dan
positif, persamaan dapat dijabarkan menjadi
⟺ atau , yaitu dua garis
lurus imaginer yang sejajar.
f. Salah satu bilangan karakteristik , yang lain sama dengan dan
. Dalam hal ini persamaan dapat ditulis sebagai atau . Jadi, irisan kerucut berubah corak menjadi dua garis lurus
yang berimpit.
4. Penjabaran Persamaan Derajat Dua yang Umum Menjadi Bentuk Standar Diketahui persamaan umum derajat dua:
Bentuk standar dari garis lengkung dapat ditentukan dengan terlebih dahulu melakukan translasi sistem koordinat ke untuk melenyapkan bagian liniernya dan rotasi sistem koordinat ke
untuk melenyapkan suku . Translasi garis lengkung pada sistem
koordinat baru di mana diperoleh
atau
Bagian homogen kuadrat tidak berubah terhadap translasi sedangkan bilangan tetapnya menjadi . Tentukan sehingga koefisien dan menjadi Jadi,
} ... (II.C.2)
atau dengan matriks
Susunan tersebut hanya memberi jawaban jika dan hanya jika matriks
(
) dan (
) mempunyai rank yang sama. Jika
kedua matriks mempunyai rank 2 maka |
|
Dalam hal ini hanya ada satu titik saja yang memenuhi persamaan II.C.2. Jika rank = 1 maka akan diperoleh satu garis pusat irisan kerucut. Jika rank tidak sama maka translasi tidak dapat dilakukan.
Jika dihitung dari persamaan II.C.2 maka irisan kerucut tersebut terhadap mempunyai persamaan :
... (II.C.3)
di mana
.
Menurut teorema II.C.1 persamaan II.C.3 dapat diubah menjadi
... (II.C.4)
dengan suatu rotasi ke sistem koordinat baru di mana dan adalah akar-akar karakteristik dari Jenis-jenis irisan kerucut yang dinyatakan oleh persamaan derajat dua dapat diketahui dengan menggunakan poin C.3.
Teorema II.C.2 Jika | | dan | | maka Bukti Jadi, } ...(II.C.5)
karena maka ada dan yang memenuhi persamaan II.C.5 atau
rank ( ) sehingga | | ⟺| | | | Atau ⟺
Catatan:
Persamaan II.C.4 sekarang dapat ditulis sebagai
di mana dari persamaaan karakteristik
Jika dan maka dan dan jika maka irisan kerucut adalah suatu elips. (jika dan maka irisan kerucut juga elips).
Jadi,
Jika dan ⟺ elips
dan ⟺ elips imaginer.
Jika (tanda dan berlawanan) ⟺ hiperbola.
(Surjadi, 1982) 5. Irisan Kerucut yang Berubah Corak
Misal persamaan irisan kerucut Persamaan irisan kerucut akan berupa sepasang garis lurus bila
|
|
Kedudukan dari sepasang garis lurus tersebut tergantung dari determinan
|
Berikut klasifikasi irisan kerucut ketika
a. Jika determinan maka C berubah corak menjadi sepasang garis yang berpotongan.
b. Jika determinan maka C berubah corak menjadi sepasang garis imaginer.
c. Jika determinan maka C berubah corak menjadi sepasang garis
sejajar atau berimpit. Sejajar apabila |
| dan berimpit
apabila
(Suryadi, 1991)
D. Vektor di dalam R3
Pada dimensi tiga, vektor ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉 adalah vektor posisi titik
. Panjang dari vektor dimensi tiga ⃗ 〈 〉 adalah
|⃗ | √
Jika diberikan titik dan titik maka vektor yang diwakili oleh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah
⃗ 〈 〉 ⃗ 〈 〉
Jika ⃗ 〈 〉 dan ⃗ 〈 〉 maka
⃗ ⃗ 〈 〉 〈 〉 〈 〉 ⃗ ⃗ 〈 〉 〈 〉 〈 〉
Sifat-sifat vektor
Jika ⃗ , ⃗ , dan adalah vektor di R3, dan adalah skalar, maka 1. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2. ⃗ ( ⃗ ) ( ⃗ ⃗ ) 3. ⃗ ⃗ ⃗ 4. ⃗ ⃗ ⃗ 5. ( ⃗ ⃗ ) ⃗ ⃗ 6. ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ 7. ⃗⃗ ⃗⃗ (Spiegel, 1999) Vektor-vektor , , dan ⃗ disebut vektor basis standar, mempunyai panjang 1 dan mengarah pada X, Y, dan Z positif.
Misalkan tiga vektor pada memiliki aturan khusus
〈 〉 〈 〉 ⃗ 〈 〉
Jika ⃗ 〈 〉 maka dapat ditulis
⃗ 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉
⃗
Gambar II.D.1: Vektor Basis Standar
x y
z
⃗
Definisi II.D.1
Jika ⃗ 〈 〉 dan ⃗ 〈 〉 maka dot product (perkalian titik) ⃗ dan ⃗ yang ditulis ( ⃗ . ⃗ ) dinyatakan sebagai
⃗ ⃗
(Purcell, 1984)
Sifat-sifat perkalian titik (dot product):
Jika ⃗ , ⃗ , dan adalah vektor dalam R3 dan skalar maka 1) ⃗ ⃗ | ⃗ |
2) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
3) ⃗ ( ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗
4) ⃗ ⃗⃗ (⃗ ⃗⃗ ) ⃗ ⃗⃗
Teorema II.D.1
Jika adalah sudut diantara vektor ⃗ dan ⃗ maka ⃗ ⃗ | ⃗ || ⃗ |
Bukti:
Gambar II.D.2: Sudut antara dua vektor
X Z Y O 𝜃 B A ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
Jika diaplikasikan aturan cosinus segitiga OAB pada gambar, diperoleh
| | | | | | | || | ... (II.D.1)
Pada gambar dinyatakan | | |⃗ |, | | |⃗⃗ |, dan | | |⃗ ⃗⃗ | sehingga persamaan II.D.1 menjadi
|⃗ ⃗⃗ | |⃗ | |⃗⃗ | |⃗ | |⃗⃗ | ... (II.D.2) Menggunakan sifat perkalian titik 1, 2, dan 3, ruas kiri persamaan II.D.2 dapat ditulis sebagai berikut:
|⃗ ⃗⃗ | (⃗ ⃗⃗ ) (⃗ ⃗⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
| ⃗ | ⃗ ⃗ | ⃗ |
Dengan demikian, persamaan II.D.2 menjadi
|⃗ | ⃗ ⃗⃗ |⃗⃗ | =|⃗ | |⃗⃗ | |⃗ | |⃗⃗ | ⃗ ⃗ | ⃗ || ⃗ |
⃗ ⃗ | ⃗ || ⃗ |
Akibat II.D.1
Jika adalah sudut tak nol vektor ⃗ dan ⃗ maka ⃗ ⃗⃗
| ⃗ || ⃗⃗ |
Dua vektor ⃗ dan ⃗ tegak lurus jika dan hanya jika ⃗ ⃗
Definisi II.D.2
Jika ⃗ 〈 〉 dan ⃗ 〈 〉 maka cross product ⃗ dan ⃗ adalah vektor
⃗ ⃗ 〈| | | | | |〉
⃗ ⃗ 〈 〉
Teorema II.D.2
Vektor ⃗ ⃗ tegak lurus terhadap ⃗ dan ⃗
Bukti:
Untuk menunjukkan ⃗ ⃗ tegak lurus terhadap ⃗ , dihitung dot productnya sebagai berikut:
(⃗ ⃗⃗ ) ⃗ | | | | | |
Dengan cara yang sama, untuk menunjukkan ⃗ ⃗ tegak lurus terhadap ⃗ adalah sebagai berikut:
(⃗ ⃗⃗ ) ⃗⃗ | | | | | |
Teorema II.D.3
Jika adalah sudut antara ⃗ dan ⃗ maka |⃗ ⃗⃗ | |⃗ | |⃗⃗ |
Bukti:
Dari definisi cross product dan besar vektor
|⃗ ⃗⃗ | |⃗ ⃗⃗ | |⃗ ⃗⃗ | ( ) ( ) |⃗ ⃗⃗ | | ⃗ | | ⃗⃗ | ⃗ ⃗⃗ |⃗ ⃗⃗ | | ⃗ | | ⃗⃗ | | ⃗ | | ⃗⃗ | |⃗ ⃗⃗ | |⃗ | |⃗⃗ | |⃗ ⃗⃗ | |⃗ | |⃗⃗ | |⃗ ⃗⃗ | |⃗ | |⃗⃗ | Akibat II.D.2
Dua vektor tak nol ⃗ dan ⃗ sejajar jika dan hanya jika ⃗ ⃗
Bukti:
Dua vektor tak nol ⃗ dan ⃗ sejajar jika dan hanya jika atau . Untuk keduanya , jadi |⃗ ⃗⃗ | oleh karena itu ⃗ ⃗
Sifat –sifat cross product:
Jika ⃗ , ⃗ , dan adalah vektor di R3 dan m skalar maka 1) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ 2) ⃗ ⃗⃗ (⃗ ⃗⃗ ) ⃗ ( ⃗⃗ ) 3) ⃗ ( ⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ 4) (⃗ ⃗⃗ ) ⃗ ⃗ ⃗ ⃗⃗ ⃗ 5) ⃗ ( ⃗ ) ( ⃗ ⃗ ) 6) ⃗ ( ⃗ ) ⃗ ⃗ ( ⃗ ⃗ ) (Suryadi, 1984)
E. Geometri Analitik Ruang
1. Sistem Koordinat Siku-siku di R3
Untuk menyatakan letak sebuah titik di dalam ruang, tiga bilangan dibutuhkan. Setiap titik di dalam ruang dinyatakan dengan 3 bilangan real secara berturut-turut (x, y, z). Supaya suatu titik dapat ditampilkan dalam ruang, yang pertama ambil titik asal O dan tiga garis arah melalui O yang saling tegak lurus satu sama lain. Garis tersebut disebut sumbu koordinat yang dinyatakan sebagai sumbu X (axis), sumbu Y (ordinat), dan sumbu Z
Secara umum, sumbu X dan Y ditampilkan secara horizontal, dan sumbu Z secara vertikal seperti gambar berikut.
Ketiga sumbu koordinat menyatakan tiga koordinat bidang, Bidang
XY untuk daerah sumbu X dan sumbu Y, bidang YZ untuk daerah sumbu Y
dan sumbu Z, bidang XZ untuk daerah sumbu X dan sumbu Z.
Ketiga bidang koordinat tersebut membagi ruang menjadi delapan bagian yang disebut oktan dan diberi nomor menurut aturan berikut:
Oktan I berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z > 0 Oktan II berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z > 0 Oktan III berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z > 0 Oktan IV berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z > 0 Oktan V berisi titik-titik dengan X > 0, Y > 0, Z < 0 Oktan VI berisi titik-titik dengan X < 0, Y > 0, Z < 0
Gambar II.E.1: Sistem Koordinat Siku-siku di R3
O
X
Y Z
Oktan VII berisi titik-titik dengan X < 0, Y < 0, Z < 0 Oktan VIII berisi titik-titik dengan X > 0, Y < 0, Z < 0
(Suryadi, 1984) 2. Jarak Dua Titik dalam Ruang
Rumus jarak dua titik dalam ruang:
Jarak | | antara titik dan adalah
| | √ ( )
(Hambali, 1986) Bukti:
Untuk melihat apakah rumus tersebut benar, dibuat sebuah balok seperti gambar. Jika koordinat dan maka
| | | | | | dan karena bidang ANBP, berarti
Gambar II.E.2: Jarak Dua Titik di R3
X Z Y O A N B P L Q M C
sehingga :
| | | | | |
| | √ ( )
(Suryadi, 1984) 3. Transformasi Sistem Koordinat
Definisi II.E.1
Translasi adalah pergeseran sistem koordinat di mana sumbu-sumbu
dan sedangkan vektor-vektor basis mempunyai panjang dan arah positif yang sama.
Dengan demikian, jika sumbu bergeser menjadi dengan
mengawetkan kesejajaran maka koordinat titik P terhadap
kedua sistem koordinat adalah
atau ( ) (
) ( )
Gambar II.E.3: Translasi sistem koordinat di R3
𝑋 Y 𝑍 𝑂 𝑌 𝑋 𝑍 𝑂’ (𝑝 𝑝 𝑝 )
Definisi II.E.2
Rotasi adalah perputaran sistem koordinat dengan pusat tetap O(0,0,0).
Jika sistem koordinat dirotasikan ke sistem koordinat maka dimisalkan cosinus arah dari , , dan secara berturut-turut adalah
, , dan . Jika adalah koordinat titik
P terhadap sistem koordinat dan adalah koordinat titik P terhadap sistem koordinat maka hubungan kedua sistem koordinat adalah 𝑋 𝑌 𝑍 𝑋 𝑌 𝑍 𝑃 𝑥 𝑦 𝑧 𝑂
Dalam matriks : ( ) ( ) (
)
Di mana matriks ( ) disebut matriks rotasi dan dinotasikan
dengan R. Catatan:
Kombinasi translasi dan rotasi disebut transformasi orthogonal yaitu suatu transformasi yang memetakan suatu ruang vektor v R3 tanpa mengubah panjangnya. Dengan demikian, transformasi orthogonal diberikan oleh
Di mana matriks ( ) adalah orthogonal.
Bukti ( ) ( ) ( )
Karena , , dan adalah vektor unit tegak lurus, diperoleh ( )
Oleh karena itu, R disebut orthogonal.
(Chatterje, 2003)
4. Bidang Datar di R3
Suatu bidang datar V akan tertentu bila diketahui tiga buah titik (yang tidak segaris) yang terletak pada bidang datar tersebut. Misalkan diketahui tiga titik pada bidang datar V, yaitu , , dan
.
Berdasarkan gambar di atas diperoleh
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉 〈 〉 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉 〈 〉 X Z Y O R Q P S
Untuk setiap sebarang titik pada bidang rata V berlaku :
, dengan dan skalar .
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Sehingga diperoleh persamaan vektoris bidang datar V adalah
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 ... (II.E.1) Selanjutnya, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ disebut vektor-vektor arah bidang yaitu setiap
dua vektor pada bidang yang tidak segaris. Oleh karena itu, persamaan vektoris bidang rata yang diketahui melalui satu titik dan diketahui kedua vektor arahnya ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉 dan ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉 adalah
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉 ... (II.E.2)
Persamaan tersebut dapat dibentuk ke dalam persamaan parameter bidang rata sebagai berikut:
... (II.E.3)
... (II.E.4)
... (II.E.5)
Apabila dieliminasi dan pada persamaan (II.E.3) dan (II.E.4), diperoleh persamaan:
Subtitusi dan ke persamaan (II.E.5), diperoleh: { } { } atau ( ) ( ) .... (II.E.7) Misalkan : | | | | dan
Persamaan (II.E.7) menjadi
( )
⟺
⟺
⟺ ... II.E.8
Persamaan II.E.8 merupakan persamaan linier (umum) dari suatu bidang datar.
(Suryadi, 1984) Berdasarkan persamaan-persamaan sebelumnya diperoleh vektor
〈 〉 | | | | | | ⃗
〈 〉 | ⃗ | ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
Jadi, vektor tersebut merupakan vektor yang tegak lurus pada bidang datar yang dibentuk oleh ⃗⃗⃗⃗⃗ dan ⃗⃗⃗⃗⃗ . Oleh karena itu, 〈 〉 ⃗ disebut vektor normal dari bidang datar V = 0
tersebut. Vektor normal ini akan memegang peranan penting dalam pembahasan bidang datar.
Berdasarkan persamaan (II.E.7), suatu bidang datar yang diketahui melalui titik dengan vektor normal 〈 〉 ⃗ berbentuk:
(Suryadi, 1984) 5. Garis Lurus dalam R3
Persamaan garis l dalam ruang dimensi tiga dapat ditentukan ketika diketahui dua titik pada garis tersebut, misalnya dan
.
Diperoleh ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈 〉, ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〈
〉. Untuk sebarang titik pada l berlaku
Jelas bahwa sehingga didapat persamaan vektoris garis lurus yaitu
〈 〉 〈 〉 〈 〉
Gambar II.E.6 : Garis di R3
X Y Z O P Q R l
Selain itu, persamaan garis juga dapat ditentukan apabila sudah diketahui satu titik sebarang pada l dan vektor arah l yang dimisalkan dengan
⃗ 〈 〉. Oleh karena itu, ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ sehingga
〈 〉 〈 〉
Persamaan vektoris l dapat ditulis
〈 〉 〈 〉 〈 〉 〈 〉
Dari persamaan vektoris tersebut, dapat di ubah ke dalam persamaan parameter sebagai berikut:
Dengan mengeliminasi diperoleh
(Suryadi, 1984) 6. Konikoida
Konikoida adalah permukaan yang dinyatakan oleh di mana adalah polinomial berderajat dua pada dan . Persamaan umum konikoida ditampilkan sebagai berikut
Konikoida terdiri dari bola, elipsoid, hiperboloid, kerucut, paraboloid, dan tabung. Persamaan umum konikoida dapat ditransformasikan melalui transformasi sistem koordinat menjadi salah satu bentuk standar sebagai berikut
a) : elipsoida.
b) : elipsoida khayal.
c) : hiperboloida daun satu.
d) : hiperboloida daun dua.
e) : kerucut khayal. f) : kerucut. g) : paraboloida eliptik. h) : paraboloida hiperbolik. i) : tabung eliptik. j) : tabung hiperbolik. k) : tabung khayal. l) : silinder parabolik.
m) : sepasang bidang rata berpotongan.
n) : sepasang bidang rata khayal berpotongan.
p) : sepasang bidang rata khayal sejajar.
q) : sepasang bidang rata berimpit.
Dengan dan merupakan bilangan positif.
(Suryadi, 1984) 7. Tabung
Suatu konikoida disebut sebagai tabung apabila memiliki pusat berupa garis lurus. Apabila persamaan umum konikoida berubah menjadi persamaan
Setelah dilakukan transformasi sistem koordinat, maka konikoida disebut tabung lingkaran tegak. Untuk memperoleh titik pusat suatu konikoida dengan persamaan
Digunakan persamaan pusat konikoida sebagai berikut
{
...(*)
Titik pusat berupa garis lurus terjadi ketika Rank A= Rank (A,b) = 2
Rank ( ) rank ( )
Pusat tersebut adalah menggunakan persamaan
{
Persamaan karakteristiknya adalah
|
|
Selanjutnya, nilai karakteristik dapat dimasukkan dalam persamaan
di mana | | dan | |
Suatu tabung lingkaran tegak akan menghasilkan dan sehingga akan diperoleh
atau
dengan .
