Hasil Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling

BAB IV PERBANDINGAN HASIL SIMULASI NUMERIS

B. Hasil Metode Beda Hingga Grid Selang-Seling

BAB V. PENUTUP

A. Kesimpulan B. Saran DAFTAR PUSTAKA

8 BAB II

TEORI PERSAMAAN DIFERENSIAL

Pada bab ini akan dibahas klasifikasi persamaan diferensial, aturan rantai, integral, penurunan numeris, nilai dan vektor eigen, persamaan diferensial hiperbolik, karakteristik persamaan akustik, bentuk umum hukum kekekalan, domain dependen dan range influence untuk persamaan hiperbolik, kondisi CFL, serta matriks Jacobian. Penjabaran dalan bab ini akan menjadi landasan teori bagi Bab III dan Bab IV.

A. Klasifikasi Persamaan Diferensial

Suatu persamaan menyatakan relasi kesetimbangan antara dua hal. Persamaan diferensial adalah suatu persamaan menyatakan hubungan suatu fungsi terhadap turunan-turunannya. Klasifikasi persamaan diferensial bisa didasarkan pada banyaknya variabel bebas yang terlibat, orde persamaan diferensial, dan berdasarkan sifat linear/nonlinear.

1. Klasifikasi berdasarkan variabel bebas yang terlibat

Fungsi bisa mempunyai satu variabel bebas atau lebih. Jika fungsi hanya mempunyai satu variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut disebut persamaan diferensial biasa. Jika fungsi mempunyai lebih dari satu variabel bebas, maka persamaan diferensial tersebut disebut persamaan diferensial parsial.

Contoh 2.1

Contoh persamaan diferensial biasa (Ross, 1989)

𝑑2𝑦

𝑑𝑥2+ 𝑥𝑦 (^𝑑𝑦 𝑑𝑥⁾

2

= 0.

Persamaan di atas merupakan contoh persamaan diferensial biasa. Terlihat bahwa variabel 𝑥 adalah variabel bebas tunggal dan 𝑦 adalah variabel tidak bebas.

Contoh 2.2

Contoh persamaan diferensial parsial 𝜕𝑣 𝜕𝑠⁺

𝜕𝑣 𝜕𝑡 ^{= 𝑣.}

Persamaan di atas merupakan contoh dari persamaan diferensial parsial. Terlihat bahwa variabel 𝑠 dan 𝑡 adalah variabel bebas dan 𝑣 adalah variabel tidak bebas.

2. Klasifikasi berdasarkan orde persamaan diferensial

Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan fungsi yang terlibat dalam persamaan diferensial. Persamaan diferensial biasa contoh 2.1 mempunyai orde dua, sebab turunan tertinggi dari fungsi yang terlibat adalah turunan kedua. Persamaan diferensial parsial contoh 2.2 mempunyai orde satu.

3. Klasifikasi berdasarkan sifat linear/nonlinear

Persamaan diferensial dapat terbagi menjadi dua, yaitu linear dan nonlinear. Persamaan diferensial biasa linear orde 𝑛 dengan variabel tak bebas 𝑦 dan variabel bebas 𝑥 adalah persamaan diferensial yang dapat dinyatakan dalam bentuk: 𝑎₀(𝑥)^𝑑 𝑛𝑦 𝑑𝑥𝑛 + 𝑎₁(𝑥)^𝑑 𝑛−1𝑦 𝑑𝑥𝑛−1+ ⋯ + 𝑎_𝑛−1(𝑥)^𝑑𝑦 𝑑𝑥^{+ 𝑎𝑛}(𝑥)𝑦 = 𝑏(𝑥),

dimana 𝑎₀ tidak sama dengan nol. Jadi, linear disini adalah linear terhadap variable tak bebas dan turunan-turunannya. Persamaan diferensial di atas linear, sebab tidak ada perkalian antara fungsi 𝑦 dan 𝑦 atau 𝑦 dengan turunannya, dan tidak ada fungsi transendental dari 𝑦 atau turunannya.

Contoh 2.3

Persamaan diferensial biasa berikut keduanya linear 𝑑²𝑦 𝑑𝑥2+ 5^𝑑𝑦 𝑑𝑥^{+ 6𝑦 = 0,} 𝑑4𝑦 𝑑𝑥4+ 𝑥^2𝑑 3𝑦 𝑑𝑥3+ 𝑥^3𝑑𝑦 𝑑𝑥 ^{= 𝑥𝑒} 𝑥.

Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah persamaan diferensial biasa yang tak linear.

Contoh 2.4

𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+ 5^𝑑𝑦 𝑑𝑥^{+ 6𝑦} 2 = 0, 𝑑2𝑦 𝑑𝑥2+ 5 (^𝑑𝑦 𝑑𝑥⁾ 3 + 6𝑦 = 0, 𝑑²𝑦 𝑑𝑥2+ 5𝑦^𝑑𝑦 𝑑𝑥^{+ 6𝑦 = 0.} B. Aturan Rantai

Aturan rantai merupakan cara yang digunakan untuk mendiferensialkan suatu fungsi komposisi.

1. Aturan Rantai Kasus I (Leithold, 1986)

Misalkan 𝑦 fungsi dalam 𝑢, didefinisikan oleh persamaan 𝑦 = 𝑓(𝑢), 𝐷_𝑢𝑦 ada dan 𝑢 fungsi dalam 𝑥 didefinisikan oleh persamaan 𝑢 = 𝑔(𝑥) dengan 𝐷_𝑥𝑢 ada, maka 𝑦 merupakan fungsi dalam 𝑥, 𝐷_𝑥𝑦 ada dan memenuhi:

𝐷_𝑥𝑦 = 𝐷_𝑢𝑦 ∙ 𝐷_𝑥𝑢 atau 𝑑𝑦 𝑑𝑥⁼ 𝑑𝑦 𝑑𝑢^∙ 𝑑𝑢 𝑑𝑥^. Contoh 2.5

Carilah 𝑑𝑦 𝑑𝑢⁄ dari persamaan 𝑦 = 4𝑥⁴ − 6 dan 𝑥 = 𝑢²+ 4

Penyelesaian:

𝑑𝑦

𝑑𝑥 ^{= 16𝑥}

3 dan ^𝑑𝑥 𝑑𝑢^{= 2𝑢}

𝑑𝑦 𝑑𝑢^{= (} 𝑑𝑦 𝑑𝑥^{) . (} 𝑑𝑥 𝑑𝑢⁾ 𝑑𝑦 𝑑𝑢^{= 16𝑥} 3∙ 2𝑢 𝑑𝑦 𝑑𝑢^{= 32𝑥} 3𝑢. Karena 𝑥 = 𝑢2+ 4, diperoleh ^𝑑𝑦 𝑑𝑢 = 32(𝑢² + 4)³𝑢. 2. Aturan Rantai Kasus II

Berikut ini merupakan aturan rantai untuk fungsi dua variabel dengan masing-masing variabel juga merupakan fungsi dua variabel. Misalkan 𝑢 fungsi dalam 𝑥 dan 𝑦, didefinisikan oleh persamaan 𝑢 = 𝑓(𝑥, 𝑦), dan 𝑥 = 𝐹(𝑟, 𝑠), 𝑦 = 𝐺(𝑟, 𝑠) dengan ^𝜕𝑥

𝜕𝑟

,

^𝜕𝑥

𝜕𝑠

,

^𝜕𝑦

𝜕𝑟

,

dan ^𝜕𝑦

𝜕𝑠

semuanya ada. Maka 𝑢 juga merupakan fungsi dalam 𝑟 dan 𝑠, dan memenuhi:

𝜕𝑢 𝜕𝑟 ^{= (} 𝜕𝑢 𝜕𝑥^{) (} 𝜕𝑥 𝜕𝑟^{) + (} 𝜕𝑢 𝜕𝑦^{) (} 𝜕𝑦 𝜕𝑟⁾ 𝜕𝑢 𝜕𝑠 ^{= (} 𝜕𝑢 𝜕𝑥^{) (} 𝜕𝑥 𝜕𝑠^{) + (} 𝜕𝑢 𝜕𝑦^{) (} 𝜕𝑦 𝜕𝑠^). Contoh 2.6

Misalkan 𝑢 = 𝑥³𝑦, dengan 𝑥 = 2𝑠 dan 𝑦 = 𝑠². Tentukan 𝑑𝑢 𝑑𝑠⁄

Penyelesaian: 𝑑𝑢 𝑑𝑠 ^{= (} 𝜕𝑢 𝜕𝑥^{) (} 𝑑𝑥 𝑑𝑠^{) + (} 𝜕𝑢 𝜕𝑦^{) (} 𝑑𝑦 𝑑𝑠⁾ = (3𝑥2𝑦 ∙ 2) + (𝑥3∙ 2𝑠)

= 6𝑥2𝑦 + 2𝑥3𝑠 = 6(2𝑠)²(𝑠2) + 2(2𝑠)3𝑠 𝑑𝑢 𝑑𝑠 ^{= 40𝑠} 4 C. Integral

Ada dua macam integral, yaitu integral tak tentu dan integral tentu. 1. Integral Tentu

Definisi 2.1

Sebuah fungsi 𝐹 disebut antiturunan 𝑓 pada interval 𝐼 jika 𝐷_𝑥𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) pada 𝐼, yakni jika 𝐹^′(𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 dalam 𝐼.

Teorema (Varberg Purcell Rigdon, 2007)

Jika 𝑟 adalah sebarang bilangan rasional kecuali −1, maka

∫ 𝑥^𝑟𝑑𝑥 = ^𝑥

𝑟+1

𝑟 + 1^{+ 𝐶.} Bukti:

Untuk membuktikan 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥), maka akan dicari turunan untuk ruas kanan

𝐷_𝑥[^𝑥 𝑟+1 𝑟 + 1^{+ 𝐶] =} 1 𝑟 + 1(𝑟 + 1)𝑥𝑟 = 𝑥^𝑟. Teorema terbukti.

Contoh 2.7 (Anton, 2012)

Fungsi 𝐹(𝑥) =¹

3𝑥³ adalah antiturunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥² pada interval (−∞, +∞) karena untuk semua 𝑥 di interval

𝐹^′(𝑥) = ^𝑑 𝑑𝑥^[ 1 3^𝑥 3] = 𝑥² = 𝑓(𝑥). Namun, 𝐹(𝑥) =¹

3𝑥³ bukan satu-satunya antiturunan dari 𝑓 pada interval. Jika ditambahkan sebarang konstan 𝐶 ke ¹

3𝑥3, maka fungsi 𝐺(𝑥) =¹

3𝑥3+ 𝐶 juga antiturunan dari 𝑓 pada interval (−∞, +∞), sebab

𝐺^′(𝑥) = ^𝑑 𝑑𝑥^[

1 3^𝑥

3+ 𝐶] = 𝑥²+ 0 = 𝑓(𝑥).

Pada umumnya setiap antiturunan merupakan suatu yang tunggal, antiturunan lainnya dapat diperoleh dengan menambahkan suatu konstanta untuk antiturunan yang diketahui. Dengan demikian,

1 3^𝑥 3, ¹ 3^𝑥 3+ 2, ¹ 3^𝑥 3− 5, ¹ 3^𝑥 3 + √2 merupakan antiturunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥².

2. Integral Tentu

Luas Daerah (Martono, 1999)

Pada Gambar 2.1 (a) daerah 𝐷 di bidang yang dibatasi grafik fungsi kontinu 𝑓, garis 𝑥 = 𝑎, garis 𝑥 = 𝑏, dan sumbu 𝑥, dengan 𝑓(𝑥) ≥ 0 pada [𝑎, 𝑏], ditulis

Dengan menggunakan limit, luas daerah 𝐷 dihitung dengan langkah konstruksi sebagai berikut:

1. Selang tertutup [𝑎, 𝑏] dibagi menjadi 𝑛 bagian yang sama panjang, sehingga diperoleh titik pembagian

𝑎 = 𝑥₀ < 𝑥₁ < 𝑥₂ < ⋯ < 𝑥_𝑖−1< 𝑥_𝑖 < ⋯ < 𝑥_𝑛 = 𝑏.

Himpunan titik-titik pembagian 𝑃 = {𝑥₀, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛} dinamakan partisi untuk [𝑎, 𝑏]. Selang bagian ke-𝑖 dari partisi 𝑃 adalah [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖], 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, dan panjang selangnya adalah ∆𝑥_𝑖 = 𝑥_𝑖− 𝑥_𝑖−1. Panjang partisi 𝑃 didefinisikan sebagai ||𝑃|| = max

1≤𝑖≤𝑛∆𝑥_𝑖.

2. Pilih 𝑐_𝑖 ∈ [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖], 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛 kemudian dibuat persegi panjang dengan ukuran alas = ∆𝑥_𝑖 = 𝑥_𝑖 − 𝑥_𝑖−1, 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛, dan 𝑦 0 𝑥 𝑓 𝐷 𝑎 𝑏

Gambar 2.1 (a) Ilustrasi kurva fungsi 𝑓

𝑦

0 𝑥

𝑓

𝐷

𝑎 𝑏

Gambar 2.1 (b) Ilustrasi partisi kurva fungsi 𝑓 𝑥₁ 𝑐_𝑛 𝑐_𝑖 𝑐₁ 𝑥_𝑖

tinggi = 𝑓(𝑐_𝑖), 𝑐_𝑖 ∈ [𝑥_𝑖−1, 𝑥_𝑖], 𝑖 = 1, 2, … , 𝑛.

Luas persegi panjang ke-𝑖 pada Gambar. 2.1 (b) adalah ∆𝐿_𝑖 = 𝑓(𝑐_𝑖)∆𝑥_𝑖, sehingga luas daerah 𝐷 yang dihampiri oleh 𝑛 buah persegi panjang adalah

Luas 𝐷 ≈ ∑ 𝑓(𝑐_𝑖)∆𝑥_𝑖

𝑛

𝑖=1

.

3. Nilai eksak luas daerah 𝐷 dicapai bila 𝑛 → ∞. Untuk partisi yang setiap selang bagiannya sama panjang, 𝑛 → ∞ sama artinya dengan ||𝑃|| → 0, sehingga

Luas 𝐷 = lim 𝑛→∞∑ 𝑓(𝑐_𝑖)∆𝑥_𝑖 = lim ||𝑃||→0∑ 𝑓(𝑐_𝑖)∆𝑥_𝑖 𝑛 𝑖=1 𝑛 𝑖=1 . Definisi 2.2

Integral tentu dari fungsi 𝑓 pada selang tertutup [𝑎, 𝑏], ditulis dengan lambang ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥_𝑎^𝑏 , didefinisikan sebagai ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = lim

||𝑃||→0∑^𝑛_𝑖=1𝑓(𝑐_𝑖)∆𝑥_𝑖

𝑏

𝑎 .

D. Penurunan Numeris

Salah satu cara untuk menyelesaikan persamaan diferensial adalah dengan menggunakan metode beda hingga. Metode ini menggunakan pendekatan ekspansi Taylor di titik acuannya. Deret Taylor dapat memberikan nilai hampiran bagi suatu fungsi pada suatu titik, berdasarkan nilai fungsi dan derivatifnya, dipandang deret Taylor pada persamaan (2.1), yaitu:

𝑓(𝑥_𝑖+1) ≈ 𝑓(𝑥_𝑖) + 𝑓′(𝑥_𝑖)ℎ +^𝑓 ′′(𝑥_𝑖) 2! ^ℎ 2+^𝑓 ′′′(𝑥_𝑖) 3! ^ℎ 3+ ⋯ +^𝑓 (𝑛)(𝑥_𝑖) 𝑛! ^ℎ 𝑛 + 𝑅_𝑛, (2.1) dengan 𝑅_𝑛 adalah: 𝑅_𝑛 = ^𝑓 (𝑛+1)(𝜉) (𝑛 + 1)! ^ℎ 𝑛+1, ℎ = 𝑥_𝑖+1− 𝑥_𝑖.

Penurunan numeris pada metode beda hingga dapat diambil salah satu dari tiga pendekatan, yaitu

1. Beda maju Dipandang 𝑓′(𝑥_𝑖) =^{𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖)} 𝑥_𝑖+1− 𝑥_𝑖 ^{+ 𝑂(𝑥𝑖+1− 𝑥𝑖) (2.2)} atau 𝑓′(𝑥_𝑖) =^∆𝑓𝑖 ℎ ^{+ 𝑂(ℎ), (2.3)} dengan ∆𝑓_𝑖 = 𝑓(𝑥_𝑖+1) − 𝑓(𝑥_𝑖).

Persamaan (2.2) dan (2.3) menggunakan data ke-𝑖 dan 𝑖 + 1 untuk menghampiri turunan pertama dari 𝑓(𝑥). Persamaan ini disebut aproksimasi diferensiasi maju dari turunan pertama.

𝑓(𝑥)

ℎ

turunan sebenarnya

aproksimasi

𝑥_𝑖 𝑥_𝑖+1

2. Beda mundur Dipandang 𝑓(𝑥_𝑖−1) = 𝑓(𝑥_𝑖) − 𝑓′(𝑥_𝑖)ℎ +^𝑓 ′′(𝑥_𝑖) 2! ^ℎ 2− ⋯ (2.4)

Persamaan (2.4) merupakan deret Taylor yang diperluas mundur untuk menghitung nilai sebelumnya menggunakan nilai sekarang. Deret (2.4) dipotong setelah suku turunan pertama, maka diperoleh:

𝑓^′(𝑥_𝑖) ≈^{𝑓(𝑥𝑖) − 𝑓(𝑥𝑖−1)}

ℎ ^{+ 𝑂(ℎ) =}

∇𝑓_𝑖

ℎ ^{+ 𝑂(ℎ), (2.5)}

dengan ∇𝑓_𝑖 = 𝑓(𝑥_𝑖) − 𝑓(𝑥_𝑖−1).

Persamaan (2.5) merupakan aproksimasi diferensiasi beda mundur dari turunan pertama.

3. Beda Pusat

Akan dikurangkan persamaan (2.29) dari deret maju Taylor (2.26), maka: 𝑓(𝑥_𝑖−1) − 𝑓(𝑥_𝑖+1) = (𝑓(𝑥_𝑖) − 𝑓(𝑥_𝑖)) − (𝑓′(𝑥_𝑖)ℎ + 𝑓′(𝑥_𝑖)ℎ) + ^𝑓 ′′(𝑥_𝑖) 2! ^ℎ 2− 𝑓′′(𝑥_𝑖) 2! ^ℎ 2 −^𝑓 ′′′(𝑥_𝑖) 3! ^ℎ 3− ⋯ 𝑓(𝑥) ℎ turunan sebenarnya aproksimasi 𝑥_𝑖 𝑥_𝑖−1

Setelah beberapa perhitungan dan operasi aljabar, maka diperoleh 𝑓(𝑥_𝑖+1) = 𝑓(𝑥_𝑖−1) + 2𝑓′(𝑥_𝑖)ℎ +^{𝑓′′′(𝑥𝑖)} 3! ^ℎ 3+ ⋯ (2.6) 𝑓^′(𝑥_𝑖) =^{𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1)} 2ℎ ⁻ 𝑓^′′′(𝑥_𝑖) 6 ^ℎ 2 + ⋯ (2.7) atau 𝑓^′(𝑥_𝑖) =^{𝑓(𝑥𝑖+1) − 𝑓(𝑥𝑖−1)} 2ℎ ^{− 𝑂(ℎ} 2). (2.8)

Persamaan (2.8) merupakan aproksimasi diferensiasi tengah (pusat) dari turunan pertama.

Contoh 2.8

Gunakan aproksimasi beda maju, beda mundur dan beda pusat untuk menghampiri turunan pertama dari:

𝑓(𝑥) = −0.1𝑥⁴− 0.15𝑥³− 0.5𝑥²− 0.25𝑥 + 1.2 Pada titik 𝑥 = 0.5 dengan ukuran langkah ℎ = 0.5.

Turunan dari 𝑓(𝑥) dapat dihitung secara langsung, yakni: 𝑓^′(𝑥) = −0.4𝑥3− 0.45𝑥²− 1.0𝑥 − 0.25, sehingga nilai eksak 𝑓^′(0.5) = −0.9125.

Untuk ℎ = 0.5, maka: 𝑓(𝑥) 2ℎ turunan sebenarnya aproksimasi 𝑥_𝑖+1 𝑥_𝑖−1

𝑥_𝑖−1 = 0 𝑓(𝑥_𝑖−1) = 1.2

𝑥_𝑖 = 0.5 𝑓(𝑥_𝑖) = 0.925

𝑥_𝑖+1 = 1 𝑓(𝑥_𝑖+1) = 0.2

Aproksimasi beda maju dari persamaan (2.27), yaitu: 𝑓^′(0.5) =^{0.2 − 0.925}

0.5 ^{= −1.45} dengan error relatif sebesar 𝜀_𝑡= −58.9%.

Aproksimasi beda mundur dari persamaan (2.30), yaitu: 𝑓^′(0.5) ≈^{0.925 − 1.2}

0.5 ^{= −0.55} dengan error relatif sebesar 𝜀_𝑡 = 39.7%.

Aproksimasi beda pusat dari persamaan (2.33), yaitu: 𝑓^′(0.5) ≈^{0.2 − 1.2}

1 ^{= −1}

dengan error relatif sebesar 𝜀_𝑡 = −9.6%.

Terlihat bahwa aproksimasi beda pusat memberikan hampiran bagi turunan pertama dengan error yang paling kecil, artinya aproksimasi beda pusat ini memberikan penyelesaian yang paling mendekati nilai eksaknya. Teori tentang penurunan numeris ini merujuk dari buku Setiawan (2006)

E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Bagian ini menjelaskan pengertian nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks.

Definisi 2.3 (Leon, 2001)

Misalkan 𝐴 adalah suatu matriks 𝑛 × 𝑛. Skalar 𝜆 disebut sebagai suatu nilai eigen atau nilai karakteristik dari 𝐴 jika terdapat suatu vektor taknol 𝐱, sehingga 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱. Vektor 𝐱 disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari 𝜆.

Contoh 2.9 Misalkan 𝐴 = (^{4 −2} 1 1 ^{) dan 𝐱 = (} 2 1⁾ dapat dilihat bahwa

𝐴𝐱 = (^{4 −2} 1 1 ^{) (} 2 1^{) = (} 6 3^{) = 3 (} 2 1^{) = 3𝐱}

dengan demikian 𝜆 = 3 adalah nilai eigen dari 𝐴 dan 𝐱 = (2,1)𝑇 merupakan vektor eigen dari 𝜆. Sebarang kelipatan taknol dari 𝐱 akan menjadi vektor eigen, karena

𝐴(𝛼𝐱) = 𝛼𝐴𝐱 = 𝛼𝜆𝐱 = 𝜆(𝛼𝐱). Jadi, (4,2)^𝑇 juga vektor eigen milik 𝜆 = 3.

(^{4 −2} 1 1 ^{) (} 4 2^{) = (} 12 6^{) = 3 (} 4 2^).

Misalkan 𝐴 adalah matriks 𝑛 × 𝑛 dan 𝜆 adalah suatu skalar, persamaan 𝐴𝐱 = 𝜆𝐱 dapat ditulis dalam bentuk

(𝐴 − 𝜆𝐼)𝐱 = 𝟎. (2.9)

det(𝐴 − 𝜆𝐼) = 0

dapat ditentukan sebuah nilai eigen dan vektor eigen dari matriks 𝐴.

Contoh 2.10

Carilah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks

𝐴 = (^{3 2} 3 −2^). Penyelesaian: Persamaan karakteristiknya adalah

|^{3 − 𝜆 2}

3 −2 − 𝜆^{| = 0 atau λ}

2 − 𝜆 − 12 = 0.

Jadi, nilai-nilai eigen dari 𝐴 adalah 𝜆₁ = 4 dan 𝜆₂ = −3. Untuk mencari vektor eigen yang dimiliki oleh 𝜆₁ = 4, harus ditentukan ruang nol dari 𝐴 − 4𝐼.

𝐴 − 4𝐼 = (^{−1 2} 3 −6^).

Dengan menyelesaikan (𝐴 − 4𝐼)𝐱 = 𝟎, dengan 𝐱 = (x₁, x₂)^𝑇, akan didapatkan

𝐱 = (2x₂, x₂)𝑇.

Jadi semua kelipatan taknol dari (2,1)^𝑇 adalah vektor eigen milik 𝜆₁ dan {(2,1)^𝑇} adalah suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan 𝜆₁. Dengan cara yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen bagi 𝜆₂, harus diselesaikan

(𝐴 + 3𝐼)𝐱 = 𝟎.

Pada kasus ini {(−1,3)^𝑇} adalah basis untuk 𝑁(𝐴 + 3𝐼) dan sembarang kelipatan taknol dari (−1, 3)𝑇 adalah vektor eigen yang bersesuaian 𝜆₂.

F. Persamaan Diferensial Hiperbolik

Sistem hiperbolik pada persamaan diferensial parsial dapat digunakan untuk memodelkan berbagai macam fenomena yang melibatkan gerakan gelombang. Masalah yang diangkat umumnya tergantung pada waktu, sehingga solusinya tergantung pada waktu serta satu atau lebih variabel spasial. Dalam ruang dimensi satu, sistem orde pertama persamaan diferensial parsial homogen di 𝑥 dan 𝑡 memiliki bentuk

𝑞_𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝐴𝑞_𝑥(𝑥, 𝑡) = 0, (2.10) disini 𝑞: ℝ × ℝ → ℝ^𝑚 adalah vektor dengan 𝑚 komponen yang mewakili fungsi yang tidak diketahui (tekanan, kecepatan, dan lainnya) yang akan ditentukan, dan 𝐴 adalah sebuah matriks konstan yang berukuran 𝑚 × 𝑚.

G. Karakteristik Persamaan Akustik Dipandang persamaan akustik

𝑝_𝑡+ 𝜌𝑐2𝑢_𝑥 = 0, (2.11)

𝑢_𝑡+¹

𝜌^{𝑝𝑥 = 0. (2.12)}

Persamaan di atas dapat ditulis ulang dengan memperkenalkan vektor 𝑞 seperti yang terlihat pada persamaan (2.13)

𝑞_𝑡+ 𝐴𝑞_𝑥 = 0, (2.13)

dengan 𝑞 = (^𝑝_𝑢) , 𝐴 = ( ^{0 𝜌𝑐}

2

Nilai eigen dan vektor eigen berkorespondensi dengan matriks 𝐴 dilambangkan 𝑒₁, 𝑒₂ dan 𝑟̅1, 𝑟̅2 masing-masing. Matriks 𝑅 dan 𝐸 adalah matriks eigen didefinisikan pada persamaan (2.14)

𝑅 = (𝑟̅1 𝑟̅2), 𝐸 = (^{𝑒1 0}

0 𝑒₂^{). (2.14)}

Asumsikan matriks 𝐴 mempunyai dua nilai eigen real berbeda dengan persamaan diagonalisasi dari matriks 𝐴 dapat dilihat pada persamaan (2.15)

𝑅⁻¹𝐴𝑅 = 𝐸. (2.15)

Menggunakan sifat diagonalisasi, maka persamaan (2.15) dapat ditulis ulang menjadi:

𝑅−1𝑞_𝑡+ 𝑅−1𝐴𝑅𝑅−1𝑞_𝑥 = 0 atau

𝑅⁻¹𝑞_𝑡+ 𝐸𝑅⁻¹𝑞_𝑥= 0. Substitusi variabel 𝑅−1𝑞 = 𝜔 = (𝜔¹

𝜔^{2) hasil pada persamaan akhir dipisahkan} (2.16)

𝜔_𝑡1 + 𝑒₁𝜔_𝑥1 = 0

(2.16) 𝜔_𝑡²+ 𝑒₂𝜔_𝑥² = 0.

Persamaan (2.11) dan (2.12) dalam bentuk (2.12) dengan 𝑞 = (^𝑝 𝑢^),

𝐴 = ( ^{0 𝜌𝑐}

2

1 𝜌⁄ 0 ^{). Nilai eigen 𝑒1, 𝑒2 dan berkorespondensi vektor eigen 𝑟̅}

1, 𝑟̅² untuk matriks 𝐴 dapat dilihat pada persamaan (2.17)

𝑒₁ = 𝑐 𝑟̅1 = (^𝜌𝑐 1⁾ (2.17) 𝑒₂ = −𝑐 𝑟̅2 = (^−𝜌𝑐 1 ⁾

Solusi persamaan adveksi (2.13), ditulis dalam variabel baru 𝜔 berjalan dengan kecepatan 𝑐 dan −𝑐. Solusi variabel baru 𝜔 = (𝜔¹

𝜔2) terdiri dari dua gelombang yang sesuai dengan masing-masing komponen 𝜔, yaitu 𝜔¹ berjalan dengan kecepatan 𝑐 dan 𝜔² berjalan dengan kecepatan −𝑐.

H. Bentuk Umum Hukum Kekekalan

Dalam ruang dimensi satu, metode volume hingga didasarkan pada membagi domain spasial ke dalam interval (grid sel) dan mengaproksimasi integral 𝑞 untuk masing-masing volume grid sel tersebut. Dalam setiap langkah waktu, nilai-nilai integral tersebut diperbaharui dengan melakukan pendekatan terhadap fluks di titik akhir interval.

Misal sel ke-𝑖 dinotasikan dengan 𝐶_𝑖 = (𝑥_{𝑖−1 2⁄} , 𝑥_{𝑖+1 2⁄} ), yang ditunjukkan pada Gambar 2.3. Nilai 𝑄_𝑖^𝑛 akan mengaproksimasi dengan nilai rata-rata sepanjang interval ke-𝑖 pada waktu 𝑡_𝑛:

𝑄_𝑖^𝑛 ≈ ¹ ∆𝑥^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛})𝑑𝑥 𝑥_{𝑖+1 2}⁄ 𝑥𝑖−1 2⁄ ≡ ¹ ∆𝑥^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛})𝑑𝑥, 𝐶𝑖 (2.18)

dengan ∆𝑥 = 𝑥_{𝑖+1 2⁄} − 𝑥_{𝑖−1 2⁄} adalah panjang sel.

Jika 𝑞(𝑥, 𝑡) adalah sebuah fungsi halus, maka integral (2.18) sesuai dengan nilai dari 𝑞 pada titik tengah dari interval ke 𝑂(∆𝑥²).

Dipandang hukum kekekalan 𝑑 𝑑𝑡 ^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥} 𝑥2 𝑥₁ = 𝐹₁(𝑡) − 𝐹₂(𝑡).

Bentuk integral dari hukum kekekalan di atas memberikan 𝑑

𝑑𝑡^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)}_𝐶

𝑖

𝑑𝑥 = 𝑓 (𝑞(𝑥_{𝑖−1 2⁄} , 𝑡)) − 𝑓 (𝑞(𝑥_{𝑖+1 2⁄} , 𝑡)). (2.19)

Dapat digunakan bentuk ini untuk membangun suatu algoritma. Diberikan 𝑄_𝑖^𝑛, rata-rata sel pada waktu 𝑡_𝑛, akan mengaproksimasi 𝑄_𝑖^𝑛+1, rata-rata sel pada waktu selanjutnya 𝑡_𝑛+1 dengan panjang langkah waktu ∆𝑡 = 𝑡_𝑛+1− 𝑡_𝑛. Integralkan (2.19) pada waktu 𝑡_𝑛 sampai 𝑡_𝑛+1 diperoleh

∫ 𝑞(𝑥, 𝑡_𝑛+1)𝑑𝑥 − ∫ 𝑞(𝑥, 𝑡_𝑛)𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑞( 𝑡_𝑛+1 𝑡𝑛 𝐶_𝑖 𝐶_𝑖 𝑥_{𝑖−1 2⁄ ,}𝑡))𝑑𝑡 − ∫ 𝑓 (𝑞(𝑥_{𝑖+1 2⁄ ,}𝑡)) 𝑑𝑡 𝑡𝑛+1 𝑡𝑛 .

Persamaan di atas dibagi dengan ∆𝑥, maka diperoleh

𝑡_𝑛+1 𝑡_𝑛 𝑄_𝑖^𝑛+1 𝐹_{𝑖−1 2}^𝑛 _⁄ 𝑄_𝑖−1^𝑛 𝑄_𝑖^𝑛 _𝑄𝑖+1𝑛 𝐹_{𝑖+1 2}^𝑛 _⁄

Gambar 2.3. Ilustrasi metode volume hingga untuk memperbaharui rata-rata sel 𝑄_𝑖^𝑛 oleh fluks pada tepi sel, pada ruang 𝑥 − 𝑡.

1 ∆𝑥^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛+1})𝑑𝑥 = ¹ ∆𝑥^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡𝑛})𝑑𝑥 𝐶_𝑖 𝐶_𝑖 − ¹ ∆𝑥^{[∫ 𝑓 (𝑞(𝑥𝑖+1 2⁄ ,𝑡)) 𝑑𝑡} 𝑡_𝑛+1 𝑡𝑛 − ∫ 𝑓 (𝑞(𝑥_{𝑖−1 2⁄ ,}𝑡)) 𝑑𝑡 𝑡_𝑛+1 𝑡𝑛 ]. (2.20)

Hal ini memberitahu bahwa rata-rata dari 𝑞 (2.18) harus diperbaharui dalam satu langkah waktu. Secara umum, tidak bisa ditentukan secara langsung integral waktu pada sisi kanan (2.20), karena 𝑞(𝑥_{𝑖±1 2⁄} , 𝑡) bervariasi terhadap waktu sepanjang setiap tepi sel dan tidak ada solusi eksaknya, tetapi ini menunjukkan bahwa harus dipelajari metode numerik dalam bentuk

𝑄_𝑖^𝑛+1 = 𝑄_𝑖^𝑛− ^Δ𝑡

Δ𝑥^{(𝐹𝑖+1 2⁄}

𝑛 − 𝐹_{𝑖−1 2}^𝑛 _⁄ ), (2.21)

dengan 𝐹_{𝑖−1 2}^𝑛 _⁄ adalah aproksimasi rata-rata fluks sepanjang 𝑥 = 𝑥_{𝑖−1 2⁄} :

𝐹_{𝑖−1 2}^𝑛 _⁄ ≈ ¹

∆𝑥^{∫ 𝑓 (𝑞(𝑥𝑖−1 2⁄ , 𝑡)) 𝑑𝑡.}

𝑡𝑛+1 𝑡𝑛

Jika mengaproksimasi rata-rata fluks berdasarkan pada nilai 𝑄𝑛, maka diperoleh metode yang sepenuhnya diskret.

Misalkan 𝐹_{𝑖−1 2}^𝑛 _⁄ dapat dihasilkan dengan hanya bergantung pada nilai 𝑄_𝑖−1^𝑛 dan 𝑄_𝑖^𝑛, rata-rata sel pada kedua sisi dari interface ini. Maka

𝐹_{𝑖−1 2}^𝑛 _⁄ = Ӻ(𝑄_𝑖−1^𝑛 , 𝑄_𝑖^𝑛), dengan Ӻ adalah suatu fungsi fluks. Metode (2.21) menjadi

𝑄_𝑖^𝑛+1 = 𝑄_𝑖^𝑛− ^∆𝑡

Metode tertentu yang diperoleh tergantung pada pemilihan rumus Ӻ, tetapi secara umum metode ini merupakan metode eksplisit stensil tiga titik, yang berarti bahwa nilai 𝑄_𝑖^𝑛+1 akan bergantung pada tiga nilai 𝑄_𝑖−1^𝑛 , 𝑄_𝑖^𝑛, dan 𝑄_𝑖+1^𝑛 pada level waktu sebelumnya. Metode (2.22) dapat dilihat sebagai aproksimasi beda hingga untuk hukum kekekalan 𝑞_𝑡+ 𝑓(𝑞)_𝑥= 0, yang memberikan

𝑄_𝑖^𝑛+1− 𝑄_𝑖^𝑛

∆𝑡 ⁺

𝐹_{𝑖+1 2}^𝑛 _⁄ − 𝐹_{𝑖−1 2}^𝑛 _⁄

∆𝑥 ^{= 0. (2.23)}

I. Domain Dependen dan Range Influence untuk Persamaan Hiperbolik Domain dependen pada titik (𝑋, 𝑇) didefinisikan sebagai berikut:

𝒟(𝑋, 𝑇) = {𝑋 − 𝜆^𝑝𝑇: 𝑝 = 1,2, … , 𝑚},

dengan (𝑋, 𝑇) adalah titik yang ditetapkan pada ruang-waktu dan 𝜆^𝑝 adalah kecepatan gelombang, ilustrasi domain dependen dapat dilihat pada Gambar 2.4.

Sekarang fokus pada titik tunggal 𝑥₀ pada waktu 𝑡 = 0. Pilihan data pada saat ini hanya akan mempengaruhi sinar karakteristik 𝑥₀+ 𝜆𝑝𝑡 untuk 𝑝 = 1, 2, … , 𝑚.

(𝑋, 𝑇)

(a) 𝑋 − 𝜆3𝑇 𝑋 − 𝜆2𝑇 𝑋 − 𝜆¹𝑇

𝑥₀+ 𝜆¹𝑡 𝑥₀+ 𝜆²𝑡 𝑥₀+ 𝜆3𝑡

𝑥₀ (b)

Gambar 2.4. Sistem hiperbolik khusus tiga persamaan dengan 𝜆¹ < 0 < 𝜆² < 𝜆³, (a) menunjukkan domain dependen dari titik (𝑋, 𝑇), dan (b) menunjukkan range influence titik 𝑥₀.

Himpunan titik-titik ini disebut range influence titik 𝑥₀, yang diilustrasikan pada Gambar 2.4 (b).

J. Kondisi CFL

Kondisi CFL merupakan syarat perlu yang harus dipenuhi oleh metode volume hingga atau metode beda hingga jika diinginkan solusi yang stabil dan konvergen ke solusi persamaan diferensial, yaitu ketika grid diperkecil atau ∆𝑥 diperkecil.

Dengan metode eksplisit (2.22) nilai 𝑄_𝑖^𝑛+1 hanya bergantung pada tiga nilai 𝑄_𝑖−1^𝑛 , 𝑄_𝑖^𝑛, dan 𝑄_𝑖+1^𝑛 pada waktu sebelumnya. Misal pengaplikasian metode tersebut untuk persamaan adveksi 𝑞_𝑡+ 𝑢̅𝑞_𝑥 = 0 dengan 𝑢̅ > 0 sehingga penyelesaian eksaknya hanya didefinisikan pada kecepatan 𝑢̅ dan bergerak sejauh 𝑢̅∆𝑡 dalam satu langkah waktu. Gambar 2.5 (a) menunjukkan situasi dimana 𝑢̅∆𝑡 < ∆𝑥, sehingga informasi yang menyebar kurang dari satu grid sel dalam langkah waktu. Dalam hal ini, akan mendefinisikan fluks pada 𝑥_{𝑖−1 2⁄} di 𝑄_𝑖−1^𝑛 dan 𝑄_𝑖^𝑛 saja. Pada Gambar 2.5 (b), sebuah langkah waktu yang besar dengan 𝑢̅∆𝑡 > ∆𝑥. Pada kasus ini, fluks pada 𝑥_{𝑖−1 2⁄} jelas bergantung pada nilai 𝑄_𝑖−2^𝑛 , dan menjadi rata-rata sel baru 𝑄_𝑖^𝑛+1. Metode (2.22) akan tidak stabil ketika diaplikasikan untuk langkah waktu yang besar, tidak peduli bagaimana fluks (2.21) harus ditentukan, jika fluks numeris ini hanya bergantung pada 𝑄_𝑖−1^𝑛 dan 𝑄_𝑖^𝑛.

Hal ini merupakan akibat dari kondisi CFL, yang dinamai atas Courant, Friedrichs, dan Lewy. Mereka menulis paper pertama mengenai metode beda hingga untuk persamaan diferensial parsial. Mereka menggunakan metode beda hingga sebagai alat analitik untuk membuktikan keberadaan dari solusi eksak persamaan diferensial parsial. Idenya adalah untuk mendefinisikan barisan dari aproksimasi penyelesaian (menggunakan metode beda hingga), membuktikan bahwa mereka konvergen ketika grid diperkecil, dan menunjukkan bahwa limit fungsinya memenuhi persamaan diferensial parsial, memberikan keberadaan dari suatu solusi. Dalam proses membuktikan konvergensi barisan ini, mereka mengakui kondisi stabilitas yang diperlukan untuk setiap metode numeris:

Kondisi CFL: Suatu metode numeris akan konvergen hanya jika domain dependen numerisnya memuat domain dependen sebenarnya dari persamaan diferensial parsial, setidaknya limit ∆𝑡 dan ∆𝑥 menuju ke nol.

𝑡_𝑛+1 𝑡_𝑛 𝑄_𝑖−1^𝑛 𝑄_𝑖^𝑛 𝑥_{𝑖−1 2}⁄ (a) 𝑡_𝑛+1 𝑡_𝑛 𝑄_𝑖−2^𝑛 𝑄_𝑖^𝑛 𝑥_{𝑖−1 2⁄} (b) 𝑄_𝑖−1^𝑛

Gambar 2.5. Karakteristik untuk persamaan adveksi, menunjukkan informasi yang mengalir ke dalam sel 𝐶_𝑖 selama langkah waktu tunggal. (a) Untuk langkah waktu yang cukup kecil, fluks pada 𝑥_{𝑖−1 2⁄} hanya bergantung pada nilai-nilai sel didekatnya, yaitu hanya bergantung pada 𝑄_𝑖−1^𝑛 pada kasus ini 𝑢̅ > 0. (b) Untuk langkah waktu yang cukup besar, fluks akan bergantung pada nilai-nilai yang lebih jauh.

Domain dependen 𝒟(𝑋, 𝑇) untuk persamaan diferensial parsial telah didefinisikan pada subbab sebelumnya. Domain dependen numeris dari metode dapat didefinisikan dengan cara yang sama sebagai himpunan titik-titik dimana data awal mungkin dapat mempengaruhi solusi numeris pada titik (𝑋, 𝑇). Ilustrasi ini mudah untuk menggambarkan metode beda hingga dimana nilai titik demi titik dari 𝑄 digunakan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.6 untuk metode tiga titik. Pada Gambar 2.6 (a) terlihat bahwa 𝑄_𝑖² bergantung pada 𝑄_𝑖−1¹ , 𝑄_𝑖¹, 𝑄_𝑖+1¹ dan juga pada 𝑄_𝑖−2⁰ , . . . , 𝑄_𝑖+2⁰ . Hanya data awal pada interval 𝑋 − 2∆𝑥^𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 + 2∆𝑥^𝑎 dapat mempengaruhi solusi numeris di (𝑋, 𝑇) = (𝑥_𝑖, 𝑡₂). Jika grid diperkecil dengan faktor kedua dalam ruang dan waktu (∆𝑥𝑏 = ∆𝑥𝑎⁄ ), 2 tapi selanjutnya akan fokus pada titik (𝑋, 𝑇), maka lihat Gambar 2.6 (b) bahwa aproksimasi numeris pada titik tersebut bergantung pada data awal di lebih banyak titik pada interval 𝑋 − 4∆𝑥^𝑏 ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 + 4∆𝑥^𝑏. Tapi ini interval yang sama dengan sebelumnya. Jika terus menyempurnakan grid dengan rasio ∆𝑡 ∆𝑥⁄ ≡ 𝑟 yang tetap, maka domain dependen numeris dari titik (𝑋, 𝑇) adalah 𝑋 − 𝑇 𝑟⁄ ≤ 𝑥 ≤ 𝑋 + 𝑇 𝑟⁄ . Agar kondisi CFL dipenuhi, domain dependen dari penyelesaian harus berada dalam interval ini. Untuk persamaan adveksi 𝑞_𝑡+ 𝑢̅𝑞_𝑥 = 0, misalnya 𝒟(𝑋, 𝑇) adalah titik tunggal 𝑋 − 𝑢̅𝑇, karena 𝑞(𝑋, 𝑇) = 𝑞̆(𝑋 − 𝑢̅𝑇). Kondisi CFL kemudian mengharuskan

𝑋 − 𝑇 𝑟⁄ ≤ 𝑋 − 𝑢̅𝑇 ≤ 𝑋 + 𝑇 𝑟⁄ dan karena

𝑣 ≡ |^{𝑢̅∆𝑡} ∆𝑥^{| ≤ 1.}

Rasio 𝑣 di atas disebut bilangan CFL, atau biasanya disebut bilangan Courant. Diingat bahwa 𝑣 ≤ 1 merupakan syarat perlu kestabilan; artinya meskipun syarat ini dipenuhi, syarat ini tidak menjamin suatu kestabilan. Akan tetapi metode numeris yang stabil, pasti memenuhi syarat ini.

K. Matriks Jacobian

Matriks Jacobian 𝐽 dari sistem persamaan (Muqtadiroh, Fatmawati, dan Windarto, 2013) { 𝑦1 = 𝑓₁(𝑥_1,𝑥₂, … , 𝑥_𝑛), 𝑦₂ = 𝑓₂(𝑥_1,𝑥₂, … , 𝑥_𝑛), ⋮ 𝑦_𝑛 = 𝑓_𝑛(𝑥_1,𝑥₂, … , 𝑥_𝑛), 𝑇 = 𝑡₄ 𝑡₀ 𝑋 (b)

Gambar 2.6. (a) Domain dependen numeris dari titik grid ketika menggunakan metode beda hingga eksplisit, dengan jarak ∆𝑥^𝑎. (b) Pada grid yang lebih halus jaraknya ∆𝑥𝑏 = ¹ 2∆𝑥𝑎. 𝑇 = 𝑡₂ 𝑡₀ 𝑋 (a)

adalah 𝐽 = ( 𝜕𝑦₁ 𝜕𝑥₁ ^… 𝜕𝑦₁ 𝜕𝑥_𝑛 ⋮ ⋱ ⋮ 𝜕𝑦_𝑛 𝜕𝑥₁ ^… 𝜕𝑦_𝑛 𝜕𝑥_𝑛) .

Adapun determinan dari matriks 𝐽 (Yoman, 2014), yaitu

|𝐽| = |^{𝜕(𝑦1, … , 𝑦𝑛} 𝜕(𝑥₁, … , 𝑥_𝑛^|. Contoh 2.11

Dipandang sistem persamaan

𝑦₁ = 𝑥₁+ 𝑥₂ 𝑦₂ = 𝑥₁²− 𝑥₂. Sistem tersebut mempunyai matriks Jacobian

𝐽 = ( ^{1 1} 2𝑥₁ −1⁾ dengan determinan dari matriks 𝐽 adalah

BAB III

PERSAMAAN AKUSTIK DAN METODE NUMERISNYA

Pada bab ini akan dibahas hukum kekekalan, hukum kekekalan dan persamaan diferensial, persamaan adveksi, persamaan nonlinear dalam dinamika fluida, akustik linear, gelombang suara, persamaan gelombang orde kedua, pecahnya membran dalam pipa, metode beda hingga, metode volume hingga Lax-Friedrichs, serta residual lokal lemah.

A. Hukum Kekekalan

Sebuah sistem linear berbentuk

𝑞_𝑡+ 𝐴𝑞_𝑥= 0, (3.1)

dikatakan hiperbolik jika 𝑚 × 𝑚 matriks 𝐴 dapat didiagonalisasi dengan nilai eigen real. Contoh paling sederhana dari hukum kekekalan satu dimensi adalah persamaan diferensial parsial

𝑞_𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))_𝑥 = 0

dengan 𝑓(𝑞) adalah fungsi fluks. Dapat ditulis ulang dalam bentuk kuasilinear

𝑞_𝑡+ 𝑓^′(𝑞)𝑞_𝑥 = 0. (3.2)

Bahkan masalah linear

𝑞_𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝐴𝑞_𝑥(𝑥, 𝑡) = 0 (3.3)

adalah hukum kekekalan dengan fungsi fluks linear 𝑓(𝑞) = 𝐴𝑞. Banyak masalah fisika menimbulkan hukum kekekalan nonlinear dengan 𝑓(𝑞) adalah fungsi nonlinear dari 𝑞, sebuah vektor dari kuantitas kekal.

Hukum kekekalan biasanya muncul paling alami dari hukum-hukum fisika dalam bentuk integral, yang menyatakan bahwa untuk setiap dua titik 𝑥₁ dan 𝑥₂,

𝑑

𝑑𝑡^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑞(𝑥1, 𝑡)) − 𝑓(𝑞(𝑥2, 𝑡)).}

𝑥₂ 𝑥1

(3.4) Setiap komponen dari 𝑞 mengukur massa jenis beberapa kuantitas kekal, dan persamaan (3.4) hanya menyatakan bahwa massa total kuantitas ini diantara dua titik dapat berubah hanya karena fluks melewati titik akhir.

Sebuah alat mendasar dalam pengembangan metode volume hingga adalah masalah Riemann, yang merupakan persamaan hiperbolik bersama-sama dengan data awal khusus. Data yang sesepenggal konstan dengan lompatan diskontinuitas di beberapa titik, misalkan 𝑥 = 0

𝑞(𝑥, 0) = {^{𝑞𝑙 jika 𝑥 < 0,}

𝑞_𝑟 jika 𝑥 > 0. ^(3.5) Jika 𝑄_𝑖−1 dan 𝑄_𝑖 merupakan rata-rata sel di dua sel grid berdekatan pada grid volume hingga, maka dengan memecahkan masalah Riemann dengan 𝑞_𝑙= 𝑄_𝑖−1 dan 𝑞_𝑟 = 𝑄_𝑖, akan diperoleh informasi yang dapat digunakan untuk menghitung fluks numeris dan memperbarui rata-rata sel selama langkah waktu. Untuk sistem hiperbolik linear, masalah Riemann mudah diselesaikan dengan nilai eigen dan vektor eigen matriks 𝐴.

B. Hukum Kekekalan dan Persamaan Diferensial

Untuk melihat bagaimana hukum kekekalan timbul dari prinsip-prinsip fisika, akan dimulai dengan mempertimbangkan masalah dinamika fluida, dimana gas atau cairan mengalir melalui pipa satu dimensi dengan kecepatan yang dikenal 𝑢(𝑥, 𝑡), yang diasumsikan bervariasi hanya atas jarak 𝑥 sepanjang pipa dan waktu 𝑡. Biasanya masalah dinamika fluida harus menentukan gerak cairan, yaitu fungsi kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡) sebagai bagian dari solusi, tapi akan diasumsikan ini sudah diketahui dan hanya model konsentrasi atau kepadatan beberapa zat kimia dalam cairan ini. Misalkan 𝑞(𝑥, 𝑡) merupakan konsentrasi pelacak, fungsi ini yang akan ditentukan.

Secara umum, konsentrasi harus diukur dalam satuan massa per satuan volume, misalnya gram per meter kubik, tetapi dalam mempelajari pipa satu dimensi dengan variasi hanya di 𝑥, dianggap 𝑞 yang diukur dalam satuan berat per satuan panjang, misalnya gram per meter. Kepadatan ini dapat diperoleh dengan mengalikan kepadatan tiga dimensi dengan luas penampang pipa (satuan meter persegi). Kemudian

∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥

𝑥₂ 𝑥1

(3.6) merupakan massa total pelacak di bagian pipa antara 𝑥₁ dan 𝑥₂ pada waktu 𝑡, dan memiliki satuan massa.

Perhatikan bagian pipa 𝑥₁ < 𝑥 < 𝑥₂ dan bahwa integral (3.6) berubah terhadap waktu. Misalkan 𝐹_𝑖(𝑡) menjadi tingkat dimana pelacak mengalir

melewati titik tetap 𝑥_𝑖 untuk 𝑖 = 1, 2 (diukur dalam gram per detik). Akan digunakan konvensi yang 𝐹_𝑖(𝑡) > 0 untuk aliran yang mengalir ke kanan, sedangkan 𝐹_𝑖(𝑡) < 0 berarti untuk fluks ke kiri, dari |𝐹_𝑖(𝑡)| gram per detik. Massa total di bagian [𝑥₁, 𝑥₂] berubah hanya karena fluks pada titik akhir, diperoleh

𝑑

𝑑𝑡^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 𝐹1}(𝑡) − 𝐹₂(𝑡).

𝑥2 𝑥₁

(3.7) Perhatikan bahwa +𝐹₁(𝑡) dan −𝐹₂(𝑡) keduanya merupakan fluks.

Persamaan (3.7) adalah dasar bentuk integral dari hukum kekekalan. Laju perubahan dari massa total melalui titik akhir ini adalah dasar dari kekekalan. Akan ditentukan fluks fungsi 𝐹_𝑗(𝑡) terkait dengan 𝑞(𝑥, 𝑡), sehingga akan diperoleh persamaan yang bisa dipecahkan untuk 𝑞. Dalam kasus aliran fluida, fluks pada setiap titik 𝑥 pada waktu 𝑡 hanya diberikan oleh massa jenis 𝑞(𝑥, 𝑡) dan kecepatan 𝑢(𝑥, 𝑡):

fluks pada (𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡)𝑞(𝑥, 𝑡). (3.8) Kecepatan disini memberitahukan seberapa cepat partikel bergerak melewati titik 𝑥 (dalam meter per detik), dan massa jenis 𝑞 menerangkan berapa gram cairan kimia yang terkandung, sehingga produk diukur dalam gram per detik.

Misalnya 𝑢(𝑥, 𝑡) adalah fungsi yang diketahui, maka fungsi fluks bisa ditulis sebagai

fluks = 𝑓(𝑞, 𝑥, 𝑡) = 𝑢(𝑥, 𝑡)𝑞. (3.9)

Secara khusus, jika kecepatan tidak bergantung pada 𝑥 dan 𝑡, sehingga 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑢̅ adalah sebuah konstan, maka dapat ditulis

fluks = 𝑓(𝑞) = 𝑢̅𝑞. (3.10) Disini, fluks pada setiap titik dan waktu dapat ditentukan langsung dari nilai kuantitas kekal pada titik, dan tidak tergantung sama sekali pada lokasi dalam ruang waktu. Dalam hal ini, persamaan disebut otonom. Persamaan otonom banyak muncul dalam banyak aplikasi dan lebih sederhana untuk menangani persamaan non otonom atau variabel-koefisien. Untuk persamaan otonom fluks 𝑓(𝑞) hanya bergantung pada nilai 𝑞, maka hukum kekekalan (3.7) ditulis ulang sebagai 𝑑 𝑑𝑡^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑞(𝑥1, 𝑡)) − 𝑓(𝑞(𝑥2, 𝑡)).} 𝑥2 𝑥₁ (3.11) Sisi kanan dari persamaan ini dapat ditulis ulang dengan menggunakan notasi standar dari kalkulus:

𝑑 𝑑𝑡^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = −𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))} 𝑥2 𝑥1 | 𝑥1 𝑥2 . _(3.12)

Asumsikan bahwa 𝑞 dan 𝑓 adalah fungsi halus, maka persamaan dapat ditulis ulang menjadi

𝑑 𝑑𝑡^{∫ 𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥 = − ∫} 𝜕 𝜕𝑥^{𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡)𝑑𝑥,} 𝑥₂ 𝑥1 𝑥₂ 𝑥1 (3.13) dengan beberapa modifikasi lebih lanjut,

∫ [^𝜕 𝜕𝑡^{𝑞(𝑥, 𝑡) +} 𝜕 𝜕𝑥^{𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))] 𝑑𝑥 = 0.} 𝑥2 𝑥₁ (3.14)

Misalnya integral (3.14) harus bernilai nol untuk semua nilai 𝑥₁ dan 𝑥₂, maka integral harus identik dengan nol. Persamaan diferensial menjadi

𝜕

𝜕𝑡^{𝑞(𝑥, 𝑡) +} 𝜕

𝜕𝑥^{𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡)) = 0. (3.15)}

Persamaan (3.15) disebut bentuk diferensial hukum kekekalan, dan bisa ditulis ulang menjadi:

𝑞_𝑡(𝑥, 𝑡) + 𝑓(𝑞(𝑥, 𝑡))_𝑥 = 0. (3.16) Berikut merupakan contoh dari persamaan diferensial parsial hukum kekekalan:

1. Persamaan adveksi dengan 𝑞 = 𝑢 dan 𝑓(𝑞) = 𝑐. 𝑢 yaitu: 𝑢_𝑡+ (𝑐𝑢)_𝑥= 0,

dengan 𝑐 konstan.

Persamaan di atas memodelkan aliran zat dengan kecepatan 𝑐. 2. Persamaan akustik linear dengan

𝑞̅ = [_𝑢^𝑝] dan 𝑓̅(𝑞̅) = [

𝑢₀𝑝 + 𝑘₀𝑢

1

𝜌₀𝑝 + 𝑢₀𝑢^{], dengan 𝑢}0, 𝑘₀, 𝜌₀ konstan. Persamaan akustik ditulis

𝑞̅_𝑡+ 𝑓̅(𝑞̅)_𝑥= 0 atau [^𝑝_𝑢] 𝑡+ [ 𝑢₀𝑝 + 𝑘₀𝑢 1 𝜌₀^{𝑝 + 𝑢0𝑢} ] 𝑥 = 0 atau [^𝑝_𝑢] 𝑡+ [ 𝑢₀+ 𝑘₀ 1 𝜌₀^{+ 𝑢0} ] [^𝑝_𝑢] 𝑥 = 0

Disini 𝑝 menyatakan tekanan dan 𝑢 menyatakan kecepatan dalam aliran. 3. Persamaan gelombang air dangkal dengan

𝑞̅ = [^ℎ 𝑢ℎ^]

2

dan 𝑓̅(𝑞̅) = [_𝑢2ℎ +^𝑢ℎ1

2gℎ^{2] = 0, disini ℎ(𝑥, 𝑡) menyatakan kedalaman} air, 𝑢(𝑥, 𝑡) menyatakan kecepatan aliran, dan g adalah percepatan gravitasi bumi.