HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBAS LINIER. di V. Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor v, 1

HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBAS LINIER

HIMPUNAN RENTANGAN

Definisi (Kombinasi Linier)

Misalkan V suatu ruang vektor atas field F. w vektor di V, dan v₁, ,vn juga

vektor-vektor di V. Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linier dari vekto r-vektor v₁, ,v_n jika w dapat dinyatakan dalam bentuk

1 1 n n

wr v  r v di mana r₁, ,r_nF.

Suatu himpunan vektor merentang ruang vektor jika setiap vektor dalam ruang vektor tersebut dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari beberapa vektor dalam himpunan tersebut.

Definisi (Himpunan Rentangan)

Subruang yang direntang oleh S tak kosong, S suatu himpunan bagian dari V, adalah himpunan dari seluruh kombinasi linier vektor- vektor dalam S:

1 1

span( ) { _{n n}| _i , _i }

S  S  r v  r v r F v S

JikaS{ ,v₁ , }v_n merupakan himpunan hingga, kita gunakan notasi v1, ,vn atau



1



span v, ,v_n . Suatu himpunan vektor S dalam V dikatakan merentang V, atau membangun V, jika V span( )S .

S disebut himpunan rentangan.

Sembarang superset dari himpunan rentangan juga merupakan himpunan rentangan. Semua ruang vektor memiliki himpunan rentangan, karena V merentang dirinya sendiri.

BEBAS LINIER

Definisi (bebas linier)

Misalkan V suatu ruang vektor. Himpunan vektor-vektor S dalam V dikatakan bebas linier jika untuk sebarang vektor yang berbeda s₁, ,s_n dalam S,

1 1 n n 0 i 0

a s  a s   a  untuk semua i.

Dengan kata lain S bebas secara linier jika untuk vektor 0, jika seluruh koefisien dari kombinasi liniernya dari S adalah 0.

Definisi lain dari bebas linier adalah S dikatakan bebas linier jika vektor 0 dapat dinyatakan secara unik sebagai kombinasi linier vektor-vektor dari S.

Pernyataan 0  s₁



1s₁



memiliki dua interpretasi 1. 0as₁bs₁

Di mana a = 1 dan b = -1, akan tetapi pernyataan 1 tidak melibatkan dua vektor yang berbeda sehingga tidak dapat dikatakan sebagai bebas linier.

2. 0 s₁ t₁

Di mana t₁   s₁ s₁ (asumsi s₁ 0),

Jika S bebas linier, maka S tidak mengandung s₁ dan s₁.

Definisi (essentially unique)

Misalkan S himpunan vektor dalam ruang vektor V. Vektor tak nol v V dikatakan sebagai kombinasi linier yang unik esensial dari vektor-vektor dalam S jika terdapat satu dan hanya satu cara untuk menyatakan v sebagai kombinasi linier

1 1 n n

va s  a s

di mana si merupakan vektor yang berbeda dalam S, dan koefisien ai 0.

Secara eksplisit, v0 merupakan kombinasi linier yang unik esensial dari vektor-vektor dalam S jika v S dan jika ketika

1 1 n n

va s  a s dan vb t_{1 1} b t_{m m}

di mana s_i vektor-vektor yang berbeda dalam S, begitu pun t_i vektor-vektor yang berbeda dalam S, dan semua koefisien a_i dan b_i tak nol, maka m = n dan setelah

dilakukan pengindeksan ulang b t_{i i}, kita dapatkan a_i b_i dan s_i t_i untuk semua 1, 2,...,

i n

Teorema 1.6

Misalkan S{0} merupakan himpunan vektor tak nol dalam V. Maka pernyataan berikut ekivalen:

1. S bebas secara linier

2. setiap vektor tak nol vspan( )S dinyatakan secara unik esensial kombinasi linier dari vektor-vektor di S.

3. tidak ada vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier dari vektor-vekor lainnya dalam S.

Bukti: (12)

Misalkan S bebas linier dan

1 1 1 1

0 v a s  a s_{n n}b t  b t_{m m}

di mana s_i vektor-vektor yang berbeda dalam S, begitu pun t_i vektor-vektor yang berbeda dalam S, dan koefisien a_i dan b_i tak nol. Dengan mengurangi dan

mengelompokkan s dan t yang sama,

1 1 1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) k k k k k n n k k m m i i i i i i i i i i i i i i a b s a b s a s_{ } a s b t_{ } b t           

Karena S bebas linier mengakibatkan n = m = k,

u u i i a b , dan u u i i s t untuk semua 1, 2,..., i k. (23)

Andaikan ada sS yang dapat ditulis sebagai 1 1 n n

sa s  a s

Di mana s_iS dan berbeda dengan s, ambil vektor tak nol vspan S( ) 1 1 0 v k s  k s_{n n}ks 1 1 1 1 1 1 1 0 ( ) ( ) ( ) n n n n n n n v k s k s k a s a s v k ka s k ka s            

Sehingga v tidak unik esensial. Kontradiksi dengan yang diketahui. (31)

Misalkan S tidak bebas linier dan a s_{1 1} a s_{n n} 0

di mana s_i vektor-vektor yang berbeda dalam S dan a_i tak nol, maka untuk n > 1,

1 2 2 1 1 ( _{n n}) s a s a s a    

Berarti terdapat vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya dalam S. Kontradiksi dengan yang diketahui bahwa tidak terdapat vektor dalam S yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor lainnya dalam S.

Teorema 1.7

Misalkan S himpunan vektor dalam V. Maka pernyataan berikut ekivalen: 1. S bebas secara linier dan merentang V

2. setiap vektor tak nol v V adalah kombinasi linier yang unik esensial dari vektor-vektor di S

3. S himpunan terentang minimal, S merentang V tapi sebarang proper subset dari S tidak merentang V

4. S himpunan bebas linier maksimal, S bebas linier tapi sebarang proper superset dari S tidak bebas linier.

Suatu himpunan vektor di V yang memenuhi sembarang kondisi di atas disebut basis dari V.

Bukti: (12)

telah dibuktikan pada teorema sebelumnya. (13)

S himpunan terentang. Andaikan ada S'S juga merentang V, maka sebarang vektor dalam

S – S’ merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor dalam S’. Sehingga terdapat vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier dari vektor- vektor di S’, S'S. Dengan kata lain terdapat vektor dalam S yang merupakan kombinasi linier dari vektor-vektor lain di S. Maka S tidak bebas linier .Hal tersebut kontradiksi dengan yang diketahui bahwa S bebas linier.

Andaikan S tidak bebas linier, terdapat vektor sS merupakan kombinasi linier dari vektor lainnya dalam S, sehingga S – {s} merupakan subhimpunan rentangan sejati dari S. Kontradiksi dengan yang diketahui.

(14)

Andaikan S bukan maksimal, maka akan ada vektor v V S sehingga S{ }v bebas linier. Akan tetapi karena v bukan dalam rentangan S, maka kontradiksi dengan yang diketahui bahwa S himpunan rentangan.

(41)

Jika S tidak merentang V, maka terdapat v V S bukan kombinasi linier dari vekotr – vektor dalam S. Sehingga S{ }v merupakan superset bebas linier sejati dari S, yang merupakan kontradiksi.

Teorema 1.8

Himpunan hingga S { ,v₁ , }v_n di V merupakan basis untuk V jika dan hanya jika

1 n V  v   v Bukti: Misalkan S_i { |v vrv r_i, F} S_i v_i () 1 { , , }n

S v v di V merupakan basis untuk V, artinya S bebas linier dan merentang V.

Jika S merentang V maka V span( ) {S  r v_{1 1} r v_{n n}|v_iS r, _iF} 1 1 1 { | , } n n n i i i i V r v r v v S r F S       



1)

jika S bebas linier maka r v_{1 1} r v_{n n} 0,  r_i 0.

Ambil vektor tak nol vSk karena S bebas linier maka v tidak dapat dinyatakan

elemen dari 1, n k i i i k S S  





. Sedangkan untuk 0Sk, 00.vk dan 0 dapat dinyatakan

sebagai kombinasi linier dari { ,...,v₁ v_k1,v_k1,..., }v_n ,

1 1 1 1 1 1 0r v  r v_{k k} r v_{k k}  r v_{n n}, rv_{i i}S_i sehingga 1, 0 n i i i k S  





. Oleh karena 0S_k dan 1, 0 n i i i k S   



, 1, {0} n k i i i k S S   



 2)

Dari 1) dan 2), didapat V   S₁ S_n  v₁   v_n

()

Diketahui V  v₁   v_n , akan dibuktikan S { ,v₁ , }v_n basis untuk V Akan ditunjukkan: S merentang V dan bebas linier

Bukti: { | , } i i i i S  v vrv rF  S v 1 n V  v   v , berarti 1.  v V, vr v_{1 1} r v_{n n} di mana S_i sehinggga _{1 1} 1 { | , } n i n n i i i V S r v r v v S r F  



     .

Pernyataan di atas menyatakan V sebagai kumpulan semua kombinasi linier dari 1, , n

v v , dengan kata lain { ,..., }v₁ v_n merentang V. 2. 1, {0} n k i i i k S S   





Misalkan v₁, ,v_n tidak bebas linier maka berdasarkan teorema 1.6, terdapat vektor

k

v yang dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier vektor – vektor

1 1 1

{ ,...,v vk,vk,..., }vn , sehingga sebarang vSk dapat dinyatakan sebagai kombinasi

linier dari { ,...,v₁ v_k1,v_k1,..., }v_n , _{1 1 1 1 1 1} 1, n k k k k n n i i i k v r v r v_{ } r v_{ } r v S         



.

jadi didapat 1, {0} n k i i i k v S S  

 



 . Kontradiksi dengan yang diketahui 1, {0} n k i i i k S S   



 Jika 1, {0} n k i i i k S S  





 maka v₁, ,vn bebas linier.

Karena v₁, ,v_n merentang V dan bebas linier, maka



v₁, ,v_n



merupakan basis untuk V.

Contoh 1.6

Vektor standar ke-i dalan Fn adalah vektor

e

i yang bernilai 0 pada semua posisi

koordinat kecuali koordinat ke-i, dmana pada posisi ke-i bernilai 1. 1 (1, 0,..., 0), 2 (0,1,..., 0), ..., n (0, 0,...1)

e  e  e 

Himpunan



e1,...,en



merupakan basis standar untuk F

n

.

Definisi (himpunan te rurut parsial)

Himpunan terurut parsial (poset) adalah pasangan ( , )P  di mana P himpunan tak kosong dan  suatu relasi biner yang disebut terurut parsial, dengan memenuhi sifat berikut:

1. (refleksif), untuk semua aP

aa 2. (antismetri) untuk semua a b c, , P

ab dan ba  ab 3. (transitif) untuk semua a b c, , P

ab dan bc  ac Definisi

Poset yang mana tiap pasang elemennya dapat diba ndingkan disebut himpunan terurut total atau himpunan terurut linier. Sembarang himpunan bagian terurut total dari poset P disebut chain dalam P.

Zorn’s Lemma

Jika P adalah suatu himpunan terurut parsial (poset) yang mana tiap chain memiliki batas atas, maka P memiliki suatu elemen maksimal.

Teorema 1.9

Misalkan V ruang vector tak nol. Misalkan I himpunan bebas linier dalam V dan misalkan S himpunan merentang dalam V mengandung I. Maka terdapat basis B untuk V di mana I  B S.

1. sembarang ruang vektor, kecuali ruang vektor nol {0}, memiliki basis. 2. sembarang himpunan bebas linier dalam V dimuat dalam basis.

3. sembarang himpunan rentangan dalam V mengandung basis. Bukti:

Pandang A sebagai semua subset bebas linier dari V yang mengandung I dan dimuat oleh S. Himpunan tersebut tidak kosong, karena IA . Misalkan

{ _k | } C I kK

merupakan chain di A, maka gabungan _k

k K

U I



 juga bebas linier dan memenuhi I  U S. Setiap chain di A memiliki batas atas dan menurut Zorn’s lemma, A pasti memiliki elemen maksimal B, yang bebas linier.

Misalkan B basis untuk ruang vektor S V.

Jika untuk sembarang sS bukan kombinasi linier dari vektor-vektor di B, maka { }

B s S bebas linier. Kontradiksi dengan yang diketahui, B elemen maksimal. Sehingga S B dan juga V  S  B .