Syarat Awal dan Syarat Batas
Persamaaan Black-Scholes taklinear mempunyai domain . Untuk perhitungan komputasi perlu dibatasi menjadi , dengan merupakan nilai yang cukup besar yang menjamin akurasi dari solusi. Syarat batas untuk persamaaan Black-Scholes taklinear dapat ditentukan sebagai berikut:
(34) (35) (36) dengan , , dan adalah suatu fungsi sedemikian sehingga dan . Fungsi , , dan dipilih berdasarkan jenis opsi tipe Eropa yaitu opsi call, opsi put, opsi butterfly, dan opsi cash or nothing (CoN). Syarat awal dan syarat batas untuk opsi tersebut yaitu sebagai berikut:
{ untuk call untuk put untuk butterfly untuk CoN { untuk call untuk put untuk butterfly untuk CoN
13 { untuk call untuk put untuk butterfly untuk CoN dengan adalah fungsi heaviside, adalah konstanta, , , , dan adalah harga strike, dan {
(Lesmana & Wang 2013). Skema Diskretisasi Dengan menggunakan operator (31-33) dan dengan mengaplikasikan metode beda hingga upwind, persamaan Black-Scholes taklinear (19) diaproksimasi menjadi sebagai berikut:
. (37)
Dalam model jandacka dan Sevcovic (2005) diketahui bahwa nilai
sehingga persamaan (37) menjadi , (38) . (39) Selanjutnya, diperoleh: . (40) Untuk penyederhanaan, persamaan (40) dapat dituliskan menjadi bentuk berikut:
, (41) untuk dan di mana: , (42)
, (43)
. (44)
Berdasarkan (34-36), didefinisikan syarat awal dan syarat batas untuk persamaan (41) sebagai berikut (45)
14
untuk dan Dengan syarat awal dan syarat batas di atas, persamaan (41) dapat dituliskan menjadi bentuk matriks berikut
̂ ̂ , (46) di mana [ ] ̂ untuk Teorema 1. Matriks M Untuk sembarang , matriks ( ) adalah matriks M untuk yang diberikan. Bukti: Untuk membuktikan Teorema 1, harus ditunjukkan bahwa (47)
| | | | (48)
untuk .
Untuk matriks , dari persamaan (42) - (44) dapat dilihat bahwa syarat (47) terpenuhi. Selanjutnya, karena dan maka: | | | | | | | |
| | | | (49)
Dari definisi ( ), diperoleh: ∑| |
Sehingga merupakan matriks M karena matriks tridiagonal memiliki diagonal utama yang bernilai positif dan dua diagonal atas dan bawah bernilai takpositif.
Kekonvergenan Skema Diskretisasi
Persamaan (19) memiliki solusi unik yang disebut solusi viskositas. Barles (1997) telah menunjukkan bahwa metode numerik dikatakan konvergen ke solusi viskositas jika metode tersebut terbukti konsisten, stabil dan monoton. Pada
15 bagian ini akan ditunjukkan bahwa skema diskretisasi memenuhi syarat kekonvergenan tersebut.
Untuk dan didefinisikan suatu fungsi yaitu (50) di mana .
Kemudian, persamaan (41) dapat ditulis dalam bentuk
. (51) Untuk skema diskretisasi ini, diberikan lemma berikut:
Kemonotonan
Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan monoton melalui Lemma 2.
Lemma 2
Skema diskretisasi (41) monoton yaitu untuk sembarang dan (52) dan ( ) (53) Bukti: ( ) ( )( ). (54) Karena , dan
, maka tiga bagian pertama pada ruas kanan dari persamaan (50) secara berturut-turut taknaik terhadap , naik terhadap dan turun terhadap .
Misalkan ⏟ adalah suatu matriks berukuran . Berdasarkan definisi , diperoleh
( ) dan ( )
16
Selanjutnya, diperiksa tanda pada bagian taklinear , di mana didefinisikan sebagai berikut
(55) maka, ( ) ( ) ( ), (56) misalkan dan (57) (58) Diketahui dan
jelaskarena dan selanjutnya akan dibuktikan bahwa
(59)
karena maka
( ) (60) Dari persamaan di atas diperoleh bahwa
(61)
Dengan demikian adalah fungsi naik pada dengan syarat bahwa
Dengan demikian untuk sembarang dan diperoleh gabungan bagian linear dan bagian taklinear dari persamaan (50) sebagai berikut:
17
( ( )) ( )
dengan cara yang sama diperoleh
( ) ( )
( ( )) ( )
∎
Sehingga skema diskretisasi (41) terbukti monoton. Kestabilan Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan stabil melalui Lemma 3. Lemma 3 Skema diskretisasi (41) stabil, yaitu untuk setiap misalkan ( ̂ ) di mana ̂ adalah solusi dari (46), maka memenuhi
dengan , dan adalah syarat awal dan syarat batas (34 – 36) dan ‖ ‖ adalah norm . Bukti: Untuk sembarang persamaan (41) dapat dituliskan sebagai berikut:
(62) untuk Perlu diingat kembali bahwa , dan . Sehingga diperoleh: | | | | | | | |
‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ (63) untuk
Jika | | untuk , maka persamaan berikut: ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
‖ ‖ (64) dengan menjadi: ‖ ‖
‖ ‖ (65)
Sehingga, dengan menggunakan persamaan (48) maka pertidaksamaan (65) menjadi sebagai berikut:
18
‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ (66) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ .
Selanjutnya jika ‖ ‖ | | atau ‖ ‖ | |maka berdasarkan persamaan (35), (36) dan (45) dapat dilihat bahwa:
| | | | (67) dari persamaan (66) dan (67), diperoleh:
| | | | . ∎ Sehingga skema diskretisasi (41) terbukti stabil.
Kekonsistenan
Skema diskretisasi (41) akan ditunjukkan konsisten melalui Lemma 4.
Lemma 4
Skema diskretisasi (41) konsisten. Bukti
Teorema ekuivalensi Lax menyatakan bahwa metode beda hingga konsisten untuk persamaan diferensial parsial dengan masalah nilai awal yang diberikan (Strikwerda 1989). ∎
Teorema 2. Kekonvergenan
Solusi numerik dari skema diskretisasi (41) konvergen ke solusi viskositas persamaan (19) dengan syarat batas yang diberikan oleh (34)-(36) ketika .
Bukti:
Barles (1997), membuktikan bahwa jika suatu diksretisasi dari PDP taklinear orde-2 konsisten, stabil dan monoton, maka konvergen ke solusi viskositas. Berdasarkan Lemma 2, Lemma 3, dan Lemma 4 maka diskretisasi terbukti konsisten, stabil dan monoton, maka skema diskretisasi (46) konvergen ke solusi viskositas persamaan (19). ∎
Solusi Sistem Taklinear Skema Diskretisasi
Untuk menyelesaikan sistem taklinear skema diskretisasi (46) disusun sebuah metode iterasi pada setiap langkah waktu. Diketahui diskretisasi (46) berbentuk
̂ ̂ ,
̂ ̂ dengan Misalkan
( ) komponen ke-i dari
19
dengan dan didefinisikan pada (45). Matriks Jacobi dari
dinotasikan sebagai dengan [ ] di mana untuk semua dan . Dengan menggunakan persamaan (31) - (33), dan (20), serta menggunakan notasi Lemma 1, diperoleh persamaan untuk turunan berikut ( ) Dengan cara yang serupa, diperoleh
Menggunakan matriks Jacobi , diberikan algoritma metode Newton sebagai berikut Algoritma 1 1. Pilih Untuk , evaluasi syarat awal ̂ ,
menggunakan (45). 2. Ambil dan ̂ 3. Selesaikan Hitung
20
4. Jika ‖ ‖ set dan kembali kelangkah 3. Jika sebaliknya, lanjutkan ke langkah berikutnya.
5. Tentukan ̂ Jika . Set dan kembali ke langkah 2. Jika sebaliknya berhenti.
Dengan menggunakan matriks Jacobi , diperoleh Teorema 3 berikut.
Teorema 3
Untuk sembarang dengan , adalah matriks M. Bukti
Untuk membuktikan Teorema 3, harus ditunjukkan bahwa
(68)
| | | | (69)
Untuk matriks , diperoleh
(menggunakan persamaan 61). Hal yang sama untuk
.
Selanjutnya karena dan maka | | | |
| | | |
untuk sembarang dengan ketentuan bahwa . Oleh karena itu, matriks adalah matriks M. ∎
Sistem linear pada langkah 3 dari Algoritma 1 biasanya berskala besar dan teorema di atas menjamin bahwa sistem linear tersebut memiliki solusi khusus. Solusi untuk sistem linear dengan dekomposisi LU atau metode iteratif akan stabil secara numerik.
21
Simulasi Numerik
Simulasi numerik dengan metode beda hingga upwind dan implisit untuk menentukan harga opsi empat jenis tipe Eropa dilakukan dengan mengambil contoh kasus kontrak opsi. Selanjutnya diamati perbandingan harga opsi metode implisit dan metode eksplisit, serta dihitung orde kekonvergenan dari metode implisit dengan memilih serangkaian mesh yang dibangkitkan dengan membagi-dua parameter mesh pada iterasi sebelumnya.
a) Opsi Call
Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi call pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 5.
(a) metode implisit (b) metode eksplisit
Gambar 5 Harga opsi call Eropa dengan dan
Dengan mengganti mesh seragam Perbandingan harga opsi call pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 6.
(a) metode implisit (b) metode eksplisit Gambar 6 Harga opsi call Eropa dengan dan
22
Pada Gambar 6, metode implisit masih memberikan solusi, sedangkan metode eksplisit tidak memberikan solusi (tidak stabil).
Untuk menghitung norm dan rasio skema tersebut, dipilih serangkaian mesh yang dibangkitkan secara berurutan dengan membagi dua ukuran mesh sebelumnya. Selanjutnya akan dihitung norm dan rasio metode tersebut dengan membandingkan solusi “eksaknya” (“ ”). Dalam menentukan solusi “eksak” (“ ”) digunakan solusi numerik dengan mengambil ukuran mesh yang sangat kecil, yaitu dan Selanjutnya dengan menggunakan solusi “eksak” tersebut, dihitung rasio dari solusi numerik dari mesh yang berurutan dengan
‖
‖ ‖ ⁄⁄ ‖
di mana adalah solusi pada mesh dengan ukuran mesh saham dan ukuran mesh waktu, serta rumus untuk menghitung norm sebagai berikut
‖ ‖ ‖ ‖ | |.
Orde kekonvergenan metode numerik dihitung dengan menghitung rata-rata dari rasio.
Tabel 1 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi call
M N Metode implisit ‖ ‖ Rasio 20 10 0.680475 40 20 0.576298 1.18 80 40 0.399196 1.44 160 80 0.249871 1.60 320 160 0.103894 2.41 640 320 0.054964 1.89 1280 640 0.034690 1.58
Hasil perhitungan di Tabel 1 menunjukkan orde kekonvergenan pada opsi call adalah sekitar 1.7.
b)Opsi Put
Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi put pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 7.
23
(a) metode implisit (b) metode eksplisit Gambar 7 Harga opsi put Eropa dengan dan
Dengan perhitungan yang sama dengan opsi call, diperoleh hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi put sebagai berikut
Tabel 2 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi put
M N Metode implisit ‖ ‖ Rasio 20 10 0.688835 40 20 0.579316 1.19 80 40 0.400468 1.45 160 80 0.250274 1.60 320 160 0.104061 2.41 640 320 0.054532 1.91 1280 640 0.034709 1.57
Hasil perhitungan di Tabel 2 menunjukkan orde kekonvergenan opsi put adalah sekitar 1.7.
c) Opsi Butterfly
Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi butterfly pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 8.
24
(a) metode implisit (b) metode eksplisit Gambar 8 Harga opsi butterfly Eropa dengan dan
Tabel 3 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi butterfly
M N Metode implisit ‖ ‖ Rasio 20 10 0.739988 40 20 0.406605 1.82 80 40 0.335519 1.21 160 80 0.270862 1.24 320 160 0.156669 1.73 640 320 0.091377 1.71 128 640 0.052516 1.74
Hasil perhitungan di Tabel 3 menunjukkan bahwa orde kekonvergenan opsi butterfly adalah sekitar 1.6.
d)Opsi Cash or Nothing
Misalkan diberikan nilai parameter dengan mesh seragam Perbandingan harga opsi cash or nothing pada metode implisit dan metode eksplisit untuk posisi sebagai pembeli opsi (long position) dapat dilihat pada Gambar 9.
(a) metode implisit (b) metode eksplisit Gambar 9 Harga opsi cash or nothing Eropa dengan dan Dengan perhitungan yang sama dengan opsi call, diperoleh hasil perhitungan error dan rasio untuk opsi cash or nothing sebagai berikut:
25 Tabel 4 Hasil perhitungan norm dan rasio untuk opsi cash or nothing
M N Metode implisit ‖ ‖ Rasio 20 10 0.355600 40 20 0.233282 1.52 80 40 0.173773 1.34 160 80 0.127596 1.36 320 160 0.105250 1.21 640 320 0.077006 1.37 1280 640 0.046460 1.66
Hasil perhitungan di Tabel 4 menunjukkan bahwa orde kekonvergenan opsi cash or nothing adalah sekitar 1.4.
SIMPULAN
Persamaan Black-Scholes taklinear diaproksimasi dengan metode implisit untuk diskretisasi waktu dan metode beda hingga upwind untuk diskretisasi harga saham diperoleh:
1. suatu sistem matrix yang disebut matriks M yang menjamin solusi bernilai positif.
2. skema diskretisasi terbukti monoton, konsisten, dan stabil. Sehingga, solusi numerik skema diskretisasi konvergen ke solusi viskositas persamaan Black-Scholes taklinear.
3. dengan sub-interval harga saham dan sub-interval waktu menghasilkan orde kekonvergenan opsi call, opsi put, opsi butterfly, dan opsi cashornothing bekisar antara