STA1201 - Pertemuan 8 - Ruang dan Anak Ruang Vektor

RUANG DAN ANAK RUANG VEKTOR

Definitions - Vectors

Vector - a single row or column of numbers

 Each individual entry is called an element

 denoted with bold small letters

 row vector

  

  

   a

12 34

 



a 1 2 3 4

 column vector

    

 



x _{x 1}^{2 2}₂ ²_p

2 2

1 2

length of L x x x

x x

x'x

Geometry of Vectors

Vectors have geometric properties of length and direction – for a vector

we have

    

x ¹

2

xx

2

x₁ 1 x₂

 



x x₁ x₂

Why?

  

 



2 2

h a b

2 2

1 2

length of hypotenuse L L L

x x

x'x

Geometry of Vectors

Recall the Pythagorean Theorem: in any right triangle, the lengths of the

hypotenuse and the other two sides are related by the simple formula.

2

1 side a

side b

Geometry of Vectors

Vector addition – for the vectors we have

   

    ,    

x ¹ y ¹

2 2

x y

x y

2

1

 



x x₁ x₂

  

   

x y ^{1 1}

2 2

x y

+ x y

 



y y y_{1 2}

q

  

  

 ^{12 12} x y

x y

 

 

    

 



x _cx ² ₁^{2 2}₂ ²_p

2 2 2

1 2

length of c L c x x x

c x x

c x'x

Geometry of Vectors

Scalar multiplication changes only the vector length – for the vector

we have

    

x ¹

2

xx

2

1

 



x _{1 2}

c c x x

Geometry of Vectors

Vector multiplication have angles between them – for the vectors we have

   

    ,    

x ¹ y ¹

2 2

x y

x y

2

1

 



x x₁ x₂

 

 

q     q  

 ^{x y}  ^{x y}

xy xy xy

arccos cos

L L L L x'x y'y

 



y y y_{1 2}

q

A Little Trigonometry Review

The Unit Circle

2

q Cos q = 1 1

0  Cos q  1 Cos q = 0

-1  Cos q  0

0  Cos q  1 -1  Cos q  0

Cos q = 0 Cos q = -1

A Little Trigonometry Review

Suppose we rotate x any y so x lies on

axis 1:

²

1

 



x x₁ x₂

 

y  y y_{1 2}

q_xy

A Little Trigonometry Review

What does this imply about r

_xy

?

2

1 q_xy Cos q = 1

0  Cos q  1 Cos q = 0

-1  Cos q  0

0  Cos q  1 -1  Cos q  0

Cos q = 0 Cos q = -1

What is the correlation between the vectors x and y?

²

1

   

 1.0 ,  -0.5

0.6 -0.3

x y

y

Plotting in

x

the column space

gives us

Geometry

of Vectors

Geometry of Vectors

Rotating so x lies on axis 1 makes it easier to see:

²

1 Q_xy=180⁰

Geometry of Vectors

What is the correlation between the vectors x and y?

   

 1.0 ,  -0.5

0.6 -0.3

x y

   

         

q  

  



cos L L

1.0 -0.5 + 0.6 -0.3

1.0 1.0 0.6 0.6 -0.5 -0.5 -0.3 -0.3 -0.68 = -1.00

1.36 0.34

x y

xy xy

x'x y'y

Geometry of Vectors

Of course, we can see this by plotting the these values in the x,y (row) space:

   

 1.0 ,  -0.5

0.6 -0.3

x y

Y

X

1.0, -0.5 0.6, -0.3

Geometry of Vectors

What is the correlation between the vectors x and y?

   

   ,   

x 1.0 y -0.50

0.4 1.25

   

         

q  

  



x y

xy xy

x'x y'y cos L L

1.0 -0.50 + 0.4 1.25

1.0 1.0 0.4 0.4 -0.50 -0.50 1.25 1.25 0.00 = 0.00

1.16 1.8125

RUANG VEKTOR

Ilustrasi

 Dalam logika umum ruang perkuliahan dikatakan berdimensi 3, setiap dindingnya merupakan bidang datar berdimensi 2, dan batas antar dinding berupa garis berdimensi satu , sedangkan titik pojoknya berdimensi 0. Jadi ruang berdimensi lebih rendah terdapat di dalam ruang berdimensi lebih besar.

Ruang Vektor Umum

Misalkan dan k, l  Riil

V dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma : 1. V tertutup terhadap operasi penjumlahan

Untuk setiap 2.

3.

4. Terdapat sehingga untuk setiap berlaku

5. Untuk setiap terdapat sehingga

V w

v

u , , 

V v

u  

maka , v V

u 



 v

u

v u

 v w   u v  w

u     

u u

u  0  0  

V

0 u V

V

u 

 

^u

   

^{     0}

 u u u

u

6. V tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.

Untuk setiap dan k  Riil maka 7.

8.

9.

10.

V

u  k u  V



^{u v}



^{ku kv}

k   



^{k  l}



^{u  ku  lu}

     

^{l u l k u kl u}

k  

u u  . 1

Berdasarkan definisi ruang vector di atas, dapat diringkas sebagai berikut:

Ruang vector merupakan himpunan yang anggotanya berupa vektor-vector dimana tertutup terhadap operasi penjumlahan antar vector dan operasi perkalian vector dengan skalar. V={v1,v2,...} memiliki sifat:

 1. Tertutup terhadap operasi penjumlahan v1,v2 є V maka v1+v2 є V

 2. Tertutup terhadap operasi perkalian k є R, v є V maka kv єV

Kedua syarat tersebut diatas harus dipenuhi agar dapat disebut sebagai ruang vektor.

Contoh :

1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar (operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan skalar).

Notasi : Rⁿ (Ruang Euclides orde n) 2. Himpunan matriks berukuran m x n

dengan operasi standar (penjumlahan matriks dan perkalian matriks dengan skalar),

Notasi : M_mxn (Ruang Matriks mxn)

3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.

Notasi : P_n (Ruang Polinom orde n)

Latihan:

 Apakah himpunan berunsur vector berikut ini merupakan ruang vektor?

 1. A={(x, y, x+2y); x, y єR}

 2. B={(x, y, 3xy); x, y єR}

Ruang Euclides orde n

Operasi-Operasi pada ruang vektor Euclides:

• Penjumlahan

• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

• Perkalian Titik (Euclidean inner product)

• Panjang vektor didefinisikan oleh :

• Jarak antara dua vektor didefinisikan oleh :



^{u v u v u}_n ^v_n



v

u   ₁  ₁, ₂  ₂,..., 



^{ku ku ku}_n



u

k  ₁, ₂,...,

n nv u v

u v

u v

u   _{1 1}  _{2 2}  ...

^{u u}¹²

u  

 

^{u v u v}

d ,    ^u₁  ^v₁ ²  ^u₂  ^v₂² ^... ^u_n  ^v_n ²

2 2

2 2

1 u ... u_n

u   



Contoh :

Diketahui dan

Tentukan panjang vektor dan jarak antara kedua vektor tersebut

Jawab:

Panjang vektor :

Jarak kedua vektor



^{1, 1, 2, 3}





u ^{v }



^{2, 2, 1, 1}



 

u v u v d ,  



u u



¹²

u    1² 1² 2² 3²  15

10 1

1 2

2²  ²  ²  ²  v 

^12 ^{2  12} ^{2  21} ^{2  31}²



   

7

2 1

1

1 ^{2 2 2 2}















ANAK RUANG VEKTOR

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah ruang vektor V

W dinamakan anak vektor (subspace) V jika W juga merupakan ruang vektor

yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan perkalian dengan skalar.

Syarat W disebut anak vektor dari V adalah : 1. W  { }

2. W  V

3. Jika maka

4. Jika dan k  Riil maka

W v

u ,  u  v  W W

u  k u  W

Contoh :

Tunjukan bahwa himpunan W yang berisi semua matriks orde 2x2 dimana setiap unsur diagonalnya adalah nol merupakan anak vektor dari ruang vektor matriks 2x2

Jawab :

2. Jelas bahwa W  M2x2

3. Ambil sembarang matriks A, B  W Tulis

dan 0 maka

0

0

1. O 0 W



 



 

W   



 



 

0 0

2

1

a

A a 



 



 

0 0

2

1

b B b

Perhatikan bahwa :

Ini menunjukan bahwa

4. Ambil sembarang matriks A  W dan k  Riil maka

Ini menunjukan bahwa

Jadi, W merupakan anak vektor dari M2x2.



 







 



 



 



 



 



0 0

0 0

0 0

2 2

1 1

2

1 2

1

b a

b a

b

b a

B a A

W B

A  

ka W

kA ka  



 



 

0 0

2

1

kA W

Contoh :

Periksa apakah himpunan D yang berisi semua matriks orde 2x2 yang determinannya nol

merupakan anak vektor dari ruang vektor M2x2 Jawab :



 



 

0 0

b A a



 



 

a B b0 0

Ambil sembarang matriks A, B  W Pilih a ≠ b :

, jelas bahwa det (A) = 0

, jelas bahwa det (A) = 0

B

A 

_



 





a b

b a

Perhatikan bahwa :

=

Jadi D bukan merupakan anak vektor

karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan Karena a ≠ b

Maka det (A + B ) = a² – b² ≠ 0

 Terima Kasih 