( Diktat/Hand-out ) Penyusun : Soeparna Darmawijaya

0

𝒯𝒪𝒫𝒪ℒ𝒪𝒢ℐ ( 𝒫ℯ𝓃ℊ𝒶𝓃𝓉𝒶𝓇 ) ( Diktat/Hand-out )

Diktat atau hand-out Pengantar Topologi ini ditulis atau disusun atas Permintaan Jururan Matematika FMIPA-UGM dengan harapan membantu mahasiswa atau memudahkan mahasiswa Program-S! Matematika untuk memahami materi perkuliahaan Pengantar Topologi. Oleh karena itu cakup- an materi dan kedalamannya disesuaikan dengan silabus yang telah diran- cang.

Telah diketahui bahwa ruang topologis merupakan abstraksi sistem bilangan real dan ruang metrik, maka diharapkan mahasiswa yang me- ngambil matakuliah telah mengtahui,walaupun sedikit, tentang sifat-sifat system bilangan real dan ruang metrik. Oleh karena itu diktat/hand-out ini, dengan Bab I “Latar Belakanng” bertujuan mengingat kembali sifat-sifat dasar Ruang Metrik. Dilanjutkan dengan Bab II “Ruang Topologis”. Bab ini memuat pengertian ruang topologis dan sifat-sifat dasarnya. Bab III “ Je- nis-jenis himpunan di dalam ruang topologis” memuat jenis-jenis him- punan di dalam suatu ruang topologis dan kaitannya yang satu dengan yang lainnya. Bab IV “Fungsi Kontinu” membicarakan fungsi kontinu, to pologi relatif ( ruang-bagian ), fungsi identifikasi, dan topologi jumlah dan topologi produk. Bab V “Aksioma Separasi dan Kekompakan” me- muat jenis-jenis aksioma separasi, pengertian kekompakan suatu him- punan, dan hubungan kekompakan dengan pengertian-pengertian lain di dalam suatu ruang topologis. Di dalam bab ini dibicarakan pula tentang pengetian ruang terhubung dan ruang tak terhubung dan beberapa sifat- sifat sederhananya. Bab VI “Grup topologis dan ruang linear topologis”

berisi pengenalan grup topologis dan ruang linear topologis dan diserta- kan pula sifat-sifat dasarnya.

Penyusun :

Soeparna Darmawijaya

1

BAB 1

LATAR BELAKANG

Telah diktahui setiap ruang bernorma ( normed space ) (X,∥ ∥) merupakan ruang metrik ( metric space ) (X,d) dengan

d(x,y) = ∥ x – y ∥

Dimulai dengan membangun himpunan dasar yang disebut persekitaran ( neighborhood ) titik x 𝜖 X berjari-jari ( radius ) 𝜌 > 0 , yaitu himpunan

𝑁_𝜌(x) = { y 𝜖 X : d(x,y) < 𝜌 },

di dalam ruang metrik (X,d) dibangun pengertian-pengertian dasar, yaitu hubungan titik dengan suatu himpunan sebagai berikut.

Diketahui A ⊂ X dan x 𝜖 X. x disebut

(i) titik-dalam ( interior point ) himpunan A jika ada bilangan real 𝜌 > 0 sehingga

𝑁_𝜌(x) ⊂ A .

Himpunan semua titik-dalam himpunan A disebut interior A dan ditulis dengan int(A) atau A^o.

(ii) titik-luar ( exterior point ) himpunan A jika x titik-dalam himpunan A^c. Himpunan semua titik-luar himpunan A disebut exterior A dan ditulis dengan ext(A).

(iii) titik-limit ( limit point ) himpunan A jika untuk setiap bilangan real 𝜌

> 0 benar bahwa

𝑁_𝛿(x) ∩ A – {x} ≠ ∅ .

Himpunan semua titik-limit himpunan A disebut derived set of A dan ditulis dengan A’.

(iv) titik-batas ( boundary point ) himpunan A jika untuk setiap bilangan real 𝛿 > 0 benar bahwa

𝑁_𝛿(x) ∩ A ≠ ∅ dan 𝑁_𝛿(x) ∩ A^c ≠ ∅ .

2 Himpunan semua titik-batas himpunan A disebut batas ( boundary ) himpunan A.

Berdasarkan pengertian-pengertian dasar tersebut, pengertian-pengertian lainnya, antara lain himpunan terbuka dan himpunan tertutup.

 U ⊂ X disebut himpunan terbuka ( open set ) jika setiap anggotanya merupakan titik-dalam dan F ⊂ X disebut himpunan tertutup (closed set) jika F^c merupakan himpunan terbuka.

Pernyataan dan kenyataan teorema di bawah ini menjadi modal dasar atau ide dasar topologi pada suatu himpunan.

Teorema 1.1 :

Jika 𝜏 merupakan koleksi semua himpunan terbuka di dalam ruang metrik (X,d), maka

(i) ∅ , X 𝜖 𝜏,

(ii) 𝑈, 𝑉 𝜖 𝜏 ⟹ U ∩ V 𝜖 𝜏, (iii) 𝜎 ⊂ 𝜏 ⟹ ⋃_𝑈𝜖𝜎𝑈 𝜖 𝜏.

Perlu mendapat perhatian bahwa setiap persekitaran merupakan himpunan terbuka.

Torema di atas ekuivalen dengan teorema di bawah ini.

Teorema 1.2

Jika 𝜅 merupakan koleksi semua himpunan tertutup di dalam ruang metrik (X,d), maka

(i) ∅ , X 𝜖 𝜅,

(ii) 𝐹, 𝐺 𝜖 𝜅 ⟹ F ∪ G 𝜖 𝜅, (iii) 𝜋 ⊂ 𝜅 ⟹ ⋂_𝐹𝜖𝜋𝐹 𝜖 𝜅.

Jika diamati semua sifat-sifat ,teorema , dan penertian lainnya di dalam ruang metrik dapat dibuktikan dan dibangun berdasarkan kesatuan tiga per-nyataan di dalam Teorema 1.1 di atas ; dengan demikian dapat dihindari penggunaan bilangan nyata, hkususnya bilangan real positif 𝜀 dan 𝛿. De-ngan demikian

3 timbul konsep baru topologi ( topology ) dan ruang topologis ( topological space ) yang menjadi pokok atau topik perkuliahan ini.

4

5

BAB 2

RUANG TOPOLOGIS

2.1 Pengertian ruang topologis dan sifat-sifat sederhananya

Diketahui sebarang himpunan X ≠ ∅ ; jadi pada himpunan X tak perlu struktur atau sifa-sifat yang melekat padanya. Dengan 𝒫 atau 2^X dimaksud adalah himpunan kuasa ( power set ) himpunan X, yaitu koleksi semua him-punan- bagian himpunan X. Seperti telah diilustrasikan di atas diangkat pe-ngertian atau definisi topologi pada suatu himpunan X yang tak kosong sebagai berikut.

( Bandingkan dengan Teorema 1.1 di atas ).

Definisi 2.1.1 :

Diketahui sebarang himpunan X ≠ ∅. 𝜏 ⊂ 2^X disebut topologi ( topology ) pada X jika memenuhi syarat-syarat di bawah ini :

(i) ∅ , X 𝜖 𝜏,

(ii) 𝑈, 𝑉 𝜖 𝜏 ⟹ U ∩ V 𝜖 𝜏, (iii) 𝜎 ⊂ 𝜏 ⟹ ⋃_𝑈𝜖𝜎𝑈 𝜖 𝜏.

Jika 𝜏 suatu topologi pada X maka pasangan (X,𝝉) disebut ruang topologis ( topological space ), anggota topologi 𝜏 disebut himpunan terbuka ( open

set ), dan anggota X disebut titik ( point ). Komplemen himpunan terbuka disebut himpunan tertutup ( closed set ).

Contoh 2.1 (a) :

1. X ≠ ∅. 𝜏 = { ∅, X } merupakan topologi pada X yng disebut topologi in- diskret ( indiscrete topology ) dan (X,𝜏) disebut ruang topologis indis-kret ( indiscrete topological space ); ∅ dan X merupakan himpunan terbuka dan sekaligus merupakan himpunan tertutup.

𝜎 = 2^X merupakan topologi pada X yang disebut topologi dikret ( discrete topology ) dan (X,𝜏) disebut ruang topologis diskret ( discrete topological

6 space ); setiap himpunan-bagian di dalam X merupakan himpunan terbuka dan merupakan himpunan tertutup.

2. X = { a, b, c, d }. 𝜏 = { ∅, X , { a, b, c }, { b, c, d }, { b, c } } merupakan salah satu topologi pada X ; jadi (X,𝜏) merupakan ruang topologis. Sebagai contoh { a, d } merupakan himpunan tertutup karena himpunan komplemennya yaitu { b, c } merupakan himpunan terbuka.

3. Setiap ruang metrik (X,d}, termasuk ruang bernorma, merupakan ruang topologis dengan topologi yang dibangkitkan oleh metrik d seperti terlihat pada Teorema 1.2 di atas. Topologi yang dibangkitkan oleh suatu metric disebut topologi metrik ( metric topology ).

4. R, sistem bilangan real. Di dalam R dibentuk koleksi himpunan 𝜏 sebagai berikut. U 𝜖 𝜏 jika dan hanya jika untuk setiap x 𝜖 U ada bilangan real 𝛿_𝑥 > 0 sehingga (x - 𝛿_𝑥 , x + 𝛿_𝑥) ⊂ U. Tak sukar diperlihatkan bahwa 𝜏 merupakan topologi pada R dan topologi ini disebut topologi biasa ( usual topology ) serta ruang topologis (R,𝜏) disebut ruang topologis biasa ( usual topological space ). Di dalam ruang topologis biasa ini, mudah ditunjukkan bahwa setiap selang terbuka merupakan himpunan terbuka.

Teorema 2.1.2 :

𝜏 topologi pada himpunan X jika dan hanya jika 𝜅, yaitu koleksi semua himpunan tertutup di dalam ruang topologis (X,𝜏), memenuhi sifat-sifat :

(i) ∅, X 𝜖 𝜅,

(ii) F, G 𝜖 𝜅 ⟹ F ∪ G 𝜖 𝜅, (iii) 𝜌 ⊂ 𝜅 ⟹ ⋂_𝐹𝜖𝜌𝐹 𝜖 𝜅.

Bukti : Karena komplemen himpunan tertutup merupakan himpunan terbuka, diperoleh

- ∅, X 𝜖 𝜅 ⟺ ( komplemennya ) X, ∅ 𝜖 𝜏,

- {F, G 𝜖 𝜅 ⟹ F ∪ G 𝜖 𝜅 } ⟺ { F^c, G^c 𝜖 𝜏 ⟹ F^c ∩ G^c 𝜖 𝜏 },

- { 𝜌 ⊂ 𝜅 ⟹ ⋂_𝐹𝜖𝜌𝐹 𝜖 𝜅 } ⟺ { 𝜎 ⊂ 𝜏 ⟹ ⋃_𝐹^𝑐_𝜖𝜎𝐹^𝑐 𝜖 𝜏 }. ∎

7

Urutan dan basis topologi

Jika 𝜎 dan 𝜏 masing-masing merupakan topologi pada himpunan dan 𝜎 ⊂ 𝜏 maka 𝜎 dikatakan topologi lebih kecil ( smaller ) atau lebih kasar ( coarser ) daripada topologi 𝜏 atau 𝜏 lebih besar ( larger ) atau lebih halus ( finer ) daripada topologi 𝜎.

Contoh 2.1 (b) :

1. Diketahui himpunan X = { a, b, c, d } . Dibentuk topologi-topologi pada X sebagai berikut. 𝜏 = { ∅, X }, 𝜌 = { ∅, 𝑋, { a, b, c } , { b, c, d }, { b, c } } , 𝜋 = {∅, 𝑋, { a, b, c } , { b, c, d }, { b, c }, {b}, {c} } , dan 𝜎 = 2^X .

Jelas bahwa 𝜏 ⊂ 𝜌 ⊂ 𝜋 ⊂ 𝜎. Demikian pula { ∅, X } ⊂ { ∅, X, { a, b, ,c } } ⊂ 2^X .

2. Pada setiap himpunan X yang tak kosong, topologi yang paling kecil atau paling kasar adalah topologi { ∅, X } dan topologi yang paling besar atau paling halus adalah topologi 2^X .

Diketahui ruang topologis (X, 𝜏).

- 𝛽 ⊂ 𝜏 disebut basis topologi 𝜏 jika setiap V 𝜖 𝜏 dan x 𝜖 𝑉 ada U 𝜖 𝛽 sehingga

x 𝜖 U ⊂ V .

- 𝛾 ⊂ 𝜏 disebut basis-bagian ( sub-basis ) topologi 𝜏 jika setiap irisan hingga anggotanya merupakan anggota basis. Jadi, 𝛾 ⊂ 𝜏 basis-bagian topologi 𝜏 jika dan hanya jika setiap V 𝜖 𝜏 dan x 𝜖 𝑉 ada U1 ,U2 , . . , Un 𝜖 𝛾 sehingga

x 𝜖 U1 ∩ U2 ∩ . . . . Un ⊂ V .

Jadi, jika diketahui ada basis-bagian suatu topologi maka basis dan topologi- nya dapat diketahui pula. Sebaliknya, jika diketahui satu topologi pada suatu himpunan, basis dan basis-bagiannya tidak mudah ditemukan.

Teorama 2,1,3 : Diketahui himpunan X ≠ ∅. 𝛾 ⊂ 2^X merupakan merupakan basis-bagian suatu topologi 𝜏 pada X jika X = ⋃_𝑈𝜖𝛾𝑈, X 𝜖 𝛾, dan untuk setiap U, V 𝜖 𝛾 dan x 𝜖 U ∩ 𝑉 ada W 𝜖 𝛾 sehingga x 𝜖 W ⊂ U ∩ V.

Bukti : Diambil sebarang U, V 𝜖 𝜏 dan x 𝜖 U ∩ V diperoleh x 𝜖 U dan x 𝜖 V. Oleh karena itu ada U1 ,U2 , . . . . ,Um dan V1 ,V2 , . . . . ,Vn anggota 𝛾 sehingga

8 x 𝜖 ⋂^𝑚_𝑖=1𝑈_𝑖 ⊂ U dan x 𝜖 ⋂^𝑛_𝑗=1𝑉_𝑗 ⊂ V

yang berakibat

x 𝜖 ⋃^𝑚_𝑖=1⋂^𝑛_𝑗=𝑖(𝑈_𝑖∩ 𝑉_𝑗) ⊂ U ∩ V

yang berarti U ∩ V 𝜖 𝜏. Cukup jelas bahwa X, ∅ 𝜖 𝜏. ∎

Suatu ruang topologis dikatakan memenuhi aksioma keterhitungan ke-dua ( second axiom of countability ) jika topologinya mempunyai basis yang ba- nyak anggotanya terhitung { countable ).

Contoh 2.1 (c)

1. Ruang topologi biasa R memenuhi aksioma keterhitungan ke-dua ; anggota basisnya adalah interval terbuka yang pangkal dan ujungnya bilangan rasional.

Persekitaran

Di dalam ruang metrik setiap persekitaran selalu merupakaan himpunan terbuka, tetapi di dalam ruang topologis tak demikian halnya meskipun inti pengertianya sama.

(X,𝜏) ruang topologis dan x 𝜖 X . Himpunnan N(x) ⊂ X disebut persekitaran ( neighborhood ) titik x jika ada himpunan terbuka U sehingga

x 𝜖 U ⊂ N(x).

Terlihat bahwa setiap himpunan terbuka merupakan persekitaran anggo- tanya.

Teorema 2.1.4 : Himpunan U di dalam ruang topologis X terbuka jika dan ha- nya jika U memuat suatu persekitaran setiap anggotanya.

Bukti : Syarat perlu : Karena U merupakan himpunan terbuka maka U me- rupakan persekitaran setiap anggotanya yang berarti U memuat setiap per- kitaran anggotanya. Syarat cukup : U memuat suatu persekitaran setiap anggotanya jika dan hanya jika untuk setiap x 𝜖 U ada persekiran N(x) dan himponan terbuka Ux sehingga x 𝜖 Ux ⊂ N(x) ⊂ U. Karena Ux himpunan terbuka untuk setiap x 𝜖 U, berdasarkan Definisi 2.1 (iii) diperoleh

U = ⋃_𝑥𝜖𝑈{𝑥} ⊂ ⋃_𝑥𝜖𝑈𝑈_𝑥 ⊂ ⋃_𝑥𝜖𝑈𝑁(𝑥) ⊂ U 𝜏 . ∎

9 Jika (X,𝜏) dan x 𝜖 X. Koleksi semua persekitaran di x dituliskan dengan

𝒩(x)

dan disebut sitem persekitaran di ( titik ) x ( system of neighborhood at x ) Teorema di bawah ini tak sukar dibuktikan.

Teorema 2.1.5 : Jika 𝒩(x) sistem persekitaran di x di dalam suatu ruang topologis, maka irisan setiap dua anggota menjadi anggota dan setiap himpunan yang memuat suatu anggota menjadi anggota sistem perse- kitaran itu.

Jika 𝒩(x) sistem persekitaran di x di dalam suatu ruang topologis, maka 𝛽 ⊂ 𝒩(x) disebut basis lokal ( local basis ) di x jika setiap N(x) 𝜖 𝒩(x) ada N^’(x) 𝜖 𝛽 sehingga N’(x) ⊂ N(x). Ruang topologis (X,𝜏) dikatakam memenuhi aksioma keterhitungan pertama ( first axiom of countability ) jika setiap 𝒩(x) mempunyai basis lokal yang banyak anggotanya terhitung. Berdasar- kan pengertian terakhir ini mudah dibuktikan teorema di bawah ini.

Teorema 2.1.6 : Setiap ruang topologis yang memenuhi aksioma keterhi- tungan ke-dua akan memenuhi aksioma keterhitungan pertama.

Latihan 2 :

1. Jika X = { a, b, c, d, e }, buatlah paling sedikit 3 ( tiga ) topologi pada X selain {∅, X} dan 2^X .

2. Jika 𝜏 dan 𝜎 dua topologi pada himpunan X, buktikan bahwa 𝜏 ∩ 𝜎 dan 𝜏 ∪ 𝜎 masing-masing merupakan topologi pada X.

3. Di dalam ruang topologi biasa R mana himpunan tertutup, himpunan terbukan dan persekitaran suatu titik : (a,∞), [a,∞), (-∞,b), (-∞,b], (a,b), [a,b], [a,b) ∪ {c, d}. Untuk mudahnya anggap saja a < b < c < d .

4. Buktikan Teorema 2.i.4 dan Teorema 2.1.5.

10

11

BAB 3

JENIS-JENIS HIMPUNAN DI DALAM RUANG TOPOLOGIS

Jika (X,𝜏) ruang topologis, himpunan anggota topologi 𝜏 himpunan terbuka, komplemen himpunan terbuka di sebut himpunan tertutup, dan persekitaran suatu titik di definisikan/dibangun melalui himpunan terbuka. Karena ruang topologis merupakan abstract ruang metrik, maka pengertian-pengertian di dalamnya berupa absraksi pula ; tanpa menggunakan pengertian jarak ( tan- pa menggunakan bahasa bilangan real 𝜀 − 𝛿 ), tetapi maknanya sama. Seba- gai contoh definisi di bawah ini.

3.1

Jenis-jenis himpunan

Definisi 3.1.1 : Jika (X, 𝜏) ruang topologis , x 𝜖 X dan A ⊂ X, maka x disebut (i) titik-dalam ( interior point ) himpunan A jika ada persekitaran N(x)

sehingga

N(x) ⊂ A

Koleksi semua titik-dalam himpunan A disebut interior A dan ditulis dengan int(A) atau A^o.

(ii) titik-luar ( exterior point ) himpunan A jika x titik-dalam himpunan A^c. Koleksi semua titik-luar himpunan A disebut exterior A dan ditulis dengan ext(A).

(iii) titik-limit ( limit point ) himpunan A jika untuk setiap persekitaran N(x) benar bahwa

N(x) ∩ A – {x} ≠ ∅ .

Koleksi semua titik-limit himpunan A disebut derived set of A dan dituliskan dengan A’.

(iv) titik-batas ( boundary point ) himpunan A jika untuk setiap N(x) benar bahwa

N(x) ∩ A ≠ ∅ dan N(x) ∩ A^c ≠ ∅.

Koleksi semua titik-batas himpunan A disebut batas himpunan A ( boundary of A ) dan dituliskan dengan 𝝏(A).

12 (v) Klosur himpunan A ( closure of A, ditulis singkat dengan cl(A), adalah

himpunan tertutup terkecil yang memuat A.

Sifat-sifat koleksi tersebut tetuang ke dalam beberapa teorema di bawah ini.

Teorema 3.1.2 : Untuk sebarang himpunan A di dalam ruang topologis (X, 𝜏) benar bahwa :

(i) int(A) merupakan himpunan terbuka terbesar yang termuat di dalam A .

(ii) int(int(A)) = int(A).

Bukti : (i) : x 𝜖 A^o = int(A), berdasarkan Definisi 3.1.1 (i), ada himpunan ter- buka Ux sehingga x 𝜖 Ux ⊂ A. Jadi diperoleh

int(A) = A^o = ⋃_𝑥𝜖𝐴^𝑜𝑈_𝑥 ⊂ A merupakan himpunan terbuka ( Def.2.1.1 (iii) ) termuat di dalam A.

Selanjutnya, diambil sebarang himpunan terbuka B yang temuat di da- lam A. Jadi untuk sebarang b 𝜖 B merupakan titik-dalamnya yang berarti ada himpunan terbuka Ub sehingga b 𝜖 Ub ⊂ B. Karena B ⊂ A diperoleh b merupakan titik-dalam himpuan A yang berarti b 𝜖 int(A) ; jadi B ⊂ int(A) yang berarti int(A) merupakan himpunan terbuka terbesar yang termuat di dalam A . (ii) Menurut (i), int(A) himpunan terbuka dan oleh karena itu himpunanan terbuka terbesar yang termuat di dalam int(A) adalah diri- nya sendiri, jadi terbukti int(int(A)) = int(A). ∎

Teorema 3.1.3 : Untuk sebarang himpunan A di dalam ruang topologis (X, 𝜏) benar bahwa :

(i) A – 𝜕(A) merupakan himpunan terbuka.

(ii) A ∪ 𝜕(A) merupakan himpunan tertutup.

Bukti : (i) : Cukup diperlihatkan bahwa sebarang x 𝜖 𝐴 – 𝜕(𝐴) merupakan titik-dalam. x 𝜖 𝐴 – 𝜕(𝐴) jika dan hanya jika x 𝜖 𝐴 dan x bukan anggota 𝜕(𝐴) ( bukan titik-batas himpunan A ) jika dan hanya jika x 𝜖 𝐴 dan ada persekitar- an N(x) sehingga A ∩ N(x) = ∅ atau A^c ∩ N(x) = ∅ } jika dan hanyax 𝜖 𝐴 dan ada persekitaran N(x) sehingga A ∩ N(x) ≠ ∅ dan A^c ∩ N(x)jika dan hanya jika

13 ada N(x) sehingga N(x) ⊂ A dan x bukan titik-batas himpunan A jika dan hanya jika x titik-dalam himpunan A – 𝜕(A) . (ii) : Membuktikan A ∪ 𝜕(A) merupakan himpunan tertutup ekuivalen dengan membuktikan (A ∪ 𝜕(A))^c = A^c ∩ (𝜕(A))^c = A^c − 𝜕(A) = A^c − 𝜕(A^c) merupakan himpunan terbuka dan

memang benar bahwa A^c − 𝜕(A^c) merupakan himpunan terbuka, menurut (i).

∎

Teorema 3.1.4 : Di dalam setiap ruang topologis (X,𝜏), untuk sebarang A ⊂ X benar bahwa 𝐴 = A ∪ A’ merupakan himpunan tertutup.

Bukti : Cukup dibuktikan bahwa 𝐴^c = ( A ∪ A’ )^c = A^c ∩ (A’)^c himpunan terbu- ka. Diambil sebarang x 𝜖 A^c ∩ (A’)^c. x 𝜖 A^c ∩ (A’)^c jika dan hanya jika x 𝜖 A^c dan x bukan titik-limit himpunan A jika dan hanya jika x 𝜖 A^c ada N(x) sehi- ngga N(x) ∩ A – {x} = ∅ yang berakibat ada N(x) sehingga N(x) ⊂ A^c dan x bukan titik-limit himpunan A yang berarti x 𝜖 A^c ∩ (A’). Bukti selesai. ∎ Teorema 3.1.5 : Di dalam setiap ruang topologis (X,𝜏), untuk sebarang A ⊂ X benar bahwa 𝐴 = A ∪ A’ = cl(A).

Bukti : Karena cl(A) adalah himpunan tertutup terkecil yang memuat A dan telah terbukti bahwa 𝐴 = A ∪ A’ himpunan tertutup, maka cl(A) ⊂ A ∪ A’.

Sebaliknya, jika x 𝜖 A ∪ A’ maka x 𝜖 A atau { untuk setiap N(x) benar bahwa N(x) ∩ A – {x} ≠ ∅ } yang berakibat x 𝜖 cl(A} atau { untuk setiap N(x) benar bahwa N(x) ∩ cl(A} – {x} ≠ ∅ } atau x 𝜖 cl(A). Jadi A ∪ A’ ⊂ cl(A). ∎

Berdasarkan Teorema 3.2, Teorema 3.4, dan Teorema 3.5 diperoleh : Akibat 3.1.6 : Diketahui ruaang topologis (X,𝜏) dan A ⊂ X.

(i) A himpunan terbuka jika dan hanya jika int(A) = A .

(ii) A himpunan tertutup jika dan hanya jika A memuat semua titik- limitnya.

(iii) A himpunan tertutup jika dan hanya jika cl(A) = A .

(iv) A himpunan tertutup jika dan hanya jika untuk setiap x 𝜖 A benar bahwa N(x) ∩ A ≠ ∅ .

14 Definisi 3.1.7 : Diketahui ruang topologis (X,𝜏) dan A ⊂ X. A dikatakan dense di dalam X jika cl(A) = X .

Teorema 3.1.8 : Diketahui ruang topologis (X,𝜏). A ⊂ X. A dense di dalam X jika dan hanya jika 𝜏 mempunyai basis sehingga setiap anggota basis yang tak kosong irisannya dengan A tak kosong.

Bukti : Syarat perlu : Cukup dibuktikan bahwa setiap himpunan terbuka U yang tak kosong memotong A. Diambil sebarang x 𝜖 U. Karena A dense di dalam X maka x 𝜖 cl(A) dan karena U merupakan persekitaran titik x berarti U beririsan dengan A. Syarat cukup : Diketahui 𝜏 memepunyai basis, katakan basis itu 𝛽, dan jika U 𝜖 𝛽 tak kosong diketahui U ∩ A ≠ ∅. Diambil sebarang x 𝜖 X dan persekitaran N(x). Berdasarkan definisi persekitaran dan basis, maka ada V 𝜖 𝛽 sehingga x 𝜖 V ⊂ N(x) dan berdasarkan hipotesisnya irisan V dengan A tak kosong dan oleh karena itu x 𝜖 cl(A). Karena pengambilan x sebarang ber- arti X = cl(A) dan bukti selesai. ∎

Sebagai contoh : Jika Q koleksi semua bilangan rasional maka Q dense di dalam ruang topologis biasa R . Mudah difahami bahwa setiap selang terbuka memu- at suatu bilangan rasional dan koleksi semua selang terbuka merupakan basis topologi biasa pada R.

Ruang topologis (X,𝜏) dikatakan separabel ( separable ) himpunan terhitung A

⊂ X sehingga A dense di dalam X .

Contoh : Ruang topologis biasa R separable sebab Q, koleksi semua bilangan rasional, terhitung dan Q dense di dalam R.

Teorema 3.1.9 : Setiap ruang topologis yang memenuhi aksioma keterhitung- an ke-dua merupakan ruang topologis separabel.

Bukti : Jika (X,𝜏) ruang topologis yang memenuhi aksioma keterhitungan ke- dua berarti 𝜏 mempunyai basis 𝛽 yang banyak anggotanya terhitung. Untuk setiap V anggota 𝛽 yang tidak kosong diambil satu anggota xv . Jika A koleksi semua xv maka A terhitung dan berdasarkan Teorema 2.8 di atas diperoleh A dense di dalam X yang berarti (X,𝜏) separable. ∎

15

Latihan 3 :

Diketahui ruang topologis (X,𝜏).

1. Jika A, B ⊂ X buktikan bahwa

𝜕(A ∪ B) ⊂ 𝜕(A) ∪ 𝜕(B).

2. Jika A, B ⊂ X buktikan bahwa a. int(A ∪ B) ⊃ int(A) ∪ int(B).

b. int(A ∩ B) = int(A) ∩ int(B).

3. Jika A, B ⊂ X buktikan bahwa a. cl(A ∪ B) = cl(A) ∪ clB).

b. cl(A ∩ B) ⊂ cl(A) ∩ cl(B).

4. Jika A ⊂ X buktikan bahwa a. int(X – A) = X – cl(A).

b. cl(X – A) = X – int(A).

5. Jika A dense di dalam X dan U himpunan terbuka di dalam X, buktikan bahwa

U ⊂ cl(A ∩ U).

16

17

BAB 4

FUNGSI KONTINU

Berdasarkan materi-materi yang disajikan atau dibicarakan pada Bagian 2 dan Bagian 3 jelas bahwa materi-materi tersebut merupakan bentuk abs- traksi materi-materi pada ruang metrik atau lebih khusus lagi merupakan bentuk abstraksi materi-materi analisis real. Memang itulah yang terjadi pada materi-materi selanjutnya.

4.1 Fungsi kontinu

Definisi 4.1.1 : ( Fungsi kontinu )

Diketahui dua ruang topologis (X, 𝜏) dan (Y,𝜎). Fungsi f : X → Y dikata- kan kontinu ( continuous ) di titik x 𝝐 X jika untuk setiap persekitaran N(f(x)) ada persekitaran N(x) sehingga f(N(x)) ⊂ N(f(x)). Fungsi f dikatakan kontinu pada A ⊂ X jika f kontinu di setiap titik anggota A.

Karena himpunan terbuka yang tak kosong merupakan persekitaran setiap anggotanya, maka peran persekitaran di dalam definisi tersebut dapat di- ganti denan himpunan terbuka. Jadi, fungsi f kontinu di x jika himpunan terbuka V ⊂ Y yang memuat f(x) ada himpunan terbuka U ⊂ X yang memu- at x sehingga f(U) ⊂ V .

Teorema di bawah ini memperjelas arti fungsi kontinu tersebut.

Teorema 4.1.2 : Diketahui dua ruang topologis (X, 𝜏) dan (Y,𝜎) serta fungsi f : X → Y . Tiga penyataan di bawah ini ekuivalen.

(i) Fungsi f kontinu pada X.

(ii) Untuk setiap himpunan terbuka V ⊂ Y berakibat 𝑓⁻¹(V) ⊂ X terbuka.

(iii) Untuk setiap himpunan tertutup F ⊂ Y berakibat 𝑓⁻¹(F) ⊂ X tertutup.

Bukti : (i) ⟹ (ii) Diambil sebarang x 𝜖 𝑓⁻¹(V) ; jadi f(x) 𝜖 V. Karena V himpunan terbuka maka ada himpunan terbuka Vf,x ⊂ V yang memuat f(x).

18 Selanjutnya, karena f kontinu di x maka ada himpunan terbuka Ux yang memuat x sehingga f(Ux) ⊂ Vf,x . Jadi diperoleh 𝑓⁻¹(V) = ⋃ 𝑈_{𝑥 𝑥} himpunan terbuka. (ii) ⟹ (i) Diambil sebarang x 𝜖 X. Menurut yang diketahui untuk sebarang himpunan terbuka, khususnya himpunan terbuka V yang memuat f(x), terdapat himpuanan terbuka U yang memuat x sehingga 𝑓⁻¹(V) = U atau f(U) = V. Jadi terbukti f kontinu di setiap x 𝜖 X. (ii) ⟹ (iii) Diambil sebarang himpunan tertutup F ⊂ Y ; jadi Y – F himpunan terbuka. Menu- rut yang diketahui diperoleh X - 𝑓⁻¹(F) = 𝑓⁻¹(Y – F) himpunan terbuka yang berarti 𝑓⁻¹(F) tertutup. (iii) ⟹ (ii) Diambil sebaraang himpunan terbuka V ⊂ Y ; jadi Y – V himpunan tertutup. Menurut yang diketahui diperoleh X - 𝑓⁻¹(V) = 𝑓⁻¹(Y – V) himpunan tertutup yang berarti 𝑓⁻¹(V) terbuka. ∎

Contoh 4 :

1. Fungsi f dari R ke R, sebagai ruang topologis biasa, dengan rumus : f(x) = x²

untuk seriap x 𝜖 R ; jadi f(R) = [0,∞). Mudah difahami bahwa f merupakan fungsi kontinu, sebab jika diambil V = [a,b], dengan 0 ≤ a < b, merupakan himpunan tertutup, diperoleh 𝑓⁻¹(V) = [-b,-a] ∪ [a,b] merupakan himpunan tertutup.

Teorema di bawah ini tak sukar dibuktikan.

Teorema 4.1.3 : Jika X, Y, dan Z masing-masing ruang topologis, f : X → Y dan g : Y → Z masing-masing fungsi kontinu, maka g.f : X → Z fungsi kontinu.

Definisi 4.1.4 : Jika X dan Y masing-masing ruang topologis , maka fungsi f : X → Y disebut :

(i) fungsi terbuka jika setiap himpunan terbuka U ⊂ X berakibat f(U) ⊂ Y himpunan terbuka,

(ii) fungsi tertutup jika setiap himpunan tertutup F ⊂ X berakibat f(F) ⊂ Y himpunan tertutup.

Teorema 4.1.5 : Diketahui X dan Y dua ruang topologis , fungsi f : X → Y bijektif dan kontinu. Tiga pernyataan di bawah ini ekuivalen :

19 (i) 𝑓⁻¹ : Y → X kontinu.

(ii) f fungsi terbuka.

(iii) f fungsi tertutup.

Bukti : Karena f merupakan fungsi bijektif dari X ke Y maka 𝑓⁻¹ merupakan fungsi dai Y ke X. (i) ⟺ (ii) 𝑓⁻¹ : Y → X kontinu jika dan hanya jika setiap himpunan terbuka U ⊂ X berakibat (𝑓⁻¹)⁻¹(U) = f(U) him-punan terbuka jika dan hanya jika f fungsi terbuka . (i) ⟺ (iii) 𝑓⁻¹ : Y → X kontinu jika dan hanya jika setiap himpunan tertutup F ⊂ X berakibat (𝑓⁻¹)⁻¹(F) = f(F) himpunan tertutup jika dan hanya jika f fungsi tertutup.

Bukti selesai. ∎

Fungsi bijektif f dari ruang topologis X ke ruang topologis Y yang kontinu dan 𝑓⁻¹ juga kontinu disebut fungsi homeomorfisma ( homeomorphism ) dan dikatakan X homeomorfik ( homeomorphic ) dengan U. Jadi, berda-sarkan teorema terakhir di atas, jika f fungsi bijektif dan kontinu dari ruang topologis X ke ruang topologis Y merupakan fungsi homeomorfisma jika memenuhi salah satu pernyataan di dalam teorema tersebut.

Teorema 4.1.6 : Jika X, Y, dan Z masing-masing ruang topologis, f : X → Y dan g : Y → Z masing-masing fungsi homeomorfisma, maka g.f : X → Z dan (𝑔. 𝑓)⁻¹ = 𝑓⁻¹. 𝑔⁻¹ : Z → X masing-masing fungsi homeomorfisma.

Bukti : Karena f dan g masing-masing fungsi homeomorfisma, yaitu f dan g masing-masing fungsi bijektif, kontinu, dan invesenya kontinu, maka g.f dan (𝑔. 𝑓)⁻¹ juga fungsi bijektif dan kontinu ( fungsi homeomorfisma ). ∎

4.2 Topologi relatif ( Ruang-bagian )

Setelah memahami pengetian fungsi kontinu dari suatu ruang topologis ke ruang topologis yang lain, aplikasi langsung dapat untuk menyelesaikan masalah di bawah ini. Diketahui X dan Y dua himpunan yang tak kosong serta fungsi :

f : X → Y .

20 a. Jika 𝜏 suatu topologi pada X , bagaimana membentuk suatu topologi pada

Y. Dengan menggunakan pengertian fungsi kontinu, yaitu masalah itu terjawab adalah mengusahakan agar fungsi f tersebut kontinu. Jadi

𝜎 = { V ⊂ Y : 𝑓⁻¹(V) 𝜖 𝜏 }

tentu merupakan topologi pada Y dan 𝜎 disebut topologi terinduksi ( in- duced topology ) oleh 𝜏.

b. Sebaliknya, jika 𝜋 topologi pada Y, bagaimana membentuk suatu topologi pada X. Dengan argumentasi yang sama diperoleh

𝜌 = { 𝑓⁻¹(V) : V 𝜖 𝜋 } .

Tentu 𝜌 merupakan topologi pada pada X yang disebut topologi terinin- duksi oleh 𝜋.

Latihan 4(a)

1. Diketahui X dan Y dua ruang topologis, f : X → Y, x 𝜖 X, dan 𝛽 basis local di f(x). Buktikan bahwa f kontinu di x jika dan hanya jika untuk setiap N(f(x)) 𝜖 𝛽 terdapat N(x) sehingga f(N(x)) ⊂ 𝑁(𝑓(𝑥)) .

2. X ruang topologis, E ⊂ X, dan

𝜒_𝐸 : X → R

fungsi karakteristik. Buktikan bahwa 𝜒_𝐸 kontinu di x jika dan hanya jika x titik-batas himpunan E.

3. Buktikan bahwa setiap fungsi dari ruang topologis diskret ke sebarang ruang topologis selalu kontinu. Juga, buktikan bahwa fungsi dari seba- rang ruang topologis ke ruang topologis indiskret selalu kontinu.

JIka E himpunan-bagian yang tak kosong di dalam ruang topologis X dengan topologi 𝜏, fungsi inklusi ( inclusion function ) :

I : x 𝜖 E → i(x) = x 𝜖 X akan membangkitkan topologi terinduksi 𝜏_𝐸 pada E :

𝝉_𝑬 = = { 𝒊^−𝟏(V) : V 𝝐 𝝉 } .

Topologi 𝜏_𝐸 disebut topologi relatif ( relative topology ) dan ruang topologis (E, 𝜏_𝐸) disebut ruang-bagian ( sub-space ). Karena i fungsi inklusi , fungsi 1-1 dari E ke X, diperoleh

21 𝑖⁻¹(V) = V ∩ 𝐸

untuk setiap V 𝜖 𝜏. Oleh karena itu diperoleh 𝝉_𝑬 = = { V ∩ 𝑬 : V 𝝐 𝝉 } .

Berdasarkan uraian tersebut diperoleh teorema 𝜏_𝐸 ⊂ 𝜏 jika dan hanya jika E himpunan terbuka dan setiap setiap himpunan-bagian tertutup di dalam ruang-bagian (E, 𝜏_𝐸) tertutup di dalam X jika dan hanya jika E tertutup. Oleh karena itu diperoleh teorema di bawah ini.

Teorema 4.2.1 : Diketahui E himpunan-bagian tak kosong di dalam ruang topologis X dengan topologi 𝜏. Diperoleh dua pernyataan di bawah ini .

(i) Ruang-bagian (E, 𝜏_𝐸) terbuka jika dan hanya jika E terbuka.

(ii) Ruang-bagian (E, 𝜏_𝐸) tertutup jika dan hanya jika E tertutup.

Latihan 4(b)

.1. R ruang topologis biasa dan a, b , c 𝜖 R dan a < b.

a. Jika E = (a,b] buatlah contoh himpunan terbuka dan himpunan tertutup di dalam ruang topologis bagian E.

b. Jika E = [a,b) ∪ {c} buatlah contoh himpunan terbuka dan himpunan tertutup di dalam ruang topologis bagian E.

2. A, B, C masing-masing ruang bagian di dalam ruang topologis X sehingga C

⊂ A ∩ B. Buktikan bahwa C terbuka di dalam ruang-bagian A ∪ 𝐵 jika C terbuka di dalam ruang-bagian A dan di dalam ruang bagian B. Buktikan pula C tertutup di dalam ruang-bagian A ∪ 𝐵 jika C tertutup di dalam ruang-bagian A dan di dalam ruang bagian B.

3. A dan B masing-masing himpunan-bagian di dalam ruang topologis X dan B ⊂ A.. Buktikan bahwa

(a) Int(B) termuat di dalam interior B relatif terhadap ruang-bagian A.

(b) Cl(B} ∩ A merupakan klosur relatif terhadap ruang-bagian A.

Fungsi identifikasi

Teorema 4.2.2 : Jika X dan Y masing-masing ruang topologis dan f : X → Y fungsi kontinu, maka dua pernyataan di bawah ini equivalen :

(i) Himpunan E ⊂ Y terbuka jika dan hanya jika 𝑓⁻¹(E) ⊂ X terbuka.

22 (ii) Himpunan E ⊂ Y tertutup jika dan hanya jika 𝑓⁻¹(E) ⊂ X tertutup.

BuktI : Karena f fungsi kontinu, maka (i) ⟺ (ii) merupakan akibat dari kenyataan bahwa

𝑓⁻¹(Y – E) = X - 𝑓⁻¹(E). ∎

Definisi 4.9 : Jika X dan Y masing-masing ruang topologis dan f : X → Y fungsi surjektif dan kontinu, maka f disebut fungsi identifikasi ( identification function ) jika f memenuhi salah satu pernyataan Teorema 4.8.

Teorem 4.2.3 : Jika X dan Y masing-masing ruang topologis dan f : X → Y fungsi surjektif, kontinu, dan terbuka atau tertutup, maka f merupakan fungsi identifikasi.

Bukti : Dibuktikan hanya jika f surjektif, kontinu, dan terbuka saja karena untuk kemungkinan lain bukti sama. Karena f surjektif dan 𝑓⁻¹(E) terbuka di dalam X maka

f(𝑓⁻¹(E)) = E

himpunan terbuka, dengan kata lain pernyaan di dalamTeorema 4.8 (i) ter- penuhi. Jadi terbukti bahwa f fungsi identifikasi. ∎

Teorema 4.2.4 : X, Y, dan Z masing-masing ruang topologis. Jika f : X → y fungsi identifikasi dan g : Y → Z, maka syarat perlu dan cukup agar g meru- pakan fungsi kontinu adalah g.f juga merupakan fungsi kontinu.

Bukti : Syarat perlu : Syarat perlu cukup jelas, karena komposisi dua fungsi kontinu merupakan fungsi kontinu. Syarat cukup : Jika h = g.f : X → Z fungsi kontinu, maka untuk setiap himpunan terbuka E ⊂ Z diperoleh

ℎ⁻¹(E) = 𝑓⁻¹(𝑔⁻¹(E))

merupakan himpunan terbuka di dalam X. Karena f fungsi identifikasi maka 𝑔⁻¹(E) = f(ℎ⁻¹(E)) merupakan himpunan terbuka di dalam Y. Jadi terbukti bahwa g merupakan fungsi kontinu. ∎

4.3 Topologi jumlah dan topologi produk

Diketahui ruang topologis ( 𝑥_𝛼,𝜏_𝛼) untuk setiap 𝛼 𝜖 I dengan I himpunan indeks dengan anggapan para 𝑋_𝛼 saling asing. Salah satu masalah yang

23 timbul adalah bagaimana membentuk topologi pada

a. himpunan gabungan

S = ⋃_𝜶𝝐𝑰𝑿_𝜶 b. himpunan produk ( hasil ganda )

P = ∏_𝜶𝝐𝑰𝑿_𝜶 Teorema 4.3.1 : Koleksi himpunan

𝝈 = { U ⊂ S : U ∩ 𝑿_𝜶 𝝐 𝝉_𝜶 untuk setiap 𝜶 𝝐 I }

merupakan topologi pada S yang disebut topologi jumlah ( sum topology ).

Jadi (S,𝜎) merupakan ruang topologis yang disebut ruang topologis jumlah ( sum topological space ).

Bukti : S 𝜖 𝜎, sebab S ∩ 𝑋_𝛼 = 𝑋_𝛼 𝜖 𝜏𝛼 . jelas bahwa ∅ 𝜖 𝜎 . Jika U, V 𝜖 𝜏_𝛼 maka U ∩ V 𝜖 𝜎, sebab U ∩ V ∩ 𝑋_𝛼 = U ∩ 𝑋_𝛼∩ V ∩ 𝑋𝛼 𝜖 𝜏_𝛼. Diambil se- barang 𝜌 ⊂ 𝜎. Diperoleh

( ⋃_𝑈𝜖𝜌𝑈 ) ∩ 𝑋_𝛼 = ⋃_𝑈𝜖𝜌( 𝑈 ∩ 𝑋_𝛼) 𝜖 𝜏_𝛼. Jadi, ⋃_𝑈𝜖𝜌𝑈 𝜖 𝜎 dan bukti selesai. ∎

Untuk membicarakan topologi produk perlu pengenalan pergandaan him- puan-himpunan yang banyak faktornya hingga lebih dahulu. Jika X1 , X2 , . . . . , Xn himpunan-himpunan yang saling asing, maka S = ⋃^𝑛_𝑘=1𝑋k dan

P = ∏_𝛼𝜖𝐼𝑋_𝛼 = ∏^𝑛_𝑘=1𝑋_𝑘 = { (x1 ,x2 , . . . . ,xn) : xk 𝜖 Xk }, I = { 1,2,3, . . . ,n } Jadi setiap (x1 ,x2 , . . . . ,xn) 𝝐 P

dapat diidentifikasikan sebagai fungsi f : I → S dengan f(k) = xk untuk setiap k 𝝐 I.

Jadi secara umum, jika I sebarang himpunan indeks, { 𝑋_𝛼 : 𝛼 𝜖 I } koleksi himpunan yang saling asing untuk sebarang himpunan indeks I, dan S = ⋃_𝛼𝜖𝐼𝑋_𝛼 , maka

P = ∏_𝜶𝝐𝑰𝑿_𝜶 = { f : I → S : f(𝜶) 𝝐 𝑿_𝜶 dan 𝜶 𝝐 I } .

𝑋_𝛼 disebut komponen ke-𝜶 ( 𝜶-th component ) himpunan produk P. Fungsi 𝒑_𝜶 : P → 𝑿_𝜶 dengan rumus 𝒑_𝜶(f) = f(𝜶) 𝝐 𝑿_𝜶 untuk setiap f 𝝐 P disebut fungsi projeksi orthogonal ke 𝑿_𝜶 .

24 Definisi 4.3.2 : Jika (𝑋_𝛼,𝜏_𝛼) merupakan ruang topologis untuk setiap 𝛼 𝜖 I dan 𝑈_𝛼 𝜖 𝜏_𝛼, himpunan-bagian di dalam P :

𝑼_𝜶^∗ = { f 𝝐 P : f(𝜶) 𝝐 𝑼_𝜶 }.

Berdasarkan definisi tersebut dan topologi tereduksi mudah difahami bahwa

𝒑_𝜶^−𝟏(𝑼_𝜶) = 𝑼_𝜶^∗

merupakan himpunan terbuka di dalam ruang topologis (P,𝜋) yang akan dibentuk yang berarti 𝑼_𝜶^∗ anggota basis-bagian topologi 𝜋. Oleh karena itu 𝜸 = { ⋂_𝜶𝝐𝑱𝑼_𝜶^∗ ; J ⊂ I terhitung }

merupakan anggota basis topologi 𝜋 pada P dan topologi 𝜋 disebut topologi produk ( product topology ) pada P dan (P,𝜋) disebut ruang topologis produk ( product topological space ). Berdasarkan uraian di atas diperoleh teorema ini.

Teorema 4.3.3 ; Fungsi projeksi orthogonal 𝑝_𝛼 : P → 𝑋_𝛼 merupakan fungsi kontinu dan terbuka.

Latihan 4(c) :

1. Jika X dan Y masing-masing ruang topologis, himpunan-himunan mana yang menjadi anggota basis-bagian ruang topologis X x Y dan himpunan- himpunan mana yang menjadi anggoya basis topologi produk pada XxY.

2. Pada ruang topologis produk R² ( bidang datar ) himpunan-himpunan mana yang menjadi anggota basis-bagian dan himpunan-himpunan mana yang menjadi anggota basis.

25

BAB 5

AKSIOMA SEPARASI DAN KEKOMPAKAN

5.1 Aksioma separasi ( Separation Axioms )

Terdapat paling sedikit 4 (empat ) jenis aksioma separasi.

Definisi 5.1.1 : Ruang topologis X disebut ruang-T1 atau ruang Frechet jika setiap dua titik x, y 𝜖 X dan x ≠ y terdapat himpunan terbuka Ux yang memuat x dan tak memuat y.

Teorema 5.1.2 : Ruang topologis merupakan ruang-T1 jika dan hanya jika setiap singleton merupakan himpunan tertutup.

Bukti : X ruang-T1 jika dan hanya jika setiap dua titik x, y 𝜖 X dan x ≠ y ter- dapat himpunan terbuka Ux yang memuat x dan tak memuat y. Jadi jika diambil titik y tetap dan titik x sebarang diperoleh

{ y } = X - ⋃_𝑥≠𝑦𝑈_𝑥

merupakan himpunan tertutup. Sebaliknya, jika diketahui { y } himpunan tertutup dipieroleh U = ⋃_𝑥≠𝑦𝑈_𝑥 = X – { y } merupakan himpunan terbuka yang memuat setiap x ≠ y. ∎

Teorema 5.1.3 : Setiap ruang-bagian ruang-T1 merupakan ruang-T1 . Bukti : Diambil sebarang ruang-bagian E di dalam ruang-T1 X. Jika x, y 𝜖 E dan x ≠ 𝑦 maka x, y 𝜖 X dan oleh karena itu ada himpunan Ux yang memu- at x dan tak memuat y. Hal ini berakibat Ux ∩ E terbuka di dalam ruang-ba- gian E dan tak memuat y. ∎

Definisi 5.1.4 : Ruang topologis X disebut ruang-T2 atau ruang Hausdorff jika setiap dua titik x, y 𝜖 X dan x ≠ y terdapat dua himpunan terbuka Ux dan Uy sehingga Ux ∩ Uy = ∅, x 𝜖 Ux , dan y 𝜖 Uy .

Mudah dihahami kebenaran teorema di bawah in.

26 Teorema 5.1.5 : Setiap ruang Hausdorff merupakan ruang Frechet.

Teorema 5.1.6 : Jika (𝑋_𝛼, 𝜏_𝛼) merupakaan ruang Hausdorff untuk setiap 𝛼 𝜖 I dengan 𝑋_𝛼 ∩ 𝑋_𝛽 = ∅ untuk 𝛼 ≠ 𝛽, maka ruang tupologis jumlah dan ru- ang topologis produknya merupakan ruang Hausdorff.

Bukti : (S,𝜎) ruang topologis jumlah. Menurut Teorema 4.12, U ⊂ S ang- gota 𝜎 jika U ∩ 𝑋_𝛼 𝜖 𝜏_𝛼 . Jadi 𝑋_𝛼 𝜖 𝜎 dan setiap anggota 𝜏_𝛼 anggota 𝜎.

Sekarang diambil sebarang x, y 𝜖 S dan x ≠y. Jika x 𝜖 𝑋_𝛼 dan 𝜖 𝑋_𝛽 dan 𝛼 ≠ 𝛽 diperoleh 𝑋_𝛼 ∩ 𝑋_𝛽 = ∅ dan jka x, y 𝜖 𝑋_𝛼 untuk suatu 𝛼 dan karena (𝑋_𝛼, 𝜏_𝛼) merupakaan ruang Hausdorff maka ada dua himpunan terbuka Ux dan Uy sehingga Ux ∩ Uy = ∅, x 𝜖 Ux dan y 𝜖 Uy . Jadi terbukti bahwa (S,𝜎) ruang Hausdorff dan tinggal membuktikan bahwa ruang topologis produk (P,𝜋) merupakan ruang Haudorff. Diambil sebrang f, g 𝜖 P dengan f ≠g.

Jadi ada 𝛼 𝜖 I sehingga f(𝛼) ≠ g(𝛼), tetapi telah diketahui bahwa f(𝛼), g(𝛼) 𝜖 𝑋_𝛼 dan 𝑋_𝛼 ruang Hausdorff. Jadi ada 𝑈_𝛼 , 𝑉_𝛼 𝜖 𝜏_𝛼 sehingga 𝑈_𝛼 ∩ 𝑉_𝛼 = ∅, f(𝛼) 𝜖 𝑈_𝛼 , dan g(𝛼) 𝜖 𝑉_𝛼 yang berakibat 𝑈_𝛼^∗ , 𝑉_𝛼^∗ 𝜖 𝜋 sehingga 𝑈_𝛼^∗ ∩ 𝑉_𝛼^∗ = ∅, f 𝜖 𝑈_𝛼^∗ dan g 𝜖 𝑉_𝛼^∗ . Bukti selesai. ∎

Definisi 5.1.7 : Ruang topologis (X , 𝜏) disebut :

(i) ruang-T3 jika untuk setiap x 𝜖 X dan himpunan tertutup F ⊂ X dengan x ∉ F terdapat dua himpunan terbuka Ux dan UF sehingga Ux ∩ UF = ∅, x 𝜖 Ux , dan F ⊂ UF .

(ii) ruang-T4 atau ruang normal ( normal space ) jika untuk setiap dua himpunan tertutup F1 ,F2 ⊂ X dengan F1 ∩ F2 = ∅ terdapat dua himpunan terbuka U dan V sehingga U ∩ V= ∅, F1 ⊂ U , dan F2 ⊂ V.

Teorema 5.1.8 : Diketahui (X , 𝜏) ruang Frechet. Jika (X , 𝜏) ruang normal maka (X , 𝜏) merupakan ruang-T3 dan jika (X , 𝜏) ruang-T3 maka (X , 𝜏) merupakan ruang Hausdorff.

Bukti : Karena (X , 𝜏) merupakan ruang Frechet, maka setiap singleton merupakan himpunan tertutup dan oleh karena itu jelas bahwa jika (X , 𝜏) ruang normal maka (X , 𝜏) merupakan (X , 𝜏) ruang-T3 dan jika (X , 𝜏)

27 ruang-T3 maka (X , 𝜏) merupakan ruang Hausdorff. ∎

Latihan 5(a)

1. Jika X ruang Hausdorff dan x1 ,.x2 , . . . . , xn titik-titik yang berlainan di dalam X, buktikan bahwa ada himpunan-himpunan terbuka yang saling asing U1 ,U2 , . . . . ,Un di dalam X sehingga xk 𝜖 Uk untuk setiap k.

2. E himpunan-bagian di dalam ruang-T1. Buktikan bahwa setiap perse- kitaran titik-limit himpunan E memuat tak hingga banyak anggota E.

3. X ruang normal. Buktikan bahwa setiap himpunan-bagian F di dalam X yang tertutup merupakan ruang-bagian yang normal pula.

5.2

Kekompakan ( Compactness )

Diketahui himpunan X tak kosong. 𝜅 ⊂ 2^X disebut liput ( cover ) himpunan K ⊂ X jika

K ⊂ ⋃_𝑈𝜖𝜅𝑈

dan 𝜎 ⊂ 𝜅 disebut liput-bagian ( sub-cover ) jika K ⊂ ⋃_𝑈𝜖𝜎𝑈.

Jika X ruang topologis, 𝜅 ⊂ 2^X disebut liput terbuka ( open cover ) himpunan K ⊂ X jika setiap anggota 𝜅 merupakan himpunan terbuka

Definisi 5.2.1 : K himpunan bagian ruang topologis X dengan topologi 𝜏 dika- takan kompak ( compact ) jika setiap liput terbukanya memuat liput bagian yang banyak anggotanya hingga.

Teorema 5.2.2 : Jika K himpunan yang tertutup di dalam ruang topologis X yang kompak maka K kompak.

Bukti : Diambil 𝜅 sebarang liput terbuka himpunan tertutup K. Mudah difa- hami bahwa 𝜅 ∪ { K^c } merupakan liput terbuka himpunan X yang kompak.

Oleh karena itu ada U1 ,U2 , . . . ,Un, K^c 𝜖 ∪ { K^c } sehingga

X ⊂ ⋃^𝑛_𝑘=1𝑈n ∪ K^c yang berakibat K = X - K^c ⊂ ⋃^𝑛_𝑘=1𝑈n yang berarti terbukti bahwa K himpunan kompak. ∎

28 Teorema 5.2.3 : Jika K himpunan kompak di dalam ruang Hausdoff X, maka K himpunan tertutup.

Bukti : Membuktikan bahwa K tertutup ekuivalen dengan membuktikan bahwa K^c himpunan terbuka. Diambil titik tetap x 𝜖 K^c. Karena X ruang Hausdorff, maka untuk sebarang y 𝜖 K terdapat dua himpunan terbuka 𝑈_𝑦 ^𝑥 dan Vy sehingga 𝑈_𝑦 ^𝑥 ∩ Vy = ∅, x 𝜖 𝑈_𝑦 ^𝑥 dan y 𝜖 Vy . Diperoleh koleksi { Vy : y 𝜖 K } merupakan liput terbuka himpunan K dan karena K himpunan kompak maka ada liput bagiannya { V1 ,V2 , . . . ,Vn } ⊂ { Vy : y 𝜖 K } sehingga K ⊂ ⋃^𝑛_𝑘−1𝑉k = V . Karena setiap Vk mempunai pasangan himpunan terbuka 𝑈_𝑘^𝑥 maka diperoleh V ∩ U^x = ⋂^𝑛_𝑘=1𝑈_𝑘^𝑥 = ∅ dan U^x ⊂ K^c yang berarti x titik-dalam himpunan K^c dan karena x 𝜖 K^c sebarang maka dapat dismpulkan K^c him- punan terbuka dan bukti selesai. ∎

Suatu koleksi himpunan tertutup Γ di dalam suatu ruang topologis X dikatakan mempunyai sifat irisan hingga ( finite intersection property ) jika setiap irisan hingga aggota-anggotanya tak kosong.

Teorema 5.2.4 : Ruang topologis X kompak jika dan hanya jika setiap koleksi himpunan tertutup di dalamnya yang mempunyai sifat irisan hingga irisannya sendiri tak kosong.

Bukti : X ruang topologis kompak ⟺ {setiap 𝜅 liput terbuka himpunan X ( X = ⋃_𝑈𝜖𝜅𝑈 ) ⟹ ada U1 ,U2 , . . ,Un 𝜖 𝜅 dan X ⊂ ⋃^𝑛_𝑘=1𝑈_𝑘 } ⟺ { setiap ⋂ ^𝑛_𝑘=1𝐹_𝑘 ≠ ∅ untuk sebarang himpunan tertutup F1 ,F2 , . . . , Fn 𝜖 Γ = { F : F^c 𝜖 𝜅 } ⟹ ⋂_𝐹𝜖Γ𝐹 ≠ ∅ . ∎

Teorema 5.2.5 : ( Teorema Bolzano-Weierstrass )

Setiap himpunan takhingga di dalam ruang topologis yang kompak paling sedikit mempunyai satu titik-limit.

Bukti : Diambil sebarang himpuanan takhingga B di dalam ruang topologis X yang kompak dan dibentuk himpunan-himpunan-bagian di dalam B :

B1 = { x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 , . . . } B2 ={ x2 ,x3 ,x4 ,x5 ,x6 , . . . }

29 B3 = { x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 , . . . }

. . .

Bn = { xn ,xn+1 ,xn+2 , . . . } . . . .

Diperoleh koleksi himpunan tertutup { 𝐵_𝑘 : k = 1,2,3, . . . } di dalam B yang mempunyai sifat irisan hingga. Karena koleksi himpunan tertutup itu di dalam ruang topologis X yang kompak, menurut Teorema 5.12, ⋂^∞_𝑘=1𝐵_𝑘 ≠ ∅ . Jadi ada x 𝜖 ⋂^∞_𝑘=1𝐵_𝑘 yang berakibat x 𝜖 𝐵₁ ⊂ B atau x titik-limit him- punan B. ∎

Teorema 5.2.6 : Diketahui dua ruang topologis X dan Y. Jika X kompak dan fungsi f : X → Y kontinu, maka f(X) kompak.

Bukti : Diambil 𝜅 sebarang liput terbuka himpunan f(X). Jadi { 𝑓⁻¹(V) : V 𝜖 𝜅}

merupakan liput terbuka himpunan X. Karena X kompak maka ada liput- bagian { 𝑓⁻¹(V1), 𝑓⁻¹(v2}, . . . . , 𝑓⁻¹(Vn) } sehingga X ⊂ ⋃^𝑛_𝑘=1𝑓⁻¹(Vk) dengan V1 , V2 , . . . , Vn 𝜖 𝜅. Oleh karena itu diperoleh

f(X) ⊂ f(⋃^𝑛_𝑘=1𝑓⁻¹(Vk)) = ⋃^𝑛_𝑘=1𝑉_𝑘 yang berarti terbukti bahwa f(X) kompak. ∎

Akibat 5.2.7 : Jika X ruang topologis kompak dan f : X → R kontinu, maka (i) f(X) tertutup dan terbatas,

(ii) ada x’ dan x” di dalam X sehingga

f(x’) = sup{ f(x) : x 𝜖 X } dan f(x”) = inf{ f(x) : x 𝜖 X } . Bukti : Menurut Teorema 5.2.6 diperoleh f(X) himpunan kompak di dalam sistem bilangan real R ; jadi f(X) tertutup dan terbatas. Karena f(X) tertutup dan terbatas di dalam R maka f(X) mrmpunyai dan memuat supremum dan infimumnya; katakan M = supf(X) = sup{ f(x) : x 𝜖 X } 𝜖 f(X) dan m = inff(X) = inf{ f(x) : x 𝜖 X } 𝜖 f(X). Jadi ada x’ dan x” di dalam X sehingga

f(x’) = M = sup{ f(x) : x 𝜖 X } dan f(x”) = m = inf{ f(x) : x 𝜖 X } . Bukti selesai. ∎

30 Teorema 5.2.8 : Jika (S,𝜎) dan (P,𝜋) berturut-turut merupakan ruang topo- logis jumlah dan ruang topologis produk koleksi ruang topologis (𝑋_𝛼,𝜏_𝛼) untuk setiap 𝛼 𝜖 I, I himpunan indeks, maka (S,𝜎) dan (P,𝜋) masing-masing merupakan ruang yang kompak asalkan 𝑋_𝛼,𝜏_𝛼) ruang yang kompak untuk setiap 𝛼 𝜖 I.

Bukti : Dibuktikan lebih dahulu bahwa (S,𝜎) merupakan ruang topologis yang kompak. Diambil ∆ sebarang liput terbuka himpunan S. Oleh Karena itu S ⊂ ⋃_𝑈𝜖∆𝑈 yang berakibat

𝑋_𝛼 ⊂ S ∩ 𝑋_𝛼 = 𝑋_𝛼 ∩ ⋃_𝑈𝜖∆𝑈 = ⋃_𝑈𝜖∆(𝑈∩ 𝑋_𝛼)

yang berarti ∆ ∩ 𝑋_𝛼 merupakan liput terbuka 𝑋_𝛼 untuk setiap 𝛼 𝜖 I. Karena 𝑋_𝛼 kompak maka ada U1 ,U2 , . . . . ,Un 𝜖 ∆ (U1∩ 𝑋𝛼 ,U2 ∩ 𝑋_𝛼 , . . . . ,Un∩ 𝑋𝛼

𝜖 ∆ ∩ 𝑋_𝛼) sehingga

𝑋_𝛼 ⊂ ⋃^𝑛_𝑘=1(𝑈_𝑘 ∩ 𝑋_𝛼) yang berakibat

S = ⋃_𝛼𝜖𝐼𝑋_𝛼 ⊂ ⋃^𝑛_𝑘=1𝑈_𝑘 yang berarti terbukti bahwa S kompak.

Diambil ∇ sebarang liput terbuka P ; jadi P = ⋃_𝑈^∗_𝜖∇𝑈^∗. Khususnya jika U*

𝜖 ∇ anggota basis. Oleh karena itu jika 𝑝_𝛼 projeksi orthogonal pada 𝑋_𝛼 dipe- roleh

𝑋_𝛼 = 𝑝_𝛼(P) = 𝑝_𝛼(⋃_𝑈^∗_𝜖∇𝑈^∗) = ⋃_𝛼𝜖𝐼𝑈_𝛼 ( { 𝑈_𝛼 } liput terbuka 𝑋_𝛼 )

karena 𝑝_𝛼(U*) = 𝑈_𝛼 untuk suatu 𝑈_𝛼 𝜖 𝜏_𝛼. Lebih lanjut, karena 𝑋_𝛼 kompak maka ada 𝑈_𝛼,1 ,𝑈_𝛼,2 , . . . ,𝑈_𝛼,𝑛 𝜖 { 𝑈_𝛼 } sehingga

𝑋_𝛼 ⊂ ⋃^𝑛_𝑘=1𝑈_𝛼,𝑘 untuk setiap 𝛼 𝜖 I yang berakibat

P = 𝑝_𝛼⁻¹(𝑋_𝛼) ⊂ 𝑝_𝛼⁻¹(⋃^𝑛_𝑘=1𝑈_𝛼,𝑘) = ⋃^𝑛_𝑘=1𝑈_𝛼^∗

dengan 𝑈_𝛼^∗ = 𝑝_𝛼⁻¹(𝑈_𝛼,𝑘) anggota basis-bagian ( k=1,2, . . . ,n ; n tergantung pada 𝛼) . Jadi diperoleh

P = ⋂_𝛼𝜖𝐼⋃^𝑛_𝑘=1𝑈_𝛼^∗

yang berarti P kompak dan bukti selesai. ∎