DAFTAR ISI
Halaman KelompokMatematika
PERBANDINGAN SEGIEMPAT LAMBERT PADA GEOMETRI EUCLID DAN NON-EUCLID 1-6 Anggun Novita Sari, Muslim Ansori dan Agus Sutrisno
RuangTopologi , , , , 7-14
Anwar Sidik, Muslim Ansori dan Amanto
PENERAPAN GRAF DEBRUIJN PADA KONSTRUKSI GRAF EULERIAN
15-21
FazrieMulia , Wamiliana , dan Fitriani
REPRESENTASI OPERATOR HILBERT SCHMIDT PADA RUANG BARISAN 22-27
Herlisa Anggraini , Muslim Ansori, Amanto
ANALISIS APROKSIMASI FUNGSI DENGAN METODE MINIMUM NORM PADA RUANG 28-33
HILBERT C[a, b] (STUDI KASUS : FUNGSI POLINOM DAN FUNGSI RASIONAL) Ida Safitri, Amanto, dan Agus Sutrisno
AlgoritmaUntukMencariGrupAutomorfismaPada Graf Circulant 34-37
Vebriyan Agung , Ahmad Faisol, Amanto
KEISOMORFISMAAN GEOMETRI AFFIN
38-41
Pratiwi Handayani, Muslim Ansori, Dorrah Aziz
METODE PENGUKURAN SUDUT MES SEBAGAI KEBIJAKAN PENENTUAN 1 SYAWAL 42-44
Mardiyah Hayati , Tiryono, dan Dorrah
KE-ISOMORFISMAAN GEOMETRI INSIDENSI
45-47
Marlina , Muslim Ansori dan Dorrah Aziz
TRANSFORMASI MATRIKS PADA RUANG BARISAN
48-53
Nur Rohmah, Muslim Ansori dan Amanto
KAJIAN ANALITIK GEOMETRI PADA GERAK MEKANIK POLISI TIDUR (POLDUR) UNTUK 54-56
PENGGERAK DINAMO
Nurul Hidayah Marfiatin, Tiryono Ruby dan Agus Sutrisno
INTEGRAL RIEMAAN FUNGSI BERNILAI VEKTOR
57-63
ISOMORFISME BENTUK-BENTUK GRAFWRAPPED BUTTERFLY NETWORKSDANGRAF 64-71 CYCLIC-CUBES
Ririn Septiana, Wamiliana, dan Fitriani
Ring Armendariz
72-77
Tri Handono, Ahmad Faisol dan Fitriani
PERKALIAN DAN AKAR KUADRAT UNTUK OPERATORSELF-ADJOINT 78-81
Yuli Kartika, Muslim Ansori, Fitriani
Kelompok Statistika
APROKSIMASI DISTRIBUSIT-STUDENTTERHADAPGENERALIZED LAMBDA 82-85 DISTRIBUTION(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA
Eflin Marsinta Uli, Warsono, dan Widiarti
ANALISIS CADANGAN ASURANSI DENGAN METODE ZILLMER DAN NEW JERSEY 86-93 Eva fitrilia, Rudi Ruswandi, dan Widiarti
PENDEKATAN DIDTRIBUSI GAMMATERHADAPGENERALIZED LAMBDA DISTRIBUTION 94-97 (GLD)BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA
Jihan Trimita Sari T, Warsono, dan Widiarti
PERBANDINGAN ANALISIS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE KONVENSIONAL 98-103 DENGAN METODE ANOM
Latusiania Oktamia, Netti Herawati, Eri Setiawan
PENDUGAAN PARAMETER MODEL POISSON-GAMMA MENGGUNAKAN ALGORITMA EM 104-109 (EXPECTATION MAXIMIZATION)
Nurashri Partasiwi, Dian Kurniasari dan Widiarti
KAJIAN CADANGAN ASURANSIDENGAN METODE ZILLMER DAN METODE KANADA 110-115 RozaZelvia, Rudi Ruswandi dan Widiarti
ANALISIS KOMPONEN RAGAM DATA HILANG PADA RANCANGANCROSS-OVER 116-121 Sorta Sundy H. S, Mustofa Usman dan Dian Kurniasari
PENDEKATAN DISTRIBUSI GOMPERTZ PADA CADANGAN ASURANSI JIWA UNTUK METODE 122-126
ZILLMER DAN ILLINOIS
Mahfuz Hudori, Rudi Ruswandi dan Widiarti
KAJIAN RELATIF BIASMETODEONE-STAGEDANTWO-STAGE CLUSTER SAMPLING 127-130 Rohman, Dian Kurniasar dan Widiarti
PERBANDINGAN UJI HOMOGENITAS RAGAM KLASIFIKASI SATU ARAH METODE 131-136 KONVENSIONAL DENGAN METODE ANOMV
PENDEKATAN DISTRIBUSI KHI-KUADRAT TERHADAPGENERALIZED LAMBDA 137-140
DISTRIBUTION(GLD) BERDASARKAN EMPAT MOMEN PERTAMANYA Tiyas Yulita , Warsono dan Dian Kurniasari
Kelompok Kimia
TRANSESTERIFIKASI MINYAK SAWIT DENGAN METANOL DAN KATALIS HETEROGEN 141-147
BERBASIS SILIKA SEKAM PADI (MgO-SiO2)
EviRawati Sijabat, Wasinton Simanjuntak dan Kamisah D. Pandiangan
EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING SEBAGAI INHIBITOR KERAK 148-153
KALSIUM KARBONAT (CaCO3) DENGAN METODEUNSEEDED EXPERIMENT Miftasani,Suharso dan Buhani
EFEK PENAMBAHAN SENYAWA EKSTRAK DAUN BELIMBING WULUH SEBAGAI INHIBITOR 154-160
KERAK KALSIUM KARBONAT (CaCO3) DENGAN METODESEEDED EXPERIMENT PutriFebriani Puspita,Suharso dan Buhani
IDENTIFIKASI SENYAWA AKTIF DARI KULIT BUAH ASAM KERANJI (Dalium indum) 161-168
SEBAGAI INHIBITORKOROSIBAJA LUNAK
Dewi Kartika Sari, Ilim Wasinton dan Simanjuntak
TransesterifikasiMinyakSawitdenganMetanoldanKatalisHeterogenBerbasis 169-175
SilikaSekamPadi(TiO2/SiO2)
Wanti Simanjuntak, Kamisah D. Pandiangan dan Wasinton Simanjuntak
UJI PENDAHULUAN HIDROLISIS ONGGOK UNTUK MENGHASILKAN GULA REDUKSI 176-182
DENGAN BANTUAN ULTRASONIKASI SEBAGAI PRAPERLAKUAN Juwita Ratna Sari dan Wasinton Simanjuntak
STUDI FORMULASI PATI SORGUM-GELATIN DAN KONSENTRASIPLASTICIZERDALAM 183-190
SINTESA BIOPLASTIK SERTA UJIBIODEGRADABLEDENGAN METODE FISIK Yesti Harryzona dan Yuli Darni
KelompokFisika
Pengaruh Variasi Suhu Pemanasan Dengan Pendinginan Secara Lambat Terhadap Uji 191-195
PengaruhKadarCaCO3terhadapPembentukanFaseBahanSuperkonduktorBSCCO-2212 196-201
denganDopingPb (BPSCCO-2212)
Ameilda Larasati, Suprihatin dan Ediman GintingSuka
Variasi Kadar CaCO3dalamPembentukanFaseBahanSuperkonduktor BSCCO-2223 dengan 202-207
Doping Pb (BPSCCO-2223)
Fitri Afriani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka
Sintesis Bahan Superkonduktor BSCCO-2223 Tanpa Doping Pb Pada Berbagai Kadar CaCO3 208-212
Heni Handayani, Suprihatin dan Ediman Ginting Suka
Pengaruh Variasi Waktu Penarikan dalam Pembuatan Lapisan Tipis TiO2dengan Metode 213-218
Pelapisan Celup
Dian Yulia Sari dan Posman Manurung
Pengaruh Suhu Sintering terhadap Karakteristik Struktur dan Mikrostruktur Komposit 219-225
Aluminosilikat 3Al2O3.2SiO2Berbahan Dasar Silika Sekam Padi Fissilla Venia Wiranti dan Simon Sembiring
Sintesisdan KarakterisasiTitaniaSilikadenganMetode Sol Gel 226-230
Revy Susi Maryanti dan Posman Manurung
Uji Fotokatalis Bahan TiO2yang ditambahdengan SiO2padaZatWarnaMetilenBiru 231-236
Violina Sitorus dan Posman Manurung
KARAKTERISTIK STRUKTUR DAN MIKROSTRUKTUR KOMPOSIT B2O3-SiO2BERBASIS 237-241
SILIKA SEKAM PADI DENGAN VARIASI SUHU KALSINASI Nur Hasanah, Suprihatin, dan Simon Sembiring
RANCANG BANGUN DAN ANALISIS ALAT UKUR MASSA JENIS ZAT CAIR BERBASIS 242-247
MIKROKONTROLER ATMega8535
Prawoto, Arif Surtono, dan Gurum Ahmad Pauzi
ANALISIS BAWAH PERMUKAAN KELURAHAN TRIKORA KABUPATEN NGADA NTT 248-250
MENGGUNAKAN METODE GPR (Ground Penetrating Radar) DAN GEOLISTRIK R. Wulandari,Rustadi dan A. Zaenudin
Ruang Topologi
,
,
,
,
Anwar Sidik1, Muslim Ansori2, Amanto3
Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia1 anwarsdk45@gmail.com
Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia2 Jurusan Matematika FMIPA, Unila, Bandar Lampung, Indonesia3
Abstrak
Dalam ruang topologi terdapat sifat yang mengekspresikan seberapa banyak element himpunan yang terlingkupi dalam sebuah himpunan terbuka. Atau dengan lebih khusus lagi, sifat ini menggambarkan seberapa rapat sebuah himpunan bagian tertutup dapat terlingkupi dalam sebuah himpunan terbuka. Ukuran kerapatan inilah yang akan menjadi pemisah antara himpunan bagian satu dengan himpunan bagian yang lain yang disebut aksioma separasi. Yang bila diurutkan berdasarkan angka 0 sampai 4 menunjukkan kenaikan derajat separasinya. Setiap ruang topologi yang memenuhi ke lima aksioma ini akan dibedakan berdasarkan derajat separasinya yaitu , , , , yang kemudian memiliki sifat-sifat baru dan terdapat hubungan hereditary dalam tiap tingkatan separasinya.
Kata kunci: topologi, ruang topologi, aksioma separasi.
1. Pendahuluan
Konsep ruang topologi dibangun berdasarkan konsep kekonvergenan pada bidang Euclidean yang diperluas menjadi ruang metrik. Dari
konsep ruang metrik ini kemudian
dikembangkan definisi ruang topologi. Walaupun didasarkan pada konsep kekonvergenan, ruang
topologi secara praktis didefinisikan
berdasarkan konsep himpunan terbuka,
persekitaran dan closure, yang secara
mendasar mewakili sifat kekonvergenan.
Dalam penelitian ini penulis akan memaparkan definisi dan teorema-teorema yang membangun
ruang topologi , , , , dan sifat-sifat
yang saling mempengaruhi masing-masing
tingkatan separasinya.
2. Landasan Teori
2.1 Ruang Metrik
Diberikan sebuah himpunan. Fungsi
dikatakan sebagai metrik pada jika untuk setiap
1. .
2. jika hanya jika .
3. .
4. .
Himpunan dengan metrik disebut ruang
metrik dan dinotasikan dengan . Fungsi
disebut jarak antara dan .
2.2 Persekitaran Bola
Himpunan convex
disebut bola terbuka dengan jari-jari dan titik pusat .
2.3 Himpunan Terbuka
Diberikan merupakan ruang metrik.
Himpunan bagian dikatakan terbuka, jika
setiap , terdapat bola sedemikian
hingga
.
2.4 Himpunan Tertutup
Diberikan ruang metrik. Himpunan bagian
dari dikatakan tertutup di ketika
komplemen adalah himpunan terbuka di
.
2.5 Topologi
Diberikan merupakan himpunan tak-nol dan adalah topologi di , jika dan hanya jika
1.
3. Jika , maka , atau setiap anggota irisan terbatas dari juga merupakan anggota dari . 4. Setiap gabungan dari anggota juga
merupakan anggota .
Sifat-Sifat Topologi
1. Irisan dari sebarang kumpulan topologi dari adalah juga merupakan topologi di .
2. Gabungan dari topologi belum tentu sebuah topologi.
Bukti :
1. Diberikan merupaka kumpulan
topologi di .
Karena itu
Misalkan ,
Andaikan adalah kumpulan dari himpuan
sedemikian hingga
Oleh karena itu jika adalah
kumpulan dari topologi pada maka adalah topologi di .
2. Diberikan himpunan
dan dua topologi di
dan
kemudian
bukan topologi karena
2.6 Ruang Topologi
Diberikan berisi himpunan dan topologi
di disebut ruang topologi.
2.7 Titik Adherent
Diberikan . Titik adherent ke , jika
untuk setiap
2.8 Closure Himpunan
Closure , dinotasikan dengan , adalah himpunan dari semua titik di adherent ke .
2.9 Himpunan Tertutup
Himpunan dikatakan tertutup jika
adalah himpunan terbuka.
1. Jika , maka
2.
Jika tertutup, maka terbuka. Setiap
memiliki persekitaran ,
sedemikian hingga
dan
Dari persamaan (4) dan (2), diperoleh .
Karena , setiap memiliki ,
sedemikian hingga
Karena itu, terbuka untuk tertutup.
3. Hasil dan Pembahasan
4.1.
Ruang-Definisi 4.1.1 Ruang- (Milewski)
Ruang dikatakan sebagai ruang , jika
untuk dua element berbeda , terdapat
persekitaran paling sedikit satu. Yang tidak berisi yang lainnya.
Contoh 4.1.1
Diberikan . Tunjukkan bahwa
merupakan ruang- menggunakan konsep
topologi indiskrit.
Solusi:
Dalam topologi indiskrit, ,
tidak dapat membagi 0 dari 1 atau 1 dari 0.
Diketahui himpunan dengan topologi
. Sehingga, untuk dua titik 0 dan 1, terdapat himpunan terbuka {0}, sedemikian hingga
Oleh karena itu, adalah ruang- . Perlu
dicatat bahwa setiap ruang metrik adalah
ruang- .
Contoh 4.1.2
Tunjukkan bahwa ruang pseudometrik bukan merupakan ruang- ?
Solusi:
Pseudometrik di adalah fungsi ,
sedemikian hingga 1.
2.
Untuk setiap .
Jadi, memungkinkan untuk dua titik yang tak
sama .
Sebarang persekitaran memuat dan
sebarang persekitaran memuat .
Oleh karena itu, ruang pseudometrik bukan
ruang- . Titik saling unik, namun
karena itu, tidak dapat dipisahkan.
4.2
Ruang-Definisi 4.2.1
Ruang-Ruang topologi disebut sebagai ruang- jika
untuk setiap dua titik berbeda ,
masing-masing termuat dalam himpunan terbuka yang tidak saling memuat satu sama lain. Atau dengan kata lain, terdapat persekitaran dari
dan dari sedemikian hinga dan
. Himpunan terbuka dan tidak
selalu saling lepas.
Contoh:
Setiap ruang metrik merupakan ruang- , dengan membuktikan bahwa setiap himpunan bagian terbatasnya tertutup.
Diketahui bahwa, dalam ruang metrik ,
kondisi dari sebuah himpunan tertutup. Dapat di ditampilkan oleh implikasi
Jadi, setiap ruang metrik adalah
ruang-Ada juga ruang topologi yang bukan merupakan ruang- . Sebagai contoh ruang , memuat dua
titik dengan topologi , bukan
merupakan ruang- . Telah diperlihatkan sebelumnya bahwa setiap ruang metrik dapat dinilai sebagai ruang topologi.
Berdasarkan definisi, jelas bahwa sebarang ruang- juga merupakan ruang- .
Teorema 4.2.2 Ruang topologi disebut ruang- . Jika dan hanya jika setiap element tunggal himpunan bagian tertutup.
Bukti:
Misalkan merupakan ruang- dan . Akan
ditunjukkan bahwa terbuka.
Misalkan maka , berdasarkan
axioma
himpunan terbuka sedemikian hingga
dan
Karena itu , maka
.
Oleh karena itu maka terbuka dan
tertutup.
Sebaliknya, andaikan tertutup untuk setiap
. Misalkan dengan .
Karena himpunan terbuka memuat
namun tidak memuat . Dengan cara yang
sama adalah himpunan terbuka yang
memuat namun tidak memuat . Oleh karena
itu, adalah ruang- .
Dengan jelas diketahui bahwa setiap ruang-adalah ruang- . Namun, himpunan
dengan topologi yang mengandung himpunan
terbuka , dan adalah ruang- yang
bukan ruang- .
Teorema 4.2.2 Setiap himpunan bagian dari ruang- juga merupakan ruang- .
Bukti:
Diberikan ruang- dan adalah
himpunan bagian dari . Akan ditunjukkan
bahwa setiap himpunan bagiansingleton dari adalah himpunan tertutup atau dengan
cara lain, bahwa adalah himpunan
terbuka . Karena adalah ruang- ,
adalah - terbuka. Namun
Karena itu dengan definisi himpunan bagian, adalah himpunan terbuka . Karena itu juga merupakan ruang- .
Teorema 4.2.3 Setiap ruang- terbatas adalah ruang diskrit.
Diberikan merupakan sebarang himpunan terbatas dan adalah topologi di . Sedemikian
hingga adalah ruang- .
Ruang adalah , jika dan hanya jika
setiap satu titik himpunan bagian dari tertutup. Karena gabungan dua himpunan bagian tertutup adalah tertutup. Dapat disimpulkan bahwa seluruh himpunan bagian dari tertutup. Untuk itu, seluruh himpunan bagian terbuka dan merupakan topologi diskrit.
Teorema 4.2.4 merupakan ruang- . Sedemikian hingga dua sifat di bawah ini ekuivalen.
1. adalah titik akumulasi dari .
2. Setiap himpunan terbuka yang memuat memuat takterbatas titik di .
Bukti:
1. 2
Misalkan adalah titik akumulasi , dan
adalah himpunan terbuka , memuat hanya
nilai terbatas dari titik yang berbeda dari . Kemudian
adalah himpunan bagian terbatas dari ruang-, karena ituruang-, himpunan ini tertutup dan terbuka. Diberikan
.
Maka terbuka, dan tidak memuat titik
yang berbeda dari .
Karena itu, bukan merupakan titik akumulasi dari .
2. 1
Berdasarkan pada definisi titik akumulasi.
4.3
Ruang-Definisi 4.3.1
Ruang-Ruang topologi disebut ruang- atau ruang Hausdorff jika untuk setiap dua titik berbeda
. Terdapat persekitaran dari dan
dari sedemikian hingga .
Contoh:
Setiap ruang metrik merupakan ruang- .
Diberikan , diketahui bahwa
.
Diketahui bola terbuka dan
, berpusat di dan . Akan
ditunjukkan bahwa dan saling lepas.
Jika , maka dan
; karena itu menggunakan pertaksamaan segitiga diperoleh
Namun hasil ini kontradiktif dengan pernyataan
bahwa . Karena itu dan saling
lepas. Contoh dan termuat secara berurutan pada bola terbuka dan yang saling lepas.
Jadi, merupakan ruang- .
Teorema 4.3.1 Setiap ruang- adalah ruang-.
Bukti:
Akan ditunjukkan bahwa ruang- adalah
ruang-. Misalkan adalah ruang- . Diberikan
dan untuk setiap ,
Terdapat himpunan terbuka , sedemikian
hingga dan , jadi
dan adalah himpunan terbuka sebagai
sebuah gabungan kumpulan dari himpunan
terbuka .
Karena itu, tertutup dan adalah ruang- .
Akan ditunjukkan juga bahwa terdapat ruang-yang bukan merupakan ruang- .
Diberikan himpunan , memuat 0 dan seluruh titik , untuk
Didefinisikan topologi pada : himpunan yang memuat 1 terbuka, jika dan hanya jika
merupakan komplemen dari himpunan terbatas. Himpunan yang tidak memuat titik 1 terbuka, jika merka terbuka dalam hal topologi bilangan real. Karena itu, setiap himpunan yang memuat 0 adalah tak terbatas.
Oleh karena itu, titik 0 dan 1 tidak dapat dipisahkan oleh dua himpunan terbuka yang
saling bebas. Maka merupakan ruang- namun
bukan ruang- .
ruang-Bukti:
Diberikan mewakili sebarang himpunan terurut
oleh . Diberikan S mewakili kumpulan
himpunan bagian dalam bentuk
atau
Untuk semua .
membentuk subbasis untuk topologi di , disebut topologi terurut terinduksi oleh <. Akan
ditunjukkan bahwa adalah ruang- .
Diberikan mewakili dua titik berbeda.
Karena terurut sempurna, dari dapa
atau . Misalkan . Maka terdapat dua
kemungkinan:
1. Sebuah element ada, sedemikian
hingga
maka
dan
Secara berurutan merupakan persekitaran saling bebas dari dan .
2. Tidak ada , sedemikian hingga
maka
dan
Secara berurutan merupakan persekitaran saling bebas dari dan .
Teorema 4.3.3 jika ruang- dengan himpunan bagian terbatas dari maka tertutup.
Bukti:
Diberikan . Akan ditunjukkan bahwa
tertutup. Diberikan
Kemudian terdapat persekitaran dari , sedemikian hingga
Karena itu,
dan himpunan terbuka. Jadi,
tertutup.
Sebarang himpunan bagian ruang
Hausdorff tertutup.
Teorema 4.3.4 Jika ruang- , terdapat , dengan titikcluster dan adalah
persekitaran di maka tak terbatas.
Bukti:
Misalkan, kebalikannya bahwa terbatas.
Maka
tertutup. Karena itu
terbuka, tetapi
Maka adalah persekitaran dari .
Karena adalah titikclusterdari , maka
dan merupakan kontradiksi.
Teorema 4.3.5 Jika merupakan ruang-maka setiap deret konvergen di memiliki limit unik.
Bukti:
Diberikan merupakan deret konvergen
dengan dua limit , , dimana .
Karena ruang- , terdapat himpunan
terbuka dan , sedemikian hingga
, ,
konvergen ke . Maka
. demikian juga dengan
.
Dimana himpunan dan saling bebas.
Maka kontradiksi. Oleh karena itu, .
4.4 Ruang Regular
Definisi 4.4.1 Ruang Regular
Ruang topologi dikatakan regular jika
terdapat himpunan bagian tertutup dan
sebarang titik , sedemikian hingga ,
terdapat himpunan terbuka dan , sedemikian hingga
, , dan
Contoh 4.4.1:
Diberikan topologi pada
himpunan . Diketahui himpunan
bagian tertutup dari adalah dan
maka memenuhi definisi ruang regular.
Disisi lain, bukan merupakan
ruang-hingga terdapat himpunan terbatas misalnya yang tidak tertutup.
Teorema 4.4.1 Setiap himpunan bagian ruang regular juga merupakan ruang regular.
Bukti:
Diberikan ruang regular dengan
sebagai himpunan bagiannya. Diberikan
dan mewakili himpunan tertutup dari ,
tidak termuat diclosure dari maka tidak termuat diclosure dari . Sehingga
Dimana adalahclosure dari . Ruang
regular. Terdapat dua himpunan terbuka dan , sedemikian hingga
, , .
Namun
dan adalah himpunan terbuka
dari .
karena dan . Himpunan
dan saling lepas karena .
Juga karena
dan .
Maka, juga regular.
Teorema 4.4.2 Ruang- regular jika dan hanya jika untuk setiap persekitaran terbuka dari setia titik pada , terdapat himpunan terbuka sedemikian hingga
Bukti:
Diberikan adalah ruang- . Diketahui titik dan himpunan tertutup sedemikian hingga
, maka adalah persekitaran
terbuka dari .
Oleh karena itu dapat dipilih sebuah himpunan terbuka sedemikian hingga
Maka dan adalah himpunan
terbuka yang memenuhi definisi 4.5, karena itu regular.
Dan sebaliknya, diberikan regular dan adalah persekitran terbuka dari titik dari . Maka terdapat himpunan terbuka dan sedemikian hingga
, ,
Karena itu , yang berimplikasi
Karena tertutup. Maka memenuhi
kondisi yang diinginkan.
4.5 Definisi
Ruang-Ruang- yang bersifat regular disebut ruang- .
Bukti:
Diberikan menotasikan sebuah ruang- .
Akan ditunjukkan bahwa juga merupakan
ruang Hausdorff.
Diberikan . Ruang adalah
ruang-, oleh karena ituruang-, himpunan tertutup.
Karena dan saling beda
Karena adalah ruang regular, terdapat
dua himpunan terbuka disjoint dan , sedemikian hingga
dan
Karena itu, dan termasuk dalam dua
himpunan terbuka disjoint dan . Sehingga adalah ruang Hausdorff (ruang- ).
Berikut ini beberapa sifat ruang- :
Teorema 4.5.1 Sebarang ruang metrik adalah ruang- .
Bukti:
Diberikan dinotasikan sebagai ruang
metrik dan mewakili sebarang persekitaran
. Terdapat persekitaran bola ,
sedemikian hingga
digunakan sebarang nilai
maka
dan
Karena itu, untuk sebarang dan sebarang
persekitaran dari , terdapat persekitaran dari . Sedemikian hingga
Dapat disimpulkan bahwa regular. Karena
juga merupakan , sehingga sebarang ruang metrik juga merupakan ruang- .
Teorema 4.5.2 Setiap himpunan bagian dari ruang- juga merupakan ruang- .
Bukti:
Diberikan menotasikan himpunan bagian dari
ruang- . Diberikan tertutup di dan
dan
Karena tertutup di .
Dimana adalah himpunan bagian tertutup dari
. Maka . Ruang bersifat regular, karena
itu, terdapat himpunan terbuka dan , sedemikian sehingga
Karena itu, ruang regular. Karena
adalah himpunan bagian dari ruang- ,
juga merupakan . Oleh karena itu, adalah regular dan merupakan ruang- , contohnya ruang- .
4.6 Ruang Normal
Definisi 4.6.1 Ruang Normal
Ruang topologi dikatakan normal jika ,
diberikan sebarang dua himpunan disjoint
tertutup dan dari , terdapat himpuanan
terbuka disjoint dan , sedemikian hingga dan
Contoh 4.6.1:
Sebarang ruang , memuat lebih dari satu
titik pada topologi indiskrit adalah ruang normal.
Dalam topologi indiskrit terdapat dua himpunan dan .
.
Karena itu, hanya terdapat himpunan tertutup
dan karena dan .
Sehingga, tidak ada himpunan bagian disjoint tak-kosong dari . Maka ruang ini normal.
Teorema 4.6.1 Sebuah ruang topologi normal jika dan hanya jika, untuk setiap himpunan tertutup dan setiap himpunan
terbuka memuat , terdapat himpuanan
terbuka , sedemikian hingga
Bukti:
Diberikan dinotasikan sebagai ruang
normal. mewakili sebuah himpunan tertutup
dan sebuah himpuanan terbuka, sedemikian
hingga
Himpuanan tertutup dan
dan adalah dua himpuanan tertutup
disjoint. Karena itu, himpunan terbuka dan ada, sedemikian hingga
Maka
, diperolah dan karena itu,
, diperoleh
Himpunan tertutup, karena itu, dapat
disimpulkan
diberikan dan menotasikan himpuanan
tertutup. Maka
dan terbuka. Terdapat himpuanan
terbuka, sedemikian hingga
Tetapi, karena , akan dieperoleh
. Juga kerena , diperoleh
Jadi, karena terbuka
dan dimana dan
adalah himpunan terbuka.
4.7
Ruang-Definisi 4.7.1
Ruang-Ruang normal yang juga merupakan ruang-disebut ruang- .
Teorema 4.7.1 Setiap ruang- juga merupakan ruang- .
Bukti:
Diberikan menotasikan ruang- .
Berdasarkan definisi, normal dan .
Misalkan himpunan bagian tertutup dari dan
. Karena adalah , himpunan
singleton tertutup. Himpunan dan
tertutup dan disjoint. Karena adalah
normal, himpunan terbuka dan ada,
sedemikian hingga
Untuk itu regular dan .
Teorema 4.7.2 Jika adalah himpunan tertutup
dari ruang- , maka sub ruang juga
merupakan ruang- .
Bukti:
Setiap sub ruang dari ruang- adalah dan
juga , maka juga merupakan ruang- .
Karena tertutup, himpunan bagian pada
tertutup di , jika dan hanya jika tertutup di .
Karena itu, jika dan himpunan bagian
yang tertutup dan saling lepas, maka juga akan tertutup dan saling lepas di .
Sehingga terdapat himpunan terbuka dan ,
sedemikian hingga
, dan .
Maka
Dan dan himpunan bagian saling lepas dari , terbuka di . Karena
memenuhi dan normal, maka juga merupakan
ruang- .
Sifat Hereditary
Ruang-Jika merupakan himpunan bagian tertutup dari
ruang- , Maka himpunan bagian
juga merupakan ruang- .
Bukti:
Karena setiap himpunan bagian dari
ruang-adalah dan juga merupakan ,
adalah ruang- . Karena tertutup, himpunan bagian dari tertutup di , jika dan hanya jika
tertutup di . Karena itu, jika dan himpunan bagian disjoint tertutup, maka juga merupakan himpunan tertutup disjoint dari .
Jadi, himpunan terbuka dari dan ada,
sedemikian hingga
dan Jadi
dan dan himpunan bagian disjoint
dari , terbuka di . Karena adalah
dan normal, dan merupakan .
4. Simpulan
Berdasarkan pada pembahasan pada bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan sebagai berikut:
1. Setiap ruang metrik merupakan ruang-.
2. Setiap ruang metrik merupakan ruang-sehingga ruang- juga merupakan ruang- .
3. Setiap ruang- merupakan ruang- .
4. Jika diketahui ruang- dan
himpunan bagian terbatas dari maka tertutup.
5. Jika diketahui ruang- , ,
adalah titikclusterdari , adalah persekitaran dari maka
takterbatas.
6. Setiap ruang- merupakan
ruang-sehingga ruang- juga merupakan
ruang- , dan .
7. Setiap ruang- juga merupakan ruang-.
5. Saran
Oleh karena prosiding ini hanya membahas
hingga topologi ruang- maka perlu ada
pembahasan untuk ruang-ruang topologi lain
seperti ruang Tychonoff yang merupakan
pengembangan dari ruang regular dan regular
lengkap.
6. Daftar Pustaka
Milewski, Emil G. 1994.The Topology Problem
Solver. Research and Education
Association. New jersey.
Munkres, J. 2000. Topology Second Edition. Prentice Hall. New Jersey
Nagata, Jun-Iti. 1968. Modern General
Topology. Elsevier Science Publishers. Netherlands.
