Model Matematika pada Perbankan
Aturan Basel II mengatur bank untuk melihat keseimbangan risiko aset yang dipegang dan kecukupan modal bank tersebut. Pada penelitian ini, aset dan liabilitas diseimbangkan oleh modal bank dengan hubungan seperti berikut:
, (12)
dengan menotasikan total aset pada waktu , menotasikan liabilitas pada waktu , dan menotasikan total modal bank pada waktu .
Total aset terdiri atas pinjaman Λ, obligasi , dan cadangan . Sedangkan liabilitas terdiri atas deposito ∆, serta total modal terdiri atas modal inti dan modal pelengkap. Modal inti ditunjukkan dengan jumlah kekayaan dari seluruh saham , dengan menyatakan banyaknya saham dan adalah harga pasar saham bank berdasar kekayaan. Modal pelengkap ditunjukkan dengan jumlah utang atau sekuritas subordinasi dan saham atas nama , sehingga diperoleh identitas-identitas berikut:
Λ (13)
(14)
. (15)
Merujuk pada persamaan (13), pertama akan dijelaskan tentang komponen pinjaman di mana perubahan atau pergerakan ketersediaan pinjaman mengikuti gerak Brown geometrik. Untuk memodelkan pergerakan tersebut diperlukan pendekatan proses Wiener. Paremeter drift pada pergerakan pinjaman adalah tingkat bunga pinjaman dikurangi dengan biaya marjinal pinjaman . Biaya marjinal tersebut timbul akibat adanya kegiatan monitoring dan screening. Sedangkan parameter varians adalah keragaman pinjaman . Dari kondisi-kondisi di atas persamaan pergerakan ketersediaan pinjaman Λ bisa diekspresikan sebagai berikut:
Λ Λ Λ ,
dengan adalah proses Wiener.
Nilai investasi bank pada pinjaman pada waktu , , diekspresikan sebagai berikut:
13 Λ ,
dengan merupakan proporsi aset bank yang diinvestasikan untuk pinjaman pada waktu .
Pada kenyataannya, dalam pengelolaan pinjaman sering terjadi kegagalan atau kehilangan. Kegagalan ini dimodelkan dengan proses Poisson. Oleh karena itu, bank menyiasati keadaan tersebut dengan mempersiapkan kesigapan kehilangan pinjaman atau sering disebut dengan provisi. Jumlah kehilangan pinjaman didefinisikan sebagai berikut:
,
dengan , merupakan tingkat kegagalan atau kehilangan pinjaman. Nilai akan mengalami penurunan jika level aktivitas makroekonomi pada pasar pinjaman membaik dan akan mengalami kenaikan jika level aktivitas makroekonomi pada pasar pinjaman memburuk.
Akibat kegagalan pinjaman dimodelkan dengan proses Poisson maka provisi juga dimodelkan dengan proses Poisson di mana merupakan proses Poisson yang menotasikan risiko kegagalan pinjaman dengan parameter frekuensi . Di sini proses Poisson bebas terhadap proses Wiener , sehingga besarnya yang tidak tertutup oleh provisi , hanya bergantung pada perubahan risiko kegagalan ∆ . Diasumsikan bahwa besarnya biaya yang harus dikeluarkan bank akibat adanya kegagalan pinjaman , diekspresikan sebagai berikut:
,
dengan merupakan kompensasi risiko pinjaman yang harus dibayarkan kepada bank sentral sebagai denda atas kehilangan pinjaman yang dinotasikan dengan dan merupakan provisi aktual pada waktu . Ini berarti bahwa saat bank rugi sebesar pada waktu , menutup kerugian tersebut. Biasanya, provisi yang dibuat oleh bank bisa lebih besar atau lebih kecil dari kehilangan pinjaman yang terjadi. Jika provisi yang disiapkan kurang dari kegagalan pinjaman yang terjadi, maka terdapat biaya provisi akibat penarikan dana dari luar untuk menutup kekurangan provisi yang disediakan. Untuk lebih jelas pernyataan di atas diekspresikan dalam persamaan berikut
. (16)
Selain pinjaman, komponen lain yang membentuk aset sesuai pada persamaan (13) adalah obligasi dan cadangan. Tingkat bunga obligasi diasumsikan sebagai berikut:
.
Kondisi tersebut diaplikasikan oleh bank agar bunga yang didapat dari pinjaman bisa menutup pajak pinjaman yang diasumsikan sebesar bunga obligasi.
Pada umumnya, bank menghimpun dana yang dihasilkan dari deposito-deposito yang berasal dari deposito-depositor yang berbeda-beda, sehingga tidak umum jika pada satu waktu tertentu seluruh depositor menarik uang deposito secara serempak. Kondisi ini membuat bank mengambil keputusan untuk menyediakan
14
cadangan penarikan uang oleh depositor yang disebut dengan cadangan , sehingga cadangan bisa diekspresikan sebagai berikut:
∆ ,
dengan merupakan rasio antara cadangan dan deposito. Bank menggunakan sisa deposito sebesar untuk mendapatkan keuntungan baik dengan cara dipinjamkan atau diinvestasikan ke dalam aset seperti obligasi dan saham.
Ketika batasan modal dihubungkan dengan Aturan Basel II sebagai penerapan kerangka pengukuran modal terhadap RWA, ditunjukkan bahwa masalah kecukupan modal bank diekspresikan sebagai berikut:
. ,
dengan merupakan RWA, dan merupakan rasio batasan modal yang harus dipenuhi oleh bank.
Bobot RWA diukur dari jumlah keseluruhan variasi aset pada bank. Dalam penelitian ini, dinotasikan bobot risiko pada obligasi dan pinjaman berturut-turut dinotasikan dengan dan . Nilai mengalami penurunan jika level aktivitas makroekonomi pada pasar pinjaman membaik, dan akan mengalami kenaikan jika level aktivitas makroekonomi pada pasar pinjaman memburuk. Selain itu, terkait rasio batasan modal sebesar 0.08 menurut Aturan Basel II, beberapa bank mengaplikasikan rasio batasan modal tersebut sesuai kebijakan sendiri , namun tetap berkisar lebih besar dari 0.08, serta memenuhi
. (17)
Nilai eksak dari rasio , bisa berbeda di setiap institusi. Kenyataannya, dengan pilihan yang berbeda, beberapa bank mempertimbangkan pertaksamaan (17) dalam bentuk persamaan sehingga menghasilkan pilihan nilai investasi pinjaman , yaitu
.
Kembali pada persamaan keseimbangan awal (12), selain total aset dan besaran modal, komponen lain yang perlu dipertimbangkan sesuai persamaan keseimbangan awal tersebut adalah liabilitas. Di sini hanya dipertimbangkan deposito pada kategori liabilitas. Bank menerima deposito , dengan biaya marginal . Diasumsikan bahwa imbal hasil deposito tidak bergantung pada tingkat bunga obligasi, sehingga walaupun tingkat bunga pada deposito , lebih kecil atau lebih besar dari tingkat bunga obligasi , konsumsi deposito , dinyatakan sebagai berikut:
.
Dalam kenyataannya, unanticipated deposits withdrawals , akan terjadi. Unanticipated deposits withdrawals adalah penarikan deposito yang tidak diantisipasi sebelumnya. Dengan cara membuat persediaan unanticipated deposits withdrawals, bank dituntut untuk memegang cadangan , dan obligasi yang
15 mudah untuk dicairkan. Dinotasikan . Jika unanticipated deposits withdrawals lebih besar dari cadangan dan obligasi yang tersedia, maka terdapat biaya penghimpunan dana dari luar . Dalam penelitian ini diasumsikan tidak terjadi unanticipated deposits withdrawals, sehingga .
Pada akhirnya keseimbangan komponen aset, liabilitas dan besaran modal yang sudah dijelaskan di atas akan mendorong keuntungan bank menuju ke titik optimal. Namun sebelumnya diberikan persamaan dinamika keuntungan terlebih dahulu yang nantinya akan menjadi kendala pada proses optimasi. Pada dasarnya pergerakan keuntungan Π diekspresikan seperti berikut:
Π ,
dengan Π menotasikan pergerakan keuntungan, menotasikan pergerakan pendapatan, dan menotasikan pergerakan biaya.
Yang termasuk pergerakan pendapatan adalah pergerakan imbal hasil dari sejumlah keuntungan tertentu yang dikelola ke dalam obligasi Π , pergerakan nilai investasi bank di pinjaman , dan pergerakan tingkat bunga tambahan keuntungan , yang dihasilkan dari aktivitas seperti screening, monitoring, liquidity provision, dan akses untuk sistem pembayaran. Maka pergerakan pendapatan bisa diekspresikan ke dalam persamaan berikut:
Π ,
karena Λ , dan Λ Λ Λ ,
persamaan di atas menjadi
Π Λ
Λ ,
Π
.
Diasumsikan bahwa pajak pinjaman yang harus dibayar oleh bank kepada bank sentral sebesar bunga obligasi, sehingga pergerakan biaya terdiri dari pergerakan pajak pinjaman yang harus dibayar , pergerakan konsumsi deposito terhadap waktu , pergerakan biaya yang harus dikeluarkan bank akibat adanya kegagalan pinjaman , dan pergerakan terhadap risiko kegagalan dari biaya provisi . Maka pergerakan biaya bisa diekspresikan ke dalam persamaan berikut:
, sehingga persamaan pergerakan keuntungan menjadi
Π Π s
, diasumsikan , dengan Π , sehingga
16
Π Π s
, Π , . (18)
Proses Optimasi
Pada subbab model matematika, terdapat informasi bahwa beberapa bank memanfaatkan beberapa persamaan pada subbab model matematika untuk menentukan nilai investasi bank di pinjaman, konsumsi deposito, dan biaya provisi seperti berikut:
Λ , (19)
, (20)
, untuk . (21)
Namun perlu diketahui bahwa nilai ketiga persamaan berikut belum tentu memaksimalkan utilitas keuntungan dan konsumsi deposito bank. Sehingga dalam penelitian ini akan diberikan alternatif persamaan dari nilai investasi bank di pinjaman, konsumsi deposito dan biaya provisi yang akan memaksimalkan total utilitas bank.
Sebelum masuk pada proses optimasi pada masalah stokastik, akan dijelaskan terlebih dahulu mengenai masalah kontol optimum stokastik. Didefiniskan fungsi objektif adalah fungsi total utilitas dari konsumsi deposito dan keuntungan akhir yang didiskonto dengan keuntungan awal pada waktu ditetapkan. Fungsi objektif tersebut direpresentasikan sebagai berikut:
, max, , Π , (22)
dengan adalah fungsi utilitas untuk konsumsi deposito dan adalah fungsi utilitas nilai keuntungan akhir. Fungsi utilitas tersebut merupakan fungsi naik, terturunkan dua kali, dan turunan keduanya kurang dari nol. Tingkat bunga diskonto dinyatakan dengan .
Sebagai kendala sistem dinamik ialah pergerakan keuntungan pada (18). Dengan asumsi , dan , persamaan (18) menjadi
Π Π
,Π , . (23)
Optimasi stokastik ini didekati dengan pendekatan program dinamik HJB. Dengan , dan disebut dengan komponen kontrol yang merepresentasikan konsumsi deposito pada waktu , nilai investasi bank di pinjaman pada waktu dan provisi pada waktu , berturut-turut. Untuk mendapatkan solusi komponen kontrol , dan digunakan persamaan HJB berikut:
17 , , max , , max , , max , , , , (24) , . (25)
Bukti persamaan HJB (24) diberikan pada Lampiran 5.
Dari persamaan (24) pada bagian maksimisasi yang pertama, bisa didapatkan solusi optimal nilai investasi bank di pinjaman yang akan memaksimumkan fungsi objektif . Solusi tersebut bisa didapatkan dengan tahapan sebagai berikut:
, ,
sehingga nilai investasi bank di pinjaman optimal adalah ,
, , (26)
Sedangkan solusi optimal konsumsi deposito yang akan memaksimumkan fungsi objektif didapatkan dari persamaan (24) pada bagian maksimisasi yang kedua dengan tahapan sebagai berikut:
,
,
sehingga konsumsi deposito optimal didapatkan dari penyelesaian persamaan
, . (27)
Solusi optimal biaya provisi yang akan memaksimumkan fungsi objektif didapatkan dari persamaan (24) pada bagian maksimisasi yang ketiga dengan tahapan sebagai berikut:
, , ,
sehingga biaya provisi optimal didapatkan dari penyelesaian persamaan
18
Solusi tiga variabel kontrol yang meliputi konsumsi deposito, jumlah investasi bank di pinjaman, dan biaya provisi bisa dihasilkan dengan penyelesaian fungsi objektif yang disubstitusi oleh dua jenis fungsi utilitas berbeda. Setiap fungsi utilitas memberikan nilai variabel kontrol yang berbeda namun tetap mengoptimalkan keuntungan bank.
Studi Kasus
Sebagai contoh ilustratif ditinjau proses pengoptimuman terhadap fungsi utilitas berbentuk fungsi eksponensial dan fungsi pangkat.
Fungsi Utilitas Eksponensial
Dalam kasus ini diasumsikan
exp , γ . (29)
Misal utilitas eksponensial pada (29), maka fungsi objektif (22) menjadi
, max, , .
Akibat solusi peubah kontrol pada persamaan (26), (27) dan (28) masih belum diketahui nilainya, maka dimisalkan fungsi objektif pada (22) memiliki bentuk
, exp , (30)
dengan bergantung pada nilai peubah kontrol , , dan . Pemisalan fungsi tersebut dipilih untuk mempermudah perhitungan dengan memasukkan fungsi tertentu pada fungsi objektif. Fungsi tersebut harus bergantung pada dan , namun memenuhi argumen pada persamaan HJB setelah didapatkan solusi peubah kontrol yang optimal. Dengan didefinisikan pada (30) maka diperoleh
, , ,
, , ,
sehingga dari persamaan (28) diperoleh
ln .
Selain itu, diasumsikan bahwa kegagalan pinjaman bebas terhadap keuntungan, dengan fungsi distribusi peluang merupakan fungsi yang bergantung oleh waktu . Jika provisi , maka biaya provisi setara dengan nilai , sehingga persamaan provisi (16) bisa ditulis
. Jadi
19
min ln , .
Selanjutnya, investasi bank pada pinjaman pada (26) menjadi ,
karena , maka .
Akibat , konsumsi deposito optimal (27) menjadi .
Selanjutnya pada persamaan fungsi objektif (30) harus memenuhi persamaan HJB (24), yaitu
exp
. Jika dimisalkan
exp ,
maka memenuhi persamaan diferensial orde satu berikut:
Jika nilai-nilai parameter dan fungsi , , , , , , , , dan diketahui, maka fungsi bisa diketahui dengan menyelesaikan persamaan diferensial di atas. Selanjutnya bisa didapatkan nilai fungsi objektif .
Misal dipilih nilai parameter . %, ln , . %,
%, . , . , . , ,
dan . , persamaan diferensial orde satu di atas menjadi
. ln . ln . .
Dengan menggunakan aturan pemisahan peubah pada penyelesaian persamaan diferensial orde satu dan untuk mempermudah perhitungan diasumsikan
didapatkan
. . . . .
20
, . ,
sehingga untuk ,
. . . . . . .
dan fungsi objektif (30) menjadi
, . . . ln . ln . . . . (31)
Untuk bergerak dari 0 sampai 5 dan bergerak dari 0 sampai 1, fungsi objektif (31) diberikan pada Gambar 1.
Gambar 1 Pengaruh waktu dan keuntungan awal terhadap total utilitas eksponensial
Gambar 1 di atas menjelaskan bahwa pada selang waktu dan keuntungan , fungsi objektif (31) menunjukkan kenaikan. Semakin besar nilai kedua peubah tersebut, nilai fungsi objektif akan mengalami kenaikan. Namun Gambar 1 di atas tidak menjelaskan untuk selang waktu selain
.
Fungsi Utilitas Pangkat
Dalam kasus ini diasumsikan
,
(32) di mana dan . Parameter menyatakan bobot keuntungan bank terhadap konsumsi deposito dan sebagai ukuran kecenderungan bank untuk menerima deposito. Misal utilitas pangkat pada (32), maka fungsi objektif (20) menjadi
, max
21 Akibat solusi peubah kontrol pada persamaan (26), (27) dan (28) masih belum diketahui nilainya, maka dimisalkan fungsi objektif pada (22) memiliki bentuk
, , (33)
dengan nilai bergantung pada nilai peubah kontrol , , dan . Pemisalan fungsi tersebut dipilih untuk mempermudah perhitungan dengan memasukkan fungsi acak tertentu pada fungsi objektif. Fungsi acak tersebut harus bergantung pada dan , namun memenuhi argumen pada persamaan HJB setelah didapatkan solusi peubah kontrol yang optimal. Dengan didefinisikan pada (33) maka diperoleh
, ,
, .
Dengan pemisalan fungsi objektif pada (22) menjadi persamaan (33), biaya provisi optimal (28) menjadi
.
Misal diberikan asumsi penambahan tingkat keuntungan dan diasumsikan kegagalan pinjaman proporsional dengan keuntungan, maka
,
Untuk penyederhanaan fungsi kegagalan pinjaman , diberikan . Jika provisi , maka biaya provisi setara dengan nilai , sehingga persamaan provisi (16) bisa ditulis
. Jadi
min , .
Investasi bank pada pinjaman (26) menjadi . Dan konsumsi deposito optimal (27) menjadi
,
dengan pada persamaan fungsi objektif (33) harus memenuhi persamaan HJB (24), yaitu
22 max , α max , . Jika dimisalkan max , α max , ,
maka memenuhi persamaan diferensial berikut: .
Persamaan diferensial di atas disebut dengan persamaan diferensial Bernoulli yang dapat direduksi ke persamaan diferensial linear orde satu. Jika nilai-nilai parameter dan fungsi , , , , , , , , dan diketahui, maka fungsi bisa diketahui dengan menyelesaikan persamaan diferensial di atas. Selanjutnya bisa didapatkan nilai fungsi objektif .
Misal dipilih nilai parameter . , . , . %,
. , , . , , . ,
, , dan . , maka persamaan diferensial di atas menjadi
. . ,
Misal
,
maka.
. .
Jika persamaan di atas dikalikan dengan
,
maka .. .
23 .
. .
Dari persamaan (25), pada waktu akhir , juga harus memenuhi
, . ,
maka untuk ,
. . . . .
Fungsi objektif (33) menjadi
, . . . . . (34)
Untuk bergerak dari 0 sampai 5 dan bergerak dari 0 sampai 1, fungsi objektif (34) diberikan pada Gambar 2.
Gambar 2 Pengaruh waktu dan keuntungan awal terhadap total utilitas pangkat Gambar 2 di atas menjelaskan bahwa pada selang waktu dan keuntungan , fungsi objektif (31) menunjukkan kenaikan. Semakin besar nilai kedua peubah tersebut, nilai fungsi objektif akan mengalami kenaikan. Namun Gambar 2 di atas tidak menjelaskan untuk selang waktu selain
24
SIMPULAN
1. Model pergerakan keuntungan bank diekspresikan ke dalam persamaan diferensial stokastik. Hal ini diakibatkan pergerakan pinjaman dalam penelitian ini dimodelkan dengan memuat unsur nondeterministik. Keuntungan bank dimaksimalkan menggunakan kontrol optimum stokastik dengan konsumsi deposito, nilai investasi bank di pinjaman dan provisi sebagai komponen kontrol.
2. Nilai investasi bank di pinjaman optimal berbanding lurus dengan selisih tingkat bunga pinjaman dengan biaya marjinal pinjaman dan tingkat bunga obligasi serta berbanding terbalik dengan tingkat volatilitas dan rasio antara deposito dan cadangan. Selain itu, nilai investasi bank di pinjaman juga bergantung pada nilai turunan pertama dan kedua dari fungsi nilai. Nilai konsumsi deposito optimal didapatkan dari penyelesaian persamaan turunan pertama fungsi utilitas konsumsi deposito dengan turunan pertama fungsi nilai. Sedangkan nilai provisi opimal didapatkan dari penyelesain persamaan perkalian penggandaan kompensasi risiko pinjaman dengan turunan pertama fungsi nilai yang disamakan dengan turunan pertama fungsi nilai dengan variabel eksogen bergantung pada biaya provisi.
3. Setelah melakukan studi kasus pada jenis utilitas eksponensial dan utilitas pangkat, disimpulkan bahwa semakin lama, total utilitas akan naik. Dari dua input yang diteliti, yaitu waktu dan keuntungan awal, input waktu adalah input yang berpengaruh besar terhadap total utilitas. Sedangkan input keuntungan awal yang tinggi pada kasus utilitas eksponensial akan mengakibatkan peningkatan total utilitas. Pada kasus utilitas pangkat, keuntungan awal yang tinggi mengakibatkan peningkatan total utilitas.