BAB 2 LANDASAN TEORI

(1)

BAB 2

LANDASAN TEORI

2.1 Himpunan Fuzzy

Fuzzy berarti “kabur” atau “samar-samar”. Himpunan fuzzy adalah himpunan yang

keanggotaannya memiliki nilai kekaburan/kesamaran antara salah dan benar. Konsep tentang himpunan fuzzy pertama kali diperkenalkan oleh Profesor Lotfi A. Zadeh, seorang ilmuwan Amerika Serikat berkebangsaan Iran, dari Universitas California di Barkeley, melalui tulisannya “Fuzzy Sets” pada tahun 1965.

2.1.1 Pengertian Himpunan Fuzzy

Sebelum teori tentang himpunan fuzzy muncul, dikenal sebuah himpunan klasik yang seringkali disebut himpunan tegas (crisp set) yang keanggotaannya memiliki nilai salah atau benar secara tegas. Sebaliknya, anggota himpunan fuzzy memiliki nilai kekaburan antara salah dan benar. Himpunan tegas hanya mengenal dingin atau panas, sedangkan himpunan fuzzy dapat mengenal dingin, sejuk, hangat, dan panas.

Perbedaan antara dua jenis himpunan tersebut adalah himpunan tegas hanya memiliki dua kemungkinan nilai keanggotaan, yaitu 0 atau 1. Artinya, untuk sebarang himpunan tegas 𝐴, jika sebuah unsur 𝑥 adalah bukan anggota himpunan 𝐴, maka nilai yang berhubungan dengan 𝑥 adalah 0. Dan jika unsur 𝑥 tersebut merupakan anggota himpunan 𝐴, nilai yang berhubungan dengan 𝑥 adalah 1.

Sedangkan dalam himpunan fuzzy, keanggotaan suatu unsur dinyatakan dengan derajat keanggotaan (membership values), yang nilainya terletak dalam

(2)

interval [0,1] dan ditentukan dengan fungsi keanggotaan 𝜇_𝐴: 𝑋 → [0,1]. Artinya, untuk sebarang himpunan fuzzy 𝐴, sebuah unsur 𝑥 adalah bukan anggota himpunan 𝐴 jika 𝜇_𝐴 𝑥 = 0, unsur 𝑥 adalah anggota penuh himpunan 𝐴 jika 𝜇_𝐴 𝑥 = 1, dan unsur 𝑥 tersebut adalah anggota himpunan 𝐴 dengan derajat keanggotaan sebesar 𝜇 jika 𝜇_𝐴 𝑥 = 𝜇, dengan 0 < 𝜇 < 1.

Dengan demikian dapat dipeoleh suatu definisi untuk himpunan fuzzy, yakni:

Definisi 2.1.1.1. Himpunan fuzzy dalam suatu himpunan sebarang 𝑋 adalah

himpunan yang anggota-anggotanya dinyatakan dengan derajat keanggotaan, yang nilainya terletak dalam interval [0,1] dan ditentukan dengan fungsi keanggotaan 𝜇_𝐴: 𝑋 → [0,1].

2.1.2 Fungsi Keanggotaan

Setiap himpunan fuzzy dapat dinyatakan dengan suatu fungsi keanggotaan. Ada beberapa cara untuk menyatakan himpunan fuzzy dengan fungsi keanggotaannya. Untuk semesta hingga diskrit biasanya dipakai cara daftar, yaitu daftar anggota dengan derajat keanggotaannya yang dibentuk sebagai himpunan pasangan berurutan

𝐴 = {(𝑥1, 𝜇𝐴 𝑥1 , (𝑥2, 𝜇𝐴 𝑥2 , … , (𝑥𝑛, 𝜇𝐴 𝑥𝑛 }.

Contoh 2.1.2.1: Misal 𝐴 adalah himpunan fuzzy “bilangan real yang dekat dengan

2”. Himpunan fuzzy 𝐴 dapat disajikan dengan menggunakan fungsi keanggotaan sebagai berikut:

𝜇_𝐴 𝑥 = 𝑥 − 1 untuk 1 ≤ 𝑥 ≤ 23 − 𝑥 untuk 2 ≤ 𝑥 ≤ 3 0 untuk lainnya

(3)

Dengan fungsi keanggotaan ini, diperoleh: 𝜇_𝐴 1 = 0, 𝜇_𝐴 1.5 = 0.5, 𝜇_𝐴 1.7 = 0.7, 𝜇_𝐴 2 = 1, 𝜇_𝐴 2.5 = 0.5, 𝜇_𝐴 2.7 = 0.3, dan 𝜇_𝐴 3 = 0. Maka, 𝐴 dapat ditulis sebagai himpunan pasangan berurutan:

𝐴 = { 1, 0 , 1.5, 0.5 , 1.7, 0.7 , 2, 1 , 2.5, 0.5 , 2.7, 0.3 , (3, 0)}.

Kebanyakan himpunan fuzzy berada dalam semesta himpunan semua bilangan riil ℝ dengan fungsi keanggotaan yang dinyatakan dalam bentuk suatu formula matematis. Formula matematis fungsi keanggotaan dalam himpunan fuzzy tersebut diantaranya adalah fungsi keanggotaan segitiga, fungsi keanggotaan

trapesium, fungsi keanggotaan Gauss, fungsi keanggotaan Cauchy, fungsi keanggotaan sigmoid, dan fungsi keanggotaan kiri-kanan.

2.1.2.1 Fungsi Keanggotaan Segitiga

Definisi 2.1.2.1.1. Suatu fungsi keanggotaan himpunan fuzzy disebut fungsi

keanggotaan segitiga jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐, dinyatakan dengan 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎(𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) dengan aturan:

𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑥−𝑎 𝑏−𝑎 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 𝑐−𝑥 𝑐−𝑏 untuk 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐 0 untuk lainnya

Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut: 𝑆𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎 𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑚𝑎𝑥(𝑚𝑖𝑛 𝑥−𝑎_𝑏−𝑎,𝑐−𝑥_𝑐−𝑏 , 0).

2.1.2.2 Fungsi Keanggotaan Trapesium

(4)

ℝ dengan 𝑎 < 𝑏 < 𝑐 < 𝑑, dinyatakan dengan 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚(𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑) dengan aturan: 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 𝑥−𝑎 𝑏−𝑎 untuk 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 1 untuk 𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑐 𝑑−𝑥 𝑑−𝑐 untuk 𝑐 ≤ 𝑥 ≤ 𝑑 0 untuk lainnya

Fungsi keanggotaan tersebut dapat juga dinyatakan sebagai berikut: 𝑇𝑟𝑎𝑝𝑒𝑠𝑖𝑢𝑚 𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 = 𝑚𝑎𝑥(𝑚𝑖𝑛 𝑥−𝑎_𝑏−𝑎, 1,𝑑−𝑥_𝑑−𝑐 , 0).

2.1.2.3 Fungsi Keanggotaan Gauss

keanggotaan Gauss jika mempunyai dua buah parameter, yaitu 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, dinyatakan dengan 𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠(𝑥; 𝑎, 𝑏) sebagai berikut:

𝐺𝑎𝑢𝑠𝑠 𝑥; 𝑎, 𝑏 = 𝑒−(𝑥−𝑎𝑏 )2_.

2.1.2.4 Fungsi Keanggotaan Cauchy

keanggotaan Cauchy jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, dinyatakan dengan 𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦(𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) sebagai berikut:

𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 1

(5)

2.1.2.5 Fungsi Keanggotaan Sigmoid

keanggotaan Sigmoid jika mempunyai dua buah parameter, yaitu 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ, dinyatakan dengan 𝑆𝑖𝑔𝑚𝑜𝑖𝑑(𝑥; 𝑎, 𝑏) sebagai berikut:

𝐶𝑎𝑢𝑐𝑕𝑦 𝑥; 𝑎, 𝑏 =_1+𝑒_{−𝑎 (𝑥−𝑏)}1 .

2.1.2.6 Fungsi Keanggotaan Kiri-Kanan

keanggotaan kiri-kanan jika mempunyai tiga buah parameter, yaitu 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℝ, dinyatakan dengan 𝑓𝐿𝑅(𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐) sebagai berikut:

𝑓𝐿𝑅 𝑥; 𝑎, 𝑏, 𝑐 =

𝑓_𝐿 𝑎−𝑥_𝑏 untuk 𝑥 ≤ 𝑎 𝑓_𝑅 𝑥−𝑎_𝑐 untuk 𝑥 ≥ 𝑎 .

Tentu saja masih banyak fungsi-fungsi keanggotaan lainnya yang dapat dibuat untuk memenuhi keperluan aplikasi-aplikasi tertentu. Yang jelas fungsi keanggotaan memainkan peranan sentral dalam teori himpunan fuzzy yang harus dikontruksikan untuk menyatakan istilah linguistik yang dipergunakan.

2.1.3 Operasi pada Himpunan Fuzzy

Terhadap dua buah himpunan fuzzy atau lebih, dapat dilakukan operasi-operasi untuk menghasilkan himpunan fuzzy yang lain. Operasi-operasi tersebut diantaranya adalah penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, komplemen, gabungan, dan irisan.

(6)

2.1.3.1 Penjumlahan

Definisi 2.1.3.1.1. Penjumlahan dua buah himpunan fuzzy 𝐴 dan 𝐵 adalah

himpunan fuzzy 𝐴 + 𝐵, yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan 𝜇_𝐴+𝐵 𝑧 = sup_{𝑥+𝑦=𝑧} min{𝜇_𝐴 𝑥 , 𝜇_𝐵 𝑦 }.

Contoh 2.1.3.1.1: Misalkan dalam semesta 𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} diketahui

himpunan-himpunan fuzzy

𝐴 = { 1, 0.4 , 2, 1 , 3, 0.6 , 4, 0.1 }. 𝐵 = { 2, 0.2 , 3, 0.7 , 4, 1 , 5, 0.6 }. Maka diperoleh

𝐴 + 𝐵 = { 3, 0.2 , 4, 0.4 , 5, 0.7 , 6, 1 , 7, 0.6 , 8, 0.6 , (9, 0.1)}.

Definisi 2.1.3.1.2. Jika himpunan fuzzy dijumlahkan dengan suatu bilangan real

𝑟 ∈ ℝ, maka penjumlahan tersebut dapat didefinisikan dengan fungsi keanggotaan 𝜇_𝐴+𝑟 𝑧 = sup_{𝑥+𝑟=𝑧} min{𝜇_𝐴 𝑥 , 1} = 𝜇_𝐴(𝑧 − 𝑟).

Contoh 2.1.3.1.2: Misalkan dalam semesta 𝑋 = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} diketahui

himpunan fuzzy

𝐴 = { −3, 0 , −2, 0.3 , −1, 0.5 , 0, 0.7 , (1, 1)}. Maka diperoleh

(7)

2.1.3.2 Pengurangan

Definisi 2.1.3.2.1. Pengurangan dua buah himpunan fuzzy 𝐴 dan 𝐵 adalah

himpunan fuzzy 𝐴 − 𝐵, yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan 𝜇_𝐴−𝐵 𝑧 = sup_{𝑥−𝑦=𝑧} min{𝜇_𝐴 𝑥 , 𝜇_𝐵 𝑦 }.

himpunan-himpunan fuzzy 𝐴 = { 6, 0.4 , 7, 1 , 8, 0.6 , 9, 0.1 }. 𝐵 = { 2, 0.2 , 3, 0.7 , 4, 1 , 5, 0.6 }. Maka diperoleh 𝐴 − 𝐵 = { 1, 0.4 , 2, 0.6 , 3, 1 , 4, 0.7 , 5, 0.6 , 6, 0.6 , (7, 0.1)}. 2.1.3.3 Perkalian

Definisi 2.1.3.3.1. Perkalian dua buah himpunan fuzzy 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan fuzzy 𝐴 ∙ 𝐵, yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan

𝜇_𝐴∙𝐵 𝑧 = sup_{𝑥∙𝑦=𝑧} min{𝜇_𝐴 𝑥 , 𝜇_𝐵 𝑦 }.

𝐴 = { 1, 0.4 , 2, 1 , 3, 0.6 , 4, 0.1 }. 𝐵 = { 0, 0.2 , 1, 1 , 2, 0.6 }.

Maka diperoleh

(8)

Definisi 2.1.3.3.2. Jika himpunan fuzzy dikalikan dengan suatu bilangan real

𝑟 ∈ ℝ, maka perkalian tersebut dapat didefinisikan dengan fungsi keanggotaan 𝜇_𝐴∙𝑟 𝑧 = sup_{𝑥∙𝑟=𝑧} min{𝜇_𝐴 𝑥 , 1} = 𝜇_𝐴(𝑧/𝑟).

Contoh 2.1.3.3.2: Misal dalam semesta 𝑋 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} diketahui

himpunan fuzzy

𝐴 = { 0, 0 , 1, 0.3 , 2, 0.5 , 3, 0.7 , (4, 1)}. Maka diperoleh

𝐴 ∙ 2 = { 0, 0 , 2, 0.3 , 4, 0.5 , 6, 0.7 , (8, 1)}.

2.1.3.4 Pembagian

Definisi 2.1.3.4.1. Pembagian dua buah himpunan fuzzy 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan fuzzy 𝐴/𝐵, yang didefinisikan dengan fungsi keanggotaan

𝜇_𝐴/𝐵 𝑧 = sup_{𝑥/𝑦=𝑧} min{𝜇_𝐴 𝑥 , 𝜇_𝐵 𝑦 }.

𝐴 = { 0, 0.4 , 4, 1 , 8, 0.6 }. 𝐵 = { 1, 0.3 , 2, 1 , 4, 0.7 }. Maka diperoleh

(9)

2.1.3.5 Komplemen

Definisi 2.1.3.5.1. Komplemen dari suatu himpunan fuzzy 𝐴 adalah himpunan fuzzy 𝐴−, diartikan sebagai “𝑥 tidak dekat 𝐴”, dengan fungsi keanggotaan

𝜇_𝐴− = 1 − 𝜇_𝐴(𝑥), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋.

Contoh 2.1.3.5.1: Misalkan dalam semesta 𝑋 = {−4, −3, −2, −1, 0} diketahui

himpunan fuzzy

𝐴 = { −4, 0 , −3, 0.3 , −2, 0.5 , −1, 0.7 , (0, 1)}. Maka diperoleh

𝐴−_{= { −4, 1 , −3, 0.7 , −2, 0.5 , −1, 0.3 , (0, 0)}.}

2.1.3.6 Gabungan

Definisi 2.1.3.6.1. Gabungan dua buah himpunan fuzzy 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan fuzzy 𝐴 ∪ 𝐵, diartikan sebagai “𝑥 dekat 𝐴 atau 𝑥 dekat 𝐵”, dengan fungsi

keanggotaan

𝜇_𝐴∪𝐵= 𝜇_𝐴 𝑥 ∨ 𝜇_𝐵 𝑥 = max⁡(𝜇_𝐴 𝑥 , 𝜇_𝐵 𝑥 ), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋.

𝐴 = { −3, 0.3 , −2, 0.7 , −1, 1 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , (2, 0)}. 𝐵 = { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.6 , 1, 0.8 , (2, 1)}. Maka diperoleh

(10)

2.1.3.7 Irisan

Definisi 2.1.3.7.1. Irisan dua buah himpunan fuzzy 𝐴 dan 𝐵 adalah himpunan fuzzy

𝐴 ∩ 𝐵, diartikan sebagai “𝑥 dekat 𝐴 dan 𝑥 dekat 𝐵”, dengan fungsi keanggotaan 𝜇_𝐴∩𝐵= 𝜇_𝐴 𝑥 ∧ 𝜇_𝐵 𝑥 = min⁡(𝜇_𝐴 𝑥 , 𝜇_𝐵 𝑥 ), untuk setiap 𝑥 ∈ 𝑋.

𝐴 = { −3, 0.3 , −2, 0.7 , −1, 1 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , (2, 0)}. 𝐵 = { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.6 , 1, 0.8 , (2, 1)}. Maka diperoleh

𝐴 ∩ 𝐵 = { −3, 0 , −2, 0.1 , −1, 0.4 , 0, 0.5 , 1, 0.2 , (2, 0)}.

Dua buah himpunan fuzzy dikatakan beririsan apabila irisan kedua himpunan

fuzzy tersebut tidak sama dengan himpunan kosong. Apabila irisan dua buah

himpunan fuzzy sama dengan himpunan kosong, maka kedua himpunan fuzzy tersebut dikatakan lepas.

2.2 Topologi dan Ruang Topologi

Kata „topologi‟ berasal dari bahasa Yunani, yaitu „topos‟ yang berarti tempat dan

„logos‟ yang berarti ilmu. Dengan demikian, topologi adalah ilmu yang

berhubungan dengan tempat/tata ruang. Topologi dapat diartikan sebagai cabang matematika yang bersangkutan dengan tata ruang yang tidak berubah dalam deformasi dwikontinu, yaitu ruang yang dapat ditekuk, dilipat, disusut, direntangkan, dan dipilin, tetapi tidak diperkenankan untuk dipotong, dirobek, ditusuk, atau dilekatkan.

(11)

Kajian topologi bermula dari permasalahan geometri oleh Leonard Euler pada tahun 1736 dalam tulisan “Seven Bridges of Königsberg”, yang merupakan awal sejarah berkembangnya teori graf. Konsep topologinya sendiri diperkenalkan oleh Johann Benedict Listing dalam tulisan “Vorstudien zur Topologie” pada tahun 1847 di Jerman. Konsep topologi muncul melalui pengembangan konsep dari geometri dan teori himpunan, seperti ruang, dimensi, bentuk, dan transformasi.

2.2.1 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi

2.2.1.1 Persekitaran

Definisi 2.2.1.1.1. Misal 𝐴 adalah himpunan bagian dari suatu himpunan sebarang

𝑋. 𝐴 adalah persekitaran dari 𝑥 ∈ 𝑋, jika dan hanya jika terdapat suatu himpunan 𝐺 sedemikian sehingga 𝑥 ∈ 𝐺 ⊆ 𝐴.

Teorema 2.2.1.1.1. Suatu himpunan 𝐴 adalah terbuka jika dan hanya jika 𝐴

merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya.

Bukti 2.2.1.1.1: Pertama, akan dibuktikan bahwa himpunan 𝐴 adalah terbuka jika

𝐴 merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya. Misalkan 𝐴 adalah himpunan terbuka, maka setiap titik 𝑎 ∈ 𝐴 menjadi anggota pada himpunan terbuka 𝐴 yang termuat dalam 𝐴, yang berarti 𝑎 ∈ 𝐴 ⊆ 𝐴. Jadi, 𝐴 adalah persekitaran dari setiap titik yang didalamnya.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa suatu himpunan 𝐴 merupakan persekitaran dari setiap titik yang didalamnya jika 𝐴 adalah terbuka. Misalkan 𝐴 merupakan suatu persekitaran dari setiap titik yang didalamnya. Sehingga untuk setiap 𝑎 ∈ 𝐴, terdapat suatu himpunan terbuka 𝐴_𝑎 sedemikian sehingga 𝑎 ∈ 𝐴_𝑎 ⊆ 𝐴. Dari sini diperoleh: 𝐴 = 𝑎 ; 𝑎 ∈ 𝐴 ⊆ [𝐴_𝑎; 𝑎 ∈ 𝐴] ⊆ 𝐴. Yang berarti bahwa: 𝐴 = [𝐴𝑎; 𝑎 ∈ 𝐴] dan 𝐴 adalah terbuka karena gabungan dari himpunan terbuka

(12)

∎ 2.2.1.2 Pengertian Topologi dan Ruang Topologi

Definisi 2.2.1.2.1. Misal 𝑋 suatu himpunan sebarang dan ℱ = {𝐴_𝑖: 𝐴_𝑖 ⊆ 𝑋; 𝑖 =

1,2, … , 𝑛}. 𝜏 dikatakan suatu topologi pada 𝑋 jika dan hanya jika 𝜏 adalah kumpulan himpunan bagian dari 𝑋 yang memenuhi aksioma-aksioma berikut:

(iv) ∅, 𝑋 ∈ 𝜏,

(v) ⋂𝐴_𝑖 ∈ 𝜏; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, (vi) 𝐴𝑖 ∈ 𝜏; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Jika 𝑋 dan 𝜏 digabung, ditulis (𝑋, 𝜏). Pasangan (𝑋, 𝜏) disebut sebagai ruang

topologi dan anggota-anggota di 𝜏 merupakan suatu himpunan buka. Penulisan

(𝑋, 𝜏) sering ditulis hanya dengan “𝑋” saja.

Contoh 2.2.1.2.1: Misal 𝑋 = {1, 2, 3}. Dan himpunan bagian-himpunan bagian

dari 𝑋 adalah ℱ = {∅, 𝑋, 1 , 2 , 3 , 1,2 , 1,3 , 2,3 }. Maka 𝜏 = {∅, 𝑋, 1 , 2 , 1,2 } adalah suatu topologi pada 𝑋, sebab anggota-anggota 𝜏 merupakan kumpulan himpunan bagian dari 𝑋 dan 𝜏 memenuhi aksioma:

(i) ∅, 𝑋 ∈ 𝜏; (ii) ∅ ∩ ∅ = ∅, 𝑋 ∩ 𝑋 = 𝑋, 1 ∩ 2 = ∅, ∅ ∩ 𝑋 = ∅, 𝑋 ∩ 1 = 1 , 1 ∩ 1,2 = {1}, ∅ ∩ 1 = ∅, 𝑋 ∩ 2 = {2}, {2} ∩ 2 = {2}, ∅ ∩ 2 = ∅, 𝑋 ∩ 1,2 = {1,2}, {2} ∩ 1,2 = {2}, ∅ ∩ 1,2 = ∅, 1 ∩ 1 = 1 , 1,2 ∩ 1,2 = {1,2} ∈ 𝜏; (iii) ∅ ∪ ∅ = ∅, 𝑋 ∪𝑋= 𝑋, {1} ∪ {2} = 1,2 , ∅ ∪𝑋= 𝑋, 𝑋∪ {1} = 𝑋, {1} ∪ {1,2} = 1,2 , ∅ ∪ 1 = {1}, 𝑋∪ {2} = 𝑋, {2} ∪ {2} = 2 ,

(13)

∅ ∪ 1,2 = 1,2 , {1} ∪ {1} = {1}, 1,2 ∩ 1,2 = {1,2} ∈ 𝜏;

Contoh 2.2.1.2.2: Misalkan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dan diberikan 𝜏 = {∅, 𝑋, 𝑎 , {𝑏}} adalah

himpunan bagian dari 2𝑋. Maka 𝜏 bukanlah suatu topologi pada 𝑋, sebab 𝑎 ∪ 𝑏 = {𝑎, 𝑏} ∉ 𝜏.

Bila terdapat suatu topologi pada 𝑋 yang anggotanya adalah semua himpunan bagian dari 𝑋 atau sama dengan 2𝑋, maka topologi tersebut disebut

topologi diskrit. Topologi ini adalah topologi terbesar yang dapat dibentuk.

Dan bila terdapat suatu topologi pada 𝑋 yang anggotanya hanya terdiri dari himpunan kosong ∅ dan himpunan 𝑋 itu sendiri, maka topologi tersebut disebut

topologi indiskrit. Topologi ini adalah topologi terkecil yang dapat dibentuk.

2.2.2 Himpunan Tertutup

Definisi 2.2.2.1. Misalkan 𝑋 adalah suatu ruang topologi. Suatu 𝐴 himpunan

bagian dari 𝑋 disebut himpunan tertutup jika dan hanya jika komplemen dari 𝐴 merupakan himpunan buka. Komplemen dari 𝐴 ditulis 𝐴𝐶.

Contoh 2.2.2.1: Misalkan 𝑋 = {1, 2, 3, 4} dan 𝜏 = {∅, 𝑋, {1}, {3}, 1,3 } adalah

suatu topologi pada 𝑋. Maka himpunan tertutup dari 𝑋 adalah {𝑋, ∅, 2,3,4 , 1,2,4 , 2,4 } yang merupakan komplemen dari setiap himpunan bagian buka pada topologi 𝑋.

Teorema 2.2.2.1. Diberikan 𝑋 adalah suatu ruang topologi. Irisan sebarang dari

setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup. Selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup.

Bukti 2.2.2.1: Misal {𝐴_𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛} adalah koleksi himpunan 𝐴_𝑖 ⊆ 𝑋, yang

(14)

𝐴𝑖𝐶 ∈ 𝜏. Karena 𝐴𝑖𝐶 ∈ 𝜏 terbuka, maka ⋂𝐴𝑖 adalah tertutup, sebab 𝐴𝑖𝐶 =

(⋂𝐴_𝑖)𝐶_{. Selanjutnya, jika}_𝐴

𝑖 tertutup untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, maka 𝐴𝑖𝐶 ∈ 𝜏 terbuka.

Karena ⋂𝐴𝑖𝐶 ∈ 𝜏 terbuka, maka 𝐴𝑖 adalah tertutup, sebab ⋂𝐴𝑖𝐶 = ( 𝐴𝑖)𝐶.

∎

Contoh 2.2.2.2: Misal 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dan

𝜏 = {∅, 𝑋, {𝑎}, {𝑐, 𝑑}, 𝑎, 𝑐, 𝑑 , {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}} adalah suatu topologi pada 𝑋. Maka diperoleh himpunan tertutup dari 𝑋 adalah {𝑋, ∅, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 , 𝑎, 𝑏, 𝑒 , 𝑏, 𝑒 , {𝑎}}. Dapat diperlihatkan bahwa irisan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup, misalnya 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒 ∩ 𝑎, 𝑏, 𝑒 = {𝑏, 𝑒}. Dan selanjutnya, gabungan sebarang dari setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan tertutup, misalnya 𝑏, 𝑒 ∪ 𝑎 = {𝑎, 𝑏, 𝑒}.

2.2.3 Penutup Himpunan

Definisi 2.2.3.1. Misalkan 𝐴 adalah suatu himpunan bagian dari ruang topologi 𝑋. Penutup himpunan 𝐴, dinotasikan dengan 𝐴 , adalah irisan dari semua himpunan

tertutup yang memuat 𝐴.

Contoh 2.2.3.1: Misalkan 𝑋 = {1, 2, 3, 4} dan 𝜏 = {∅, 𝑋, 1 , 3 , 1,3 , {1,2,3}}.

Diperoleh himpunan tertutup dari 𝑋 adalah {𝑋, ∅, 2,3,4 , 1,2,4 , 2,4 , {4}}. Maka:

a.) 1= 𝑋 ∩ 1,2,4 = {1,2,4}.

b.) 2= 𝑋 ∩ 2,3,4 ∩ 1,2,4 ∩ 2,4 = {2,4}. c.) 2,4 = 𝑋 ∩ 2,3,4 ∩ 1,2,4 ∩ 2,4 = {2,4}. d.) 1,2,4 = 𝑋 ∩ 1,2,4 = {1,2,4}.

(15)

Bukti 2.2.3.1: Pertama, akan dibuktikan bahwa jika 𝐴 adalah tertutup, maka 𝐴=

𝐴. Karena 𝐴 adalah himpunan tertutup, maka himpunan tertutup terkecil yang memuat 𝐴 adalah 𝐴 itu sendiri. Dengan demikian, 𝐴= 𝐴.

Selanjutnya, akan dibuktikan bahwa jika 𝐴= 𝐴, maka 𝐴 adalah tertutup. Menurut

Definisi 2.2.3.1., 𝐴 adalah irisan dari semua himpunan tertutup. Dan Teorema

2.2.2.1. mengatakan bahwa irisan setiap himpunan tertutup adalah juga himpunan

tertutup. Dengan demikian, 𝐴 adalah himpunan tertutup. Kemudian, karena 𝐴= 𝐴, maka jelas bahwa 𝐴 adalah himpunan tertutup. Jadi, teorema telah terbukti.

∎

Contoh 2.2.3.2: Misalkan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dan 𝜏 = {∅, 𝑋, 𝑏 , 𝑐 , {𝑏, 𝑐}}. Diperoleh

himpunan tertutup dari 𝑋 adalah {𝑋, ∅, 𝑎, 𝑐 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎 }. Kemudian ambil 𝐴 = {𝑎}, yang mana 𝐴 suatu himpunan tertutup. Maka, 𝐴 = 𝑋∩ 𝑎, 𝑐 ∩ 𝑎, 𝑏 ∩ 𝑎 = 𝑎 = 𝐴. Selanjutnya ambil 𝐵 = {𝑏}, yang mana 𝐵 bukanlah suatu himpunan tertutup. Maka, 𝐵 = 𝑋∩ 𝑎, 𝑏 = 𝑎, 𝑏 ≠ 𝐵.

2.2.4 Basis dari Topologi

Definisi 2.2.4.1. Misal 𝑋 adalah suatu ruang topologi. Dibentuk suatu kelas ℬ

yang merupakan himpunan bagian buka dari 𝑋, dinotasikan ℬ ⊂ 𝜏. Didefinisikan ℬ adalah basis dari topologi 𝜏 jika dan hanya jika setiap himpunan buka 𝐺 ∈ 𝜏 adalah gabungan anggota-anggota ℬ. Atau, kelas ℬ ⊂ 𝜏 adalah suatu basis dari topologi 𝜏 jika dan hanya jika untuk setiap 𝑝 anggota himpunan buka 𝐺, ada terdapat 𝐵 ∈ ℬ dengan 𝑝 ∈ 𝐵 ⊂ 𝐺.

Contoh 2.2.4.1: Misalkan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dan 𝜏 = {∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑐 , 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑐 }

adalah suatu topologi pada 𝑋. Maka dapat dibentuk suatu basis: ℬ = {∅, 𝑎 , 𝑐 , 𝑏, 𝑐 },

yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka 𝐺 ∈ 𝜏, yaitu:

(16)

i.) ∅ ∪ ∅ = ∅, ii.) ∅ ∪ 𝑎 = 𝑎 ∪ 𝑎 = {𝑎}, iii.) ∅ ∪ 𝑐 = 𝑐 ∪ 𝑐 = {𝑐}, iv.) 𝑎 ∪ 𝑐 = {𝑎, 𝑐}, v.) ∅ ∪ 𝑏, 𝑐 = 𝑏, 𝑐 ∪ 𝑏, 𝑐 = 𝑐 ∪ 𝑏, 𝑐 = {𝑏, 𝑐}, dan vi.) 𝑎 ∪ 𝑏, 𝑐 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑋.

Teorema 2.2.4.1. Jika ℬ₁ merupakan suatu basis dari topologi 𝜏 pada 𝑋 dan ℬ₂ merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada 𝑋, yang mana ℬ₁ ⊂ ℬ₂, maka ℬ₂ adalah juga merupakan basis bagi topologi 𝜏.

Bukti 2.2.4.1: Misalkan 𝐺 adalah himpunan bagian terbuka dari 𝑋. Karena ℬ1

adalah suatu basis dari topologi 𝜏 pada 𝑋, maka 𝐺 merupakan gabungan dari anggota-anggota ℬ1. Ini berarti bahwa 𝐺 = ℬ𝑖 ;𝑖 = 1,2, … , 𝑛, yang mana

ℬ𝑖 ∈ ℬ1.

Tetapi karena ℬ₁ ⊂ ℬ₂, maka berlaku untuk setiap ℬ_𝑖 ∈ ℬ₁ juga merupakan anggota dari ℬ2. Ini berarti bahwa 𝐺 juga merupakan gabungan dari

anggota-anggota ℬ2. Dengan demikian, ℬ2 merupakan basis dari topologi 𝜏 pada 𝑋 juga.

∎ Berdasarkan Teorema 2.2.4.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa basis dari suatu topologi adalah tidak tunggal.

Contoh 2.2.4.2:

Misalkan diberikan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}. Jika dibentuk suatu basis ℬ₁ = {∅, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑑 , 𝑑, 𝑒 , 𝑑 , 𝑒 }, maka diperoleh topologi pada 𝑋, yaitu𝜏1{∅, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑑 , 𝑑, 𝑒 , 𝑑 , 𝑒 , 𝑋, 𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑒 , 𝑎, 𝑑, 𝑒 }.

Sekarang jika ℬ₂ = {∅, 𝑋, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑑, 𝑒 , 𝑎, 𝑑 , 𝑑, 𝑒 , 𝑑 , 𝑒 },

(17)

Dari sini jelas terlihat bahwa ℬ₁ ⊂ ℬ₂, tetapi 𝜏₁ = 𝜏₂. Dengan demikian, ℬ₁ dan ℬ₂ merupakan basis-basis dari topologi yang sama.

2.2.5 Subbasis dari Topologi

Definisi 2.2.5.1. Misal 𝑋 adalah suatu ruang topologi. Dibentuk suatu kelas 𝒮

yang merupakan himpunan bagian buka dari 𝑋, dinotasikan 𝒮 ⊂ 𝜏. Didefinisikan 𝒮 adalah subbasis dari topologi 𝜏 jika dan hanya jika setiap irisan hingga dari anggota 𝒮 membentuk suatu basis dari topologi 𝜏.

Contoh 2.2.5.1: Misalkan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} dan 𝜏 = {∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑐 , 𝑎, 𝑐 , 𝑏, 𝑐 }

adalah suatu topologi pada 𝑋. Maka dapat dibentuk suatu basis: ℬ = {∅, 𝑎 , 𝑐 , 𝑏, 𝑐 },

yang gabungan anggota-anggotanya membentuk setiap himpunan buka 𝐺 ∈ 𝜏. Dari basis tersebut, maka dapat dibentuk suatu subbasis:

𝒮 = { 𝑎 , 𝑐 , 𝑏, 𝑐 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 },

yang irisan hingga anggota-anggotanya membentuk basis ℬ, yaitu: a.) 𝑎 ∩ 𝑐 = 𝑎 ∩ 𝑏, 𝑐 = ∅,

b.) 𝑎 ∩ 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑎 ,

c.) 𝑐 ∩ 𝑏, 𝑐 = 𝑐 ∩ 𝑎, 𝑏, 𝑐 = {𝑐}, dan d.) 𝑏, 𝑐 ∩ 𝑎, 𝑏, 𝑐 = 𝑏, 𝑐 .

Dengan demikian, 𝒮 merupakan suatu subbasis dari topologi 𝜏.

Teorema 2.2.5.1. Jika 𝒮₁ merupakan suatu subbasis dari topologi 𝜏 pada 𝑋 dan 𝒮₂

merupakan koleksi dari himpunan terbuka pada 𝑋, yang mana 𝒮₁ ⊂ 𝒮₂, maka 𝒮₂ adalah juga merupakan subbasis bagi topologi 𝜏.

(18)

Bukti 2.2.5.1: Misalkan ℬ merupakan basis dari topologi 𝜏 pada 𝑋. Karena 𝒮₁

merupakan suatu subbasis dari topologi 𝜏, maka ℬ merupakan irisan hingga dari anggota-anggota 𝒮₁. Ini berarti bahwa ℬ = ⋂𝒮_𝑖 ; 𝑖 = 1,2, … , 𝑛, yang mana 𝒮_𝑖 ∈ 𝒮1.

Tetapi karena 𝒮₁ ⊂ 𝒮₂, maka berlaku untuk setiap 𝒮_𝑖 ∈ 𝒮₁ juga merupakan anggota dari 𝒮2. Ini berarti bahwa ℬ juga merupakan irisan hingga dari

anggota-anggota 𝒮₂. Dengan demikian, 𝒮₂ merupakan subbasis dari topologi 𝜏 pada 𝑋 juga.

∎ Berdasarkan Teorema 2.2.5.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa subbasis dari suatu topologi adalah tidak tunggal.

Contoh 2.2.5.2: Misalkan diberikan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}. Jika dibentuk suatu

subbasis 𝒮1 = {𝑋, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑑 , 𝑑, 𝑒 , 𝑒 }, maka dapat diperoleh

suatu basis dari topologi pada 𝑋, yaitu

ℬ₁ = {𝑋, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑑 , 𝑑, 𝑒 , 𝑒 , ∅, {𝑑}}.

Sekarang jika 𝒮2 = {𝑋, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑑 , 𝑑, 𝑒 , 𝑑 , 𝑒 }, maka diperoleh

ℬ2 = {𝑋, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑑 , 𝑑, 𝑒 , 𝑑 , 𝑒 , ∅} merupakan suatu basis dari

topologi pada 𝑋.

Oleh karena ℬ1 = ℬ2, maka dapat dibentuk suatu topologi yang sama pada 𝑋,

yaitu 𝜏 = {𝑋, 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑑 , 𝑑, 𝑒 , 𝑑 , 𝑒 , ∅, 𝑎, 𝑐, 𝑑, 𝑒 , {𝑎, 𝑑, 𝑒}}. Dari sini jelas terlihat bahwa 𝒮₁ ⊂ 𝒮₂ dan ℬ₁ = ℬ₂. Dengan demikian, 𝒮₁ dan 𝒮₂ merupakan subbasis-subbasis dari topologi yang sama.

2.2.6 Titik Limit

(19)

hanya jika setiap himpunan buka 𝐺 yang memuat titik 𝑝, juga memuat suatu titik pada 𝐴 yang berbeda dengan titik 𝑝 tersebut. Atau juga dapat ditulis:

“𝑝 titik limit, jika 𝑝 ∈ 𝐺, 𝐺 buka, sedemikian (𝐺 − 𝑝 ) ∩ 𝐴 ≠ ∅.”

Contoh 2.2.6.1: Misalkan 𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5} dan 𝜏 = {∅, 𝑋, 1,2 , 3,4 , {1,2,3,4}}

adalah suatu topologi pada 𝑋. Diberikan 𝐴 = {1,2,3} merupakan himpunan bagian dari 𝑋. Maka:

i.) 1 ∈ {1,2} ⟶ 1,2 − 1 ∩ 1,2,3 = {2}. => 1 adalah titik limit.

ii.) 2 ∈ {1,2} ⟶ 1,2 − 2 ∩ 1,2,3 = {1}. => 2 adalah titik limit.

iii.) 3 ∈ 3,4 ⟶ 3,4 − 3 ∩ 1,2,3 = ∅. => 3 bukan titik limit.

iv.) 4 ∈ {3,4} ⟶ 3,4 − 4 ∩ 1,2,3 = {3}. => 4 adalah titik limit.

v.) 5 ∈ 𝑋 ⟶ 𝑋 − 5 ∩ 1,2,3 = {1,2,3}. => 5 adalah titik limit.

Jadi, himpunan titik limit dari 𝐴 adalah 𝐴′ = {1, 2, 4, 5}.

Sifat 2.2.6.1. Bila ditentukan himpunan bagian 𝐴 ⊂ 𝐵, diperoleh titik limit

𝐴′ ⊂ 𝐵′.

Contoh 2.2.6.2: Misal 𝜏 = ∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 adalah suatu topologi pada

𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}. Lalu diberikan 𝐴 = {𝑎, 𝑏} dan 𝐵 = {𝑎, 𝑏, 𝑐} masing-masing merupakan himpunan bagian dari 𝑋, yang mana 𝐴 ⊂ 𝐵.

Maka untuk himpunan bagian 𝐴 diperoleh:

a.) 𝑎 ∈ {𝑎} ⟶ 𝑎 − 𝑎 ∩ 𝑎, 𝑏 = ∅. => 𝑎 bukan titik limit. b.) 𝑏 ∈ 𝑋 ⟶ 𝑋− 𝑏 ∩ 𝑎, 𝑏 = {𝑎}. => 𝑏 adalah titik limit.

(20)

c.) 𝑐 ∈ 𝑐, 𝑑 ⟶ 𝑐, 𝑑 − 𝑐 ∩ 𝑎, 𝑏 = ∅.=> 𝑐 bukan titik limit.

d.) 𝑑 ∈ {𝑐, 𝑑} ⟶ {𝑐, 𝑑} − 𝑑 ∩ 𝑎, 𝑏 = ∅.=> 𝑑 bukan titik limit.

Jadi, himpunan titik limit dari 𝐴 adalah 𝐴′ = {𝑏}. Sedangkan untuk himpunan bagian 𝐵 diperoleh:

w.) 𝑎 ∈ {𝑎} ⟶ 𝑎 − 𝑎 ∩ 𝑎, 𝑏, 𝑐 = ∅.

=> 𝑎 bukan titik limit. x.) 𝑏 ∈ 𝑋 ⟶ 𝑋− 𝑏 ∩ 𝑎, 𝑏, 𝑐 = {𝑎, 𝑐}.

=> 𝑏 adalah titik limit. y.) 𝑐 ∈ 𝑐, 𝑑 ⟶ 𝑐, 𝑑 − 𝑐 ∩ 𝑎, 𝑏, 𝑐 = ∅.

=> 𝑐 bukan titik limit. z.) 𝑑 ∈ {𝑐, 𝑑} ⟶ {𝑐, 𝑑} − 𝑑 ∩ 𝑎, 𝑏, 𝑐 = {𝑐}.

=> 𝑑 adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari 𝐵 adalah 𝐵′ = {𝑏, 𝑑}.

Dengan demikian, diperoleh titik limit 𝐴′ = {𝑏} dan 𝐵′ = {𝑏, 𝑑}, sehingga 𝐴′ ⊂ 𝐵′. Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian 𝐴 ⊂ 𝐵, akan diperoleh titik limit 𝐴′ ⊂ 𝐵′.

Sifat 2.2.6.2. Bila ditentukan suatu topologi 𝜏₁ ⊂ 𝜏₂, diperoleh titik limit 𝐴′₁ ⊃ 𝐴′₂.

Contoh 2.2.6.3: Misal 𝜏₁ = {∅, 𝑋, 𝑎, 𝑐, 𝑑 } dan 𝜏₂ = ∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑

adalah masing-masing suatu topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, yang mana 𝜏1 ⊂ 𝜏2.

Lalu diberikan 𝐴 = {𝑎, 𝑏} merupakan suatu himpunan bagian dari 𝑋. Maka untuk topologi 𝜏₁ diperoleh:

(21)

ii.) 𝑏 ∈ 𝑋 ⟶ 𝑋− 𝑏 ∩ 𝑎, 𝑏 = {𝑎}.

=> 𝑏 adalah titik limit. iii.) 𝑐 ∈ 𝑎, 𝑐, 𝑑 ⟶ 𝑎, 𝑐, 𝑑 − 𝑐 ∩ 𝑎, 𝑏 = {𝑎}.

=> 𝑐 adalah titik limit. iv.) 𝑑 ∈ {𝑎, 𝑐, 𝑑} ⟶ {𝑎, 𝑐, 𝑑} − 𝑑 ∩ 𝑎, 𝑏 = {𝑎}.

=> 𝑑 adalah titik limit. v.) 𝑒 ∈ 𝑋 ⟶ 𝑋 − 𝑒 ∩ 𝑎, 𝑏 = {𝑎, 𝑏}.

=> 𝑒 adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari 𝐴 untuk 𝜏₁ adalah 𝐴′₁ = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.

Sedangkan untuk topologi 𝜏2 diperoleh:

a.) 𝑎 ∈ {𝑎} ⟶ 𝑎 − 𝑎 ∩ 𝑎, 𝑏 = ∅.

=> 𝑎 bukan titik limit. b.) 𝑏 ∈ 𝑋 ⟶ 𝑋− 𝑏 ∩ 𝑎, 𝑏 = {𝑎}.

=> 𝑏 adalah titik limit. c.) 𝑐 ∈ 𝑐, 𝑑 ⟶ 𝑐, 𝑑 − 𝑐 ∩ 𝑎, 𝑏 = ∅.

=> 𝑐 bukan titik limit. d.) 𝑑 ∈ {𝑐, 𝑑} ⟶ {𝑐, 𝑑} − 𝑑 ∩ 𝑎, 𝑏 = ∅.

=> 𝑑 bukan titik limit. e.) 𝑒 ∈ 𝑋 ⟶ 𝑋 − 𝑒 ∩ 𝑎, 𝑏 = {𝑎, 𝑏}.

=> 𝑒 adalah titik limit. Jadi, himpunan titik limit dari 𝐴 untuk 𝜏₂ adalah 𝐴′₂ = {𝑏, 𝑒}.

Dengan demikian, diperoleh titik limit 𝐴′1 = {𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dan 𝐴′2 = {𝑏, 𝑒},

sehingga 𝐴′₁ ⊃ 𝐴′₂. Jadi bila ditentukan suatu topologi 𝜏₁ ⊂ 𝜏₂, akan diperoleh titik limit 𝐴′₁ ⊃ 𝐴′₂.

(22)

Definisi 2.2.7.1. Misal 𝐴 adalah himpunan bagian dari ruang topologi 𝑋. Suatu

titik 𝑝 ∈ 𝐴 disebut titik interior 𝐴, yang dinotasikan dengan int(𝐴) atau 𝐴𝑂, jika 𝑝 ada dalam himpunan buka 𝐺 yang termuat di 𝐴, atau dapat ditulis:

“𝑝 titik interior, jika 𝑝 ∈ 𝐺 ⊂ 𝐴, dimana 𝐺 adalah himpunan buka.”

Definisi 2.2.7.2. Misal 𝐴 adalah himpunan bagian dari ruang topologi 𝑋 dan 𝐴𝐶

adalah komplemen 𝐴. Suatu titik 𝑝 disebut titik eksterior 𝐴, yang dinotasikan dengan ext(𝐴), jika 𝑝 merupakan titik interior dari 𝐴𝐶, atau dapat ditulis:

“ext 𝐴 = int 𝐴𝐶_.”

Definisi 2.2.7.3. Misal 𝐴 adalah himpunan bagian dari ruang topologi 𝑋. Batas

dari 𝐴, yang dinotasikan dengan b(𝐴), adalah himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior 𝐴, atau dapat ditulis:

“b 𝐴 = (int(𝐴) ∪ ext 𝐴 )𝐶 _{= (int(𝐴))}𝐶_{∩ (ext(𝐴))}𝐶_.”

Contoh 2.2.7.1: Misal 𝜏 = {∅, 𝑋, 1 , 3,4 , 1,3,4 , {2,3,4,5}} adalah suatu

topologi pada 𝑋 = {1, 2, 3, 4, 5}, dan 𝐴 = {2, 3, 4} merupakan himpunan bagian dari 𝑋. Maka:

a.) 2 ∈ {2,3,4,5} ⊄ 𝐴. => 2 bukan titik interior. b.) 3 ∈ {3,4} ⊂ 𝐴. => 3 adalah titik interior. c.) 4 ∈ {3,4} ⊂ 𝐴. => 4 adalah titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari 𝐴 adalah int(𝐴) = {3, 4}.

Dari himpunan bagian 𝐴 = {2, 3, 4}, diperoleh komplemen 𝐴 yaitu 𝐴𝐶= {1, 5}. Maka:

y.) 1 ∈ {1} ⊂ 𝐴𝐶. => 1 adalah titik eksterior. z.) 5 ∈ {2,3,4,5} ⊄ 𝐴𝐶. => 5 bukan titik eksterior.

(23)

Dan juga diperoleh batas dari 𝐴, yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior 𝐴, yaitu: b 𝐴 = (int(𝐴) ∪ ext 𝐴 )𝐶 _{= ( 3, 4 ∪ 1 )}𝐶 _{= ( 1, 3, 4 )}𝐶_{= {2, 5}.}

Teorema 2.2.7.1. Jika diberikan 𝑋 adalah suatu ruang topologi pada 𝑋 dan 𝐴

merupakan himpunan bagian dari 𝑋. Maka berlaku: i. b 𝐴 ∩ int 𝐴 = ∅;

ii. b 𝐴 ∩ ext 𝐴 = ∅; iii. int 𝐴 ∩ ext 𝐴 = ∅.

Bukti 2.2.7.1: Menurut Definisi 2.2.7.3. yang mengatakan bahwa: b 𝐴 =

(int(𝐴) ∪ ext 𝐴 )𝐶 _{= (int(𝐴))}𝐶_{∩ (ext(𝐴))}𝐶_{, maka:}

i. b 𝐴 ∩ int 𝐴 = {(int(𝐴))𝐶∩ (ext 𝐴 )𝐶} ∩ int 𝐴 = {(int(𝐴))𝐶_{∩ int 𝐴 } ∩ (ext(𝐴))}𝐶

= ∅ ∩ (ext(𝐴))𝐶

= ∅.

ii. b 𝐴 ∩ ext 𝐴 = {(int(𝐴))𝐶∩ (ext 𝐴 )𝐶} ∩ ext 𝐴 = (int(𝐴))𝐶_{∩ {(ext 𝐴 )}𝐶_{∩ ext 𝐴 }}

= (int(𝐴))𝐶_{∩ ∅}

= ∅.

Dan karena menurut Definisi 2.2.7.2. yang mengatakan bahwa: ext 𝐴 = int 𝐴𝐶_,

maka:

iii. int 𝐴 ∩ ext 𝐴 = int 𝐴 ∩ int 𝐴𝐶

= int 𝐴∩ 𝐴𝐶

= int(∅) = ∅.

(24)

Berdasarkan Teorema 2.2.7.1. tersebut, dapat diambil kesimpulan bahwa titik interior, titik eksterior, dan batas dari suatu topologi adalah saling asing atau saling lepas. Dan dari Contoh 2.2.7.1 dapat diperhatikan bahwa:

“int(𝐴) ≠ ext 𝐴 ≠ b 𝐴 .”

∎

Sifat 2.2.7.1. Bila ditentukan himpunan bagian 𝐴 ⊂ 𝐵, diperoleh titik interior

int(𝐴) ⊂ int(𝐵).

Contoh 2.2.7.2: Misal 𝜏 = ∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑 adalah suatu topologi pada

𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}. Lalu diberikan 𝐴 = {𝑏, 𝑑} dan 𝐵 = {𝑏, 𝑐, 𝑑} masing-masing merupakan himpunan bagian dari 𝑋, yang mana 𝐴 ⊂ 𝐵.

Maka untuk himpunan bagian 𝐴 diperoleh:

a.) 𝑏 ∈ 𝑋 ⊄ 𝐴. => 𝑏 bukan titik interior. b.) 𝑑 ∈ {𝑐, 𝑑} ⊄ 𝐴. => 𝑑 bukan titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari 𝐴 adalah int(𝐴) = ∅.

Sedangkan untuk himpunan bagian 𝐵 diperoleh:

x.) 𝑏 ∈ 𝑋 ⊄ 𝐵. => 𝑏 bukan titik interior. y.) 𝑐 ∈ {𝑐, 𝑑} ⊂ 𝐵. => 𝑐 adalah titik interior. z.) 𝑑 ∈ {𝑐, 𝑑} ⊂ 𝐵. => 𝑑 adalah titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari 𝐵 adalah int(𝐵) = {𝑐, 𝑑}.

Dengan demikian, diperoleh titik interior int(𝐴) = ∅ dan int(𝐵) = {𝑐, 𝑑}, sehingga int(𝐴) ⊂ int(𝐵). Jadi, bila ditentukan suatu himpunan bagian 𝐴 ⊂ 𝐵, akan diperoleh titik interior int(𝐴) ⊂ int(𝐵).

(25)

Contoh 2.2.7.3: Misal 𝜏₁ = {∅, 𝑋, 𝑎, 𝑐, 𝑑 } dan 𝜏₂ = ∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑐, 𝑑 , 𝑎, 𝑐, 𝑑

adalah masing-masing suatu topologi pada 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, yang mana 𝜏1 ⊂ 𝜏2.

Lalu diberikan 𝐴 = {𝑎, 𝑏} merupakan himpunan bagian dari 𝑋. Maka untuk topologi 𝜏₁ diperoleh:

i.) 𝑎 ∈ {𝑎, 𝑐, 𝑑} ⊄ 𝐴. => 𝑎 bukan titik interior. ii.) 𝑏 ∈ 𝑋 ⊄ 𝐴. => 𝑏 bukan titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari 𝐴 untuk 𝜏₁ adalah int(𝐴)₁ = ∅.

Dari himpunan 𝐴 = {𝑎, 𝑏}, diperoleh komplemen 𝐴 adalah 𝐴𝐶= {𝑐, 𝑑, 𝑒}. Maka: a.) 𝑐 ∈ {𝑎, 𝑐, 𝑑} ⊄ 𝐴𝐶. => 𝑎 bukan titik eksterior.

b.) 𝑑 ∈ {𝑎, 𝑐, 𝑑} ⊄ 𝐴𝐶. => 𝑐 bukan titik eksterior. c.) 𝑒 ∈ 𝑋 ⊄ 𝐴𝐶. => 𝑒 bukan titik eksterior. Jadi, himpunan titik eksterior dari 𝐴 untuk 𝜏1 adalah ext(𝐴)1 = ∅.

Dan juga diperoleh batas dari 𝐴 untuk 𝜏₁, yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior 𝐴 untuk 𝜏1, adalah

b 𝐴 ₁ = (int 𝐴 ₁∪ ext 𝐴 ₁)𝐶 _{= (∅ ∪ ∅)}𝐶 _{= (∅)}𝐶 _{= {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}.}

Sedangkan untuk topologi 𝜏2 diperoleh:

i.) 𝑎 ∈ {𝑎} ⊂ 𝐴. => 𝑎 adalah titik interior. ii.) 𝑏 ∈ 𝑋 ⊄ 𝐴. => 𝑏 bukan titik interior. Jadi, himpunan titik interior dari 𝐴 untuk 𝜏2 adalah int(𝐴)2 = {𝑎}.

Dari himpunan 𝐴 = {𝑎, 𝑏}, diperoleh komplemen 𝐴 adalah 𝐴𝐶= {𝑐, 𝑑, 𝑒}. Maka: a.) 𝑐 ∈ {𝑐, 𝑑} ⊂ 𝐴𝐶. => 𝑐 adalah titik eksterior.

b.) 𝑑 ∈ {𝑐, 𝑑} ⊂ 𝐴𝐶. => 𝑑 adalah titik eksterior. c.) 𝑒 ∈ 𝑋 ⊄ 𝐴𝐶. => 𝑒 bukan titik eksterior. Jadi, himpunan titik eksterior dari 𝐴 untuk 𝜏₂ adalah ext(𝐴)₂ = {𝑐, 𝑑}.

(26)

Dan juga diperoleh batas dari 𝐴 untuk 𝜏₂, yang merupakan himpunan titik-titik yang tidak termasuk titik interior maupun titik eksterior 𝐴 untuk 𝜏₂, adalah b 𝐴 ₂ = (int 𝐴 ₂∪ ext 𝐴 ₂)𝐶 _{= ({𝑎} ∪ {𝑐, 𝑑})}𝐶 _{= ({𝑎, 𝑐, 𝑑})}𝐶 _{= {𝑏, 𝑒}.}

Dengan demikian, diperoleh titik interior int(𝐴)₁ = ∅ dan int(𝐴)₂ = {𝑎}, sehingga int(𝐴)₁ ⊂ int(𝐴)₂. Lalu diperoleh titik eksterior ext(𝐴)₁ = ∅ dan ext(𝐴)₂ = {𝑐, 𝑑}, sehingga ext(𝐴)₁ ⊂ ext(𝐴)₂. Dan terakhir diperoleh batas b 𝐴 ₁ = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒} dan b 𝐴 ₂ = {𝑏, 𝑒}, sehingga b 𝐴 ₁ ⊃ b 𝐴 ₂. Jadi, bila ditentukan suatu topologi 𝜏1 ⊂ 𝜏2, akan diperoleh titik interior int(𝐴)1 ⊂ int(𝐴)2,

titik eksterior ext(𝐴)1 ⊂ ext(𝐴)2, dan batas b 𝐴 1 ⊃ b 𝐴 2.

2.2.8 Kekontinuan pada Topologi

Definisi 2.2.8.1. Misal (𝑋, 𝜏) dan (𝑌, 𝜏∗) adalah suatu ruang topologi. Suatu fungsi

𝑓 dari 𝑋 ke 𝑌 disebut kontinu jika dan hanya jika fungsi invers 𝑓−1[𝐻] dari 𝐻 setiap himpunan bagian buka topologi 𝜏∗ di 𝑌 merupakan himpunan bagian buka topologi 𝜏 di 𝑋, atau dapat ditulis:

“𝑓: 𝑋 → 𝑌 disebut kontinu ↔ untuk 𝐻 ∈ 𝜏∗_{berlaku 𝑓}−1_{[𝐻] ∈ 𝜏.”} Contoh 2.2.8.1: Misal diberikan 𝑋 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} dan 𝑌 = {𝑤, 𝑥, 𝑦, 𝑧} serta

dibentuk 𝜏 = {∅, 𝑋, 𝑎 , 𝑎, 𝑏 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 } dan 𝜏∗ = {∅, 𝑌, 𝑤 , 𝑥 , 𝑤, 𝑥 , 𝑥, 𝑦, 𝑧 } adalah masing-masing suatu topologi pada 𝑋 dan 𝑌. Kemudian ditentukan suatu fungsi

𝑓: 𝑋 → 𝑌 = { 𝑎, 𝑥 , 𝑏, 𝑦 , 𝑐, 𝑧 , 𝑑, 𝑧 }.

Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi 𝜏∗_{di 𝑌 adalah:}

i.) 𝑓−1 ∅ = ∅, ii.) 𝑓−1 𝑌 = 𝑋,

(27)

v.) 𝑓−1 𝑤, 𝑥 = {𝑎}, vi.) 𝑓−1 𝑥, 𝑦, 𝑧 = {𝑎, 𝑏, 𝑐},

yang semuanya merupakan himpunan bagian buka topologi 𝜏 di 𝑋. Dengan demikian, fungsi 𝑓 disebut kontinu.

Contoh 2.2.8.2: Misal diberikan 𝑋 = {1, 2, 3, 4} dan 𝑌 = {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑} serta dibentuk

𝜏 = {∅, 𝑋, 1 , 1,2 , 1,2,3 } dan 𝜏∗ _{= {∅, 𝑌,}_{𝑎 ,}_{𝑏 ,}_{𝑎, 𝑏 ,}_{𝑏, 𝑐, 𝑑 } adalah}

masing-masing suatu topologi pada 𝑋 dan 𝑌. Kemudian ditentukan suatu fungsi 𝑔: 𝑋 → 𝑌 = { 1, 𝑎 , 2, 𝑎 , 3, 𝑐 , 4, 𝑑 }.

Maka invers dari setiap himpunan bagian buka topologi 𝜏∗_{di 𝑌 adalah:}

a.) 𝑔−1 ∅ = ∅, b.) 𝑔−1 𝑌 = 𝑋, c.) 𝑔−1 𝑎 = {1,2}, d.) 𝑔−1 𝑏 = ∅, e.) 𝑔−1 𝑎, 𝑏 = 1,2 , f.) 𝑔−1 𝑏, 𝑐, 𝑑 = {3,4}.

Dari invers di atas, terdapat satu invers himpunan bagian buka topologi 𝜏∗ di 𝑌 yang bukan merupakan himpunan bagian buka topologi 𝜏 di 𝑋, yaitu: 𝑔−1_{{𝑏, 𝑐, 𝑑} = {3,4}. Dengan demikian, fungsi 𝑔 tidak kontinu.}