Hartree-Fock

∇ · ( ¯¯ ψ¯γψ) ¯∇ · ( ¯ψ¯γψ)

− δ_{T S} 2

∇ · ( ¯¯ ψ¯γτ ψ) ¯∇ · ( ¯ψ¯γτ ψ) . (2.11)

Pada penelitian ini, Kami hanya fokus pada Lagrangian non-retardasi saja karena efek dari suku retardasi sangat kecil, yakni kurang dari 1 persen pada energi ikat seperti yang telah dibahas pada Ref. [28-30]. Sehingga Lagrangian yang digunakan pada penelitian ini adalah

L ≈ L_kinetik+ Lnon−retardasi

= ψ(iγ¯ ^µ∂_µ− m)ψ −α_S

2 ( ¯ψψ)²− α_V

2 ( ¯ψγ^µψ)²− α_{T V}

2 ( ¯ψγ^µτ ψ)² + δ_S

2

∇( ¯¯ ψψ) · ¯∇( ¯ψψ) + δ_V 2

∇( ¯¯ ψγ^µψ) · ¯∇( ¯ψγ_µψ) + δ_{T V}

2

∇( ¯¯ ψγ^µτ ψ) · ¯∇( ¯ψγ_µτ ψ). (2.12)

Pada penelitian ini Kami menggunakan parameter set PC-F1, dimana nilai kopling konstan α_{T S}, dan δ_{T S} nol [10].

2.2 Hartree-Fock

Untuk mengkuantisasi suatu sistem, kita merubah variabel sistem menjadi operator, L → ˆL , yakni

L =ˆ ψ(iγˆ¯ ^µ∂µ− m) ˆψ − αS

2 ( ˆψ ˆ¯ψ)²− αV

2 ( ˆψγ¯ ^µψ)ˆ ²− αT V

2 ( ˆψγ¯ ^µτ ˆψ)² + δ_S

2

∇( ˆ¯ ψ ˆ¯ψ) · ¯∇( ˆψ ˆ¯ψ) + δ_V 2

∇( ˆ¯ ψγ¯ ^µψ) · ¯ˆ ∇( ˆψγ¯ µψ)ˆ + δ_{T V}

2

∇( ˆ¯ ψγ¯ ^µτ ˆψ) · ¯∇( ˆψγ¯ _µτ ˆψ). (2.13)

Relasi Dirac braket antara operator memenuhi Relasi anti-komutasi terpenuhi, jika dan hanya jika, bentuk eksplisit operator pada persamaan tersebut adalah

dimana ˆc dan ˆc^† merupakan operator anihilasi dan kreasi.

Keadaan dasar dari A Fermion dinyatakan dengan determinan Slater

|Φ0i =

A

Y

α=1

c^†_α|0i . (2.17)

Dengan menggunakan determinan Slater dan dengan mensubstitusikan persa-maan (2.13), dan relasi berikut,

Φ₀ kita akan memperoleh harga ekspektasi (rata - rata) dari kerapatan Lagrangian yakni

D

Φ0| ˆLHartree−F ock|Φ0

E

= ¯Lkinetik+ ¯Ldirect+ ¯Lexchange, (2.19) dengan suku kinetik, direct, dan exchange sebagai berikut

L¯_kinetik =

Penulis mengaplikasikan identitas Fierz pada Lagrangian exchange, untuk me-nyusun (re-order) fungsi gelombang supaya berurutan. Kami mengasumsikan sistem harus invarian terhadap paritas dan inversi waktu, yang sesuai dengan tabel berikut

S(x) V^µ(x) T^µν(x) A^µ(x) P (x) Paritas S(˜x) V_µ(˜x) T_µν(˜x) −A_µ(˜x) −P (˜x) Inversi Waktu S(−˜x) V_µ(−˜x) −T_µν(−˜x) A_µ(−˜x) −P (−˜x)

Tabel 2.1: Invariansi Lagrangian terhadap paritas dan inversi waktu.

dimana S, V^µ, T^µν, A^µ dan P adalah:

S(x) = ψ(x)ψ(x),¯ V^µ = ψ(x)γ¯ ^µψ(x), T^µν = ψ(x)σ¯ ^µνψ(x),

A^µ = i ¯ψ(x)γ₅ψ(x). (2.21) Karena sistem harus invarian terhadap paritas dan inversi waktu, maka su-ku yang tidak invarian (sesuai tabel diatas) harus nol. Susu-ku yang mengan-dung komponen ruang, misal γ_i, tidak invarian terhadap paritas, dan suku yang mengandung komponen, misal γ₅, tidak invarian terhadap inversi waktu.

Setelah mengaplikasikan identitas Fierz², akan didapat gabungan suku non-derivatif Lagrangian direct dengan Lagrangian exchange dari hasil identitas Fierz, yakni

LHartree−F ock∝ −α˜_S

2 ρ²_S− α˜_V

2 ρ²_V − α˜_{T S}

2 ρ²_{T S}− α˜_{T V}

2 ρ²_{T V}, (2.22) dengan definisi densitas

ρ_S(x) =

A

X

α=1

ψ¯_α(x)ψ_α(x),

ρV(x) =

A

X

α=1

ψ¯α(x)γ^µψα(x),

ρ_{T S}(x) =

A

X

α=1

ψ¯_α(x)τ ψ_α(x),

ρ_{T V}(x) =

A

X

α=1

ψ¯_α(x)γ^µτ ψ_α(x), (2.23)

dan redefinisi dari kopling konstan adalah:

˜

α_S ≡ 7

8α_S−1

2α_V − 3 2α_{T V},

˜

α_V ≡ −1

8α_S+5

4α_V − 3 4α_{T V},

˜

Untuk suku derivatif Lexchange, suku yang invarian setelah dikelompokkan men-jadi³

dengan definisi kopling konstannya adalah sebagai berikut

δ_θ =  δ_S

Dengan demikian, Lagrangian yang diperoleh setelah mengaplikasikan identi-tas Fierz menjadi

LHartree−F ock = L_kinetik + L_direct+ L_exchange,

L_exchange = L_symmetry + Lnon−symmetry . (2.26) Suku non-symmtery merupakan suku yang tidak invarian terhadap paritas dan inversi waktu, dan kontribusinya diabaikan. Suku symmetry adalah suku yang invarian terhadap paritas dan inversi waktu (sesuai dengan tabel 2.1).

Suku symmetry yang mengandung γ₅ diabaikan karena kontribusinya sangat kecil dibandingkan dengan suku yang lain. Transformasi yang dilakukan pada Lagrangian didekati hingga orde (v/c) saja, sedangkan untuk orde yang lebih tinggi (orde ketiga, (v/c)² dan seterusnya) diabaikan karena kontribusinya ke-cil. Suku yang mengandung γ₅ berada pada orde ketiga terhadap kecepatan, sehingga kontribusinya bisa diabaikan. Dengan demikian Lagrangian sistem yang diperoleh yakni disini digunakan tetapan isospin τ₃, untuk proton (p) bernilai +1 dan netron (n) bernilai -1.

Materi nuklir adalah keadaan hipotetik dimama jumlah nukleon, A, sangat banyak dan menempati ruang yang luas. Dengan jumlah nukleon, A → ∞, dan

kita dapat menggunakan limit termodinamika sebagai:

dimana ν merupakan faktor degenerasi, ν = (2s + 1)(2I + 1), dengan s adalah spin dan I adalah isospin. Untuk kasus umum, dimana jumlah proton, z, tidak sama dengan jumlah netron, n, degenerasi hanya spin saja, ν = 2. Seperti kita ketahui, fungsi gelombang pada Lagrangian mempunyai bentuk eksplisit

ψ_k(x) = U_ke^ikx , (2.30) dengan U_k adalah isospinor dengan bentuk matriks

U_k = Dengan mensubstitusikan persamaan (2.29) dan (2.30), kita dapat menuliskan Lagrangian sistem sebagai berikut

¯ konstan terhadap turunan posisi, x. Sistem harus invarian terhadap paritas dan inversi waktu, sehingga komponen ruang pada Lagrangian tersebut (γ_i) harus nol, dan suku yang bertahan hanya γ₀ saja.

Untuk memperoleh persamaan gerak sistem, kita aplikasikan persamaan Euler-Lagrange pada Lagrangian tersebut

∂L

∂ ¯U_k^p − ∂_µ ∂L

∂(∂^µU¯_k^p) = 0,

(2.34) misal untuk proton terlebih dahulu, akan didapat

(k/ − m)U_k^p− ˜α_SU_k^pρ^p_S− ˜α_Vγ₀U_k^pρ^p₀ − ˜α_{T S}U_k^pρ^p_S3− ˜α_{T V}γ₀U_k^pρ^p₃− δ_θ

m^∗_p = m + ˜α_S ρ^p_S+ ˜α_{T S} ρ^p_S3+ δ_θ Dengan demikian, kita juga bisa menuliskan persamaan gerak untuk netron yakni Dengan menggunakan persamaan tersebut, kita dapat memperoleh kerapatan Hamiltonian sistem

Dengan menggunakan relasi E =˜

q

k_F² + m^∗2 , (2.41)

dan normalisasi spinor, U_k^†Uk = 1, maka diperoleh

^p,n_kin = 1

disini digunakan pendekatan pada suku ¯ρ_S yakni nilai massa pada saturasi m^∗ ≈ 0, 6m. Dengan demikian, kita dapatkan persamaan energi ikat sistem

E

P = ρ²₀ ∂

∂ρ₀

  ρ₀

 , K = g ρ²₀ ∂²

∂²ρ0

  ρ0



. (2.45)

dimana pada saturasi ^E_A= -16 MeV, tekanan bernilai nol (P = 0).

Untuk materi nuklir simetrik dimana jumlah proton sama dengan jumlah netron (z = n)

U_k^p = U_kⁿ= U_k → ρ^p₀ = ρⁿ₀, ρ^p_S = ρⁿ_S, ρ_S = ρ^p_S+ ρⁿ_S = 2ρ^p_S,

ρ₀ = ρ^p₀+ ρⁿ₀ = 2ρ^p₀, ρ_S3= ρ^p_S− ρⁿ_S = 0,

ρ3 = ρ^p₀− ρⁿ₀ = 0 . (2.46)

Sehingga persamaan energi ikat sistem menjadi

E

A = 

ρ₀ − m, E

A = _kin ρ₀ − 1

2 α˜_S ρ²_S ρ₀ +1

2 α˜_V ρ₀ +1

2 δ_λ ρ¯₀− m, (2.47) dengan

m^∗ = m + ˜α_S ρ_S+δθ

2 ρ¯_S. (2.48)

Pada bab berikutnya akan kami diskusikan efek suku exchange secara kuanti-tatif.

Diskusi

Pada penelitian ini penulis membandingkan model point-coupling dengan kon-stanta kopling bergantung kerapatan dengan memperhitungkan suku exchange (diperoleh dari pendekatan Hartree-Fock), dengan model point-coupling stan-dar (pendekatan Hartree). Suku exchange tersebut muncul ketika melakukan kuantisasi pada Lagrangian (Hartree) untuk memperoleh harga rata-rata dari Lagrangian pada keadaan dasar (Hartree-Fock), baik dari suku non-derivatif (isoskalar-skalar, isoskalar-vektor dan isovektor-vektor) maupun dari suku de-rivatif. Dalam penelitian ini diasumsikan tidak ada kontribusi anti partikel.

Hal yang dibandingkan antara lain pada kasus materi nuklir simetrik (symme-tric nuclear matter) dan materi nuklir asimetrik (asymme(symme-tric nuclear matter), yang paling ekstrim yakni pada materi netron. Disamping itu, penulis meme-riksa pada keadaan kerapatan tinggi dan rendah, serta memememe-riksa seberapa besar pengaruh suku tambahan yang muncul jika dibandingkan dengan model yang sudah ada. Disini penulis menggunakan konstanta kopling dari parameter set PC-F1 [10].

Kopling konstan Nilai Dimensi α_S -3.83577 ×10⁻⁴ MeV⁻² β_S 7.68567 ×10⁻¹¹ MeV⁻⁵ γ_S -2.90443 ×10⁻¹⁷ MeV⁻⁸ δS -4.1853 ×10⁻¹⁰ MeV⁻⁴ α_V 2.59333 ×10⁻⁴ MeV⁻² γ_V -3.879 ×10⁻¹⁸ MeV⁻⁸ δV -1.1921 ×10⁻¹⁰ MeV⁻⁴ α_{T V} 3.4677 ×10⁻⁵ MeV⁻² δ_{T V} -4.2 ×10⁻¹¹ MeV⁻⁴

Konsekuensi memperhitungkan suku exchange, yang diperoleh melalui tran-sformasi Fierz, ialah muncul suku tambahan dengan kopling konstan baru pada Lagrangian Hartree-Fock. Konstanta kopling yang muncul setelah dilakukan transformasi Fierz pada suku exchange yakni ˜α_{T S}, δ_θ, δ_γ, δ_λ dan δ_ϕ, dengan masing-masing definisi

˜

α_{T S} = −1

8α_S−1

2α_V + 1 2α_{T V}, δ_θ = δ_S

4 + δ_V + 3δ_{T V}, δ_γ = δ_S

4 + δ_V − δ_{T V}, δ_λ = δ_S

4 −δ_V

2 − 3δ_{T V} 2 , δ_ϕ = δ_S

4 −δ_V

2 +δ_{T V}

2 . (3.1)

Jika kita perhatikan, kopling konstan yang baru (hasil dari pendekatan Hartree-Fock) merupakan kombinasi dari kopling konstan yang ada. Apabila kita meli-hat tabel set PC-F1, jelas untuk kopling konstan isovektor-skalar (berhubung-an deng(berhubung-an meson δ) adalah nol. Selain itu, kontribusi suku tambah(berhubung-an pada massa efektif nukleon juga diperhitungkan, seberapa besar kontribusinya pa-da materi nuklir simetrik pa-dan materi netron ditunjukan papa-da gambar-gambar 3.1-3.8.

Gambar 3.1: Energi ikat per nukleon dan massa efektif nukleon pada materi nuklir simetrik. Gambar sebelah kiri: Energi ikat per nukleon pada materi nuklir simetrik; Gambar sebelah kanan: massa efektif nukleon pada materi nuklir simetrik.

Gambar (3.1) menunjukkan energi ikat per nukleon dan massa efektif se-bagai fungsi kerapatan. Kurva warna merah (baik pada kurva energi ikat per nukleon dan massa efektif) merupakan hasil yang diperoleh dari model point-coupling dengan pendekatan Hartree dengan parameter set PC-F1 [10]. Pada kasus materi nuklir simetrik, kontribusi suku exchange pada energi ikat per nukleon terlihat mulai sekitar kerapatan 0,15 fm⁻³, dan terlihat cukup jelas pada kerapatan 0,4 fm⁻³ pada Gambar 3.1. Pada kerapatan rendah hingga ke-adaan saturasi, kurva keduanya saling bersinggungan pada daerah yang sama (warna merah dan biru). Dari perhitungan didapat energi ikat pada materi nuklir simetrik pada keadaan saturasi dengan pendekatan Hartree-Fock (de-ngan suku exchange) ialah -16,59 MeV. Nilai tersebut sedikit lebih kecil 0.42 MeV dari model standar dengan pendekatan Hartree, yakni -16,17 MeV. Un-tuk massa efektif nukleon, baik model dengan pendekatan Hartree maupun Hartree-Fock, hasil yang didapat dari keduanya sama. Sehingga jika dilihat pada Gambar (3.1) sebelah kanan, hanya kurva warna biru saja yang terlihat karena kurva keduanya saling berhimpit. Kita dapat menyimpulkan kontribu-si dari suku exchange pada massa efektif nukleon sangat kecil sekali, sehingga bisa diabaikan.

Gambar 3.2: Energi ikat per nukleon dan massa efektif nukleon pada materi netron. Gambar sebelah kiri: Energi ikat per nukleon pada materi netron;

Gambar sebelah kanan: massa efektif nukleon di materi netron.

Gambar 3.2 merupakan kurva energi ikat per nukleon pada materi netron (sebelah kiri) dan massa efektif nukleon (sebelah kanan). Pada kurva energi ikat per nukleon, warna hijau adalah hasil dari model standar, dan warna

bersinggungan. Namun saat kerapatan semakin membesar, kenaikan energi ikat pada pendekatan Hartree-Fock terlihat lebih cepat dari model dengan pendekatan Hartree saja. Pada ρn bernilai sekitar 0,04 fm⁻³, energi ikat per nukleon model Hartree bernilai sekitar 4 MeV sedangkan model Hartree-Fock bernilai sekitar 16 MeV.

Apabila kita meninjau massa efektif dari kedua model, baik model stan-dar maupun model dengan memperhitungkan suku tambahan menunjukkan perbedaan yang jelas. Untuk model point-coupling dengan konstanta kopling bergantung kerapatan standar dengan pendekatan Hartree, massa efektif ne-tron dan proton tidak bisa dibedakan (garis warna merah). Hal tersebut dapat terlihat dari persamaan massa efektif model standar dengan pendekatan Har-tree

m^∗_n,p = m + α_Sρ_S. (3.2) Namun untuk model dengan memperhitungkan suku exchange, terlihat per-bedaan yang jelas antara massa efektif netron (warna biru) dan massa efektif proton (warna hijau). Hal tersebut bisa terlihat dengan jelas dari persamaan massa efektif dengan pendekatan Hartree-Fock berikut

m^∗_n,p= m + ˜α_S ρ_S∓ ˜α_{T S} ρ_S3+δθ

2 ρ¯_S∓δγ

2 ρ¯_S3. (3.3)

Gambar 3.3: Energi ikat per nukleon terhadap rasio kerapatan netron dan kerapatan saturasi.

Pada Gambar 3.3 menunjukkan hubungan energi ikat per nukleon pada materi netron terhadap rasio kerapatan netron dan kerapatan saturasi. Saat

nilai rasio kerapatan mulai membesar, nilai energi ikat per nukleon semakin meningkat. Namun kenaikan energi ikat terhadap rasio kerapatan pada mo-del dengan pendekatan Hartree-Fock (warna hijau) lebih cepat dibandingkan dengan pendekatan Hartree (warna merah). Disini terlihat dengan jelas kon-tribusi dari suku exchange.

Gambar 3.4: Tekanan pada materi nuklir simetrik.

Pada Gambar 3.4 menunjukkan tekanan pada materi nuklir simetrik. Gam-bar sebelah kiri, kurva warna merah, merupakan hasil plot tekanan terhadap rasio kerapatan sesuai dengan yang didapat oleh Ref. [27]. Sedangkan ku-rva berwarna biru merupakan plot yang diperoleh dengan memasukkan suku exchange pada Lagrangian efektif. Kontribusi dari suku tambahan tersebut pada tekanan terlihat jelas pada rasio kerapatan 1. Namun apabila dihitung pada rasio kerapatan yang lebih besar, kurva keduanya terlihat hampir ber-himpit tetapi masih bisa dibedakan. Denggan demikian, efek suku tambahan pada tekanan di materi nuklir simetrik lebih terlihat jelas pada rasio kerapatan rendah (rasio kerapatan 1 pada Gambar 3.4) jika dibandingkan dengan pada rasio kerapatan tinggi, yakni lebih besar dari 1.

Selain menyelidiki pengaruh dari pendekatan Hartree-Fock pada energi ikat per nukleon, massa efektif dan tekanan, penulis juga menghitung kompresibi-litas (perubahan volume terhadap tekanan pada temperatur tetap). Gambar 3.5 merupakan hasil plot dari kompresibilitas terhadap rasio kerapatan pa-da materi nuklir simetrik. Kurva warna merah apa-dalah perhitungan dengan pendekatan Hartree sedangkan kurva warna biru adalah perhitungan dengan pendekatan Hartree-Fock. Pada rasio kerapatan rendah, efek dari suku

excha-Gambar 3.5: Kompresibilitas pada materi nuklir simetrik.

1, walaupun tidak terlalu besar. Dengan memperhitungkan suku exchange, perubahan volume terhadap tekanan di materi nuklir simetrik tidak terlalu besar jika dibandingkan dengan model tanpa suku exchange.

Gambar 3.6: Tekanan dan kompresibilitas pada materi netron terhadap rasio kerapatan. Gambar sebelah kiri: tekanan terhadap rasio kerapatan; gambar sebelah kanan: kompresibilitas terhadap rasio kerapatan.

Pada Gambar 3.6 terlihat kurva tekanan dan kompresibilitas terhadap ra-sio kerapatan. Untuk kurva tekanan, gambar sebelah kiri, pada rara-sio kera-patan rendah, hasil yang diperoleh dari model dengan memperhitungkan suku exchange (warna hijau) dan tanpa suku exchange (warna merah) masih sama, ditunjukkan dengan kurva keduanya masih berhimpit. Pada rasio kerapatan semakin besar, hingga kurva keduanya bertemu kembali pada rasio kerapatan 4, pada tekanan 45 MeV/fm³. Pada kurva kompresibilitas, gambar sebelah

merupakan hasil perhitungan kompresibilitas dengan pendekatan Hartree, se-dangkan kurva warna biru merupakan hasil yang didapat dengan pendekatan Hartree-Fock. Pada rasio kerapatan rendah, kurva keduanya masih berhimpit.

Namun saat rasio kerapatan semakin besar, terlihat perbedaan yang signifikan antara model tanpa suku tambahan diibandingkan dengan model dengan suku tambahan (exchange). Berikut ini merupakan tabel hasil perhitungan kedua pendekatan, Hartree dan Hartree-Fock, di materi nuklir simetrik.

Hartree Hartree-Fock Hasil Eksperimen Satuan

E/A -16,17 -16,59 -16,3 [31] MeV

K 252 248 230 ± 40 [32] MeV

E_Symmetry 37.8 35.6 32,5 ± 0,5 [33] MeV

Tabel 3.2: Model Point-Coupling pada kerapatan saturasi, 0,15 fm⁻³ [34].

Tabel 3.2 menjelaskan hasil perhitungan yang dihasilkan oleh model dengan pendekatan Hartree dan Hartree-Fock dibandingkan dengan data eksperimen.

Untuk energi ikat per nukleon dengan pendekatan Hartree diperoleh -16,17 MeV, dengan pendekatan Hartree-Fock -16,59 MeV. Hasil tersebut masih kon-sisten dengan data percobaan yakni -16,3 MeV. Untuk tekanan, baik dengan pendekatan Hartree dan Hartree-Fock dibandingkan dengan hasil percobaan masih konsisten, yakni nilainya mendekati nol pada kerapatan saturasi. Un-tuk kompresibilitas dengan pendekatan Hartee dan Hartree-Fock masih kon-sisten dengan hasil eksperimen, yakni dengan pendekatan Hartree 252 MeV, Hartree-Fock 248 MeV dan data eksperimen 234 MeV. Perhitungan simetri energi dengan pendekatan Hartree dan Hartree-Fock konsisten dibandingkan dengan hasil percobaan. Hasil yang diperoleh yakni untuk pendekatan Har-tree 37,8 MeV, pendekatan HarHar-tree-Fock 35,6 MeV dan 34 MeV untuk hasil eksperimen.

Pada Gambar 3.7 menunjukkan kurva tekanan terhadap rasio kerapatan dengan memperhitungkan efek dari setiap suku exchange (seperti pada persa-maan (2.45)). Penulis menghitung efek dari setiap suku tambahan yang ada pada persamaan (2.45). Kurva warna merah adalah model dengan pendekat-an Hartree, sedpendekat-angkpendekat-an kurva lainnya adalah model dengpendekat-an memperhitungkpendekat-an suku exchange, dengan memeriksa pengaruh dari setiap suku. Untuk suku per-tama, kurva warna hijau, terlihat perbedaan yang jelas dengan kurva warna merah (model standar). Ketika rasio kerapatan semakin membesar, kenaikan

Gambar 3.7: Tekanan terhadap rasio kerapatan pada materi netron dengan memperhitungkan kontribusi setiap suku tambahan.

kontribusi suku tambahan yang kedua dan ketiga, warna biru dan kuning, terlihat berbeda dari model standar, maupun model dengan suku tambahan pertama. Namun kurva yang dihasilkan dari model dengan suku kedua dan ketiga saling berhimpitan (warna biru dan kuning). Hal tersebut dikarenakan nilai tekanan yang diperoleh dari suku tambahan kedua dan ketiga sama. Ak-an tetapi jika dibAk-andingkAk-an dengAk-an model stAk-andar dAk-an model dengAk-an koreksi suku pertama, terlihat tekanan yang didapat berbeda.

Gambar 3.8: Massa efektif terhadap rasio kerapatan pada materi netron de-ngan memperhitungkan setiap suku exchange pada massa efektif.

Gambar 3.8 merupakan massa efektif terhadap rasio kerapatan untuk se-tiap suku tambahan pada massa efektif pada persamaan (2.45). Kurva warna

kurva yang lain merupakan hasil yang diperoleh dengan memperhitungkan setiap suku tambahan (untuk setiap kopling konstan yang baru). Kurva war-na hitam merupakan massa efektif dengan suku tambahan pertama. Terlihat kontribusi massa efektif dengan memperhitungkan koreksi suku pertama ( ˜α_{T S}) sangat signifikan. Saat rasio kerapatan semakin membesar, massa efektif ma-teri netron menurun. Massa efektif dengan memperhitungan suku pertama terlihat lebih kecil daripada model dengan pendekatan Hartree. Sedangkan untuk kontribusi suku kedua dan ketiga berhimpit dengan perhitungan pen-dekatan Hartree (warna merah). Hal tersebut diakibatkan karena kontribusi suku kedua dan ketiga sangat kecil sekali sehingga kurva keduanya berhimpit dengan kurva model standar.

Kesimpulan

Dalam penelitian ini penulis mempelajari kontribusi suku exchange pada ma-teri nuklir simetrik dan mama-teri netron. Kontribusi dari suku tersebut diperiksa pada beberapa keadaan, antara lain energi ikat per nukleon pada materi nuklir simetrik dan materi netron, massa efektif nukleon, tekanan dan kompresibi-litas. Setelah dilakukan perhitungan, kontribusi suku exchange terlihat pada beberapa keadaan. Namun pada keadaan yang lain, kontribusi suku tersebut terlihat sangat kecil, yakni pada massa efektif nukleon materi nuklir simetrik.

Kontribusi yang terlihat dari suku tersebut antara lain pada energi ikat per nu-kleon di materi nuklir simetrik dan materi netron, massa efektif materi netron, energi ikat per nukleon pada densitas rendah dari materi netron.

Dari gambar terlihat bahwa kontribusi suku exchange terlihat dalam be-berapa kasus, namun juga tidak terlihat pada kasus yang lain. Kita bisa memperlajari kontribusi suku tersebut pada beberapa keadaan, baik di materi nuklir simetrik maupun materi netron. Kita juga bisa melihat kontribusi suku tersebut tidak selamanya kecil, pada keadaan tertentu kontribusinya terlihat cukup besar.

Meskipun demikian, banyak hal yang masih bisa dipelajari lebih lanjut dari penelitian ini. Disini penulis belum memperhitungkan suku retardasi, yang memang diabaikan diawal sehingga tidak di perhitungkan pada Lagrangian sistem, kemudian munculnya suku γ₅ saat melakukan transformasi Fierz pada suku exchange, yang juga diabaikan kontribusinya pada penelitian ini.

Transformasi Lagrangian

Lagrangian yang digunakan pada penelitian ini adalah sebagai berikut L = ψ¯i Masalah yang akan kita hadapi apabila langsung mengkuantisasi Lagrangain tersebut ialah munculnya suku turunan terhadap waktu pada persamaan ke-rapatan Hamiltonian sistem. Oleh karena itu untuk mengatasi hal tersebut dilakukan transformasi pada Lagrangian (A.1), L → L⁰, dengan mensubstitu-sikan persamaan (2.6), dimana transformasi tersebut harus memenuhi relasi seperti pada persamaan (2.7). Untuk mempermudah perhitungan, kami mela-kukan proses transformasi untuk setiap suku dari sepuluh suku yang ada pada persamaan (A.1).

Pertama kami melakukan transformasi pada suku pertama, ¯ψ^{0 i}₂

↔

Jika kita kalikan semua suku yang ada pada dalam kurung persamaan (A.2), aka diperoleh hasil sebagai berikut

ψ¯⁰(i

pada persamaan (A.3), maka transformasi pada persamaan (A.3) menjadi

ψ¯⁰(i

+ δ_V Suku yang mengandung konstanta kopling dengan bentuk δ² diabaikan de-ngan asumsi awal yakni, δ << 1, sehingga bentuk transformasi suku pertama menjadi

− δ_S

Kita susun persamaan (A.6) sedemikian hingga transformasinya menjadi se-bagai berikut

+ δ_{T V} Dengan menggunakan sifat matriks Dirac

¯

γγ₀ = −γ₀γ ,¯

¯

α¯γ = −¯γ ¯α , (A.8)

maka kita peroleh transformasi suku pertama yakni

ψ¯⁰(i

Untuk transformasi suku berikutnya, penulis menggunakan asumsi δ² jauh lebih kecil dari 1. Transformasi suku kedua, m ¯ψ⁰ψ⁰ (dalam perhitungan notasi massa m tidak dituliskan), yakni

ψ¯⁰ψ⁰ ≈

ψ¯⁰ψ⁰ ≈ ψψ + i¯ δ_S Transformasi suku kedua, ( ¯ψ⁰ψ⁰)², bisa didapat dengan cara mengkuadratkan persamaan (A.10), yakni

( ¯ψ⁰ψ)² ≈ ( ¯ψψ)²+ 2iδ_VF¯₃· ( ¯ψ ¯αψ)( ¯ψψ) + 2iδ_{T V}F¯₆· ( ¯ψ ¯α¯τ ψ)( ¯ψψ). (A.11) Untuk transformasi suku ketiga, ( ¯ψ⁰γ^µψ⁰)², kami menguraikan bentuk tersebut sebagai berikut

( ¯ψ⁰γ^µψ⁰)² = ( ¯ψ⁰γ^µψ⁰)( ¯ψ⁰γ_µψ⁰)

= ( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰)( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰) − ( ¯ψ⁰γ_iψ⁰)( ¯ψ⁰γ_iψ⁰), (A.12) supaya lebih mudah dalam perhitungan. Untuk transformasi bentuk, ( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰), yakni

ψ¯⁰γ₀ψ⁰ ≈ ψγ¯ ₀ψ + iδ_S

Jika kita kuadratkan persamaan (A.13), didapat transformasi bentuk, ( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰)², yakni

Dengan mengalikan suku yang ada didalam kurung pada persamaan (A.15), maka didapat transformasi bentuk, ( ¯ψ⁰γiψ⁰), yakni

Sehingga untuk transformasi bentuk, ( ¯ψ⁰γ^µψ⁰)², yakni

( ¯ψ⁰γ_iψ⁰)² ≈ ψγ¯ _iψ − iδ_SF₁ψα¯ _iψ + δ_VF_3jψσ¯ _ijγ₀ψ − iδ_{T S}F₄ψτ α¯ _iψ + δ_{T V}F_6jψσ¯ _ijγ₀τ ψ

× ψγ¯ iψ − iδSF1ψα¯ iψ + δVF3jψσ¯ ijγ0ψ − iδT SF4ψ¯¯τ αiψ + δ_{T V}F_6jψσ¯ _ijγ₀τ ψ

≈ ( ¯ψγ_iψ)( ¯ψγ_iψ) − iδ_SF₁( ¯ψγ_iψ)( ¯ψ ¯αψ) + δ_VF_3j( ¯ψγ_iψ)( ¯ψσ_ijγ₀ψ)

− iδ_{T S}F₄( ¯ψγ_iψ)( ¯ψ¯τ α_iψ) + δ_{T V}F_6j( ¯ψγ_iψ)( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ) + δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀ψ)( ¯ψγ_iψ) − iδ_{T S}F₄( ¯ψ¯τ α_iψ)( ¯ψγ_iψ)

− iδ_SF₁( ¯ψα_iψ)( ¯ψγ_iψ) + δ_{T V}F_6j( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ)( ¯ψγ_iψ)

≈ ( ¯ψγ_iψ)( ¯ψγ_iψ) − 2iδ_SF₁( ¯ψα_iψ)( ¯ψγ_iψ)

+ 2δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀ψ)( ¯ψγ_iψ) − 2iδ_{T S}F₄( ¯ψ¯τ α_iψ)( ¯ψγ_iψ) + 2δT VF6j( ¯ψσijγ0τ ψ)( ¯ψγiψ)

≈ ( ¯ψγ_iψ)²+ 2−iδ_SF₁( ¯ψα_iψ) + δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀ψ)

− iδ_{T S}F₄( ¯ψ¯τ α_iψ) + δ_{T V}F_6j( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ) ( ¯ψγ_iψ). (A.17) Transformasi suku kelima, ( ¯ψ⁰τ ψ¯ ⁰)², yakni

( ¯ψ⁰τ ψ)¯ ² ≈ ( ¯ψ¯τ ψ)²+ 2iδ_VF¯₃· ( ¯ψ¯τ ¯αψ)( ¯ψ¯τ ψ)

+ 2iδ_{T V}F¯₆· ( ¯ψ¯τ ¯α¯τ ψ)( ¯ψ¯τ ψ). (A.18) Untuk mempermudah perhitungan, transformasi suku keemam, ( ¯ψ⁰γ^µτ ψ¯ ⁰)², dapat diuraikan menjadi bentuk berikut

( ¯ψ⁰γ_µτ ψ¯ ⁰)² = ( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰)²− ( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰)². (A.19) Untuk transformasi bentuk, ¯ψ⁰γ0τ ψ⁰, yakni

ψ¯⁰γ₀τ ψ⁰ ≈

Jika suku yang ada didalam kurung pada persamaan (A.20) dikalikan, maka akan didapat hasil transformasi sebagai berikut

ψ¯⁰γ₀τ ψ⁰ ≈ ψγ¯ ₀τ ψ + iδ_S

Dengan menguadratkan persamaan (A.21), kita akan memperoleh transformasi bentuk ( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰)² dari suku keenam yakni

ψ¯⁰γ_iτ ψ⁰ ≈ ψγ¯ _iτ ψ + iδ_S

2 F₁ψγ¯ _iτ γ₀ψ + iδ_V

2 F₂ψγ¯ _iτ ψ + iδ_V 2

F¯₃· ¯ψγ_iτ ¯αψ + iδT S

2 F₄ψγ¯ _iτ τ γ₀ψ + iδT V

2 F₅ψγ¯ _iτ τ ψ + iδT V

2

F¯₆· ¯ψγ_iτ ¯ατ ψ

− iδS

2 F1ψγ¯ 0γiτ ψ − iδV

2 F2ψγ¯ iτ ψ + iδV

2

F¯3· ¯ψ ¯αγiτ ψ

− iδ_{T S}

2 F4ψτ τ γ¯ 0γiψ − iδ_{T V}

2 F5ψτ τ γ¯ iψ + iδ_{T V} 2

F¯6· ¯ψ ¯αγiτ τ ψ

≈ ψγ¯ iτ ψ − iδSF1ψα¯ iτ ψ + δVF3jψσ¯ ijγ0τ ψ − iδT SF4ψτ τ α¯ iψ + δ_{T V}F_6jψσ¯ _ijγ₀τ τ ψ . (A.24) Dengan menguadratkan persamaan (A.24), kita akan memperoleh transformasi bentuk, ( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰)², dari suku keenam sebagai berikut

( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰)² ≈ ψγ¯ _iτ ψ − iδ_SF₁ψα¯ _iτ ψ + δ_VF_3jψσ¯ _ijγ₀τ ψ − iδ_{T S}F₄ψτ τ α¯ _iψ + δ_{T V}F_6jψσ¯ _ijγ₀τ τ ψ

× ψγ¯ _iτ ψ − iδ_SF₁ψα¯ _iτ ψ + δ_VF_3jψσ¯ _ijγ₀τ ψ − iδ_{T S}F₄ψτ τ α¯ _iψ + δ_{T V}F_6jψσ¯ _ijγ₀τ τ ψ

≈ ( ¯ψγiτ ψ)( ¯ψγiτ ψ) − iδSF1( ¯ψγiτ ψ)( ¯ψ ¯ατ ψ)

+ δ_VF_3j( ¯ψγ_iτ ψ)( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ) − iδ_{T S}F₄( ¯ψγ_iτ ψ)( ¯ψτ τ α_iψ) + δ_{T V}F_6j( ¯ψγ_iτ ψ)( ¯ψσ_ijγ₀τ τ ψ) − iδ_SF₁( ¯ψα_iτ ψ)( ¯ψγ_iτ ψ) + δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ)( ¯ψγ_iτ ψ) − iδ_{T S}F₄( ¯ψτ τ α_iψ)( ¯ψγ_iτ ψ) + δ_{T V}F_6j( ¯ψγ_iτ ψ)( ¯ψσ_ijγ₀τ τ ψ)

≈ ( ¯ψγ_iτ ψ)( ¯ψγ_iτ ψ) − 2iδ_SF₁( ¯ψα_iτ ψ)( ¯ψγ_iτ ψ)

+ 2δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ)( ¯ψγ_iτ ψ) − 2iδ_{T S}F₄( ¯ψτ τ α_iψ)( ¯ψγ_iτ ψ) + 2δ_{T V}F_6j( ¯ψγ_iτ ψ)( ¯ψσ_ijγ₀τ τ ψ)

≈ ( ¯ψγiτ ψ)²+ 2−iδSF1( ¯ψαiτ ψ) + δVF3j( ¯ψσijγ0τ ψ)

− iδ_{T S}F₄( ¯ψτ τ α_iψ) + δ_{T V}F_6j( ¯ψγ_iτ ψ)( ¯ψσ_ijγ₀τ τ ψ) ( ¯ψγ_iτ ψ).

(A.25) Untuk mempermudah perhitungan, transformasi suku ketujuh dituliskan da-lam bentuk sebagai berikut

0 0 µ ^{0 0 0 0 0 0 0 0 0 0}

Transformasi suku pertama pada persamaan (A.26) yakni

∂₀( ¯ψ⁰ψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰ψ⁰) = ∂₀ψψ + iδ¯ _VF¯₃· ( ¯ψ ¯αψ) × ∂₀ψψ + iδ¯ _VF¯₃ · ( ¯ψ ¯αψ)

≈ ∂₀( ¯ψψ)∂₀( ¯ψψ) − 2iδ_VF_3i( ¯ψα_iψ)∂₀²( ¯ψψ)

− 2iδT VF6i( ¯ψαiτ ψ)∂₀²( ¯ψψ), (A.27) dan transformasi suku kedua pada persamaan (A.26) yakni

∇( ¯¯ ψ⁰ψ⁰) · ¯∇( ¯ψ⁰ψ⁰) ≈ ∇( ¯¯ ψψ) · ¯∇( ¯ψψ) − 2iδ_VF_3i( ¯ψα_iψ)∇²( ¯ψψ)

− 2iδ_{T V}F_6i( ¯ψα_iτ ψ)∂₀²( ¯ψψ). (A.28) Dengan mensubstitusikan persamaan (A.27) dan (A.28) kedalam persamaan (A.26), kita memperoleh hasil transformasi suku ketujuh. Kita melakukan hal yang sama pada suku kedelapan. Kita dapat menuliskan suku kedelapan yang akan ditransformasi sebagai berikut

∂_µ( ¯ψ⁰γ^νψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰γ_νψ⁰) = ∂_µ( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰) − ∂_µ( ¯ψ⁰γ_iψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰γ_iψ⁰).

(A.29) Kita dapat menuliskan kembali suku pertama dari persamaan (A.29) kedalam bentuk yang lebih sederhana agar lebih mudah dalam perhitungan, yakni

∂_µ( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰) = ∂₀( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰γ₀ψ) − ¯∇( ¯ψγ₀ψ) · ¯∇( ¯ψγ₀ψ). (A.30) Transformasi suku pertama dan kedua pada persamaan (A.30) yakni

∂₀( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰) = ∂₀( ¯ψγ₀ψ)∂₀( ¯ψγ₀ψ), (A.31) dan

∇( ¯¯ ψ⁰γ₀ψ⁰) · ¯∇( ¯ψ⁰γ₀ψ⁰) = ¯∇( ¯ψγ₀ψ) · ¯∇( ¯ψγ₀ψ). (A.32) Kita dapat menuliskan suku kedua dari persamaan (A.29) kedalam bentuk yang lebih sederhana yakni

∂_µ( ¯ψ⁰γ_iψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰γ_iψ⁰) = ∂₀( ¯ψ⁰γ_iψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰γ_iψ⁰) − ¯∇( ¯ψ⁰γ_iψ⁰) · ¯∇( ¯ψ⁰γ_iψ⁰). (A.33) Dengan mensubstitusikan persamaan (2.6) ke suku pertama pada persamaan (A.33) akan diperoleh hasil transformasi yakni

∂₀( ¯ψ⁰γ_iψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰γ_iψ⁰) ≈ ∂₀( ¯ψγ_iψ) − iδ_S(∂₀F₁)( ¯ψα_iψ) − iδ_SF₁∂₀( ¯ψγ₀ψ) + δ_V(∂₀F_3j)( ¯ψσ_ijγ₀ψ) + δ_VF_3j∂₀( ¯ψσ_ijγ₀ψ)

− iδ_{T S}(∂₀F₄)( ¯ψτ α_iψ) − iδ_{T S}F₄∂₀( ¯ψτ α_iψ)

+ δ_{T V}(∂₀F_6j)( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ) + δ_{T V}F_6j∂₀( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ)

× ∂0( ¯ψγ_iψ) − iδ_S(∂₀F₁)( ¯ψα_iψ) − iδ_SF₁∂₀( ¯ψγ₀ψ) + δ_V(∂₀F_3j)( ¯ψσ_ijγ₀ψ) + δ_VF_3j∂₀( ¯ψσ_ijγ₀ψ)

− iδ_{T S}(∂₀F₄)( ¯ψτ α_iψ) − iδ_{T S}F₄∂₀( ¯ψτ α_iψ)

+ δT V(∂0F6j)( ¯ψσijγ0τ ψ) + δT VF6j∂0( ¯ψσijγ0τ ψ) . (A.34) Dengan mengalikan suku yang ada didalam kurung pada persamaan (A.34), kita akan memperoleh hasil transformasi suku pertama pada persamaan (A.33) yakni

∂₀( ¯ψ⁰γ_iψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰γ_iψ⁰) ≈ ∂₀( ¯ψγ_iψ)∂₀( ¯ψγ_iψ) − iδ_S∂₀( ¯ψγ_iψ)(∂₀F₁)

× ( ¯ψα_iψ) − iδ_SF₁∂₀( ¯ψγ_iψ)∂₀( ¯ψα_iψ)

+ δ_V∂₀( ¯ψγ_iψ)(∂₀F_3j)( ¯ψσ_ijγ₀ψ) + δ_VF_3j∂₀( ¯ψγ_iψ)

× ∂₀( ¯ψσ_ijγ₀ψ) − iδ_{T S}(∂₀F₄)∂₀( ¯ψγ_iψ)( ¯ψτ α_iψ)

− iδ_{T S}F₄∂₀( ¯ψγ_iψ)∂₀( ¯ψτ α_iψ) + δ_{T V}(∂₀F_6j)

× ( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ) ∂₀( ¯ψγ_iψ) + δ_{T V}F_6j ∂₀( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ)

× ∂₀( ¯ψγ_iψ) − iδ_S(∂₀F₁)∂₀( ¯ψα_iψ)( ¯ψα_iψ)

+ δV(∂0F3j)( ¯ψσijγ0ψ)∂0( ¯ψγiψ) + δVF3j∂0( ¯ψσijγ0ψ)

× ∂₀( ¯ψγ_iψ) − iδ_SF₁∂₀( ¯ψα_iψ)∂₀( ¯ψγ_iψ)

− δ_{T S}(∂₀F₄)( ¯ψτ α_iψ)∂₀( ¯ψγ_iψ) − iδ_{T S}F₄∂₀( ¯ψτ α_iψ)

× ∂₀( ¯ψγ_iψ) + δ_{T V}(∂₀F_6j)( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ) ∂₀( ¯ψγ_iψ)

+ δ_{T V}F_6j ∂₀( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ) ∂₀( ¯ψγ_iψ). (A.35)

Dengan menyusun kembali persamaan (A.35), kita akan memperoleh hasil transformasi sebagai berikut

∂₀( ¯ψ⁰γ_iψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰γ_iψ⁰) ≈ ∂₀( ¯ψγ_iψ)∂₀( ¯ψγ_iψ) + 2iδ_SF₁( ¯ψα_iψ)∂²( ¯ψγ_iψ) + 2δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀ψ)∂₀²( ¯ψγ_iψ) + 2iδ_{T S}F₄( ¯ψτ α_iψ)

× ∂₀²( ¯ψγ_iψ) + 2δ_{T V}F_6j( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ)∂₀²( ¯ψγ_iψ). (A.36) Dengan cara yang sama seperti suku pertama pada persamaan (A.33), ki-ta dapat memperoleh hasil transformasi suku kedua dari persamaan tersebut yakni

∇( ¯¯ ψ⁰γ_iψ⁰) · ¯∇( ¯ψ⁰γ_iψ⁰) ≈ ∇( ¯¯ ψγ_iψ) · ¯∇( ¯ψγ_iψ) + 2iδ_SF₁( ¯ψα_iψ)∇²( ¯ψγ_iψ) + 2δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀ψ)∇²( ¯ψγ_iψ) + 2iδ_{T S}F₄( ¯ψτ α_iψ)

× ∇²( ¯ψγ_iψ) + 2δ_{T V}F_6j( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ) ∇²( ¯ψγ_iψ).

(A.37) Kita dapat menuliskan suku kesembilan yang akan ditransformasi kedalam bentuk berikut

∂µ( ¯ψ⁰τ ψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰τ ψ⁰) = ∂0( ¯ψ⁰τ ψ⁰)∂0( ¯ψ⁰τ ψ⁰) − ¯∇( ¯ψ⁰τ ψ⁰) · ¯∇( ¯ψ⁰τ ψ⁰). (A.38) Untuk suku pertama dan suku kedua pada persamaan (A.38), diperoleh hasil transformasi yakni

∂₀( ¯ψ⁰τ ψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰τ ψ⁰) ≈ ∂₀( ¯ψτ ψ)∂₀( ¯ψτ ψ) − 2iδ_VF_3i( ¯ψα_iτ ψ)∂₀²( ¯ψτ ψ)

− 2iδ_{T V}F_6i( ¯ψτ α_iτ ψ)∂₀²( ¯ψτ ψ), (A.39) dan

∇( ¯¯ ψ⁰τ ψ⁰) · ¯∇( ¯ψ⁰τ ψ⁰) ≈ ∇( ¯¯ ψτ ψ) · ¯∇( ¯ψτ ψ) − 2iδ_VF_3i( ¯ψα_iτ ψ)∇²( ¯ψτ ψ)

− 2iδT VF6i( ¯ψτ αiτ ψ)∇²( ¯ψτ ψ). (A.40)

(A.38), kita sudah memperoleh hasil transformasi untuk kesembilan.

Transformasi suku yang terakhir dari Lagrangian sistem, dapat ditulis ke-dalam bentuk yang lebih sederhana yakni

∂µ( ¯ψ⁰γ^ντ ψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰γντ ψ⁰) = ∂µ( ¯ψ⁰γ0τ ψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰γ0τ ψ⁰) − ∂µ( ¯ψ⁰γiτ ψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰γiτ ψ⁰).

(A.41) Kita dapat menuliskan kembali suku pertama dari persamaan (A.41) kedalam bentuk yang lebih sederhana yakni

∂_µ( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰) = ∂₀( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰) − ¯∇( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰) ¯∇( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰).

(A.42) Untuk suku pertama dan kedua pada persamaan (A.42), diperoleh hasil tran-sformasi yakni

∂₀( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰) = ∂₀( ¯ψγ₀τ ψ)∂₀( ¯ψγ₀τ ψ), (A.43) dan

∇( ¯¯ ψ⁰γ₀τ ψ⁰) · ¯∇( ¯ψ⁰γ₀τ ψ⁰) = ¯∇( ¯ψγ₀τ ψ) · ¯∇( ¯ψγ₀τ ψ). (A.44) Untuk suku kedua pada persamaan (A.41), kita dapat menuliskan kedalam bentuk yang lebih sederhana yakni

∂_µ( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰)∂^µ( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰) = ∂₀( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰) − ¯∇( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰) ¯∇( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰).

(A.45) Untuk suku pertama dan kedua pada persamaan (A.45), diperoleh hasil tran-sformasi yakni

∂₀( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰)∂₀( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰) ≈ ∂₀( ¯ψγ_iτ ψ)∂₀( ¯ψγ_iτ ψ) + 2iδ_SF₁( ¯ψα_iτ ψ)∂₀²( ¯ψγ_iτ ψ) + 2δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ)∂₀²( ¯ψγ_iτ ψ) + 2iδ_{T S}F₄( ¯ψτ α_iτ ψ)

× ∂₀²( ¯ψγ_iτ ψ) + 2δ_{T V}F_6j( ¯ψσ_ijγ₀τ τ ψ)∂₀²( ¯ψγ_iτ ψ), (A.46) dan

∇( ¯¯ ψ⁰γ_iτ ψ⁰) · ¯∇( ¯ψ⁰γ_iτ ψ⁰) ≈ ∇( ¯¯ ψγ_iτ ψ) · ¯∇( ¯ψγ_iτ ψ) + 2iδ_SF₁( ¯ψα_iτ ψ)

× ∇²( ¯ψγ_iτ ψ) + 2δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ)∇²( ¯ψγ_iτ ψ) + 2iδ_{T S}F₄( ¯ψτ τ α_iψ)∇²( ¯ψγ_iτ ψ)

+ 2δ_{T V}F_6j( ¯ψσ_ijγ₀τ τ ψ)∇²( ¯ψγ_iτ ψ). (A.47) Dengan mensubstitusikan persamaan (A.43), (A.44), (A.46) dan (A.47) keda-lam persamaan (A.45), (A.42) dan (A.41), kita memperoleh hasil transformasi untuk suku yang terakhir (kesepuluh) dari Lagrangian sistem. Dengan men-substitusikan semua hasil transformasi yang diperoleh kedalam Lagrangian sistem (A.1), maka didapat

L⁰ ≈ L⁰₁+ L⁰₂+ L⁰₃+ L⁰₄, (A.48) dengan definisi masing-masing L⁰₁, L⁰₂, L⁰₃ dan L⁰₄ yakni

L⁰₁ ≡ ψ(¯ i 2

↔

∂

/ )ψ + δ_S

2 F1[ ¯ψ ¯α · ¯∇ψ − ¯∇ ¯ψ · ¯αψ]

+ δ_S

2F₁∂₀( ¯ψψ) +δ_V

2 F₂[∂₀( ¯ψγ₀ψ) + ¯∇ · ( ¯ψ¯γψ)]

+ δ_V 2

F¯₃ · [∂₀( ¯ψ¯γψ) + i( ¯ψσ_ijγ₀∇ψ − ¯¯ ∇ ¯ψσ_ijγ₀ψ)]

+ δ_{T S}

2 F₄[∂₀( ¯ψ¯τ ψ) + ( ¯ψ¯τ ¯α · ¯∇ψ − ¯∇ ¯ψ · ¯τ ¯αψ)]

+ δ_{T V}

2 F₅[∂₀( ¯ψγ₀τ ψ) + ¯¯ ∇( ¯ψ¯γ ¯τ ψ)]

+ δ_{T V} 2

F¯₆· [∂₀( ¯ψ¯γ ¯τ ψ) + i( ¯ψσ_ijγ₀τ ¯¯∇ψ − ¯∇ ¯ψσ_ijγ₀τ ψ)]¯

− m ¯ψψ − i m δ_VF¯₃· ( ¯ψ ¯αψ) − i m δ_{T V}F¯₆· ( ¯ψ ¯α¯τ ψ)

− α_S

2 ( ¯ψψ)²− α_S

2 2 i δVF¯₃· ( ¯ψ ¯αψ)( ¯ψψ) ,

L⁰₂ ≡ + 2 i δ_{T V}F¯₆· ( ¯ψ ¯α¯τ ψ)( ¯ψψ) − α_V

2 ( ¯ψγ₀ψ)²+ α_{T V}

2 ( ¯ψγ_iψ)² + α_V

2

h−2 i δ_SF₁( ¯ψα_iψ) − 2 i δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀ψ) −α_{T S}

2 ( ¯ψτ ψ)²

− 2 i δ_{T S}F₄( ¯ψτ α_iψ) − 2 i δ_{T V}F_6j( ¯ψσ_ijσ₀τ ψ) ( ¯ψγ_iψ)

− αT S

2 2 i δ_VF¯₃· ( ¯ψ ¯α¯τ ψ)( ¯ψ¯τ ψ) + 2 i δ_{T V}F¯₆· ( ¯ψ ¯α¯τ ¯τ ψ)( ¯ψ¯τ ψ)

− δ_{T V}

2 ( ¯ψγ0τ ψ)²+δ_{T V}

2 ( ¯ψγiτ ψ)²+ δ_{T V}

2 −2 i δSF1( ¯ψτ αiψ)

− 2 δ_VF_3j( ¯ψτ σ_ijγ₀ψ) − 2 i δ_{T S}F₄( ¯ψτ α_iψ) − 2 δ_{T V}F_6j( ¯ψσ_ijγ₀τ τ ψ)

× ( ¯ψτ γ_iψ) − δ_S

2∂₀( ¯ψψ)∂₀( ¯ψψ) −δ_S

2 −2 i δ_VF_3i( ¯ψα_iψ)∂₀²( ¯ψψ) ,

L⁰₃ ≡ − 2 i δ_{T V}F_6i( ¯ψα_iτ ψ)∂₀²( ¯ψψ) + δ_S 2

∇( ¯¯ ψψ) · ¯∇( ¯ψψ) + δ_S

2 −2i δ_VF_3i( ¯ψα_iψ)∇²( ¯ψψ) − 2i δ_{T V}F_6i( ¯ψα_iτ ψ)∇²ψψ)¯ 

− δ_V

2 ∂₀( ¯ψγ₀ψ)∂₀( ¯ψγ₀ψ) +δ_V

2 ∂₀( ¯ψγ_iψ)∂₀( ¯ψγ_iψ) + δ_V

2 2i δ_SF₁( ¯ψα_iψ)∂₀²( ¯ψγ_iψ) ,

+ 2δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀ψ)∂₀²( ¯ψγ_iψ) + 2i δ_{T S}F₄( ¯ψτ α_iψ)∂₀( ¯ψγ_iψ) + 2δ_{T V}F_6j( ¯ψσ_ijγ₀τ ψ)∂₀²( ¯ψγ_iψ) + δ_V

2

∇( ¯¯ ψγ₀ψ) · ¯∇( ¯ψγ₀ψ)

− δV

2

∇( ¯¯ ψγiψ) · ¯∇( ¯ψγiψ) − δV

2 2i δSF1( ¯ψαiψ)∇²( ¯ψγiψ) + 2δ_VF_3j( ¯ψσ_ijγ₀ψ)∇²( ¯ψγ_iψ) + 2iδ_{T S}F₄( ¯ψτ α_iψ)∇²( ¯ψγ_iψ) + 2δT VF6j( ¯ψσijγ0τ ψ)∇²( ¯ψγiψ) − δ_{T S}

2 ∂0( ¯ψτ ψ)∂0( ¯ψτ ψ),

L⁰₄ ≡ +δ_{T S}

Penulis menggunakan asumsi suku yang mengandung kopling konstan δ² dan δ × α diabaikan karena kontribusinya kecil sekali, sehingga bentuk persamaan (A.48) menjadi

L⁰_C ≡ δ_V

2 F_3i∂₀( ¯ψγ_iψ) + i( ¯ψσ_kjγ₀∇_jψ − ∇_jψσ¯ _kjγ₀ψ) − 2im( ¯ψα_iψ) + δT S

2 F₄∂₀( ¯ψτ ψ) + ( ¯ψτ ¯α · ¯∇ψ − ¯∇ ¯ψ · τ ¯αψ) + δT V

2 F5∂0( ¯ψγ0τ ψ) + ∇i( ¯ψγiτ ψ) + δ_{T V}

2 F6i∂0( ¯ψγiτ ψ) + i( ¯ψσkjγ0τ ∇jψ − ∇jψσkjγ0τ ψ) − 2im( ¯ψαiτ ψ) . Seperti yang sudah didiskusikan diawal, tujuan dari transformasi ini adalah untuk mengeliminasi suku turunan terhadap waktu agar tidak muncul pada persamaan kerapatan Hamiltonian sistem. Sehingga kita harus mendefinisikan nilai dari F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, dan F₆ sedemikian hingga suku turunan terhadap waktu bisa tereliminasi. Dengan memilih nilai dari F₁, F₂, F₃, F₄, F₅, dan F₆ sebagai berikut

F₁ = ∂₀( ¯ψψ) − ( ¯ψ ¯α · ¯∇ψ − ¯∇ ¯ψ · ¯αψ) , F2 = ∂0( ¯ψγ0ψ) − ∇i( ¯ψγiψ) ,

F_3i = −∂₀( ¯ψγ_iψ) + i( ¯ψσ_ijγ₀∇_jψ − ∇_jψσ¯ _ijγ₀ψ) − 2im( ¯ψα_iψ) , F₄ = ∂₀( ¯ψτ ψ) + ( ¯∇ ¯ψ · τ ¯αψ − ¯ψτ ¯α · ¯∇ψ) ,

F5 = ∂0( ¯ψγ0τ ψ) − ∇i( ¯ψγiτ ψ) ,

F_6i = −∂₀( ¯ψγ_iτ ψ) + i( ¯ψσ_ijγ₀γ₀τ ∇_jψ − ∇_jψσ¯ _ijγ₀τ ψ) − 2im( ¯ψα_iτ ψ) , (A.50) kita dapat mengeliminasi suku turunan terhadap waktu. Sehingga akan di-dapat persamaan Lagrangian sistem akhir yang akan digunakan untuk proses kuantisasi selanjutnya seperti pada persamaan (2.9).

Identitas Fierz

Dalam fisika teori, identitas Fierz didefinisikan sebagai suatu identitas yang mengijinkan penulisan perkalian billinear dari dua perkalian spinor sebagai kombinasi linear dari perkalian billinear masing-masing spinor. Tujuan meng-gunakan identitas Fierz adalah agar bisa menyusun perkalian spinor pada

Dalam fisika teori, identitas Fierz didefinisikan sebagai suatu identitas yang mengijinkan penulisan perkalian billinear dari dua perkalian spinor sebagai kombinasi linear dari perkalian billinear masing-masing spinor. Tujuan meng-gunakan identitas Fierz adalah agar bisa menyusun perkalian spinor pada