BAB II Tinjauan Pustaka
2.9 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF
Pada kenyataannya getaran bebas (free vibration system) jarang terjadi pada struktur MDOF, tetapi dengan menganalisis jenis getaran ini akan diperoleh suatu besaran/karakteristik dari struktur yang akan berguna berupa frekuensi sudut (ω), periode getar (T), frekuensi alami (f) dan normal modes.
Pada getaran bebas di struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF), maka matriks persamaan diferensial gerakannya adalah,
Pada struktur dengan redaman, frekuensi sudut yang dihasilkan hampir sama dengan frekuensi sudut pada struktur yang dianggap tanpa redaman. Hal ini akaan diperoleh apabila nilai rasio redaman relatif kecil. Apabila prinsip ini digunakan untuk struktur dengan derajat kebebasan banyak, maka nilai C = 0, persamaan 2.37) akan menjadi,
[�]{ӱ} + [�]{�} = 0 (2.38)
Karena persamaan 2.38) adalah persamaan diferensial pada struktur MDOF yang dianggap tidak mempunyai redaman, maka penyelesaian persamaan diferensial tersebut diharapkan dalam fungsi harmonik menurut bentuk,
�= {∅}� sin (��)
ẏ=−� {∅}�cos (��)
ӱ=−�2 {∅}�sin (��) (2.39)
dimana, {Ø}i adalah suatu ordinat massa pada mode yang ke-i. persamaan 2.39) disubstitusikan ke dalam persamaan 2.38) maka akan diperoleh,
−�2[�]{∅}
�sin(��) + [�]{∅}� sin(��) = 0 (2.40)
{[�]− �2[�]}{∅}� = 0 (2.41)
Persamaan 2.41) merupakan persamaan yang sangat penting dan biasa disebut persamaan
eigenproblem atau karakteristik problem atau eigenvalue problem. Persamaan 2.41) tersebut adalah persamaan simultan yang harus dicari penyelesaiannya. Salah satu cara yang dapat dipakai adalah dengan memakai dalil Cramer (1704-1752). Gabriel Cramer adalah salah satu ahli matematika dari Swiss. Dalil tersebut menyatakan bahwa penyelesaian persamaan
simultan yang homogen akan ada nilainya apabila determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor {Ø}i adalah nol, sehingga,
�[�]− �2[�]�= 0 (2.42)
Jumlah mode pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa. Mode adalah jenis/pola/ragam getaran/goyangan suatu struktur bangunan. Mode merupakan fungsi dari properti dinamik struktur yang bersangkutan (dalam hal ini hanya massa dan kekakuan) dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5-tingkat akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan mempunyai 5 jenis “mode” gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang berhubungan langsung dengan jenis/nomor modenya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah n, maka persamaan 2.42) akan menghasilkan suatu polinomial pangkat n yang selanjutnya akan menghasilkan ��2 untuk i = 1, 2, 3, …n. selanjutnya substitusi masing-masing frekuensi ωi ke dalam persamaan 2.41) akan diperoleh nilai Ø1, Ø2, …Øn.
2.9.2. Frekuensi Sudut (ω) dan Normal Modes
Pada struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak (MDOF) dalam menghitung frekuensi sudut, diambil suatu anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau C = 0. Dalam menghitung dan menggambarkan normal modes, maka diambil suatu model struktur seperti pada gambar berikut.
Gambar 2.7 Bangunan 2-DOF dan Model Matematik
Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan, untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang bersangkutan akan mempunyai banyak ragam/pola goyangan. Normal modes adalah suatu istilah yang dipakai pada problem dinamika struktur, yang diterjemahkan sebagai ragam/pola goyangan.
Suatu persamaan diferensial gerakan dapat diperoleh dengan memperhatikan free body diagram pada gambar 2.9 dan diperoleh,
�1.ӱ1+�1.�1 − �2(�2− �1) = 0
�2.ӱ2 +�2(�2− �1) = 0 (2.43)
Persamaan 2.43) dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu, a) Struktur dengan 2 DOF c) Free body diagram
�1.ӱ1+ (�1 +�2)�1− �2.�2 = 0
�2.�2− �2.�1 +�2.�2 = 0 (2.44)
Persamaan 2.44) dapat ditulis ke dalam bentuk matriks yaitu,
��01 �0 2� � ӱ1 ӱ2�+�(�1−�+2�2) −��22� � �1 �2�=� 0 0� (2.45)
Selanjutnya persamaan eigenproblem pada persamaan 2.45) adalah,
�(�1+�2)− �2.�1 −�2 −�2 �2− �2.�2� �∅ 1 ∅2�= � 0 0� (2.46)
Dengan Øi adalah suatu nilai/ordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragam/pola goyangan massa ke-i. persamaan 2.46) akan mempunyai penyelesaian apabila dipenuhi nilai determinan,
�(�1+�2)− �2.�1 −�2
−�2 �2− �2.�2�
= 0 (2.47)
Apabila persamaan 2.47) tersebut diteruskan maka nilai determinannya adalah,
�1.�2.�4−{(�1+�2)�2− �2.�1}�2+ (�1+�2)�2− �22 = 0 (2.48)
Agar pembahasan tersebut memiliki nilai, maka perlu diberikan nilai m1, m2, k1, dan k2. Misalnya nilai-nilai tersebut diberikan (menurut unitnya masing-masing) m1 = 2, m2 = 1, k1 = k2 = 1, maka diperoleh,
2�4−4�2+ 1 = 0 (2.49)
Nilai yang akan dicari adalah nilai-nilai percepatan sudut ω. Dengan memakai rumus abc, maka nilai-nilai tersebut adalah,
�1;22 = 4 ±√16−8 4 = 4 ± 2,8284 4 ���12�=�0,5412 1,3065� ���/���2 (2.50)
Persamaan 2.50) umumnya disebut eigenvalue dari eigenproblem persamaan 2.42). Berdasarkan pada persamaan 2.50), maka dapat dimengerti bahwa struktur yang mempunyai dua tingkat atau struktur degan 2-derajat kebebasan akan mempunyai 2 nilai frekuensi sudut. Frekuensi sudut ω1 adalah frekuensi sudut untuk mode ke-1 atau untuk pola/ragam goyangan ke-1, sedangkan ω2 adalah frekuensi sudut untuk mode ke-2.
Substitusi nilai ω1 ke dalam persamaan 2.46), misalnya substitusi baris pertama persamaan tersebut (dengan catatan bahwa Ø1 menjadi Ø11 dan Ø2 menjadi Ø21) maka akan diperoleh,
�1 = 0,5412������ →{(+1)−0,54122}∅11−1.∅21 = 0
1,4144 ∅11= ∅21 maka ∅21
∅11= 1,4144 (2.51)
Secara umum nilai-nilai penyelesaian persamaan simultan homogen tidak akan memberikan suatu nilai yang pasti/tetap tetapi nilai-nilai tersebut hanya akan sebanding antara satu dengan yang lain (persamaan 2.51). dengan memperhatikan sifat tersebut maka umumnya diambil nilai Ø11=1, maka akan diperoleh,
{∅}11 = 1 , maka {∅}21 = 1,4144 (2.52)
Nilai/koordinat yang berhubungan dengan suatu massa pada setiap pola goyangan umumnya dapat ditulis dalam bentuk baku,
∅�� (2.53)
Dimana indeks i menunjukkan massa dan indeks j menunjukkan nomor ragam/pola goyangan. Dengan demikian Øij adalah suatu koordinat yang berhubungan dengan massa ke-i pada ragam/pola goyangan ke-j.
Nilai-nilai koordinat yang berhubungan dengan massa struktur untuk pola goyangan ke-1 seperti persamaan 2.53) dapat ditulis menjadi,
{∅}1 = �1,0000
1,4144� (2.54)
Persamaan 2.54) umumnya disebut sebagai eigenvector untuk ragam/pola goyangan atau mode shape untuk mode ke-1. Nilai-nilai koordinat untuk ragam/pola goyangan ke-2 dapat diperoleh dengan substitusi nilai ω2 ke dalam persamaan 2.47), misalnya disubstitusikan pada baris pertama persamaan tersbut (dengan catatan Ø1 menjadi Ø12 dan Ø2 menjadi Ø22) maka akan diperoleh,
�2 = 1,3065������ ,→ {(1 + 1)−1,30652. 2}∅12−1.∅22 = 0 −1,4142 ∅12=∅22
∅22
∅12=−1,4142 (2.55)
Apabila ∅12 = 1 , maka ∅22= −1,4142
Sesuai dengan persamaan 2.54), maka nilai-nilai koordinat yang berhubungan dengan massa struktur untuk ragam/pola goyangan/mode ke-2 dapat ditulis menjadi,
{∅}2 =� 1,0000
Sesuai dengan persamaan 2.54) maka persamaan 2.56) juga disebut dengan
eigenvector untuk ragam/pola goyangan mode ke-2. Dengan mengingat persamaan 2.50), persamaan 2.54) dan persamaan 2.56) maka dapat dipahami bahwa struktur dengan n-derajat kebebasan akan mempunyai n-frekuensi sudut dan n-modes.
Antara persamaan 2.54) dan persamaan 2.56) dapat ditulis menjadi suatu matriks yang umumnya disebut modal matrix yaitu,
[�] =�1,0000 1,0000
1,4144 −1,4142� (2.57)
Dengan diperolehnya nilai-nilai frekuensi sudut untuk tiap-tiap mode seperti pada persamaan 2.50), maka akan diperoleh juga nilai periode getar T tiap-tiap mode yaitu,
�1 =2��1 dan �2 = �2�2 (2.58)
Nilai T1 umumnya disebut periode getar dasar atau undamped fundamental period of vibrations. Selanjutnya nilai periode getar akan berpengaruh terhadap koefisien gempa dasar C seperti yang tercantum pada spektrum respon. Nilai ordinat mode shape pada tiap-tiap massa untuk semua ragam/pola goyangan digambar seperti berikut,
Gambar 2.8 Normal Modes
Nilai-nilai ordinat mode shapes pada gambar 2.10) tidak tergantung pada beban luar, melainkan hanya tergantung pada properti fisik struktur, misalnya massa mi dan kekakuan ki. Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar yang dicari adalah merupakan undamped free vibration periods. Nilai-nilai mode shapes tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap jika nilai-nilai massa dan kekakuan tidak berubah. Karena nilai kekauan ki tidak berubah-ubah maka mode shapes merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastiklah yang mempunyai nilai
mode shapes. Nilai mode shapes juga tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian menurut Widodo (2001), dapat disimpulkan bahwa nilai-nilai mode shapes adalah :
1. Bebas dari pengaruh redaman, 2. Bebas dari pengaruh waktu
3. Bebas dari pengaruh frekuensi beban 4. Hanya untuk struktur yang elastik