DIKTAT
PEMBINAAN OLIMPIADE MATEMATIKA
TAHUN PELAJARAN 2005/2006
MATERI DASAR
DISUSUN OLEH :
EDDY HERMANTO, ST
SMAN 5 BENGKULU
JALAN CENDANA NOMOR 20
BENGKULU
GARI S BESAR MATERI DAN SUB MATERI PADA PEMBI NAAN
OLI MPI ADE MATEMATI KA
I . TEORI BI LANGAN 1.1 Uj i Bilangan Habis Dibagi
1.1.1 Bilangan habis dibagi 5 1.1.2 Bilangan habis dibagi 2n 1.1.3 Bilangan habis dibagi 3 at au 9 1.1.4 Bilangan habis dibagi 11
1.1.5 Sif at -sif at suat u bilangan j ika dibagi ab dengan a dan b r elat if pr ima 1.2 Bilangan Kuadr at
1.2.1 Angka sat uan bilangan kuadr at
1.2.2 Sif at -sif at j ika bilangan kuadr at dibagi suat u bilangan
1.3 Fakt or Per sekut uan Ter besar (FPB) dan Kelipat an Per sekut uan Ter kecil (KPK) 1.3.1 Penger t ian FPB dan KPK
1.3.2 Sif at -sif at FPB dan KPK
1.3.3 Rumus banyaknya pembagi dar i suat u bilangan 1.4 Bilangan Rasional
1.4.1 Penger t ian dan sif at bilangan r asional
1.5 Bilangan Bulat Ter besar Kur ang dar i At au Sama Dengan x dan Bilangan Bulat Ter kecil Lebih Dar i At au Sama Dengan x
1.5.1 Penger t ian 1.5.2 Sif at -sif at 1.6 Teor ema Kecil Fer mat
1.6.1 Penger t ian dan penj elasan
I I . ALJ ABAR
2.1 Eksponen dan Logar it ma 2.1.1 Sif at -sif at eksponen 2.1.2 Sif at -sif at logar it ma 2.2 Polinomial
2.2.1 Per samaan Kuadr at 2.2.2 Teor ema sisa
2.2.3 Akar -akar polinomial dan sif at -sif at akar -akar polinomial 2.2.4 Fakt or -f akt or polinomial
2.3 Pembagian
2.3.1 an− bn habis dibagi a − b unt uk n bilangan asli 2.3.2 an + bn habis dibagi a + b unt uk n bilangan ganj il 2.4 Ket aksamaan
2.4.1 Sif at -sif at ket aksamaan
2.4.2 Ket aksamaan AM-GM-HM (Ar it hmat ic Mean - Geomet r y Mean - Har monic Mean) 2.5 Bar isan dan Der et
3.1 Teor i Peluang
3.1.1 Kaidah per kalian 3.1.2 Penger t ian per mut asi 3.1.3 Penger t ian kombinat or ik 3.1.4 Per mut asi Siklik
3.1.5 Pengambilan obyek dengan pengembalian maupun t anpa pengembalian 3.1.6 Pengulangan obyek
3.2 Himpunan
3.2.1 Penger t ian 2 himpunan saling bebas 3.2.2 Penger t ian 2 himpunan saling lepas 3.2.3 Himpunan bagian
3.2.4 Rumus gabungan 2 himpunan saling ber ir isan 3.2.5 Rumus gabungan 3 himpunan saling ber ir isan
3.2.6 Pr insip I nklusi Eksklusi (Rumus gabungan n himpunan saling ber ir isan) 3.3 Binom Newt on
3.3.1 Penj abar an binom Newt on
3.3.2 Menent ukan koef isien dar i var iabel t er t ent u 3.4 Pigeon Hole Pr inciple
3.4.1 Penj elasan
3.4.2 Cont oh-cont oh per soalan
I V. GEOMETRI 4.1 Segit iga
4.1.1 Kesebangunan 2 segit iga
4.1.2 Penger t ian gar is t inggi, gar is ber at , gar is bagi, gar is sumbu dan sif at -sif at nya 4.1.3 Rumus luas segit iga
4.1.4 Dalil sinus dan kosinus
4.1.5 Rumus j ar i-j ar i lingkar an luar dan lingkar an dalam suat u segit iga 4.2 Segi Empat Khusus
4.2.1 Penger t ian per segi panj ang, buj ur sangkar (per segi), t r apezium, j aj ar an genj ang, belah ket upat
4.2.2 Rumus keliling dan luas segi empat khusus 4.3 Lingkar an
4.3.1 Segi empat t ali busur (Penger t ian dan sif at -sif at )
4.3.2 Gar is singgung pada lingkar an (Penger t ian secar a geomet r i) 4.4 Segi n Ber at ur an
4.4.1 Panj ang sisi
MATERI DASAR
PEMBI NAAN OLI MPI ADE MATEMATI KA
SMAN 5 BENGKULU
TEORI BI LANGAN
1. UJ I HABI S DI BAGI
a. Suat u bilangan habis dibagi 5 j ika dan hanya j ika digit t er akhir dar i bilangan t er sebut adalah 0 at au 5
Cont oh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bilangan yang habis dibagi 5.
b. Suat u bilangan habis dibagi 2n j ika dan hanya j ika n digit t er akhir dar i bilangan t er sebut
habis dibagi 2n.
Cont oh : 134576 habis dibagi 8 = 23 sebab 576 habis dibagi 8 (576 : 8 = 72) 4971328 habis dibagi 16 = 24 sebab 1328 habis dibagi 16
c. Suat u bilangan habis dibagi 3 j ika dan hanya j ika j umlah digit bilangan t er sebut habis dibagi 3.
Cont oh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3. d. Suat u bilangan habis dibagi 9 j ika dan hanya j ika j umlah digit bilangan t er sebut habis
dibagi 9.
Cont oh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9.
e. Suat u bilangan habis dibagi 11 j ika dan hanya j ika selisih ant ar a j umlah digit dar i bilangan t er sebut pada posisi ganj il dengan j umlah digit dar i bilangan t er sebut pada posisi genap habis dibagi 11.
Cont oh : 945351 habis dibagi 11 sebab (9 + 5 + 5) − (4 + 3 + 1) = 11 dan 11 habis dibagi 11. Cont oh bilangan lain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.
2. J ika suat u bilangan habis dibagi a dan j uga habis dibagi b, maka bilangan t er sebut akan habis dibagi ab dengan syar at a dan b r elat if pr ima. Ber laku sebaliknya.
Cont oh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.
3. Misalkan N j ika dibagi p akan ber sisa r . Dalam bent uk per samaan N = pq + r dengan p menyat akan pembagi, q menyat akan hasil bagi dan r menyat akan sisa.
Per samaan di at as ser ing pula dit ulis N ≡ r (mod p)
4. Kuadr at suat u bilangan bulat bulat , habis dibagi 4 at au ber sisa 1 j ika dibagi 4. maka suat u bilangan bulat yang ber sisa 2 at au 3 j ika dibagi 4, bukanlah bilangan kuadr at . Pembukt ian bisa dilakukan dengan menyat akan bahwa sebuah bilangan past i akan t er masuk salah sat u dar i bent uk 4k, 4k + 1, 4k + 2 at au 4k + 3 dilanj ut kan dengan pengkuadr at an masing-masing bent uk. Sedangkan bilangan kuadr at j ika dibagi 3 akan ber sisa 0 at au 1. Dan set er usnya unt uk pembagi yang lain.
7. Misalkan M = p1a1⋅ p2a2⋅ p3a3 ⋅⋅⋅⋅ pnan dan N = p1b1⋅ p2b2 ⋅ p3b3⋅⋅⋅⋅ pnbn maka :
Fakt or Per sekut uan Ter besar dar i M dan N dit ulis FPB (M, N) = p1c1⋅ p2c2⋅ p3c3 ⋅⋅⋅⋅ pncn
Kelipat an Per sekut uan Ter kecil dar i M dan N dit ulis KPK (M, N) = p1d1⋅ p2d2⋅ p3d3⋅⋅⋅⋅ pnbn
Dengan c1 = min (a1, b1) ; c2 = min (a2, b2) ; c2 = min (a3, b3) ; ⋅⋅⋅ ; cn = min (an, bn)
d1 = maks (a1, b1) ; d2 = maks (a2, b2) ; c3 = maks (a3, b3) ; ⋅⋅⋅ ; cn = maks (an, bn)
8. Dua bilangan dikat akan pr ima r elat if , j ika f akt or per sekut uan t er besar nya (FPB) sama dengan 1.
Cont oh : 26 dan 47 adalah pr ima r elat if sebab FPB 26 dan 47 dit ulis FPB(26,47) = 1
9. Fakt or Per sekut uan Ter besar (FPB) dar i dua bilangan asli ber ur ut an adalah 1. FPB (n, n + 1) = 1 dengan n adalah bilangan asli.
10. J ika x sebar ang bilangan r eal, maka ⎣x⎦menyat akan bilangan bulat t er besar kur ang dar i at au sama dengan x.
Cont oh : ⎣π⎦ = 3 ; ⎣0,5⎦ = 0 ; ⎣−1,6⎦ = −2 Kit a selalu memper oleh (x − 1) < ⎣x⎦≤ x
J ika x sebar ang bilangan r eal, maka ⎡x⎤ menyat akan bilangan bulat t er kecil lebih dar i at au sama dengan x.
Cont oh : ⎣π⎦ = 4 ; ⎣0,5⎦ = 1 ; ⎣−1,6⎦ = −1 Kit a memper oleh bahwa ⎣x⎦≤⎡x⎤.
Tanda kesamaan t er j adi hanya saat x adalah bilangan bulat .
11. Tanda ⎣ ⎦ dapat digunakan unt uk menent ukan nilai k bulat t er besar sehingga ak membagi n!
dengan a mer upakan bilangan pr ima dan “!” menyat akan f akt or ial.
Nilai k t er besar =
⎢
⎢⎣
⎥
⎥⎦
+
⎢⎣
⎢
2⎥⎦
⎥
+
⎢⎣
⎢
3⎥
⎥⎦
+
⎢
⎢⎣
4⎥
⎥⎦
+
L
a
n
a
n
a
n
a
n
Cont oh : k t er besar yang membuat 3k membagi 28! =
⎢
⎢⎣
⎥
⎥⎦
+
⎢⎣
⎢
2⎥⎦
⎥
+
⎢
⎢⎣
3⎥
⎥⎦
3
22
3
28
3
28
= 9 + 3 + 1 = 13.
12. Misalkan M = p1d1⋅ p2d2 ⋅ p3d3 ⋅⋅⋅⋅ ⋅ pndn dengan p1, p2, p3, ⋅⋅⋅, pn bilangan pr ima maka banyaknya
pembagi (disebut j uga dengan f akt or ) dar i M adalah (d1 + 1)(d2 + 1)(d3 + 1) ⋅⋅⋅ (dn + 1).
Cont oh : Banyaknya f akt or dar i 600 = 23⋅ 3 ⋅ 52 adalah (3 + 1)(1 + 1)(2 + 1) = 24
13. J ika X dinyat akan oleh per kalian n bilangan bulat ber ur ut an maka X habis dibagi n! dengan t anda “!” menyat akan f akt or ial.
Cont oh : 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 habis dibagi 4! = 24 kar ena 4, 5, 6 dan 7 adalah 4 bilangan bulat ber ur ut an.
15. Bilangan r asional adalah suat u bilangan yang dapat diubah ke dalam bent uk
b
a
dengan a dan b
masing-masing adalah bilangan bulat .
16.
ABCDE
L
N
(suat u bilangan yang t er dir i dar i n digit ) dapat diur aikan menj adi A⋅10n-1 + B⋅10n-2 + C⋅10n-3 + D⋅10n-4 + ⋅⋅⋅ + N.Cont oh : 48573 = 4⋅104 + 8⋅103 + 5⋅102 + 7⋅10 + 3 = 40000 + 8000 + 500 + 70 + 3
ALJ ABAR
1. Sisa dar i pembagian p(x) oleh (x − a) adalah p(a)
2. J ika a adalah pembuat nol ( at au dengan kat a lain a adalah akar dar i p(x) = 0 ) dar i polinomial p(x), maka (x − a) adalah f akt or dar i p(x).
3. h(x) = p(x) ⋅ q(x) + s(x) dengan p(x) menyat akan pembagi, q(x) hasil bagi dan s(x) adalah sisa j ika h(x) dibagi p(x).
4. J ika adalah polinomial dengan pembuat
nol : x
0 1 1 2 2 1 1
)
(
x
a
x
a
x
a
x
a
x
a
p
n nn n n
n
+
+
+
+
+
=
−− −
−
L
1, x2, x3, ⋅⋅⋅, xn, (dengan kat a lain x1, x2, x3, ⋅⋅⋅, xn adalah akar -akar p(x) = 0) maka
hubungan-hubungan ber ikut ber laku :
n n n n
a
a
x
x
x
x
x
1 1 3 2 1 − −+
=
−
+
+
+
+
L
n n n n j i j ia
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
1 2 1 3 2 3 2 4 −1 −2<
=
+
+
+
+
+
+
=
∑
L
L
n n n n n k j i k j i
a
a
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
3 1 2 5 4 2 4 3 2 4 3 1 3 2 1 − − − < <−
=
+
+
+
+
+
+
=
∑
L
L
M
( )
n n n na
a
x
x
x
x
x
0 1 3 21
L
−=
−
1
5. Unt uk n bilangan ganj il, maka (an + bn) habis dibagi (a + b)
6. Unt uk n bilangan bulat asli, maka (an− bn) habis dibagi (a − b)
7. (i). (an− bn) = (a − b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + ⋅⋅⋅ + abn-2 + bn-1) dengan n ∈ bilangan asli (ii). (an + bn) = (a + b)(an-1− an-2b + an-3b2 −⋅⋅⋅− abn-2 + bn-1) dengan n ∈ bilangan ganj il
1 i= b. 1 1 1 1 3 4 2 3 1 2 1 1
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n n n n n n i ii + +
− =
+
=
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
=
∏
L
KETI DAKSAMAAN
1. Ket idaksamaan AM−GM−HM (AM ≥ GM ≥ HM)
J ika a1, a2, a3, ⋅⋅⋅, an−1, an adalah n bilangan r eal posit if dengan r at r at a ar it mat ik (AM), r at
a-r at a geomet a-r i (GM) dan a-r at a-a-r at a haa-r monik (HM), maka akan memenuhi : AM ≥ GM ≥ HM
n n n n n n n
a
a
a
a
a
n
a
a
a
a
a
n
a
a
a
a
a
1
1
1
1
1
1 3 2 1 1 3 2 1 1 3 2 1+
+
+
+
+
≥
≥
+
+
+
+
+
− − −L
L
L
2. J ika αa ≤ αb dan α adalah bilangan posit if , maka a ≤ b sedangkan j ika α bilangan negat if maka a ≥ b.
J adi ket ika membagi kedua r uas ket idaksamaan, kit a har us memper hat ikan t anda bilangan pembagi.
GEOMETRI
1. Luas dua segit iga yang panj ang alasnya sama akan mempunyai per bandingan yang sama dengan per bandingan t ingginya sedangkan dua segit iga yang mempunyai t inggi yang sama akan mempunyai per bandingan luas yang sama dengan per bandingan panj ang alasnya.
2. J ika AB adalah diamet er sebuah lingkar an dan C t er let ak pada lingkar an maka ∠ACB = 90o.
3. J ika CD adalah t ali busur suat u lingkar an yang ber pusat di O maka OM dengan M adalah per t engahan CD akan t egak lur us CD.
4. Dua segit iga ABC dan DEF dikat akan sebangun j ika memenuhi salah sat u dar i per nyat aan ber ikut :
a. ∠A = ∠D ; ∠B = ∠ E ; ∠C = ∠F
b.
DE
AB
FD
CA
EF
BC
=
=
c.DF
DE
AC
AB
=
dan ∠A = ∠D
Teor ema ini disebut dengan Teor ema Appolonius
6. J ika ABCD adalah segiempat t alibusur , maka :
AB ⋅ CD + AD ⋅ BC = AC ⋅ BD
Kebalikannya j ika di dalam segiempat ABCD ber laku hubungan t er sebut , maka segiempat it u adalah segiempat t alibusur .
7. J ika ABCD adalah segiempat t ali busur dan diagonal AC ber pot ongan dengan diagonal BD di E maka ber laku
AE ⋅ EC = BE ⋅ ED
8. Gar is bagi pada segit iga adalah gar is yang membagi sudut suat u segit iga sama besar .
9. Gar is t inggi pada segit iga adalah gar is yang dit ar ik dar i salah sat u t it ik sudut sehingga t egak lur us sisi di hadapannya.
10. Gar is ber at (disebut j uga dengan median) pada segit iga adalah gar is yang dit ar ik dar i salah sat u t it ik sudut memot ong per t engahan sisi di hadapannya.
11. Gar is sumbu pada segit iga adalah gar is yang dit ar ik dar i per t engahan sisi dan dibuat t egak lur us sisi t er sebut dan memot ong sisi di hadapannya.
12. Ket iga gar is bagi, ket iga gar is t inggi, ket iga gar is ber at dan ket iga gar is sumbu masing-masing akan ber pot ongan di sat u t it ik.
13. Per pot ongan ket iga gar is bagi mer upakan pusat lingkar an dalam segit iga t er sebut .
14. J ika gar is bagi yang dit ar ik dar i t it ik A pada segit iga ABC memot ong sisi BC di t it ik D maka
ber laku
AC
BA
DC
BD
=
.15. Per pot ongan ket iga gar is sumbu mer upakan pusat lingkar an luar segit iga t er sebut .
16. Per pot ongan ket iga gar is ber at membagi ket iga gar is ber at t er sebut masing-masing dengan per bandingan 2 : 1.
KOMBI NATORI K
1. a. At ur an J umlah
J ika A dan B adalah dua himpunan ber hingga yang saling lepas, maka : n(A∪B) = n(A) + n(B)
Secar a umum : n(A1∪A2∪⋅⋅⋅∪An) = n(A1) + n(A2) + ⋅⋅⋅ + n(An)
b. At ur an Hasil Kali
2. Pr insip Lubang Mer pat i (Pigeon Hole)
J ika n + 1 obyek disebar secar a acak ke dalam n kot ak, maka paling sedikit sat u kot ak yang memiliki sedikit nya 2 obyek. Secar a lebih umum, j ika kn + 1 obyek disebar secar a acak ke dalam n kot ak maka paling sedikit ada sat u kot ak yang memiliki sedikit nya k + 1 obyek.
3. J ika A dan B adalah dua himpunan ber hingga, maka : n(A∪B) = n(A) + n(B) − n(A∩B)
Unt uk t iga himpunan ber hingga :
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) +n(C) − n(A∩B) − n(A∩C) − n(B∩C) + n(A∩B∩C) Demikian set er usnya unt uk lebih dar i 3 himpunan t ak ber hingga
4. Beber apa sif at koef isien binomial a. nCr = nCn−r ; 0 ≤ r ≤ n
b. nCr + nCr−1 = n+1Cr ; 1 ≤ r ≤ n
c. J ika n adalah bilangan bulat posit if , maka :
(
)
nn n n
n n n n n n
r
r r n r n n
y
C
y
x
C
y
x
C
x
C
y
x
C
y
x
+
=
=
+
−+
−+
+
=
−
∑
2 2L
2 1 1 0
0
d. Penj umlahan koef isien
(i) n
C
0+
nC
1+
nC
2+
L
+
nC
n−1+
nC
n=
2
n(ii) n
C
0+
nC
2+
nC
4+
L
=
nC
1+
nC
3+
nC
5+
L
=
2
n−15. Misalkan ada n macam obyek dan kit a ingin memilih r elemen, maka banyaknya pilihan adalah
nCr, dengan n ≥ r .
6. Misalkan ada n macam obyek dan kit a ingin memilih k elemen dibolehkan ber ulang (kit a mengganggap bahwa set iap n macam obyek t er sedia pada set iap wakt u). Maka banyaknya pilihan demikian adalah n+k−1Ck dengan n ≥ k.
7. Misalkan ada n obyek dimana k1 obyek adalah j enis per t ama (dan ident ik), k2 obyek adalah
j enis kedua, ⋅⋅⋅, kr adalah j enis ke-r sehingga k1 + k2 + k3 + ⋅⋅⋅ + kr = n. Maka banyaknya
per mut asi dar i semua n obyek adalah
!
!
!
!
!
3 21
k
k
k
rk
n
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
CON T OH- CON T OH SOAL DAN PEMBAHASAN
1. Ada ber apa banyak diant ar a bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang habis dibagi 9 ?
Solusi :
Penj umlahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 (t idak habis dibagi 9) Penj umlahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 (t idak habis dibagi 9) Penj umlahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 (t idak habis dibagi 9) Penj umlahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (t idak habis dibagi 9)
Kar ena semua penj umlahan digit t idak ada yang habis dibagi 9 maka t idak ada bilangan-bilangan t er sebut yang habis dibagi 9.
2. J ika a679b adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, t ent ukan nilai a dan b. Solusi :
72 = 9 ⋅ 8. Kar ena 9 dan 8 r elat if pr ima maka a679b har us habis dibagi 8 dan 9. Kar ena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2.
Kar ena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3. J adi bilangan t er sebut adalah 36792.
3. Tent ukan bilangan kuadr at 4 angka dengan angka per t ama sama dengan angka kedua dan angka ket iga sama dengan angka keempat .
Solusi :
Misal bilangan t er sebut adalah aabb.
Nilai b yang memenuhi adalah 0, 1, 4, 5, 6, at au 9. Tet api 11, 55, 99 j ika dibagi 4 ber sisa 3 sedangkan 66 j ika dibagi 4 ber sisa 2 yang membuat aabb t idak mungkin mer upakan bilangan kuadr at . J adi nilai b yang mungkin adalah 0 at au 4.
J ika b = 0 maka aa00 = 102(10a + a) yang ber akibat 10a + a har us bilangan kuadr at . Tet api 11, 22, 33, ⋅⋅⋅, 99 t idak ada sat upun yang mer upakan bilangan kuadr at . Sehingga t idak mungkin b = 0.
J ika b = 4 maka aa44 = 11(100a + 4). Kar ena aa44 bilangan kuadr at maka 100a + 4 habis dibagi 11. Sesuai dengan sif at bilangan habis dibagi 11 maka a + 4 − 0 habis dibagi 11. Nilai a yang memenuhi hanya 7.
J adi bilangan t er sebut adalah 7744.
4. Tent ukan semua pasangan bilangan bulat (m,n) yang memenuhi per samaan
7
23
5
−
+
=
n
n
m
.Solusi :
Alt er nat if 1 :
7
58
5
7
23
5
−
+
=
−
+
=
n
n
n
m
Kar ena m bilangan bulat maka n − 7 har us f akt or dar i 58. Nilai n − 7 yang memungkinkan adalah −1, 1, −2, 2, −29, 29. −58, 58 ber akibat nilai n yang memenuhi adalah 6, 8, 5, 9, −22, 36, −51, 65.
Alt er nat if 2 :
mn − 7m = 5n + 23 Æ (m − 5)(n − 7) = 58
Akibat nya (n − 7) dan (m − 5) har us f akt or dar i 58. Selanj ut nya sama dengan car a per t ama.
5. Bilangan r eal 2,525252⋅⋅⋅ adalah bilangan r asional, sehingga dapat dit ulis dalam bent uk
n
m
, dimana m, n
bilangan-bilangan bulat , n ≠ 0. J ika dipih m dan n yang r elat if pr ima, ber apakah m + n ? Solusi :
Misal X = 2,525252⋅⋅⋅ maka 100X = 252,525252⋅⋅⋅ 100X − X = 252,525252⋅⋅⋅− 2,525252⋅⋅⋅
99X = 250
99
250
=
X
Kar ena 250 dan 99 r elat if pr ima, maka m = 250 dan n = 99 m + n = 349.
6. Unt uk set iap bilangan r eal α, kit a def inisikan
⎣ ⎦
α
sebagai bilangan bulat yang kur ang dar i at au samadengan α. Sebagai cont oh
⎣
4
,
9
⎦
= 4 dan⎣ ⎦
7
= 7. J ika x dan y bilangan r eal sehingga⎣ ⎦
x
= 9 dan⎣ ⎦
y
= 12, maka nilai t er kecil yang mungkin dicapai oleh⎣
y
−
x
⎦
adalah ? Solusi :Kar ena
81
= 9 dan100
= 10 maka⎣ ⎦
x
= 9 dipenuhi oleh 81 ≤ x < 100 Kar ena144
= 12 dan169
= 13 maka⎣ ⎦
y
= 12 dipenuhi oleh 144 ≤ y < 169 ⎣ y − x ⎦min = ⎣ ymin− xmaks⎦ = ⎣ 144 − 99,99⋅⋅⋅⎦ = ⎣ 44,00⋅⋅⋅⋅⋅1 ⎦⎣ y − x ⎦min = 44
7. Angka t er akhir dar i 26! Past i 0. Tent ukan banyaknya angka 0 ber ur ut an yang t er let ak pada akhir bilangan 26!. (Maksud soal ini adalah 26! = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅0000. Ada ber apa banyak angka nol yang t er let ak pada akhir bilangan t er sebut ).
(Tanda “!” menyat akan f akt or ial. n! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅⋅⋅⋅⋅ n. Cont oh 2! = 2 ; 3! = 6 ; 4! = 24 dan sebagainya) Solusi :
26! = k ⋅ 2p⋅ 5q dengan p > q.
q t er besar =
⎥⎦
⎥
⎢⎣
⎢
+
⎥⎦
⎥
⎢⎣
⎢
2
5
26
5
26
= 5 + 1 = 6.
26! = k ⋅ 2r ⋅ 26 ⋅ 56 = m ⋅ 106 dengan m t idak habis dibagi 10.
Maka banyaknya angka nol ber ur ut an yang t er let ak pada akhir bilangan 26! = 6. 26! = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅000000.
8. Bukt ikan bahwa a9 − a habis dibagi 6, unt uk set iap bilangan bulat a. Solusi :
Alt er nat if 1 : a9− a = a (a8− 1)
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
a9− a = a (a2− 1) (a2 + 1) (a4 + 1) a9− a = (a − 1) a (a + 1) (a2 + 1) (a4 + 1)
Kar ena (a − 1) a (a + 1) adalah per kalian 3 bilangan bulat ber ur ut an maka a9 − a habis dibagi 3! = 6.
Alt er nat if 2 :
Sebuah bilangan bulat past i akan memenuhi bahwa ia ganj il at au genap . * J ika a genap maka a9 adalah genap
Maka a9− a adalah selisih ant ar a dua bilangan genap Æ a9 a genap
* J ika a ganj il maka a9 adalah ganj il
Maka a9− a adalah selisih ant ar a dua bilangan ganj il Æ a9 − a genap Kar ena a9− a genap maka ber ar t i a9− a habis dibagi 2.
Akan dibukt ikan bahwa a9− a j uga habis dibagi 3.
Alt er nat if 2. a :
Sebuah bilangan bulat akan memenuhi salah sat u bent uk dar i 3k, 3k + 1 at au 3k + 2 * J ika a = 3k
a9− a = 39k9− 3k = 3 (38k9− k) yang ber ar t i a9− a habis dibagi 3
* J ika a = 3k + 1
a9− a = (3k + 1)9 − (3k + 1) = 39k9 +
9C1 38k8 + 9C2 37k7 + ⋅⋅⋅ + 9C7 32k2 + 9C8 3k + 1 − (3k + 1)
a9− a = 39k9 +
9C1 38k8 + 9C2 37k7 + ⋅⋅⋅ + 9C7 32k2 + 24k = 3p
a9− a habis dibagi 3 * J ika a = 3k + 2
a9− a = (3k + 2)9− (3k + 2)
a9− a = 39 k9 + 9C1 38 21 k8 + 9C2 37 22 k7 + ⋅⋅⋅ + 9C7 32 27 k2 + 9C8 3k 28 + 1 − (3k + 2)
a9− a = 39 k9 + 9C1 38 21 k8 + 9C2 37 22 k7 + ⋅⋅⋅ + 9C7 32 27 k2 + 9C8 3k 28 + 29− (3k + 2)
9C8 3k 28− 3k = 3k (9C8⋅ 28− 1) yang ber at i habis dibagi 3
29 − 2 = 512 − 2 = 510 habis dibagi 3.
a9− a habis dibagi 3
Dapat disimpulkan bahwa a9− a habis dibagi 3. Alt er nat if 2. b :
Teor ema Fer mat : Unt uk a bilangan bulat dan p pr ima maka ap − a habis dibagi p. Penulisan dalam
bent uk lain adalah ap− a ≡ 0 (mod p) at au bisa j uga ap≡ a (mod p)
Ber dasar kan t eor ema Fer mat maka a3− a habis dibagi 3 dan (a3)3− a3 j uga habis dibagi 3. Maka (a3)3− a3 + a3 − a har us habis dibagi 3.
(a3)3− a3 + a3 − a = a9− a Æ a9− a habis dibagi 3. Kar ena 2 dan 3 r elat if pr ima maka a9− a habis dibagi 2 ⋅ 3 = 6
∴ Ter bukt i bahwa a9− a habis dibagi 6 unt uk set iap bilangan bulat a
9. Tent ukan A dan B j ika : AB
B + BA Solusi :
(10A + B) + (B) = (10B + A) dengan 1 ≤ A ≤ 9 ; 1 ≤ B ≤ 9 ; A dan B bilangan bulat . 9A = 8B Æ A = 8t dan B = 9t dengan t adalah bilangan bulat .
10. Ber apakah angka sat uan dar i : 22005− 2003 ? Solusi :
Angka sat uan dar i : 21 = 2 adalah 2 Angka sat uan dar i : 22 = 4 adalah 4 Angka sat uan dar i : 23 = 8 adalah 8
Angka sat uan dar i : 24 = 16 adalah 6
Angka sat uan dar i : 25 = 32 adalah 2
M
Tampak bahwa angka sat uan 2n unt uk n bil. asli ber ulang dengan per iode 4. Kar ena 2005 = 4 ⋅ 501 + 1, maka angka sat uan dar i 22005 sama dengan angka sat uan 21 yait u 2.
Angka sat uan dar i : 22005− 2003 = a2 − 3 = 9
11. Suat u bilangan t er dir i dar i 2 angka. Bilangan t er sebut sama dengan 4 kali j umlah kedua angka t er sebut . J ika angka kedua dikur angi angka per t ama sama dengan 2, t ent ukan bilangan t er sebut .
Solusi :
Misal bilangan it u adalah ab maka 10a + b = 4(a + b) Æ 2a = b b − a = 2 Æ 2a − a = 2 Æ a = 2 dan b = 4
J adi bilangan t er sebut adalah 24.
12. Suat u bilangan t er dir i dar i 3 angka. Bilangan t er sebut sama dengan 12 kali j umlah ket iga angkanya. Tent ukan bilangan t er sebut .
Solusi :
Misal bilangan t er sebut adalah abc dengan 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 ; 0 ≤ c ≤ 9, maka : 100a + 10b + c = 12 ( a + b + c)
88a = 2b + 11c Æ 2b = 11 (8a − c) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
Kar ena a, b dan c bilangan bulat , maka b kelipat an 11 at au b = 11k dan (8a − c) = 2k. Kar ena 0 ≤ b ≤ 9, maka nilai k yang memenuhi adalah k = 0 Æ b = 0 dan c = 8a Kar ena 0 ≤ c ≤ 9, maka a = 0 (t idak memenuhi) at au a = 1 (memenuhi) Æ c = 8 ⋅ 1 = 8. ∴ Bilangan t er sebut adalah : 108.
13. Diket ahui bahwa 5k = n2 + 2005 unt uk k dan n bulat ser t a n2 adalah bilangan yang t er dir i dar i t iga digit dengan ket iga digit nya semuanya ber beda. Tent ukan semua nilai n2 yang mungkin.
Solusi :
Kar ena 5k dan dan 2005 habis dibagi 5 maka n2 habis dibagi 5 yang ber akibat n habis dibagi 5.
n t idak akan habis dibagi 10 sebab akan membuat dua angka t er akhir nya 00. n2 < 1000 Æ n < 34
Nilai n yang mungkin adalah 15 at au 25.
Kar ena 152 = 225 yang membuat t er dapat dua digit yang sama maka n2 = 252 = 625 sebagai sat u-sat unya nilai n2 yang memenuhi.
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
Solusi :
Kar ena 19452005 adalah bilangan ganj il dan a ser t a b ganj il maka p har us genap.
Bilangan genap yang t er let ak di ant ar a 1945 dan 2005 ada sebanyak
2
1945
2005
−
= 30.
15. Manakah yang lebih besar : 2175 at au 575 ? Bukt ikan Solusi :
2175 = (27)25 = 12825 dan 575 = (53)25 = 12525 12825 > 12525
2175 > 575
∴ 2175 lebih besar dar i 575
16. Misal f adalah suat u f ungsi yang memet akan dar i bilangan bulat posit if ke bilangan bulat posit if dan didef inisikan dengan : f (ab) = b⋅f (a) + a⋅f (b). J ika f (10) = 19 ; f (12) = 52 dan f (15) = 26. Tent ukan f (8). Solusi :
f (120) = f (10 ⋅ 12) = 12f (10) + 10f (12) = 12 ⋅ 19 + 10 ⋅ 52 = 748 ⋅⋅⋅⋅⋅ (1) f (120) = f (8 ⋅ 15) = 8f (15) + 15f (8) = 8 ⋅ 26 + 15f (8) = 208 + 15f (8) ⋅⋅⋅⋅⋅ (2) 748 = 208 + 15f (8)
∴ f (8) = 36
17. J ika
1945
7
3
+
−
=
x
x
y
mempunyai ar t i y dinyat akan dalam x. Dar i per samaan t er sebut t ent ukan xdinyat akan dalam y. Solusi :
7yx + 1945y = 3 − x 7yx + x = 3 − 1945y x(7y + 1) = 3 − 1945y
1
7
1945
3
+
−
=
y
y
x
18. Misalkan bahwa f (x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c dan bahwa f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = f (5). Ber apakah
nilai a ? Solusi :
Misal f (1) = f (2) = f (3) = f (4) = f (5) = k Dibent uk per samaan polinomial :
g(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c − k g(x) = f (x) − k
J elas bahwa g(1) = g(2) = g(3) = g(4) = g(5) = 0
Ber ar t i bahwa 1; 2; 3; 4 dan 5 adalah akar -akar per samaan polinomial g(x) = 0. x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + c − k = 0
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 =
A
B
−
=−
a
=
−
a
1
19. J ika α, β dan γ adalah akar -akar per samaan x3− x − 1 = 0 t ent ukan
γ
γ
β
β
β
α
−
+
+
−
+
+
−
+
1
1
1
1
1
1
. Solusi :γ
β
α
+
+
=A
B
−
= 0βγ
αγ
αβ
+
+
=A
C
=1
1
−
= −1
αβγ
=A
D
−
=1
)
1
(
−
−
= 1γ
γ
β
β
α
α
−
+
+
−
+
+
−
+
1
1
1
1
1
1
=(
)(
)(
) (
(
)(
)(
)(
)(
)
) (
)(
)(
)
γ
β
α
γ
α
γ
γ
α
β
γ
β
α
−
−
−
−
−
+
+
−
−
+
+
−
−
+
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
=(
) (
)
(
α
β
γ
) (
αβ
αγ
βγ
)
αβγ
αβγ
βγ
αγ
αβ
γ
β
α
−
+
+
+
+
+
−
+
+
+
−
+
+
−
1
3
3
=)
1
(
)
1
(
)
0
(
1
)
1
(
3
)
1
(
)
0
(
3
−
−
+
−
+
−
−
−
= −7
20. Bukt ikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah f akt or dar i 3105 + 4105. Solusi :
Kar ena 105 ganj il maka 3105 + 4105 habis dibagi 3 + 4 = 7. 3105 + 4105 = (33)35 + (43)35 = 2735 + 6435
Kar ena 35 ganj il maka 3105 + 4105 habis dibagi 27 + 64 = 91. Kar ena 91 = 7 ⋅ 13 maka 3105 + 4105 habis dibagi 13.
3105 + 4105 = (35)21 + (45)21 = 24321 + 102421
Kar ena 21 ganj il maka 3105 + 4105 habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Kar ena 1267 = 7 ⋅ 181 maka 3105 + 4105
habis dibagi 181.
21. Unt uk sebar ang bilangan r eal a, b, c bukt ikan ket aksamaan 5a2 + 5b2 + 5c2 ≥ 4ab + 4ac + 4bc dan t ent ukan kapan kesamaan ber laku.
Solusi :
(a − b)2≥ 0 Æ a2 + b2 ≥ 2ab
Per t idaksamaan di at as dapat diper oleh pula dar i per t idaksamaan AM-GM
2 2 2
2
2
a
b
b
a
≥
+
Æ a2 + b2 ≥ 2ab ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
Kesamaan t er j adi bila a = b
Ber dasar kan per samaan (1) didapat : a2 + c2≥ 2ac ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) b2 + c2≥ 2bc ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)
(1) + (2) + (3) Æ a2 + b2 + c2≥ ab + ac + bc Æ 4a2 + 4b2 + 4c2≥ 4ab + 4ac + 4bc ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4) Bilangan kuadr at ber nilai ≥ 0 maka :
a2 + b2 + c2≥ 0 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5)
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
(4) + (5) Æ 5a2 + 5b2 + 5c2≥ 4ab + 4ac + 4bc Kesamaan t er j adi hanya j ika a = b = c = 0
∴ T er bukt i bahwa 5a2 + 5b2 + 5c2 ≥ 4ab + 4ac + 4bc
22. Unt uk a, b dan c bilangan posit if , bukt ikan per t idaksamaan (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc. Solusi :
AM ≥ GM Æ
a
+
b
≥
ab
2
Æ a + b ≥ 2ab
Maka a + c ≥ 2ac
dan b + c ≥ 2bc
(a + b)(a + c)(b + c) ≥ 2
ab
⋅ 2ac
⋅ 2bc
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc (t er bukt i)23. Hit unglah nilai
2006
2005
1
2005
2004
1
5
4
1
4
3
1
3
2
1
2
1
1
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
L
.Solusi :
Soal di at as mer upakan cont oh pr insip t eleskopik.
2
1
1
1
2
1
1
=
−
⋅
;3
1
2
1
3
2
1
=
−
⋅
;4
1
3
1
4
3
1
=
−
⋅
; ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ;2006
1
2005
1
2006
2005
1
=
−
⋅
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
2006
1
2005
1
4
1
3
1
3
1
2
1
2
1
1
1
2006
2005
1
2005
2004
1
4
3
1
3
2
1
2
1
1
L
L
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
2006
1
1
2006
2005
1
2005
2004
1
4
3
1
3
2
1
2
1
1
L
∴2006
2005
2006
2005
1
2005
2004
1
5
4
1
4
3
1
3
2
1
2
1
1
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
⋅
L
24.
L
L
⎟
=
L
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
2006
1
1
2004
1
1
6
1
1
4
1
1
2
1
1
2005
1
1
2003
1
1
7
1
1
5
1
1
3
1
1
Solusi :Misal S =
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
2006
1
1
6
1
1
4
1
1
2
1
1
2005
1
1
7
1
1
5
1
1
3
1
1
L
L
S =
2006
2007
6
7
4
5
2
3
2005
2004
7
6
5
4
3
2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
L
L
S =
2006
2007
2004
2005
2005
2004
6
7
7
6
4
5
5
4
2
3
3
2
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
⋅
L
S =
2006
2007
ser t a t idak ada j alanan yang mendat ar . J ika Tomi membut uhkan wakt u dar i kot a A ke kot a B lalu kembali lagi ke kot a A dalam wakt u 5 j am t anpa ist ir ahat , maka ber apa km j ar ak kot a B dar i kot a A ? Solusi :
Misal J ar ak j alan menanj ak dar i A ke B = x dan j ar ak j alan menur un dar i A ke B = y.
60
40
60
40
5
=
x
+
y
+
y
+
x
60
40
5
=
x
+
y
+
x
+
y
5 ⋅ 40 ⋅ 60 = (40 + 60)(x + y) x + y = 120
J ar ak dar i B ke kot a A = 120 km
26. Empat buah t it ik ber beda t er let ak pada sat u gar is lur us. J ar ak ant ar a sebar ang dua t it ik dapat diur ut kan menj adi bar isan 1, 4, 5, k, 9, 10. Tent ukan nilai k.
Solusi :
Misal gar is t er sebut t er let ak pada sumbu X.
Angap t it ik A adalah t it ik paling kir i, D paling kanan ser t a B dan C t er let ak di ant ar a A dan D. Tit ik A ber ada pada x = 0 Æ D ber ada pada koor dinat x = 10.
Kar ena ada yang ber j ar ak 1 maka salah sat u B at au C akan ber ada di x = 1 at au x = 9 Tanpa mengur angi keumuman soal misalkan t it ik t er sebut adalah B.
• B t er let ak pada x = 1 J ar ak B dan D = 9
Kar ena har us ada dua t it ik yang ber j ar ak 4 maka kemungkinan posisi C ada di x = 4, 5 at au 6.
Posisi C t idak mungkin di x = 4 sebab akan membuat j ar ak ant ar a sebar ang dua t it ik adalah 1, 3, 4, 6, 9, 10.
Posisi C t idak mungkin di x = 5 sebab akan membuat j ar ak ant ar a sebar ang dua t it ik adalah 1, 4, 5, 9, 10 (t idak ada nilai k)
Maka posisi C ada di x = 6 yang akan membuat j ar ak dua t it ik sebar ang adalah 1, 4, 5, 6, 9, 10 k = 6
• B t er let ak pada x = 9 J ar ak B dan A = 9
Kar ena har us ada dua t it ik yang ber j ar ak 4 maka kemungkinan posisi C ada di x = 4, 5 at au 6.
Posisi C t idak mungkin di x = 6 sebab akan membuat j ar ak ant ar a sebar ang dua t it ik adalah 1, 3, 4, 6, 9, 10.
Posisi C t idak mungkin di x = 5 sebab akan membuat j ar ak ant ar a sebar ang dua t it ik adalah 1, 4, 5, 9, 10 (t idak ada nilai k)
Maka posisi C ada di x = 4 yang akan membuat j ar ak dua t it ik sebar ang adalah 1, 4, 5, 6, 9, 10 k = 6
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
Solusi :
Andaikan keempat bilangan t er sebut = 20 Æ F + L + R + X = 20 yang hanya dapat dipenuhi j ika F = L = R = X = 5.
Pada kolom ke-5 har us t er dapat sat u bilangan 5. Akibat nya E = 5.
Kar ena dalam masing-masing kolom hanya t er dapat sat u bilangan 5, maka banyaknya bilangan 5 ada t epat sebanyak 5.
Tet api pada diagonal ut ama dar i kir i at as ke kanan bawah belum t er dapat bilangan 5 sedangkan bilangan 5 t elah t er dapat sebanyak 5 (kont r adiksi).
Maka t idak mungkin F + L + R + X = 20.
28. J ika bent uk pangkat (a + b + c + d + e)7 diekspansikan menj adi suku-sukunya, maka t ent ukan koef isien
dar i a2cd3e.
Solusi :
(a + b + c + d + e)7 = (a + (b + c + d + e))7
maka koef isien dar i a2(b + c + d + e)5 adalah 7C2 sehingga :
(a + b + c + d + e)7 = ⋅⋅⋅ + 7C2 a2(b + c + d + e)5 + ⋅⋅⋅
(a + b + c + d + e)7 = ⋅⋅⋅ + 7C2 a2 5C0 b0 (c + d + e)5 + ⋅⋅⋅
(a + b + c + d + e)7 = ⋅⋅⋅ + 7C2 5C0 a2 5C1 c1 (d + e)4 + ⋅⋅⋅
(a + b + c + d + e)7 = ⋅⋅⋅ + 7C2 5C0 5C1 a2c 4C3 d3e + ⋅⋅⋅
(a + b + c + d + e)7 = ⋅⋅⋅ + 7C2 5C0 5C1 4C3 a2cd3e + ⋅⋅⋅
Koef isien dar i a2cd3e adalah
7C2 5C0 5C1 4C3 = 21 ⋅ 1 ⋅ 5 ⋅ 4 ∴ Koef isien dar i a2cd3e = 420
29. Di dalam sebuah kot ak t er dapat 4 bola yang masing-masing ber nomor 1, 2, 3 dan 4. Tomi mengambil bola secar a acak lalu mencat at nomor nya dan mengembalikkan bola t er sebut ke dalam kot ak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak 4 kali. Misalkan j umlah keempat nomor bola yang diambilnya sama dengan 12. Ada ber apa banyak car a ia mendapat kan hal t er sebut ?
Solusi :
Alt er nat if 1 :
Kemungkinan empat j enis bola yang t er ambil adalah : • Keempat bola t er sebut adalah (1, 3, 4, 4)
Banyaknya kemungkinan =
!
2
!
4
= 12
Semua kemungkinannya adalah (1, 3, 4, 4) ; (1, 4, 3, 4) ; (1, 4, 4, 3) ; (3, 1, 4, 4) ; (3, 4, 1, 4) ; (3, 4, 4, 1) ; (4, 1, 3, 4) ; (4, 1, 4, 3) ; (4, 3, 1, 4) ; (4, 3, 4, 1) ; (4, 4, 1, 3) ; (4, 4, 3, 1)
• Keempat bola t er sebut adalah (2, 3, 3, 4)
Banyaknya kemungkinan =
!
2
!
4
Semua kemungkinannya adalah (2, 3, 3, 4) ; (2, 3, 4, 3) ; (2, 4, 3, 3) ; (3, 2, 3, 4) ; (3, 2, 4, 3) ; (3, 3, 2, 4) ; (3, 3, 4, 2) ; (3, 4, 2, 3) ; (3, 4, 3, 2) ; (4, 2, 3, 3) ; (4, 3, 2, 3) ; (4, 3, 3, 2)
• Keempat bola t er sebut adalah (2, 2, 4, 4)
Banyaknya kemungkinan =
!
2
!
2
!
4
⋅
= 6Semua kemungkinannya adalah (2, 2, 4, 4) ; (2, 4, 2, 4) ; (2, 4, 4, 2) ; (4, 2, 2, 4) ; (4, 2, 4, 2) ; (4, 4, 2, 2)
• Keempat bola t er sebut adalah (3, 3, 3, 3)
Banyaknya kemungkinan =
!
4
!
4
= 1
Semua kemungkinannya adalah (3, 3, 3, 3)
Tot al banyaknya kemungkinan adalah 12 + 12 + 6 + 1 = 31
Alt er nat if 2 :
Dengan car a mendaf t ar semua kemungkinanya.
30. Delegasi I ndonesia ke suat u per t emuan pemuda int er nasional t er dir i dar i 5 or ang. Ada 7 or ang pr ia dan 5 or ang wanit a yang mencalonkan dir i unt uk menj adi anggot a delegasi. J ika diper syar at kan bahwa paling sedikit seor ang anggot a it u har us wanit a, banyaknya car a memilih anggot a delegasi adalah ⋅⋅⋅⋅
Solusi :
Susunan delegasi yang mungkin adalah 4 pr ia dan 1 wanit a at au 3 pr ia dan 2 wanit a at au 2 pr ia dan 3 wanit a at au 1 pr ia dan 4 wanit a at au 5 wanit a .
Banyaknya car a memilih anggot a delegasi adalah 7C4 ⋅ 5C1 + 7C3 ⋅ 5C2 + 7C2 ⋅ 5C3 + 7C1 ⋅ 5C4 + 7C0 ⋅ 5C5 =
35 ⋅ 5 + 35 ⋅ 10 + 21 ⋅ 10 + 7 ⋅ 5 + 1 ⋅ 1 = 175 + 350 + 210 + 35 + 1 = 771 car a. ∴ Banyaknya car a memilih anggot a delegasi ada 771.
31. Tiga buah t it ik t er let ak pada daer ah yang dibat asi oleh sumbu y dan gr af ik per samaan 7x − 3y2 + 21 = 0. Bukt ikan bahwa sedikit nya dua di ant ar a ket iga t it ik t er sebut mempunyai j ar ak t idak lebih dar i 4 sat uan.
Solusi :
x − 3y2 + 21 = 0 Æ 7x = 3y2− 21 Æ
(
7
)(
7
)
7
3
−
+
=
y
y
x
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
J ar ak AB =
(
−
3
−
0
)
2+
(
0
−
7
)
2=
4
J ar ak AC =
(
−
3
−
0
)
2+
(
0
−
(
−
7
)
)
2=
4
Unt uk 0 ≤ y ≤ √7, t ampak bahwa j ar ak t er j auh 2 t it ik t er j adi j ika kedua t it ik t er sebut di A dan B dengan j ar ak AB = 4.
Unt uk −√7 ≤ y ≤ 0, t ampak bahwa j ar ak t er j auh 2 t it ik t er j adi j ika kedua t it ik t er sebut di A dan C dengan j ar ak AC = 4.
Kar ena ada 3 buah t it ik dan ada 2 daer ah maka sesuai Pigeon Hole Pr inciple (PHP) maka sekur ang-kur angnya ada 2 t it ik dalam sat u daer ah yait u memiliki or dinat 0 ≤ y ≤√7 at au −√7 ≤ y ≤ 0.
∴ Dar i penj elasan di at as dapat disimpulkan bahwa j ika 3 t it ik t er let ak pada daer ah yang dibat asi oleh sumbu Y dan gr af ik per samaan 7x − 3y2 + 21 = 0, maka sedikit nya 2 t it ik di ant ar a ket iga t it ik t er sebut mempunyai j ar ak t idak lebih dar i 4 sat uan.
32. Gar is AB dan CD sej aj ar dan ber j ar ak 4 sat uan. Misalkan AD memot ong BC di t it ik P diant ar a kedua gar is. J ika AB = 4 dan CD = 12, ber apa j auh P dar i gar is CD ?
Solusi :
Dibuat gar is EF t egak lur us AB maupun CD ser t a melalui t it ik P.
Kar ena ∠CPD = ∠APB dan AB sej aj ar dengan CD, maka ∆APB kongr uen dengan ∆CPD.
3
4
12
=
=
=
AB
CD
PF
EP
EP
PF
=
⋅
3
1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)
EP + PF = 4
4
3
1
⋅
=
+
EP
EP
∴ EP = 3 sat uan
33. Per hat ikan gambar . ABCD dan BEFG masing-masing adalah per segi (buj ur sangkar ) dengan panj ang sisi 8 dan 6. Tent ukan luas daer ah yang diar sir .
Solusi :
Alt er nat if 1 :
Luas ar sir = Luas ABCD + Luas BEFG − Luas ∆ADE − Luas ∆EGF Luas ar sir = 82 + 62 − ½ ⋅ 8 ⋅ 14 − ½ ⋅ 6 ⋅ 6
Luas ar sir = 64 + 36 − 56 − 18 Luas ar sir = 26
Alt er nat if 2 :
Misal gar is DE ber pot ongan dengan BG di H
BE
HB
AE
AD
=
Æ6
14
8
HB
=
Æ7
24
=
HB
Æ7
32
8
−
=
=
HB
CH
Æ7
18
6
−
=
=
HB
GH
Luas ar sir =
6
7
18
2
1
7
32
8
2
1
⋅
⋅
+
⋅
⋅
Luas ar sir = 26
34. Diket ahui ∆ABC dengan AC = 2BC = 10 cm. Dar i t it ik C dibuat gar is bagi sudut ACB, sehingga memot ong AB di t it ik D. Dibuat gar is DE t egak lur us pada AB, sehingga BC = EB. Dar i t it ik D dibuat gar is t egak lur us pada EB dan memot ong EB di t it ik F. J ika panj ang AD = 8 cm. Hit unglah panj ang EF.
Solusi :
Kar ena CD adalah gar is bagi maka
DB
AD
BC
AC
=
Æ DB = 4 cm
Kar ena BE = BC = 5 cm dan DB = 4 cm maka DE = 3 cm.
Alt er nat if 1 :
∆EFD sebangun dengan ∆BDE (ser ing dit ulis dengan ∆EFD ≅∆BDE)
BE
DE
DE
EF
=
Æ
5
3
3
=
EF
EF = 1,8 cm
Alt er nat if 2 :
Luas ∆BDE = ½ BE ⋅ DF = ½ DE ⋅ BD Æ (5) (DF) = (3)(4) Æ DF =
5
12
cm
( )
2 2( )
2 2 2 2 25
12
15
5
12
3
)
(
⎟
=
−
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
−
=
DE
DF
EF
EF = 1,8 cm
Alt er nat if 3 :
(DF)2 = (DE)2− (EF)2 = (BD)2 − (BF)2 Æ (BF)2 − (EF)2 = (BD)2− (DE)2 (BE − EF)2− (EF)2 = (BD)2 − (DE)2 = 42 − 32 = 7
52 − 10(EF) + (EF)2− (EF)2 = 7 25 − 10(EF) = 7
EF = 1,8 cm
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
Solusi :
Luas daer ah yang diar sir = Luas ∆ABD + Luas∆ABE− 2 ⋅ Luas∆ABC = ½ ⋅ 4 ⋅ 6 + ½ ⋅ 4 ⋅ 9 − 2 ⋅ ½ ⋅ 4 ⋅ 3
= (12 + 18 − 12) cm2
= 18 cm2
36. ABC adalah sebuah segit iga dengan panj ang AB = 6. Dibuat sebuah lingkar an dalam yang menyinggung sisi AB di K, AC di L dan BC di M (lihat gambar ). J ika panj ang LC = 5, t ent ukan keliling segit iga ABC.
Solusi :
Per hat ikan bahwa CM = CL, BM = BK dan AL = AK Keliling ∆ABC = BK + KA + AL + LC + CM + MB Keliling ∆ABC = BK + KA + KA + LC + LC + BK Keliling ∆ABC = 2(BK + KA) + 2LC
Keliling ∆ABC = 2AB + 2LC = 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 5 Keliling ∆ABC = 22
37. Pada segit iga ABC diket ahui panj ang AC = 5, AB = 6 dan BC = 7. Dar i t it ik C dibuat gar is t egak lur us sisi AB memot ong sisi AB di t it ik D. Tent ukan panj ang CD.
Solusi :
Alt er nat if 1 :
Misalkan panj ang AD = x Æ BD = 6 − x CD2 = AC2− AD2 = BC2− BD2
52 − x2 = 72 − (6 − x)2
24 = 36 − 12x + x2− x2 Æ x = 1 CD2 = 52− 12
CD =
2
6
Alt er nat if 2 :s = ½ (5 + 6 + 7) = 9
Luas ∆ABC =
s
(
s
−
a
)(
s
−
b
)(
s
−
c
)
=9
(
9
−
5
)(
9
−
6
)(
9
−
7
)
=6
6
Luas ∆ABC = ½ ⋅ AB ⋅ CD = 3CD
3 ⋅ CD =
6
6
38. Per hat ikan gambar . AB dan CD adalah diamet er lingkar an dengan AB = CD = 8 ser t a AB dan CD saling t egak lur us. Busur AC, CB, BD dan DA adalah 4 busur yang kongr uen dengan dua busur yang ber dekat an saling ber singgungan. Tent ukan luas daer ah yang diar sir . (J awaban boleh dinyat akan dalam π. I ngat
bahwa π≠
7
22
maupun 3,14.)
Solusi :
Alt er nat if 1 :
Buat per segi EFGH dengan A, B, C dan D adalah per t engahan sisi-sisinya.
Luasar sir = Luasper segi EFGH− 4 ⋅ Luas1/ 4 lingkar an
Luasar sir = 8 ⋅ 8 − 4 (¼ π 42)
Luasar sir = 64 − 16π Alt er nat if 2 :
Misal per pot ongan gar is AB dan CD di t it ik O Luast ember eng AC = Luas1/ 4lingkar an− Luas ∆AOC
Luast ember eng AC = ¼ ⋅π⋅ 42 − ½ ⋅ 4 ⋅ 4
Luast ember eng AC = 4π− 8
Luas ar sir = Luas lingkar an − 8 ⋅ Luas t ember eng Luas ar sir = π⋅ 42 − 8 ⋅ (4π− 8)
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
KUMPULAN SOAL MATERI DASAR
OLI MPI ADE MATEMATI KA BI DANG TEORI BI LANGAN
Sumber :
1. Mu Alpha Theta National Convention : Denver 2001 Number Theory Topic Test
2. Alabama State-Wide Mathematics Contest Cliphering Question
1. Yang manakah di ant ar a bilangan ber ikut yang memenuhi ber sisa 1 j ika dibagi 3 ?
A. 330 B. 331 C. 332 D. 333 E. Tidak ada
2. Tent ukan j umlah 100 bilangan asli per t ama yang bukan bilangan kuadr at .
A. 3080 B. 5720 C. 6105 D. 6250 E. Tidak ada
3. Tent ukan nilai t er besar n sehingga 3n membagi 311!
A. 103 B. 152 C. 153 D. 155 E. Tidak ada
4. N adalah bilangan bulat posit if dan memenuhi j ika dibagi 3 ber sisa 2 dan j ika dibagi 2 ber sisa 1. Ber apakah sisanya j ika N dibagi 6 ?
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1 E. Tidak ada
5. Tent ukan bilangan t er kecil yang mer upakan kelipat an 13 dan sat u lebihnya dar i suat u bilangan kelipat an 7.
A. 39 B. 52 C. 65 D. 78 E. Tidak ada
6. Ber apa banyakkah akhir an angka 0 ber t ur ut -t ur ut yang dimiliki oleh 134! ?
A. 26 B. 31 C. 32 D. 37 E. Tidak ada
7. Tent ukan bilangan asli t er kecil yang memiliki f akt or sebanyak 12.
A. 60 B. 72 C. 84 D. 90 E. Tidak ada
8. Tent ukan bilangan asli t er kecil yang memiliki f akt or sebanyak 12 yang t idak habis dibagi 3.
A. 136 B. 140 C. 160 D. 220 E. Tidak ada
9. Ber apakah penj umlahan semua f akt or dar i 84 ?
A. 112 B. 128 C. 224 D. 432 E. Tidak ada
10. Yang manakah di ant ar a bilangan-bilangan ber ikut ini yang r elat if pr ima t er hadap yang lain ?
A. 221 B. 1001 C. 1728 D. 2737 E. Tidak ada
11. J ika 10a ber sisa 1 j ika dibagi 13 (per soalan ini kadang-kadang dit ulis dengan 10a ≡ 1 (mod 13), maka ber apakah sisanya j ika 17a dibagi 13 ?
A. 1 B. 3 C. 9 D. 12 E. Tidak ada
12. Sebuah bilangan 4 angka 6A6A habis dibagi 72. Ber apakah penj umlahan semua angka yang mungkin dar i A ?
13. J ika 3x ber sisa 4 j ika dibagi 5 dan 5x dibagi 7 ber sisa 6, yang manakah di ant ar a bilangan-bilangan ber ikut yang mungkin mer upakan x ?
A. 19 B. 34 C. 53 D. 630 E. Tidak ada
14. Tent ukan bilangan t er kecil yang memenuhi sif at ber sisa 1 j ika dibagi oleh 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
A. 209 B. 839 C. 629 D. 2519 E. Tidak ada
15. J umlah n bilangan asli per t ama sama dengan S dimana S habis dibagi 183. Tent ukan nilai t er kecil dar i n.
A. 60 B. 61 C. 182 D. 183 E. Tidak ada
16. Tent ukan angka puluhan dar i 7707.
A. 0 B. 4 C. 7 D. 9 E. Tidak ada
17. Yang manakah di ant ar a bilangan-bilangan ber ikut yang habis dibagi 99 ?
A. 5256 B. 7018 C. 18623 D. 32571 E. Tidak ada
18. Hasil kali dua bilangan asli adalah 9984. Nilai selisih posit if t er kecil dar i kedua bilangan t er sebut adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 E. Tidak ada
19. Kelipat an per sekut uan t er kecil (KPK) dar i t iga bilangan 297, 481 dan 672 adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
A. 32032 B. 31999968 C. 864864 D. 63999936 E. Tidak ada
20. Ber apakah sisanya j ika 5301 dibagi 8 ?
A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 E. Tidak ada
21. J ika M adalah kelipat an per sekut uan t er kecil (KPK) dar i 20 bilangan asli per t ama, maka banyaknya f akt or posit if dar i M adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
KUMPULAN SOAL MATERI DASAR OLI MPI ADE MATEMATI KA
BI DANG ALJ ABAR
1. J ika bilangan 6 angka A8787B habis dibagi 144, maka t ent ukan nilai A dan B yang mungkin ?
2. Tent ukan bilangan asli t er kecil yang memiliki f akt or sebanyak 14.
3. Tent ukan penj umlahan semua f akt or -f akt or posit if dar i 2004.
4. Tent ukan nilai x yang memenuhi per samaan
15
1
8
4
1
8
12
4
1
8
12
4
⎟
=
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
+
−
x
x
x
x
x
x
x
5. Bukt ikan bahwa 12001 + 22001 + 32001 + 42001 + ⋅⋅⋅ + 20012001 mer upakan bilangan kelipat an 13.
6. J ika diket ahui nilai
14
y
2−
20
y
+
48
+
14
y
2−
20
y
−
15
=
9
maka ber apakah nilai dar i15
20
14
48
20
14
y
2−
y
+
−
y
2−
y
−
?7. Ber apakah penj umlahan semua bilangan pr ima yang memenuhi 1 lebihnya dar i bilangan kelipat an 4 dan 1 kur angnya dar i suat u bilangan kelipat an 5.
8. Misalkan N adalah bilangan bulat t er kecil yang ber sif at : ber sisa 2 j ika dibagi 5, ber sisa 3 j ika dibagi oleh 7, dan ber sisa 4 j ika dibagi 9. Tent ukan N.
9. Bilangan 13! J ika dit uliskan akan menj adi A22B020C00. Tent ukan nilai A, B dan C.
10. Unt uk n bilangan cacah bukt ikan bahwa n5− n habis dibagi 30.
11. Selesaikan sist em per samaan ber ikut :
2 1
= +y x
xy ;
3 1
= +z y
yz ;
7 1
= +z x
KUMPULAN SOAL MATERI DASAR
OLI MPI ADE MATEMATI KA BI DANG KOMBI NATORI K
Sumber :
1. Mu Alpha Theta National Convention 2003 : Probability/Permutations/Combinations
2. Mu Alpha Theta National Convention 2003 : Alpha Probability
1. Dar i 15 anggot a sebuah or ganisasi akan diambil 2 or ang yang akan mewakili or ganisasi t er sebut ke suat u per t emuan. Ber apa banyak susunan ber beda dar i per wakilan or ganisasi
A. 15! B. 15P2 C. 15C2 D. (15)(2) E. Tidak ada
2. Sebuah per usahaan di bidang memper ker j akan 25 insinyur dan 10 or ang agen penj ualan. Sebuah komit e yang t er dir i dar i 3 insinyur dan dan 2 agen penj ualan dibent uk unt uk membahas pr oduk bar u. Ber apa banyak susunan komit e yang dapat dibent uk ?
A. 13890 B. 103500 C. 324632 D. 1242000 E. Tidak ada
3. Pada sebuah negar a plat kendar aan t er dir i dar i 2 angka diikut i 3 abj ad. Anggap bahwa angka 0 boleh dit ar uh di muka. Ber apakah maksimum j umlah plat yang dapat dibuat di negar a t er sebut ?
A. 1757600 B. 1423656 C. 1404000 D. 1265625 E. Tidak ada
4. Tent ukan nilai nP3 j ika diket ahui nC3 = 12n.
A. 720 B. 210 C. 120 D. 35 E. Tidak ada
5. Dua bilangan bulat posit if dipilih secar a acak. Ber apakah peluang bahwa per kalian kedua bilangan t er sebut menghasilkan bilangan genap ?
A.
2
1
B.
4
1
C.
4
3
D. 1 E. Tidak ada
6. Ada ber apa banyak j alan j ika hur uf -hur uf pada MUALPHATHETA disusun ?
A. 479001600 B. 79833600 C. 399116800 D. 19958400 E. Tidak ada
7. Tent ukan banyaknya diagonal pada segi 10.
A. 10 B. 18 C. 28 D. 35 E. Tidak ada
8. Tiga buah dadu dilempar . Tent ukan peluang munculnya j umlah mat a dadu t idak lebih dar i 16.
A.
108
1
B.
54
1
C.
108
103
D.
54
53
E. Tidak ada
9. Ada ber apa banyak bilangan ganj il yang dapat dibent uk dengan menggunakan angka-angka 2, 3, 5 dan 7 j ika angka-angka t er sebut t idak boleh diulang ?
A. 18 B. 27 C. 36 D. 45 E. Tidak ada
10. Himpunan S adalah {# , !, @, * , $ , %}. Ber apa banyak himpunan bagian dar i S yang t idak kosong ?
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
11. Tent ukan konst ant a dar i penj abar an bent uk
9 2
2 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
x x
A. 672 B. 84 C. 1 D. −84 E. Tidak ada
12. J ika f akt or posit if dar i 2010 diambil secar a acak, ber apakah peluang yang t er ambil adalah bilangan bulat ?
A.
4
1
B.
8
5
C.
4
3
D.
16
7
E. Tidak ada
13. Dar i 10 ekor anj ing pada sebuah t empat t er dapat 5 anj ing bet ina dan 3 anj ing ber war na hit am. Diket ahui bahwa seper lima anj ing adalah j ant an hit am. J ika seekor anj ing dipilih secar a acak ber apakah peluang t er ambilnya anj ing bet ina yang t idak ber war na hit am ?
A. 0,1 B. 0,2 C. 0,3 D. 0,4 E. Tidak ada
14. J ika aC5 = aC7 dan b = aP2 , t ent ukan nilai a + b.
A. 4 B. 78 C. 144 D. 1325 E. Tidak ada
15. Pada sebuah kot a, nomor t elepon t er dir i dar i 7 angka. Angka 0 diper bolehkan dit ar uh di muka. Ber apakah peluang bahwa ket uj uh angkanya ber ur ut an (bisa naik at au t ut un) ? Cont oh nomor t elepon t er sebut adalah 1234567 ; 8765432.
A. 7
10
8
B. 7
10
6
C. 7
10
4
D. 7
10
3
E. Tidak ada
16. J ika x dan y adalah dua buah bilangan posit if lebih dar i 0 t api kur ang dar i 4, ber apakah peluang bahwa j umlah x dan y kur ang dar i 2 ?
A.
8
1
B.
6
1
C.
4
1
D.
3
1
E. Tidak ada
17. Sebuah kar t u diambil dar i t umpukan kar t u br idge. Ber apakah peluang yang t er ambilnya adalah kar t u 3 at au king ?
A.
52
1
B.
26
1
C.
13
1
D.
13
2
E. Tidak ada
18. Nama-nama 18 buah poligon ber at ur an dit ulis pada sebuah kar t u. Sat u poligon sat u kar t u. Nama-nama poligon t er sebut adalah segit iga sama sisi, per segi, segi-5 ber at ur an, segi-6 ber at ur an sampai dengan kaar t u yang ke-18 yait u segi-20 ber at ur an. J ika sebuah kar t u diambil dar i t umpukan ini, ber apakah peluang yang t er ambil adalah kar t u yang ber t uliskan nama poligon yang sudut dalamnya bukan bilangan bulat dengan sudut dinyat akan dalam der aj at ?
A.
20
7
B.
2
1
C.
20
11
D. 1 E. Tidak ada
19. Per mainan ROOK menggunakan 45 kar t u. Kar t u t er sebut t er dir i dar i 1 Rook, dan 4 j enis kar t u ber beda war na yang masing-masing t er dir i dar i 11 kar t u. War na-war na kar t u t er sebut adalah mer ah, kuning, hij au dan hit am. Per mainan ini dimainkan oleh 4 pemain. Masing-masing pemain mengambil 10 buah kar t u secar a acak sehingga t inggal 5 buah kar t u yang t idak digunakan sampai per mainan ber akhir . J ika kar t u Rook dianggap dapat menj adi kar t u ber war na apa saj a, ada ber apa car akah seor ang pemain mendapat kan ke-10 kar t unya ber war na sama ?
20. Disediakan 6 bilangan posit if dan 8 bilangan negat if . Empat buah bilangan diambil secar a acak. Ber apakah peluang per kalian keempat bilangan t er sebut adalah bilangan posit if ?
A.
1001
202
B.
1001
303
C.
1001
404
D.
1001
505
E. Tidak ada
21. Keadaan mur id kemungkinannya adalah sehat at au sakit , Misalkan mur id sekar ang sehat maka peluang dia t et ap sehat besok adalah 95%. J ika mur id har i ini sakit maka peluang dia t et ap sakit besok adalah 55%. Diket ahui bahwa 20% mur id har i ini sakit , maka pr osent ase mur id diper kir akan sakit besok adalah ⋅⋅⋅⋅⋅
A. 11% B. 15% C. 20% D. 35% E. Tidak ada
22. Bilangan bulat dar i 1 sampai 10.000 dalam basis 10 dit ulis masing-masing 1 bilangan pada 1 kar t u. Sat u buah kar t u kemudian diambil secar a acak. Ber apakah peluang yang t er ambil adalah kar t u ber t uliskan bilangan yang sekur ang-kur angnya t er dir i dar i 3 angka j ika dit uliskan dalam basis 6 ?
A.
100
99
B.
2000
1993
C.
2500
2491
D.
2000
1957
E. Tidak ada
23. Enam hur uf dar i kat a BOGGLES dipilih kemudian disusun. Ada ber apa car akah menyusun hur uf -hur uf ini ?
A. 5040 B. 4680 C. 3240 D. 2520 E. Tidak ada
24. L adalah sat u set koor dinat (x,y) yang memenuhi x,y ∈ bilangan bulat dan x2 + y2 = 625. Empat buah t it ik kemudian dipilih secar a acak dar i L dan mer upakan t it ik sudut dar i sebuah segi empat . Tent ukan peluang bahwa keempat t it ik t er sebut akan membent uk sebuah j aj ar an genj ang.
A.
495
4
B.
495
2
C.
4845
4
D.
4845
2
E. Tidak ada
25. Tent ukan banyaknya susunan hur uf dar i kat a PRI VACY j ika disyar at kan hur uf vokal har us saling ber dekat an.
A. 5040 B. 1440 C. 1008 D. 720 E. Tidak ada
26. Kode kar t u siswa pada sebuah sekolah menggunakan kode 9 digit yang masing-masing ber ada pada r ange 0 sampai dengan 9 dan digit -digit kar t u t er sebut t idak ada yang sama. Digit 0 diper bolehkan dit ar uh dimuka. J ika 1 kar t u siswa diambil secar a acak, ber apakah peluang yang t er ambil, ke-9 digit nya selalu naik dan ber ur ut an ?
A. 9
10
1
B.
!
10
1
C.
!
10
2
D.
9 10
2
C
E. Tidak ada27. 500 anak pada sebuah sekolah memiliki masing-masing 1 loker yang diber i t anda nomor 1 sampai 500. Pada saat kegiat an di sekolah dimulai, kondisi loker dalam keadaan t er t ut up. Anak yang memiliki loker dengan nomor 1 membuka semua loker . Set elah it u t er j adi, anak yang memiliki loker dengan nomor 2 kemudian menut up loker dengan nomor yang mer upakan kelipat an 2. Peker j aan dilanj ut kan oleh anak dengan nomor loker 3. I a membalikkan kondisi loker dengan nomor kelipat an 3. Ar t inya ia membuka loker dengan nomor kelipat an 3 apabila sebelumnya dalam kondisi t er t ut up dan ia menut up loker dengan nomor kelipat an 3 yang kondisi sebelumnya t er buka. Peker j aan membalikkan kondisi loker j uga dilakukan oleh anak dengan nomor loker 4 sampai dengan 500 ber t ur ut -t ur ut . Set elah anak dengan nomor loker 500 melakukan t ugasnya, ber apa banyak loker dalam keadaan t er buka ?
Bahan Aj ar Olimpiade Mat emat ika
28. Sebuah sekolah swast a t er dir i dar i SLTP dan SLTA dengan j umlah t ot al siswa sebanyak 1200 siswa dengan 640 di ant ar anya adalah siswa wanit a. J umlah siswa SLTP sebanyak 360 siswa dengan 200 di ant ar anya adalah siswa wanit a. Ber apakah peluang t er pilihnya seor ang siswa di sekolah t er sebut adalah siswa SLTP at au ber j enis kelamin wanit a ?
A.
10
3
B.
15
8
C.
2
1
D.
3
2
E. Tidak ada
29. Sebuah kot ak ber isi 4 bola mer ah dan 2 bola bir u. Dua bola sekaligus. Ber apakah peluang yang t er ambil adalah bola yang ber beda war na ?
A.
15
4
B.
15
6
C.
15
8
D. 1 E. Tidak ada
30. Pada sebuah per lombaan, 2 or ang anak yait u A dan B akan diadu kemampuannya. Masing-masing anak akan diber ikan per t anyaan secar a ber gant ian. Maksimal j umlah per t anyaan sebanyak 5. Pemain akan dinyat akan menang manakala j umlah menangnya lebih banyak dibandingkan lawannya. Per t andingan akan dihent ikan j ika t er j adi seor ang pemain t idak akan mungkin mengej ar ket er t inggalannya dar i lawannya. Pemain A mempunyai kemampuan menj awab benar per t anyaan yang diaj ukan sebesar 75% sedangkan B hanya mempunyai kemampuan menj awab benar per t anyaan yang diaj ukan sebesar 60%. Tent ukan peluang bahwa per t andingan t er sebut akan dihent ikan ket ika masing-masing pemain t epat bar u menyelesaikan 4 per t anyaan.
A.
160000
3753
B.
40000
2943
C.
40000
3753
D.
32000
3753
PI GEON HOLE PRI N CI PLE
Pigen Hole Pr inciple (Pr insip Lubang Mer pat i) mengat akan bahwa j ika lebih dar i n benda dimasukkan ke dalam n kot ak, maka sedikit nya ada sat u kot ak yang ber isi lebih dar i sat u benda. Secar a umum bahwa j ika ada lebih dar i pn benda dimasukkan ke dalam n kot ak maka sedikit nya ada sat u kot ak ber isi lebih dar i p benda.
Bent uk Lain : J ika n bilangan bulat m1, m2, m3, ⋅⋅⋅, mn memiliki r at a-r at a
1
32
1
+
+
+
+
>
−
r
n
m
m
m
m
L
n, maka
sedikit nya sat u di ant ar a bilangan-bilangan bulat t er sebut lebih besar at au sama dengan r .
Cont oh :
J ika ada 101 sur at yang akan dimasukkan ke dalam 50 kot ak pos, bukt ikan bahwa ada sedikit nya sat u kot ak pos ber isi sekur ang-kur angnya 3 sur at .
J awab :
J ika selur uh kot ak pos masksimal hanya ber isi 2 sur at , maka j umlah maksimal sur at yang dapat masuk kot ak pos adalah 100. Tet api j umlah sur at yang ada yait u 101. Maka dapat dipast ikan ada sedikit nya sat u kot ak pos ber isi sekur ang-kur angnya 3 sur at .
LATI HAN SOAL :
1. Pada sebuah pest a set iap or ang yang hadir dihar uskan membawa per men. J ika pada pest a t er sebut j umlah or ang yang hadir ada 10 sedangk
