Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika KUMPULAN SOAL
PI GEON HOLE PRI N CI PLE
Pigen Hole Pr inciple (Pr insip Lubang Mer pat i) mengat akan bahwa j ika lebih dar i n benda dimasukkan ke dalam n kot ak, maka sedikit nya ada sat u kot ak yang ber isi lebih dar i sat u benda. Secar a umum bahwa j ika ada lebih dar i pn benda dimasukkan ke dalam n kot ak maka sedikit nya ada sat u kot ak ber isi lebih dar i p benda.
Bent uk Lain : J ika n bilangan bulat m1, m2, m3, ⋅⋅⋅, mn memiliki r at a-r at a
1
3 2 1+
+
+
+
>
−
r
n
m
m
m
m
L
n , maka sedikit nya sat u di ant ar a bilangan-bilangan bulat t er sebut lebih besar at au sama dengan r .Cont oh :
J ika ada 101 sur at yang akan dimasukkan ke dalam 50 kot ak pos, bukt ikan bahwa ada sedikit nya sat u kot ak pos ber isi sekur ang-kur angnya 3 sur at .
J awab :
J ika selur uh kot ak pos masksimal hanya ber isi 2 sur at , maka j umlah maksimal sur at yang dapat masuk kot ak pos adalah 100. Tet api j umlah sur at yang ada yait u 101. Maka dapat dipast ikan ada sedikit nya sat u kot ak pos ber isi sekur ang- kur angnya 3 sur at .
LATI HAN SOAL :
1. Pada sebuah pest a set iap or ang yang hadir dihar uskan membawa per men. J ika pada pest a t er sebut j umlah or ang yang hadir ada 10 sedangkan j umlah per men yang ada sebanyak 50 buah, bukt ikan bahwa ada sekur ang-kur angnya 2 or ang yang membawa per men dalam j umlah yang sama.
2. J ika t er dapat n2 + 1 t it ik yang t er let ak di dalam sebuah per segi dengan panj ang sisi n, bukt ikan bahwa ada sekur ang-kur angnya 2 t it ik yang memiliki j ar ak t idak lebih dar i
2
sat uan.3. J ika t er dapat n2 + 1 t it ik yang t er let ak di dalam sebuah segit iga sama sisi dengan panj ang sisi n, bukt ikan bahwa ada sedikit nya 2 t it ik yang j ar aknya sat u sama lain paling j auh
n
1
.4. J ika diket ahui m adalah bilangan bulat a1, a2, a3, ⋅⋅⋅, am, t unj ukkan bahwa ada bilangan bulat k, s dengan 0 ≤ k < s ≤ m sedemikian sehingga ak+1 + ak+2 + ⋅⋅⋅ + as habis dibagi m.
5. Tiga buah t it ik t er let ak pada daer ah yang dibat asi oleh sumbu y dan gr af ik per samaan 7x − 3y2 + 21 = 0. Bukt ikan bahwa sedikit nya dua di ant ar a ket iga t it ik t er sebut mempunyai j ar ak t idak lebih dar i 4 sat uan.
6. Di ant ar a bilangan-bilangan 1, 2, ⋅⋅⋅, 200, j ika 101 bilangan diambil, maka t unj ukkan bahwa ada dua bilangan di ant ar a yang t er ambil sedemikian sehingga yang sat u habis dibagi yang lain.
7. Bukt ikan bahwa j ika 100 bilangan diambil dar i himpunan 1, 2, 3, ⋅⋅⋅, 200 sedemikian sehingga sedikit nya sat u diant ar anya lebih kecil dar i 15, maka ada dua di ant ar a yang t er pilih sehingga yang sat u habis dibagi yang lain. 8. Bukt ikan bahwa di ant ar a 7 bilangan bulat , past i ada sekur ang-kur angnya sepasang bilangan yang selisihnya habis
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
9. Bukt ikan bahwa di ant ar a 5 bilangan bulat past i ada 3 di ant ar anya memiliki j umlah habis dibagi 3.
10. Misalkan bilangan-bilangan 1 sampai 20 dit empat kan dalam ur ut an bagaimana pun pada sebuah lingkar an. Tunj ukkan bahwa :
a. ada t iga bilangan ber dekat an yang j umlahnya sedikit nya 32 b. ada empat bilangan ber dekat an yang j umlahnya sedikit nya 42
11. Tit ik let is pada bidang adalah t it ik yang mempunyai koor dinat ber upa pasangan bilangan bulat . Misalkan P1, P2, P3, P4, P5 adalah lima t it ik let is ber beda pada bidang.
Bukt ikan bahwa t er dapat sepasang t it ik (Pi, Pj), i ≠ j , demikian, sehingga r uas gar is PiPj memuat sebuah t it ik let is selain Pi dan Pj.
12. Tit ik let is pada r uang adalah t it ik yang mempunyai koor dinat ber upa t r ipel bilangan bulat (Cont oh : (3,4,5); (3,−4,6)).
Misalkan P1, P2, P3, P4, P5, P6, P7, P8 adalah delapan t it ik let is ber beda pada r uang.
Bukt ikan bahwa t er dapat sepasang t it ik (Pi, Pj), i ≠ j , demikian, sehingga r uas gar is PiPj memuat sebuah t it ik let is selain Pi dan Pj.
13. Bukt ikan bahwa j ika dalam sebuah gr up 6 or ang, set iap 2 or ang hanya dapat selalu ber sahabat at au selalu ber musuhan, maka ada sedikit nya 3 or ang yang saling ber sahabat at au saling ber musuhan sat u sama lain.
14. Di dalam suat u pest a t er dapat n or ang dan mer eka saling ber salaman. J ika di ant ar a 2 or ang t idak ada yang ber salaman lebih dar i 1 kali, bukt ikan bahwa ada sedikit nya 2 or ang ber salamaan dalam j umlah yang sama.
15. Tunj ukkan bahwa di ant ar a t uj uh bilangan bulat posit if ber beda yang t idak lebih dar i 126, kit a selalu dapat menemukan dua di ant ar anya, kat akanlah x dan y dengan y > x sedemikian sehingga
1<
≤2
x
y
.
16. Diber ikan 7 bilangan r eal. Bukt ikan bahwa kit a dapat memilih dua di ant ar anya kat akana a dan b sehingga
3
1
1
0
≤
+
−
≤
ab
b
a
. (Pet unj uk : Rumus yang dapat digunakan adalah
(
)
β
α
β
α
β
α
tg
tg
tg
tg
tg
⋅
+
−
=
−
1
)17. Ter dapat 115 bola yang dij aj ar kan pada sat u gar is lur us dan t er dapat 60 bola mer ah di ant ar anya. Masing-amsing bola diber i nomor ber beda sesuai dengan ur ut annya yait u nomor 1 sampai 115. Tunj ukkan bahwa sedikit nya ada 2 bola mer ah yang t er pisah 4 bola (Misalnya bola mer ah dengan nomor 5 dan 9 ser t a nomor 36 dan 40 memenuhi syar at ini).
18. Seor ang pemain cat ur memiliki wakt u 11 minggu unt uk menyiapkan dir i mengikut i sebuah t ur namen. I a memut uskan unt uk ber lat ih sedikit nya sat u per mainan set iap har i, namun t idak lebih dar i 12 per mainan selama seminggu. Per lihat kan bahwa ada beber pa har i ber t ur ut -t ur ut yang selama it u pecat ur t er sebut ber lat ih t epat 21 per mainan.
KUMPULAN SOAL MATERI DASAR
OLI MPI ADE MATEMATI KA