Pembangkitan Data
Data yang digunakan pada penelitian ini adalah data simulasi, data dibangkitkan mengikuti pola autoregressive stasioner dengan menggunakan software SAS 9.3. Lokasi terlebih dahulu ditetapkan, yaitu berjumlah tiga. Masing -masing lokasi berpola autoregressive dengan ordo waktu yang sudah ditetapkan, yaitu berordo waktu sama dan berordo waktu berbeda. Data diatur sedemikian rupa sehingga mempunyai korelasi antar lokasi, yaitu dengan menerapkan analisis Dekomposisi Cholesky. Pembahasan proses pembangkitan data ini akan diuraikan menjadi 2, yaitu pembangkitan data dengan ordo waktu autoregressive sama sesuai dengan Lampiran 1 dan ordo waktu autoregressive berbeda sesuai dengan Lampiran 2.
Data Ordo Waktu Autoregressive Sama
Proses pembangkitan data dengan ordo waktu Autoregressive sama dimulai dengan menyusun model pola waktu stasioner di 3 lokasi, yaitu
Pola waktu ini ditetapkan berordo autoregressive sama di masing-masing lokasi, yaitu berordo 1. Nilai parameter ditetapkan berbeda di setiap lokasi asalkan tetap memenuhi kestasioneran data deret waktu. Tujuan pembedaan ini untuk keragaman antar lokasi, namun memiliki karakteristik waktu yang sama, yaitu dipengaruhi satu waktu sebelumnya (ordo satu). Nilai parameter di setiap lokasi sebagai berikut :
Lokasi 1 :
Lokasi 2 :
Lokasi 3 :
Data dibangkitkan sebanyak 100 waktu di masing-masing lokasi. Namun ini tidak dapat menjamin adanya hubungan antar lokasi sehingga untuk pemodelan ruang dan waktu secara simultan tidak dapat dilakukan. Dekomposisi Cholesky digunakan untuk menjadikan hasil bangkitan menjadi saling berkorelasi antar lokasi dengan tidak menghilangkan pola waktu autoregressive di setiap lokasi. Hasil dekomposisi inilah yang akan digunakan kemudian untuk analisis pemodelan ruang dan waktu. Matriks korelasi hasil Dekomposisi Cholesky adalah sebagai berikut :
(
Artinya, lokasi 1 dan 2 mempunyai hubungan yang lemah, yaitu bernilai 0.10. Lokasi 1 dan 3 mempunyai hubungan yang kuat, yaitu bernilai 0.77. Lokasi 2 dan 3 mempunyai hubungan sedang, yaitu bernilai 0.68. hasil ini sesuai dengan desain
posisi lokasi dapat dilihat pada Gambar 3.1. Hasil dekomposisi memungkinkan adanya perubahan ordo waktu autoregressive. Data yang tidak mengikuti pola Autoregressive ordo satu, tidak digunakan dalam analisis pemodelan ruang dan waktu. Data yang saling berkorelasi ini dapat dibuktikan juga dengan mencari nilai autokorelasi spasial, yaitu Indeks Moran. Indeks Moran ini dicari untuk menunjukkan adanya hubungan spasial. Dari hasil analisis didapatkan nilai Indeks Moran sebesar, I=0.298 yang artinya terdapat autokorelasi positif. Proses pembangkitan data ini diulang sebanyak 100 kali dengan menggunakan fungsi macro SAS dengan tujuan melihat kekonsistenan peramalan pada analisis ruang dan waktu, yaitu Metode AR, VAR, STAR, dan GSTAR yang dilihat dari nilai
Root Mean Square Error (RMSE).
Data Ordo Waktu Autoregressive Berbeda
Proses pembangkitan data dengan ordo waktu Autoregressive berbeda pun dimulai dengan menyusun model pola waktu stasioner di 3 lokasi, yaitu
Pola waktu ini ditetapkan berordo autoregressive yang berbeda di masing-masing lokasi, yaitu berordo 2 di lokasi 1 dan lokasi 3 serta berordo 1 di lokasi 2. Tujuan penetapan ordo waktu yang berbeda ini adalah untuk melihat pengaruhnya dalam proses peramalan ketika dilakukan pemodelan AR dan VAR yang kemudian akan menjadi rujukan dalam penetapan ordo waktu STAR dan GSTAR. Nilai parameter dan ditetapkan berbeda di setiap lokasi asalkan tetap memenuhi kestasioneran data deret waktu. Tujuan pembedaan ini untuk keragaman antar lokasi. Nilai parameter dan di setiap lokasi sebagai berikut :
Lokasi 1 :
Lokasi 2 :
Lokasi 3 :
Seperti pembangkitan data dengan ordo Autoregressive sama, data dibangkitkan sebanyak 100 waktu di masing-masing lokasi. Matriks korelasi hasil Dekomposisi Cholesky adalah sebagai berikut :
(
Hasil ini sesuai dengan desain posisi lokasi dapat dilihat pada Gambar 3.1 meskipun nilai matriks korelasi berbeda, namun memiliki tingkat hubungan yang sama sesuai dengan matriks cholesky yang ditetapkan sebelumnya. Dari hasil analisis didapatkan nilai Indeks Moran sebesar, I=0.3088 yang artinya terdapat autokorelasi positif. Nilai Indeks Moran pada data pembangkitan ini memiliki nilai korelasi yang kecil, padahal seharusnya secara spasial memiliki akumulasi korelasi yang besar dari faktor ketetanggaan. Hal ini dikarenakan penentuan desain matriks hanya korelasi sederhana sehingga tidak memperhitungkan arah korelasi di setiap periode yang sama.
Model Autoregressive (AR)
Pemodelan ini dilakukan secara terpisah di masing-masing lokasi, artinya pendugaan parameter diduga secara terpisah di 3 lokasi dan kemudian dicari ketepatan peramalannya. Pemodelan ini menggunakan contoh data hasil Lampiran 1, yaitu menggunakan data dengan ordo waktu autoregressive sama di 3 lokasi dan data Lampiran 2, yaitu menggunakan data dengan ordo waktu autoregressive
beda di 3 lokasi Hal pertama yang dilakukan adalah membagi 100 data bangkitan menjadi 2 bagian, untuk pemodelan dan ketepatan peramalan. Dari 100 data waktu yang dibangkitkan, 90 data digunakan untuk pemodelan sedangkan 10 data digunakan untuk mencari ketepatan peramalannya, yaitu RMSE.
Kestasioneran dan model tentatif
Kestasioneran pola waktu dapat dilihat dari plot deret waktu yang tertera pada Gambar 4.2.1 untuk Lokasi 1 ordo autoregressive sama dan Gambar 4.2.2. untuk Lokasi 1 ordo autoregressive berbeda.
Gambar 4.2.1 menjelaskan kestasioneran di lokasi 1 untuk ordo waktu
autoregressive sama, dapat dilihat bahwa untuk plot series yang disimbolkan Y1 berada di sekitar nilai tengahnya. Model tentatif Autoregressive dapat dilihat dari plot ACF nya berpola tails off dan plot PACF nya berpola cuts off di lag pertama. Berdasarkan analisis tersebut dapat dikatakan data stasioner dan berpola AR(1). Pola yang sama ditunjukkan untuk lokasi 2 dan 3 yang membentuk pola stasioner pada AR (1). Hasil lebih lengkapnya untuk lokasi 2 dan 3 ordo autoregressive
sama ini dapat dilihat pada Lampiran 4.
Plot kestasioneran untuk ordo waktu autoregressive berbeda di lokasi 1 dapat dilihat pada Gambar 4.2.2, plot series yang disimbolkan Y1 berada di sekitar nilai tengahnya. Plot ACF yang terbentuk berpola tails off dan PACF berpola cuts off di lag ke-2. Hal ini dapat dikatakan stasioner dan berpola AR (2). Lokasi 3 mempunyai pola ACF dan PACF yang sama seperti Lokasi 1, sedangkan untuk Lokasi 2 mempunyai pola PACF yang cuts off di lag ke-1 yang artinya berpola AR (1). Berdasarkan hasil analisis yang didapat bahwa data sesuai dengan desain simulasi awal. Hasil lebih lengkap untuk lokasi 2 dan 3 ordo
autoregressive berbeda ini dapat dilihat pada Lampiran 5.
Selain secara eksploratif, penentuan kestasioneran dapat dilakukan secara uji formal, yaitu dengan menggunakan uji Augmented Dickey-Fuller (ADF) dimana Hipotesis alternatifnya adalah data stasioner. Hasil uji kestasioneran lokasi 1,2, dan 3 untuk ordo autoregressive sama dan berbeda dapat dilihat pada Tabel 4.2.1
Ordo Lokasi Rho Nilai p Tau Nilai p
Sama 1 -39.0816 <.0001 -4.42 <.0001 2 -24.4946 0.0002 -3.47 0.0007 3 -34.0587 <.0001 -4.08 <.0001 Berbeda 1 -63.4547 <.0001 -5.68 <.0001 2 -67.3972 <.0001 -5.69 <.0001 3 -46.7677 <.0001 -4.8 <.0001
Tabel 4.2.1 menjelaskan bahwa data di Lokasi 1, 2, dan 3 untuk ordo
autoregressive sama dan berbeda sudah memenuhi asumsi kestasioneran, hal ini dapat dilihat dari nilai-p, yaitu baik dalam statistik Rho maupun Tau yang nilainya
Tabel 4.2.1 Uji ADF AR untuk lokasi 1,2 , dan 3
selalu lebih kecil dari nilai α (0.05), sehingga dapat disimpulkan bahwa data stasioner dalam rataan.
Model tentatif dapat dilihat dari nilai BIC dari setiap ordo waktu, nilai BIC terkecil menunjukkan model Autoregressive terbaik. Nilai BIC tentatif untuk ordo
autoregressive sama dan berbeda dapat dilihat pada Tabel 4.2.2.
Ordo Lokasi Beda Kala Nilai BIC
Sama 1 1 -0.10579 2 1 -0.10162 3 1 -0.11415 Berbeda 1 2 -0.34175 2 1 -0.13124 3 2 0.11318
Tabel 4.2.2 merupakan nilai Bayesian Information Criterion (BIC) terkecil dari berbagai kombinasi beda kala di setiap lokasi. Berdasarkan hasil analisis, untuk ordo autoregressive sama didapatkan nilai BIC terkecil di beda kala 1, artinya di lokasi 1, 2, dan 3 model terbaik adalah model AR (1). Sedangkan untuk ordo autoregressive berbeda didapatkan nilai BIC terkecil di lokasi 1 yaitu AR (2), lokasi 2 yaitu AR (1), dan lokasi 3 yaitu AR (2). Hal ini sesuai dengan proses desain pembangkitan data. Program SAS 9.3 ini menampilkan kombinasi nilai BIC hingga beda kala (lag) ke 5 untuk setiap pola autoregressive dan moving average. Hasil selengkapnya untuk kombinasi nilai BIC ini dapat dilihat pada Lampiran 6 untuk ordo sama dan Lampiran 7 untuk ordo berbeda.
Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter model Autoregressive menggunakan metode Ordinary Least Squares (OLS). Dugaan parameter mengikuti model :
, untuk AR (1)
, untuk AR (2)
Hasil dugaan parameter untuk ordo autoregressive sama dapat dilihat pada Tabel 4.2.3 untuk setiap lokasi.
Lokasi Parameter Nilai Dugaan Galat Baku Nilai-t Nilai p Pr > |t| 1 0.64637 0.08147 7.93 <.0001 2 0.71949 0.0739 9.74 <.0001 3 0.65416 0.08058 8.12 <.0001
Tabel 4.2.2 Nilai BIC tentatif AR
Berdasarkan Tabel 4.2.3 dapat dilihat bahwa parameter AR(1) nyata secara statistik. Hal ini dapat dilihat dari nilai-p ( <0.0001 ) kurang dari nilai α (0.05) di semua lokasi. Oleh karena itu, model Autoregressive (1) yang terbentuk adalah : Lokasi 1 :
Lokasi 2 :
Lokasi 3 :
Sedangkan hasil dugaan parameter untuk ordo autoregressive berbeda dapat dilihat pada Tabel 4.2.4.
Lokasi Parameter Nilai
Dugaan Galat Baku Nilai-t
Nilai p Pr > |t| 1 1.3425 0.08384 16.01 <.0001 -0.618 0.08384 -7.37 <.0001 2 0.3418 0.09971 3.43 0.0009 3 1.05547 0.09898 10.66 <.0001 -0.38326 0.0991 -3.87 0.0002
Tabel 4.2.4 menjelaskan bahwa parameter AR(2) nyata secara statistik di lokasi 1 dan 3 sedangkan AR(1) nyata di lokasi 2. Hal ini dapat dilihat dari nilai
p-value ( <0.0001;0.0009;0.0002) kurang dari nilai α (0.05). Oleh karena itu,
model Autoregressive (2) dan Autoregressive (1) yang terbentuk adalah : Lokasi 1 :
Lokasi 2 :
Lokasi 3 :
Analisis Sisaan
Sisaan yang didapatkan dari model ini dilihat asumsi kebebasan dan kenormalannya. Uji kebebasan sisaan menggunakan uji Box-Pierce Q. Hipotesis alternatif untuk uji kebebasan adalah sisaan tidak saling bebas sedangkan uji kenormalan dapat dilihat dari histogram atau qq-plot, sisaan menyebar normal jika membentuk lonceng pada histogram dan berbentuk garis lurus pada qq-plot.
Kebebasan sisaan dapat dilihat pada Tabel 4.2.5 untuk ordo autoregressive sama dan berbeda di setiap lokasi. Kenormalan sisaan dapat dilihat pada Gambar 4.2.3 untuk Lokasi 1 ordo autoregressive sama dan berbeda.
Ordo Beda Kala Lokasi 1 2 3 Sama 6 0.9500 0.6394 0.6683 12 0.7326 0.4287 0.1635 18 0.7721 0.1716 0.2151 24 0.6831 0.4069 0.1794 Berbeda 6 0.5050 0.5987 0.4563 12 0.7891 0.7615 0.4180 18 0.1516 0.8862 0.3044 24 0.4133 0.7114 0.3083
Tabel 4.2.5 merupakan nilai-p untuk analisis kebebasan sisaan model AR(p) di setiap lokasi untuk ordo autoregressive sama dan berbeda. Tabel ini menjelaskan bahwa kebebasan sisaan di Lokasi 1,2, dan 3 sudah terpenuhi, hal ini dapat dilihat dari nilai nilai-p di semua lag (0.95 ; 0.7326 ; ... ; 0.3044 ; 0.3083) lebih dari nilai α (0.05). Hasil lebih lengkapnya untuk uji kebebasan sisaan ini dapat dilihat dari output SAS 9.3 pada Lampiran 8 untuk ordo sama dan Lampiran 9 untuk ordo berbeda.
Gambar 4.2.3 merupakan analisis kenormalan sisaan. Gambar diatas untuk ordo autoregressive sama sedangkan yang dibawahnya untuk ordo berbeda.
Tabel 4.2.5 Kebebasan sisaan AR (p) lokasi 1,2, dan 3
Berdasarkan gambar bahwa kenormalan sisaan di Lokasi 1 sudah terpenuhi, hal ini dapat dilihat dari bentuk histogram yang menyerupai lonceng simetris, selain itu dilihat dari qq-plot membentuk garis lurus. Pola yang sama diperlihatkan untuk lokasi 2 dan 3 yang dapat dilihat dari output SAS 9.3 pada Lampiran 10 untuk ordo autoregressive sama dan Lampiran 11 untuk ordo berbeda.
Peramalan
Proses peramalan ini dilakukan sebanyak 10 waktu dari model yang sudah didapat. Setelah didapat hasil peramalannya kemudian dihitung nilai ketepatan peramalannya dengan 10 waktu data asli dengan menggunakan nilai Root Mean Square Error (RMSE). Berikut contoh perhitungan peramalan data ke-91 untuk lokasi 1, 2, dan 3 untuk ordo autoregressive sama :
Model AR(1) sebagai berikut : Lokasi 1 :
Lokasi 2 :
Lokasi 3 :
Kemudian jika diketahui data hasil bangkitan ke-90 di setiap lokasi sebagai berikut :
z1(90) = 1.10354, z2(90) = 0.8278, dan z3(90) = 0.89882
maka peramalan data ke-91 di setiap lokasi adalah sebagai berikut : Lokasi 1 : Lokasi 2 : Lokasi 3 :
Cara yang sama digunakan untuk mendapatkan nilai ramalan ke-92 sampai ke-100 sehingga diperoleh nilai peramalan di 3 lokasi pada Tabel 4.2.6.
Observasi (t) Peramalan z1(t) z2(t) z3(t) 91 0.71330 0.59560 0.58800 92 0.46110 0.42850 0.38460 93 0.29800 0.30830 0.25160 94 0.19260 0.22180 0.16460 95 0.12450 0.15960 0.10770 96 0.08050 0.11480 0.07040 97 0.05200 0.08260 0.04610 98 0.03360 0.05940 0.03010 99 0.02170 0.04280 0.01970 100 0.01400 0.03080 0.01290
Sedangkan contoh perhitungan peramalan data ke-91 untuk lokasi 1, 2, dan 3 untuk ordo autoregressive berbeda adalah sebagai berikut :
Jika diketahui :
Model AR(p) sebagai berikut :
Lokasi 1 :
Lokasi 2 :
Lokasi 3 :
Kemudian jika diketahui data hasil bangkitan ke-89 dan ke-90 di setiap lokasi sebagai berikut :
z1(89) = -0.0086, z1(90) = 0.22198, z2(90) = -0.4337, dan
z3(89) = -0.8977, z3(90) = 0.3606
maka peramalan data ke-91 di setiap lokasi adalah sebagai berikut : Lokasi 1 : Lokasi 2 : Lokasi 3 :
Cara yang sama digunakan untuk mendapatkan nilai ramalan ke-92 sampai ke-100 sehingga diperoleh nilai peramalan di 3 lokasi pada Tabel 4.2.7.
Observasi (t) Peramalan z1(t) z2(t) z3(t) 91 0.30330 -0.14820 0.72470 92 0.27000 -0.05070 0.62670 93 0.17500 -0.01730 0.38370 94 0.06810 -0.00590 0.16480 95 -0.01670 -0.00200 0.02690 96 -0.06450 -0.00070 -0.03480 97 -0.07630 -0.00020 -0.04700 98 -0.06260 -0.00010 -0.03630 99 -0.03680 0.00000 -0.02030 100 -0.01080 0.00000 -0.00750
Setelah didapatkan nilai peramalan di setiap lokasi, maka langkah selanjutnya adalah mencari nilai ketepatan peramalannya, yaitu dengan mencari
nilai RMSE. Nilai ini pada dasarnya yaitu membandingkan antara nilai peramalan model dengan nilai asli hasil bangkitan.
Jika diketahui nilai data asli hasil bangkitan ke-91 sampai ke-100 untuk data ordo
autoregressive sama adalah sebagai berikut :
Observasi (t) Nilai Asli
z1(t) z2(t) z3(t) 91 1.4118 0.41507 0.68711 92 0.5692 0.36166 0.20667 93 -0.12474 -0.378 -0.57931 94 0.4194 0.64387 0.50875 95 -0.61449 -2.75118 -2.24731 96 0.07767 -4.02016 -2.23841 97 1.28625 -3.38057 -1.06088 98 1.14235 -3.1186 -1.15384 99 -1.0069 -0.83444 -1.70647 100 0.28352 0.89855 0.43823
Maka perhitungan nilai Root Mean Squared Error (RMSE) untuk ordo
autoregressive sama di setiap lokasi adalah sebagai berikut : Lokasi 1 : √ Lokasi 2 : √ Lokasi 3 : √
Kemudian jika diketahui nilai data asli hasil bangkitan ke-91 sampai ke-100 untuk data ordo autoregressive berbeda adalah sebagai berikut :
Observasi (t) Nilai Asli z1(t) z2(t) z3(t) 91 0.21248 1.19999 1.27961 92 -0.08624 0.52783 0.63877 93 -2.4544 -0.76387 -1.81507 94 -1.40745 -1.39568 -1.6807 95 0.16787 1.15772 0.60448 96 1.00749 -0.90331 0.12074 97 2.88539 -0.01945 1.93779 98 2.69251 1.49 2.67683 99 2.39886 1.31187 2.32801 100 3.32847 2.30428 3.61609
Maka perhitungan nilai Root Mean Squared Error (RMSE) untuk ordo berbeda adalah sebagai berikut :
Lokasi 1 : √ Lokasi 2 : √ Lokasi 3 : √
Hasil RMSE ini dapat diringkas pada Tabel 4.2.10. Nilai RMSE tersebut merupakan ketepatan peramalan yang akan digunakan untuk melihat kinerja antar metode ruang dan waktu dalam peramalan.
Ordo Lokasi RMSE
Sama 1 0.71827 2 2.23323 3 1.32344 Berbeda 1 2.09416 2 1.26698 3 1.97108
Model Vector Autoregressive (VAR)
Pemodelan ini dilakukan secara simultan di semua lokasi, artinya pendugaan parameter diduga secara bersama-sama di 3 lokasi dan kemudian dicari ketepatan peramalannya. Hal pertama yang dilakukan adalah membagi 100 data bangkitan menjadi 2 bagian, untuk pemodelan dan ketepatan peramalan. Dari 100 data waktu yang dibangkitkan, 90 data digunakan untuk pemodelan sedangkan 10 data digunakan untuk mencari ketepatan peramalannya, yaitu RMSE.
Kestasioneran dan model tentatif
Kestasioneran model VAR dapat dilihat nilai akar ciri dari matriks parameter VAR. Model VAR dikatakan stasioner jika akar ciri matriks parameter kurang dari satu. Model tentatif VAR dapat dilihat dari nilai AICC terkecil dari kombinasi pola AR dan MA. Hasil akar ciri matriks parameter untuk ordo
autoregressive sama dapat dilihat pada Tabel 4.3.1, sedangkan untuk ordo
autoregressive berbeda dapat dilihat pada Tabel 4.3.2
Akar
Ciri Real Imaginary Modulus Radian Degree 1 0.7314 0.0485 0.7330 0.0662 3.7913 2 0.7314 -0.0485 0.7330 -0.0662 -3.7913 3 0.6436 0.0000 0.6436 0.0000 0.0000
Tabel 4.3.1 menjelaskan bahwa model VAR sudah stabil / stasioner. Hal ini dapat dilihat dari 3 nilai modulus akar ciri dari matriks parameter yang semuanya kurang dari 1. Oleh sebab itu tidak perlu proses pembedaan untuk analisis lebih lanjut.
Akar Ciri Real Imaginary Modulus Radian Degree 1 0.78494 0.41622 0.8885 0.4876 27.9354 2 0.78494 -0.41622 0.8885 -0.4876 -27.9354 3 0.62667 0.40007 0.7435 0.5682 32.5545 4 0.62667 -0.40007 0.7435 -0.5682 -32.5545 5 0.05667 0.36181 0.3662 1.4154 81.0976 6 0.05667 -0.36181 0.3662 -1.4154 -81.0976
Akar ciri dari matriks parameter yang terbentuk berjumlah 6 karena mengikuti jumlah parameter VAR (2). Berdasarkan Tabel 4.3.2 dapat dilihat bahwa nilai modulus dari 6 akar ciri matriks parameter bernilai kurang dari 1, oleh karena itu dapat dikatakan model VAR (2) memenuhi asumsi kestasioneran.
Tabel 4.3.1 Kestasioneran model VAR (1) ordo sama
Pemilihan model terbaik pada VAR menggunakan kriteria Akaike Information Corrected Criterion (AICC). Sama halnya dengan BIC pada model AR, Nilai AICC terkecil merupakan model terbaik. Pada sistem SAS ini, akan dihasilkan kombinasi AICC hingga beda kala 5. Berikut hasil nilai AICC terkecil untuk ordo autoregressive sama di semua lokasi pada Tabel 4.3.3
Beda Kala MA 0 MA 1 MA 2 MA 3 AR 0 -1.749434 -2.344852 -2.7021 -2.92701 AR 1 -3.761969 -3.732548 -3.63682 -3.55269 AR 2 -3.640881 -3.744494 -3.53987 -3.4466 AR 3 -3.457788 -3.520692 -3.45553 -3.21344
Tabel 4.3.3 menjelaskan berbagai nilai AICC di lokasi 1, 2, dan 3 secara simultan untuk model VARMA (p;q) secara tentatif. Hasil ini hanya memperlihatkan hingga ordo waktu p dan q sebesar 3. Berdasarkan hasil analisis didapatkan nilai AICC terkecil (-3.761969) yaitu model VARMA (1;0) atau dengan kata lain model VAR (1) merupakan model terbaik.
Beda Kala MA 0 MA 1 MA 2 MA 3
AR 0 -0.280728 -0.858576 -1.433884 -1.88031 AR 1 -2.763326 -3.281666 -3.532297 -3.57785 AR 2 -3.965256 -3.97641 -3.85517 -3.66792 AR 3 -3.776917 -3.832328 -3.692657 -3.46733
Berdasarkan Tabel 4.3.4 diatas dapat dlihat nilai AICC terkecil (-3.97641) yaitu model VARMA (2;1), namun karena penelitian ini dibatasi dengan pola
autoregressive dan nilai AICC terkecil tidak berbeda jauh dengan model VARMA (2;0) atau VAR (2), yaitu -3.965256 maka model terbaik dianggap model VAR(2). Hal ini dimungkinkan dapat terjadi untuk model VAR (p) karena pengaruh ordo waktu yang berbeda dari AR di setiap lokasi, tetapi yang terpenting adalah pola AR di setiap lokasi sesuai dengan data bangkitan awal.
Pendugaan Parameter
Pendugaan parameter model Vector Autoregressive menggunakan metode
Ordinary Least Squares (OLS). Dugaan parameter mengikuti model :
, untuk VAR (1) Maka model VAR (1) menjadi :
Lokasi 1 :
Lokasi 2 :
Lokasi 3 :
Tabel 4.3.3 Nilai AICC tentatif VAR ordo sama
, untuk VAR (2) Maka model VAR (2) menjadi :
Lokasi 1:
Lokasi 2:
Lokasi 3:
Hasil dugaan parameter VAR(1) ordo autoregressive sama dapat dilihat pada Tabel 4.3.5 untuk setiap lokasi sedangkan untuk ordo berbeda pada Tabel 4.3.6.
Lokasi Parameter Nilai
Dugaan Galat Baku Nilai t Nilai p Peubah
1 0.62732 0.33998 1.85 0.0685 z1(t-1) -0.01713 0.22631 -0.08 0.9398 z2(t-1) 0.02665 0.4461 0.06 0.9525 z3(t-1) 2 -0.13439 0.34346 -0.39 0.6966 z1(t-1) 0.67176 0.22863 2.94 0.0042 z2(t-1) 0.11194 0.45067 0.25 0.8044 z3(t-1) 3 -0.12497 0.33659 -0.37 0.7113 z1(t-1) -0.06734 0.22405 -0.3 0.7645 z2(t-1) 0.80723 0.44165 1.83 0.0711 z3(t-1)
Tabel 4.3.5 menjelaskan bahwa parameter VAR(1) yang nyata secara statistik hanya z2(t-1) pada lokasi 2. Hal ini dapat dilihat dari nilai-p ( 0.0042 )
kurang dari nilai α (0.05). Oleh karena itu, model VAR (1) yang terbentuk adalah: Lokasi 1 :
Lokasi 2 :
Lokasi 3 :
Tabel 4.3.6 menjelaskan bahwa parameter VAR(2) yang nyata secara statistik hanya z1(t-1) dan z1(t-2) pada lokasi 1, z2(t-1) dan z3(t-1) . Hal ini dapat dilihat dari nilai-p kurang dari nilai α (0.05). Oleh karena itu, model VAR (2)
yang terbentuk adalah :
Lokasi 1 : Lokasi 2 : Lokasi 3 :
Lokasi Parameter Nilai
Dugaan Galat Baku Nilai t Nilai p Peubah
1 1.5713 0.29159 5.39 0.0001 z1(t-1) -0.03078 0.2257 -0.14 0.8918 z2(t-1) -0.26717 0.39534 -0.68 0.5011 z3(t-1) -0.63261 0.28808 -2.2 0.0309 z1(t-2) 0.01252 0.24379 0.05 0.9592 z2(t-2) 0.02941 0.39991 0.07 0.9416 z3(t-2) 2 0.48086 0.3156 1.52 0.1315 z1(t-1) 0.02465 0.24428 0.1 0.9199 z2(t-1) 0.03276 0.4279 0.08 0.9392 z3(t-1) -0.30243 0.3118 -0.97 0.3349 z1(t-2) -0.17361 0.26387 -0.66 0.5124 z2(t-2) 0.10313 0.43285 0.24 0.8123 z3(t-2) 3 0.29162 0.30551 0.95 0.3426 z1(t-1) -0.81119 0.23647 -3.43 0.0009 z2(t-1) 1.34061 0.41421 3.24 0.0017 z3(t-1) -0.07047 0.30183 -0.23 0.816 z1(t-2) 0.30034 0.25542 1.18 0.2431 z2(t-2) -0.66006 0.419 -1.58 0.119 z3(t-2) Fokus dari penelitian ini adalah peramalan, oleh sebab itu parameter yang tidak nyata tetap dimasukkan ke dalam model agar memberikan bobot parameter yang sama untuk peramalan.
Analisis Sisaan
Diagnostik sisaan akan dianalisis secara multivariate dan univariate. Uji kebebasan sisaan multivariate menggunakan Uji Portmanteau Q dengan hipotesis alternatif nya adalah sisaan tidak saling bebas. Uji sisaan univariate dilakukan di masing-masing model tiap lokasi. Uji Durbin-Watson untuk menguji kebebasan sisaan, Uji ARCH untuk menguji kehomogenan dengan hipotesis alternatifnya sisaan tidak homogen, dan Uji Jarque-Bera untuk menguji normalitas dengan hipotesis alternatifnya sisaan tidak normal. Uji Portmanteau Q dapat dilihat pada Tabel 4.3.7, Uji Durbin-Watson, ARCH, dan Jarque-Bera pada Tabel 4.3.8
Ordo Beda kala db
Khi-kuadrat Nilai p
Sama 2 9 8.52 0.4823
3 18 18.23 0.4407 Berbeda 3 9 10.73 0.2948
Tabel 4.3.7 menjelaskan bahwa sisaan model VAR untuk ordo
autoregressive sama dan berbeda sudah memenuhi asumsi kebebasan. Hal ini dapat dilihat dari nilai-p(0.4823;0.4407;0.2948)yang lebih dari α (0.05).
Ordo Lokasi Kebebasan Kenormalan Kehomogenan Khi-kuadrat Nilai p Nilai F Nilai p
Sama 1 1.85199 5.1 0.0781 0.03 0.8584 2 1.90813 1.13 0.5695 0.1 0.7485 3 1.8922 3.57 0.1677 0.04 0.8371 Berbeda 1 2.00233 0.39 0.8219 0.04 0.8393 2 2.03684 5.84 0.0538 0.21 0.6461 3 1.9953 0.76 0.6829 0.66 0.4198
Tabel 4.3.8 menjelaskan bahwa sisaan model VAR untuk ordo
autoregressive sama dan berbeda sudah memenuhi asumsi kebebasan, kehomogenan dan kenormalan. Hal ini dapat dilihat dari nilai statistik Durbin-Watson yang 1.726 < DW < 2.274 untuk uji kebebasan, nilai-p (0.8584;0.7485; ... ;0.6461;0.4198) yang lebih dari α (0.05) untuk uji kehomogenan, dan nilai-p (0.0781;0.5695; ... ;0.0538;0.6829)yang lebih dari α (0.05) untuk uji kenormalan,
artinya adalah asumsi kebebasan, kehomogenan, dan kenormalan sisaan sudah terpenuhi.
Peramalan
Proses peramalan ini dilakukan sebanyak 10 waktu dari model yang sudah didapat. Setelah didapat hasil peramalannya kemudian dihitung nilai ketepatan peramalannya dengan 10 waktu data asli dengan menggunakan nilai Root Mean Square Error (RMSE). Berikut contoh perhitungan peramalan data ke-91 untuk ordo autoregressive sama :
Jika diketahui :
Model VAR(1) sebagai berikut :
Lokasi 1 :
Lokasi 2 :
Lokasi 3 :
Kemudian jika diketahui data hasil bangkitan ke-90 di setiap lokasi sebagai berikut :
z1(90) = 1.10354, z2(90) = 0.8278, dan z3(90) = 0.89882
maka peramalan data ke-91 di setiap lokasi adalah sebagai berikut : Tabel 4.3.8 Uji univariate sisaan VAR
Lokasi 1 : Lokasi 2 : Lokasi 3 :
Cara yang sama digunakan untuk mendapatkan nilai ramalan ke-92 sampai ke-100 sehingga diperoleh nilai peramalan di 3 lokasi dapat dilihat pada Tabel 4.3.9 . Observasi (t) Peramalan z1(t) z2(t) z3(t) 91 0.70203 0.50840 0.53191 92 0.44586 0.30672 0.30741 93 0.28263 0.18053 0.17178 94 0.17878 0.10252 0.09119 95 0.11283 0.05505 0.04436 96 0.07102 0.02678 0.01801 97 0.04457 0.01046 0.00386 98 0.02788 0.00147 -0.00316 99 0.01738 -0.00311 -0.00614 100 0.01079 -0.00511 -0.00692
Sedangkan contoh perhitungan peramalan data ke-91 untuk ordo autoregressive
berbeda : Jika diketahui :
Model VAR(2) sebagai berikut :
Lokasi 1 : Lokasi 2 : Lokasi 3 :
Kemudian jika diketahui data hasil bangkitan ke-89 dan ke-90 di setiap lokasi sebagai berikut :
z1(89) = -0.0086, z1(90) = 0.22198, z2(89) = -1.9711, z2(90) = -0.4337, dan z3(89) = -0.8977, z3(90) = 0.3606
maka peramalan data ke-91 di setiap lokasi adalah sebagai berikut : Lokasi 1 : ( ( ( ( Lokasi 2 : ( ( ( ( Lokasi 3 : ( ( ( (
Cara yang sama digunakan untuk mendapatkan nilai ramalan ke-92 sampai ke-100 sehingga diperoleh nilai peramalan di 3 lokasi seperti pada Tabel 4.3.10.
. Observasi (t) Peramalan z1(t) z2(t) z3(t) 91 0.22013 0.36008 0.90111 92 -0.0412 0.18959 0.59622 93 -0.33811 -0.03177 0.13133 94 -0.51941 -0.11803 -0.23046 95 -0.53359 -0.13891 -0.43708 96 -0.39705 -0.12051 -0.47561 97 -0.17015 -0.06906 -0.37126 98 0.06964 -0.00373 -0.18559 99 0.25498 0.05248 0.01083 100 0.34658 0.0847 0.16278
Setelah didapatkan nilai peramalan di setiap lokasi, maka langkah selanjutnya adalah mencari nilai ketepatan peramalannya, yaitu dengan mencari nilai RMSE. Nilai ini pada dasarnya yaitu membandingkan antara nilai peramalan model dengan nilai asli hasil bangkitan.
Jika diketahui nilai data asli hasil bangkitan ke-91 sampai ke-100 adalah seperti pada Tabel 4.2.8 untuk ordo autoregressive sama dan Tabel 4.2.9 untuk ordo berbeda, maka perhitungan nilai Root Mean Squared Error (RMSE) untuk ordo sama adalah sebagai berikut :
Lokasi 1 :
√
Lokasi 2 : √ Lokasi 3 : √
Sedangkan perhitungan untuk ordo autoregressive berbeda adalah sebagai berikut: Lokasi 1 : √ Lokasi 2 : √ Lokasi 3 : √
Hasil RMSE ini dapat diringkas pada Tabel 4.3.11. Nilai RMSE tersebut merupakan ketepatan peramalan yang akan digunakan untuk melihat kinerja antar metode ruang dan waktu dalam peramalan.
Ordo Lokasi RMSE
Sama 1 0.71967 2 2.18200 3 1.29085 Berbeda 1 1.93489 2 1.18442 3 1.95696
Model Space Time Autoregressive (STAR)
Pemodelan ini dilakukan secara simultan di semua lokasi, artinya pendugaan parameter diduga secara bersama-sama di 3 lokasi dan kemudian dicari ketepatan peramalannya. Berbeda dengan model VAR, Model STAR ini memasukkan unsur pengaruh kedekatan lokasi dalam perhitungannya. Matriks pembobot Queen Contiguity ditetapkan sebagai gambaran kedekatan 3 lokasi ini. Matriks ini dibentuk sesuai dengan posisi lokasi pada Gambar 3.1 sehingga terbentuklah matriks pembobot sebagai berikut :