GRUP TOPOLOGIS DAN RUANG LINEAR TOPOLOGIS

Grup topologis ( topological group ) dapat dipandang sebagai hasil perka- winan silang antara grup aljabar dengan ruang topologis. Untuk memba- ngun pengertian grup topologis mengingat kembali pengerian ruang topo- logis produk lebih dahulu.

Jika (G,𝜏) ruang topologis dan jika (GxG,𝜋) ruang topologis produknya, ma- ka topologi 𝜋 mempunyai basis terbuka { UxV : U, V 𝜖 𝜏 }.

6.1 Grup topologis dan sifat-sifat dasar

Definisi 6.1.1 : Diketahui G = (G,.) dan (G,𝜏) ruang topologis. Grup G disebut grup topologis ( topological group ) terhadap topologi 𝜋 jika fungsi f : GxG → G dengan rumus

f(x,y) = x.𝑦⁻¹ untuk setiap x, y 𝜖 G kontinu.

Perlu diperhatikan bahwa elemen netral grup topologis G tersebut ditu-liskan/disimbolkan dengan “e” ; jadi x.𝑥⁻¹ = 𝑥⁻¹.x = e untuk setiap x 𝜖 G.

Tetapi jika operasi biner pada G adalah “+” , jadi G = (G,+) grup, elemen netralnya dituliskan/disimbolkan dengan “0”.

Teorema 6.1.2 : Diketahui G = (G,.) dan (G,𝜏) ruang topologis. Grup G grup topologis jika dan hanya jika dua fungsi g dan h :

(i) g(x,y) = x.y untuk setiap x, y 𝜖 G dan (ii) h(x) = 𝑥⁻¹ untuk setiap x 𝜖 G kontinu.

Bukti : Karena f kontinu untuk setiap pasangan x dan y diperoleh maka g dan h kontinu , sebab

g(x,y) = x.y = f(x.𝑦⁻¹) dan h(x) = 𝑥⁻¹ = f(e..x) untuk setiap x, y 𝜖 G. Seba-

38 liknya , f kontinu sebab

f(x,y) = x.𝑦⁻¹ = g(x.𝑦⁻¹) untuk setiap x, y 𝜖 G. ∎

Contoh :

1. Grup diskret ( discrete group ). Untuk sebarang grup G, maka G meru-pakan grup topologis terhdap topologi diskret.

2. Telah diketahui bahwa sistem bilangan real R merupakan grup terhadap operasi biner jumlahan “+”. Ternyata R merupakan grup topologis karena fungsi f : RxR → R dengan rumus f(x,y) = x – y untuk setiap x, y 𝜖 R kontinu.

Teorema 6.1.3 : Untuk sebarang grup topologis G fungsi-fungsi di bawah ini merupakan homeomorfisma.

(i) Fungsi inversi i : G → G.

(ii) Untuk setiap a 𝜖 G fungsi ra : ra(x) = x.a, untuk setiap x 𝜖 G.

(iii) Untuk setiap a 𝜖 G fungsi la : la(x) = a.x, untuk setiap x 𝜖 G.

(iv) Untuk setiap a 𝜖 G fungsi : x → x.a.𝑥⁻¹ , untuk setiap x 𝜖 G.

Bukti : (i) : Mudah difahami bahwa i fungsi bijektif dan berdasarkan Teore- ma 4.1.5(ii) i fungsi kontinu. Jadi terbukti i homeomorfisma. (ii) : 𝑟_𝑎⁻¹= 𝑟_𝑎⁻¹ merupakan fungsi inversi fungsi ra sebab 𝑟_𝑎⁻¹ra(x) = x.a.𝑎⁻¹= x dan

ra𝑟_𝑎⁻¹(x) = x.𝑎⁻¹.a = x dna dua fungsi itu fungsi bijektif dan kontinu. Jadi ra

merupakan homeomorfisma. (iii) : Bukti sejalan dengan bukti (ii). (iii) : Akibat (i) dan dan (ii). ∎

Akibat 6.1.4 : Jika G grup topologis, U ⊂ G himpunan terbuka, dan F ⊂ G him-punan tertutup, maka x.U dan U.x merupakan himhim-punan terbuka serta x.F dan F.x merupakan himpunan tertutup untuk setiap x 𝜖 G.

Bukti : Menurut Teorema 6.1.3, rx dan lx merupakan homeomorfisma. Oleh karena itu diperoleh x.U dan U.x merupakan himpunan terbuka serta x.F dan F.x merupakan himpunan tertutup. ∎

Akibat 6.1.5 : Jika G grup topologis, U ⊂ G himpunan terbuka, dan F ⊂ G him-punan tertutup, maka :

39 (i) A.U dan U.A merupakan himpunan terbuka untuk sebarang A ⊂ G, (ii) A.F dan F.A merupakan himpunan tetutup untuk setiap himpunan

hingga S ⊂ G

Bukti : (i) : Berdasarkan Akibat 6.1.4, a.U dan U.a merupakan himpunan terbuka untuk setiap a 𝜖 A. Oleh karena itu diperoleh

A,U = ⋃_𝑎𝜖𝐴𝑎. 𝑈 dan U.A = ⋃_𝑎𝜖𝐴𝑈. 𝑎

merupakan himpunan terbuka. Juga, Berdasarkan Akibat 6.4, a.F dan F.a merupakan himpunan tertutup untuk setiap a 𝜖 A. Oleh karena itu dipe-roleh

A,F = ⋃_𝑎𝜖𝐴𝑎. 𝐹 dan U.F = ⋃_𝑎𝜖𝐴𝐹. 𝑎 merupakan himpunan tertutup asalkan A himpunan hingga. ∎

6.2 Persekiran

Berdasarkan Akibat 6.1.4 diperoleh jika N(x) persekitaran titik x , maka a.N(x)

= N(a.x) dan N(x).a = N(x.a) merupakan persekitaran titik a.x dan persekitaran titik x.a berturut-turut. Perlu diingat bahwa jika G merupakan grup topologis, sebagai grup G tidak disyaratkan bersifat komutatif. Oleh karena itu pada umumnya N(a.x) ≠ N(x.a). Jadi, agar mudah mengembangkan

Sifat-sifat topologisnya pada suatu grup topologos perlu sistem persekitaran elemen netralnya.

Jika {N(e)}, koleksi semua persekitarn elemen netral e, system persekitaran elemen netral e, maka {N(x)} system persekitaran titik x. {N(e)} disebut sistem persekitaran fundamental ( fundamental system of neighborhood ) titik e.

Teorema 6.2.1 : Jika G grup topologis, untuk sebarang A ⊂ G dan x 𝜖 G benar bahwa 𝑥. 𝐴 =x.𝐴 dan 𝐴. 𝑥 = 𝐴.x .

Bukti : x.A = { x.a : a 𝜖 A }. Jadi, s titik-limit himpunan A ⟺ sebarang N(s) benar bahwa A ∩ 𝑁(𝑠) - { s } ≠ ∅ ⟺ benar bahwa x.A ∩ 𝑁(𝑥. 𝑠) - {x. s } ≠ ∅ ⟺ x.s titik-limit himpunan x.A. Jadi x.A’ = (x.A)’ yang berakibat bahwa 𝑥. 𝐴 =x.𝐴.

Bukti bahwa 𝐴. 𝑥 = 𝐴.x sejalan. ∎

Himpunan-bagian A di dalam grup topologis G dikatakan simetrik ( symme-

40 tric ) jika A = 𝐴⁻¹. Jika grup topologis G beroperasi biner jumlahan A sime- trik jika A = -A.

Teorema 6.2.2 : Setiap grup topologis mempunyai sistem fundamental per- sekitaran terbuka titik e yang simetrik .

Bukti : Diambil {V} sebarang sistem persekitaran terbuka fundamental titik e. Karena V persekitaran titik e tebuka, maka 𝑉⁻¹ juga merupakan perse- kitaran terbuka titik e. Oleh karena itu diperoleh U = V.∩ 𝑉⁻¹ persekitaran terbuka titik e yang simetrik sebab 𝑈⁻¹ = V.∩ 𝑉⁻¹. Mudah difahami bahwa U ⊂ V. Telah diketahui bahwa setiap persekitaran titik e memuat suatu V.

Jadi, {U} merupakan system fundamental terbuka titik e yang simetrik. ∎ Berdasarkan Teorema 6.6 dan Teorema 6.7 diperoleh teorema di bawah ini.

Teorema 6.2.3 : Diketahui {U} sistem fundamental persekitaran titik e di dalam grup topologis G. Untuk sebarang A ⊂ G benar bahwa

𝑨 = ⋂_{𝑼𝝐{𝑼}}𝑨. 𝑼 = ⋂_{𝑼𝝐{𝑼}}𝑼. 𝑨.

Bukti : Untuk sebarang x 𝜖 𝐴 dan U 𝜖 {U} diperoleh x.𝑈⁻¹ merupakan per- sekitaran titik x dan oleh karena itu benar bahwa x.𝑈⁻¹∩ A ≠ ∅ yang berakibat x 𝜖 A.U . jadi, 𝐴 ⊂ ⋂_{𝑈𝜖{𝑈}}𝐴. 𝑈 . Sebaliknya, jika x 𝜖 ⋂_{𝑼𝝐{𝑼}}𝑨. 𝑼 yang berarti x 𝜖 A.U untuk setiap U 𝜖 {U}. Kenyataan ini berakibat x.𝑈⁻¹∩ A ≠ ∅ untuk setiap U 𝜖 {U} atau x 𝜖 𝐴 . Jadi terbukti bahwa 𝐴 = ⋂_{𝑼𝝐{𝑼}}𝑨. 𝑼. Bukti bahwa 𝐴 = ⋂_{𝑼𝝐{𝑼}}𝑼. 𝑨. sejalan. ∎

Akibat 6.2.4 : Untuk sebarang U persekitaran titik e di dalam suatu ruang topologis G terdapat V persekitaran titik e sehingga 𝑉 ⊂ U, dengan kata lain G ruang-T3 .

Bukti : Diambil V = U ∩ 𝑈⁻¹. Jelas bahwa V ⊂ U dan berdasarkan Teorema 6.1.3 diperoleh 𝑉 ⊂ U. Selanjutnya diambil F ⊂ G himpunan tertutup dan se-

barang x 𝜖 G – F = U ; jadi e = x.𝑥⁻¹ 𝜖 U.𝑥⁻¹ dan U.𝑥⁻¹ persekitaran titik e.

Menurut hasil terakhir, ada V persekitaran titik e sehingga 𝑉 ⊂ 𝑈. 𝑥⁻¹ yang

41 berakibat x 𝜖 𝑉.x , F ⊂ 𝑉^𝑐. 𝑥 atau G ruang-T3. ∎

Teorema 6.2.5 : Setiap grup topologis G merupakan ruang Hausdorff.

Bukti : Diambil sebarang a 𝜖 G dan a ≠ e. Menurut Teorema 6.2.4, untuk seti- ap U persekitaran titik e yang terbuka yang tak memuat a ada V persekitaran titik e yang terbuka sehingga 𝑉 ⊂ U. Jadi peroleh a 𝜖 W = G - 𝑉, W terbuka , e 𝜖 V, dan V ∩ W = ∅.

Sekarang diambil sebarang x, y 𝜖 G dan x ≠ y. Jadi e = x.𝑥⁻¹ ≠ y.𝑥⁻¹= a.

Berdasaarkan hasil terakhir di atas, ada dua himpuan terbuka V dan W se- hingga V ∩ W = ∅, 𝑒 𝜖 𝑉, dan a 𝜖 W yang berarti V.x ∩ W.x = ∅, 𝑥 𝜖 𝑉.x, dan y 𝜖 W.x. Bukti selesai karena V.x dan W.x himpunan terbuka. ∎

Teorema 6.2.6 : Jika {U} system persekitaran fundamental terbuka titik e di dalam suatu grup topologis G, maka ⋂_{𝑢𝜖{𝑈}}𝑈 = {e}.

Bukti : Karena e 𝜖 U untuk setiap U 𝜖 {U} maka {e} ⊂ ⋂_{𝑢𝜖{𝑈}}𝑈 . Andaikan ada x ≠ e sehingga x 𝜖 ⋂_{𝑢𝜖{𝑈}}𝑈. Menurut Teorema 6.2.5, G ruang Hausdorff.

Oleh karena itu ada U 𝜖 {U} dan himpunan terbuka W sehingga U ∩ W = ∅ dan x 𝜖 W yang berarti x bukan anggota U dan bukan anggota ⋂_{𝑢𝜖{𝑈}}𝑈. Suatu kontradiksi dan bukti selesai. ∎

Teorema 6.2.7 : Di dalam setiap grup topologis terdapat sistem persekitaran tertutup {U} titik e sehingga

(a) U simetrik.

(b) Untuksetiap U terdapat persekitaran V sehingga V² ⊂ U.

(c) Untuk setiap U dan a 𝜖 U sehingga a.V 𝜖 {U} dan 𝑉 ⊂ 𝑎⁻¹.U.a atau a.V.𝑎⁻¹ ⊂ U.

Bukti : Dengan memanfaatkan Teorema 6.2.2 dn Akibat 6.2.5 diperoleh (a). (b) diperoleh lansung dari Definisi 6.1.1. Selanjutnya, dengan memanfaatkan Teore-ma 6.1.3 akan diperoleh (c). ∎

6.3 Aksioma separasi

Teorema 6.3.1 : Jika F himpunan tertutup dan C himpunan kompak di dalam

42 C.U ≠ ∅. Berdasarkan Teorema 6.2.2 dan Akibat 6.2.4 dapat dianggap setiap anggota sistem persekitaran titik e tertutup dan simetrik. Berdasarkan alasan ini dan jika sistem perskitaran yang terbentuk adalah {U}, diperoleh

{ F .∩ (⋂_{𝑈𝜖{𝑈}}𝑈)} ∩ {C .∩ (⋂_{𝑈𝜖{𝑈}}𝑈)} = {F.{e}}∩ {𝐶. {𝑒}} = F ∩ C ≠ ∅, merupakan grup komutatif dengan elemen netral o sehingga untuk setiap scalar 𝛼 dan x 𝜖 X maka 𝛼x 𝜖 X sehingga untuk setiap skalar 𝛼 dan 𝛽 dan setiap

1. Rⁿ merupakaan ruang linear atas lapangan R.