Goal programming adalah salah satu metode yang digunakan dalam pemecahan masalah program linier dengan multi-tujuan. Model umum program linier multi tujuan dapat dituliskan sebagai berikut (Mohammed & Hordofa, 2016:3) : Memaksimumkan ∑ dengan kendala ∑ (2.17) Keterangan:
= fungsi tujuan ke- i = variabel keputusan
= koefisien
= jumlah sumber daya yang tersedia
Fungsi tujuan model goal programming selalu diekspresikan dalam bentuk minimisasi yaitu meminimalkan penyimpangan dari nilai fungsi- fungsi tujuan. Langkah awal dalam membentuk model goal programming
35
adalah merumuskan variabel- variabel penyimpangan dari fungsi tujuan yaitu , dituliskan sebagai berikut:
∑ (2.18)
dimana
dan
Fungsi tujuan goal programming adalah meminimalkan nilai varibel – variabel penyimpangan dari fungsi – fungsi tujuan dengan tambahan fungsi kendala, yaitu :
∑ (2.19)
atau
∑ (2.20)
Sehingga model goal programming dari masalah (2.17) adalah (Hillier dan Lieberman, 1980: 173): Meminimalkan ∑ dengan kendala ∑ ∑ (2.21) Keterangan: = penyimpangan ke- i
36
= penyimpangan atas ke- i (overachievement)
Notasi adalah variabel penyimpangan yang merepresentasikan tingkat pencapaian di bawah target ( underachievement ). Notasi adalah variabel penyimpangan yang merepresentasikan tingkat pencapaian di atas target (overachievement ). Kedua variabel penyimpangan tersebut merupakan sepasang variabel deviasional yang berfungsi untuk menampung penyimpangan yang akan terjadi pada nilai ruas kiri suatu persamaan kendala terhadap nilai ruas kanannya. Agar penyimpangan tersebut minimal, artinya nilai ruas kiri suatu persamaan kendala sebisa mungkin mendekati nilai ruas kanannya maka variabel deviasional itu harus diminimalkan di dalam fungsi tujuan (Siswanto, 2007: 342). Berdasarkan tujuan dapat ditentukan variabel deviasional yang akan diminimalkan dalam fungsi tujuan goal programming pada Tabel 2.5 berikut (Orumie dan Ebong, 2014:61):
Tabel 2.5 Stuktur Umum Goal Programming Tujuan Variabel deviasional yang diminimalkan dalam Z
Fungsi tujuan pertama (baris pertama Tabel 2.5) menyatakan bahwa tujuan yang hendak dicapai dituangkan ke dalam dan tidak boleh dilampaui. Oleh karena itu penyimpangan di atas nilai harus diminimalkan
37
agar hasil tidak melebihi nilai , maka dibutuhkan variabel deviasional untuk diminimalkan. Fungsi tujuan kedua (baris kedua Tabel 2.5) menyatakan bahwa penyimpangan diubah nilai harus diminimalkan agar hasil penyelesaian paling sedikit sama dengan , dengan demikian
akan diminimumkan. Fungsi tujuan terakhir (baris ketiga Tabel 2.5 ) setiap penyimpangan atas dan bawah tidak boleh dilampaui, maka
dan harus diminimumkan. Apabila kedua variabel deviasional yang dimaksud di atas dapat diminimisasi, artinya: kedua variabel deviasional bernilai nol, maka tujuan telah tercapai, begitu juga sebaliknya.
Pada beberapa kasus, tujuan satu akan lebih penting dengan tujuan lainnya, maka pengambil keputusan harus menentukkan mana dari tujuan – tujuan tersebut yang diprioritaskan. Misalkan tujuan yang paling penting sebagai prioritas ke-1. Tujuan yang kurang begitu penting ditentukan sebagai prioritas ke-2, demikian seterusnya. Pembagian prioritas tersebut dikatakan sebagai pengutamaan (preemptive), yaitu mendahulukan tercapainya kepuasan pada sesuatu tujuan yang telah diberikan prioritas utama sebelum menuju kepada tujuan-tujuan atau prioritas-prioritas berikutnya. Jadi tujuan harus disusun dalam suatu urutan (ranking) menurut prioritasnya (Nasendi & Affendi, 1985: 213). Model dengan memprioritaskan tujuan ini disebut sebagai model lexicographic goal programming.
Notasi yang digunakan untuk menandai prioritas tujuan tersebut adalah . Faktor- faktor- faktor prioritas tersebut memiliki hubungan sebagai berikut:
38
dimana >> berarti “jauh lebih penting daripada”. Berdasarkan Persamaan (2.21) dengan memperhatikan prioritas setiap tujuan model lexicographic goal programming dapat dituliskan sebagai berikut:
Meminimalkan dengan kendala ∑ ∑ (2.22) Keterangan : = Prioritas ke-i
Neelavathi (2015) memaparkan langkah- langkah untuk menyelesaikan model lexicographic goal programming, dapat diselesaikan dengan tahapan sebagai berikut :
Diasumsikan setiap fungsi tujuan mempunyai nilai optimal, langkah pertama adalah menyelesaikan prioritas pertama terlebih dahulu,
39 Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendala non-negatif
Nilai fungsi tujuan prioritas ke-1 akan ditambahkan pada fungsi kendala pada prioritas ke-2. Misalkan nilai fungsi tujuan prioritas ke-1 adalah , maka model lexicographic goal programming prioritas ke-2 adalah
Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendal non-negatif
Misalkan nilai fungsi tujuan prioritas ke- 2 adalah , maka model lexicographic goal programming prioritas ke- 3 adalah
Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
40 Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendala non-negatif
Solusi optimal prioritas ke- n menjadi solusi optimal dari masalah lexicographic goal programming pada kasus ini.
Agar lebih mudah dipahami akan diberikan kasus permasalahan lexicographic goal programming. Misalkan terdapat 4 variabel deviasional yang akan diminimalkan, dua variabel deviasional pada prioritas ke- 1, satu variabel deviasional prioritas ke- 2, dua variabel deviasional pada prioritas ke- 3. Variabel deviasional berturut- turut adalah . Penyelesaian lexicographic goal programming prioritas ke- 1 adalah
Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala Kendala non-negatif
Misalkan hasil optimal fungsi meminimalkan prioritas ke-1 yaitu , maka model lexicographic goal programming prioritas ke- 2 adalah
41 Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendala non-negatif
Misalkan hasil optimal fungsi meminimalkan prioritas ke- 2 yaitu , maka model lexicographic goal programming prioritas ke- 3 adalah
Meminimalkan
dengan kendala: Persamaan Tujuan Fungsi Kendala
Kendala non-negatif
Solusi optimal prioritas ke- 3 menjadi solusi optimal dari masalah lexicographic goal programming pada kasus ini.
42 BAB III PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dibahas pembentukan portofolio menggunakan metode goal programming dan lexicographic goal programming pada empat saham yang akan dipilih menjadi kandidat portofolio dari saham- saham yang tergabung dalam Jakarta Islamic Index (JII) periode Februari 2014 - Maret 2016. Pembentukan portofolio optimal dipilih dari 11 portofolio yang dibentuk investor. Selanjutnya dilakukan penilaian kinerja portofolio berdasarkan perhitungan indeks sharpe guna mendapatkan portofolio optimal. Oleh karena itu, dalam bab ini terlebih dahulu akan dibahas analisis pembentukan portofolio menggunakan metode goal programming dan lexicographic goal programming, perhitungan indeks sharpe. Pembentukan portofolio metode goal programming dan lexicographic goal programming akan dilakukan dengan menggunakan program komputer LINGO.