Interaksi antara fluida dengan materi dapat dimodelkan dengan menggunakan la-grangian pada persamaan (2.11) untuk kasus Abelian. Dalam persamaan tersebut terdapat suku boson yang merepresentasikan materi dan suku medan gauge yang merepresentasikan fluida, dimana telah dibahas sebelumnya, lagrangian untuk medan gauge bila dimasukkan ke persamaan Euler-Lagrange dan memasukkan bentuk Aµ pada persamaan (2.16) akan menghasilkan persamaan Navier Stokes.
Lagrangian pada persamaan (2.11) dapat ditulis dalam bentuk L = (Dµφ∗)(Dµφ) − m2φ∗φ − 1
4FµνFµν (4.1)
dengan Dµ ialah turunan kovarian yang didefinisikan sebagai berikut,
Dµ= ∂µ+ igAµ (4.2)
substitusi Dµ ke persamaan (4.1),
L = (∂µφ∗)(∂µφ) + ig[φ(∂µφ∗) − (∂µφ)φ∗]Aµ+ g2AµAµφ∗φ − m2φ∗φ − 1
4FµνFµν. (4.3) Pada persamaan di atas kita dapat melihat adanya interaksi antara materi (bo-son) dengan fluida (medan gauge). Permasalahan yang muncul ketika kita hen-dak melakukan perhitungan dari lagrangian di atas ialah tihen-dak diketahuinya besar konstanta kopling interaksi g sehingga tidak ada jaminan perhitungan secara per-turbatif, seperti yang pada umumnya dilakukan untuk perhitungan path integral, dapat dilakukan. Dengan demikian, evaluasi path integral harus dilakukan secara nonperturbatif.
Untuk menghitung path integral secara nonperturbatif, dapat dilakukan dengan menyusun aksi pada persamaan (4.1) dalam ruang waktu diskrit seperti yang dijelaskan pada bab 3. Sebelum melakukan diskritisasi, perhatikan lagrangian untuk medan skalar kompleks
L = (∂µφ∗)(∂µφ) − m2φ∗φ (4.4) Aksi dari lagrangian tersebut ialah
S = Z
d4x(∂µφ∗)(∂µφ) − m2φ∗φ
(4.5) Dengan menggunakan skema diskritisasi yang telah dijelaskan pada bab 3, yaitu dengan terlebih dahulu melakukan rotasi ke waktu imajiner maka lagrangian pada persamaan (4.4) dapat ditulis dalam bentuk diskrit
S = a4X
Aksi di atas jelas tidak invarian terhadap transformasi gauge lokal pada persama-an (3.39) dpersama-an (3.40). Bentuk ypersama-ang invaripersama-an diperoleh dengpersama-an memperkenalkpersama-an variabel link Uµxyang di dalamnya terdapat medan gauge Aµ, sehingga diperoleh aksi medan skalar kompleks yang invarian
S = a4X
Kita dapat memeriksa apakah aksi lattice di atas dapat kembali ke bentuk aksi kontinu bila kita ambil jarak antar kisi a → 0. Dengan melakukan ekspansi Uµ pada persamaan (3.50) menjadi
Ux,x+aˆµ = eigaAµx
dimana, Substitusi persamaan (4.13) - (4.17) ke persamaan (4.12), ambil bagian real dari aksi dan a → 0 didapat
S = Z
d4x(Dµφ∗)(Dµφ) + m2φ∗φ
(4.13) Maka aksi yang akan digunakan pada simulasi tugas akhir ini ialah aksi boson pada persamaan (4.7) dan aksi dari medan gauge pada persamaan (3.53),
Stotal[φ, U ] = Sboson[φ] + SG[U ] (4.14)
Berikutnya, kita dapat menghitung selisih energi ∆E dengan terlebih dahulu menghitung propagator pada suatu titik dan waktu tertentu. Dari definisi pro-pagator dalam ruang waktu Euclidean pada persamaan (3.15),
G(τ ) = h0| φ∗(x1)φ(x2) |0i
= h0| φ∗(~x, τ )φ(~x, 0) |0i
= h0| eHτφ∗(~x, 0)e−Hτφ(~x, 0) |0i
= h0| φ∗(~x, 0)e−(H−E0)τφ(~x, 0) |0i
dimana H merupakan operator Hamiltonian yang energi pada keadaan dasar-nya E0, H |0i = E0 dan τ merupakan waktu Euclidean. Dengan memasukkan complete set dari eigenstate energi
X
n
|ni hn| = 1 (4.17)
diperoleh
Untuk waktu Euclidean yang besar, τ → ∞ maka keadaan yang berkontribusi hanya keadaan dasar dan eksitasi pertama
G(τ )τ besar−→ X
n
|h0| φ(~x, 0) |1i|2e−(E1−E0)τ. (4.19)
Sehingga kita dapat mengekstrak selisih energi sebagai berikut G(τ )
Perhitungan propagator dilakukan menggunakan simulasi Monte Carlo dengan mengevaluasi path integral yang berbentuk
G(τ ) = h0| φ∗(x1)φ(x2) |0i
Konfigurasi acak yang memiliki probabilitas P [φα] ∝ e−S[φ,U ]
dibangkitkan dengan menggunakan algoritma Metropolis yang dijelaskan pada Lampiran A.
Simulasi dilakukan pada lattice 4 dimensi dengan jumlah titik kisi 83× 32 dengan jarak antar titik kisi a = 0, 5 fm, yang berarti volume lattice yang digunakan
0 50 100 150 200 v (m/s)
0 5 10 15
∆E (x 0,197 GeV)
Gambar 4.1: Grafik ∆E terhadap kecepatan fluida vuntuk g = 1.
ialah 43 × 16 fm4, dan beberapa jumlah konfigurasi Ncf, massa materi m = 1 dan 500 GeV, serta untuk 2 nilai konstanta kopling interaksi g yang berbeda, yaitu g = 1 dan g = 0.01 untuk melihat bagaimana pengaruh konstanta ko-pling interaksi g pada perubahan energi. Untuk melihat pengaruh dari besarnya konstanta kisi yang digunakan terhadap simulasi, nilai a dan at juga divaria-sikan. Dari konfigurasi sebanyak Ncf yang dibangkitkan, kita akan memperoleh nilai ∆E sebanyak Ncf buah. Kita dapat merata-ratakan secara langsung untuk memperoleh estimasi Monte Carlo dari ∆E. Selain dirata-ratakan secara lang-sung, perhitungan estimasi Monte Carlo dari ∆E juga dapat dilakukan dengan prosedur bootstrap sampling. Prosedur ini bertujuan untuk memperkecil kesalah-an statistik. Prosedur bootstrap sampling dilakukkesalah-an dengkesalah-an membuat ”bootstrap copy” dari konfigurasi yang dihasilkan dari simulasi Monte Carlo, yaitu dengan memilih ∆E secara acak dari konfigurasi yang ada sebanyak Ncf kali. Dengan demikian akan ditemui nilai ∆E yang terulang, namun ada juga yang tidak mun-cul. Dari ensemble baru yang dimiliki, dapat dirata-ratakan untuk memperoleh nilai estimasi Monte Carlo untuk ∆E yang baru.
0 50 100 150 200 v (m/s)
0 5 10 15
∆E (x 0,197 GeV)
Gambar 4.2: Grafik ∆E terhadap kecepatan fluida v untuk g = 0.01.
Gambar (4.1) merupakan hasil simulasi untuk g = 1, sementara Gambar (4.2) merupakan hasil simulasi untuk g = 0, 01, keduanya menggunakan m = 1 GeV.
∆E untuk g = 1 pada kecepatan fluida yang rendah (v < 40 m/s) memiliki nilai yang semakin besar terhadap v, begitu pula untuk untuk v yang besar (v > 160 m/s). Sementara di sekitar kecepatan fluida 40 - 60 m/s nilai ∆E berfluktuasi pada nilai 3-5 (×0, 197 GeV). Untuk hasil simulasi dengan g = 0, 01, sama halnya dengan g = 1, pada kecepatan rendah (< 40 m/s) memiliki nilai yang semakin besar terhadap kecepatan v sementara untuk kecepatan besar (v >
160 m/s) nilai ∆E berkurang bila kecepatan bertambah. Kemudian pada 40 <
v < 160 m/s, nilai ∆E juga berfluktuasi, namun dengan nilai yang sedikit lebih besar dibandingkan dengan yang teramati pada kasus g = 1. Dari sini kita mengetahui bahwa dalam intraksi fluida dengan materi untuk kecepatan yang besar, nilai konstanta kopling yang besar akan menghasilkan ∆E yang bertambah besar, sementara untuk konstanta kopling interaksi yang kecil, g ≪ 1, ∆E akan berkurang bila v semakin besar. Dengan demikian, kebergantungan terhadap g pada interaksi fluida dengan materi tidak terlalu signifikan.
0 50 100 150 200 v (m/s)
0 5 10 15
∆E (x 0,197 GeV)
Ncf = 100 Ncf = 10 Ncf = 50
Gambar 4.3: Grafik ∆E terhadap kecepatan fluida beberapa nilai Ncf.
Hasil simulasi untuk jumlah konfigurasi (Ncf) yang berbeda-beda dapat dilihat pada Gambar (4.3). Grafik tersebut dihasilkan dari simulasi dengan jarak antar titik kisi a = at = 0, 5 fm dan konstanta kopling interaksi g = 1 dengan jum-lah konfigurasi yang digunakan iajum-lah 10, 50 dan 100. Dari hasil yang diperoleh terlihat bahwa perbedaan jumlah konfigurasi yang digunakan memberikan hasil yang sama untuk masing-masing konfigurasi. Bila kita lihat pada persamaan (A.6) perbedaan jumlah konfigurasi yang digunakan akan berpengaruh terhadap besarnya kesalahan statistik dari estimasi Monte Carlo yang dihasilkan, dimana bila Ncf semakin besar maka kesalahan statistiknya akan semakin kecil.
σ2Γ= hhΓ2ii − hhΓii2 Ncf
Namun pada Gambar (4.3), error bar untuk ketiga jumlah konfigurasi, tidak me-nunjukkan perbedaan satu sama lainnya. Nilai kesalahan statistik yang kecil pada simulasi ini disebabkan karena konfigurasi ∆E yang didapat memiliki nilai yang hampir sama, atau dengan kata lain konfigurasi yang dihasilkan sudah stabil. Hal ini disebabkan karena banyaknya update yang dilakukan pada saat termalisasi
ya-0 50 100 150 200 v (m/s)
0 5 10 15
∆E (x 0,197 GeV)
Ncf = 100
Ncf = 100, bootstrap
Gambar 4.4: Grafik ∆E terhadap kecepatan fluida untuk Ncf = 100 dengan dan tanpa bootstrap.
itu sebanyak 200Ncf. Seperti kita ketahui, termalisasi dilakukan agar didapatkan konfigurasi yang stabil sehingga pada saat perhitungan estimasi Monte Carlo te-lah didapatkan konfigurasi yang stabil. Banyaknya update yang dilakukan pada saat termalisasi juga mengakibatkan penggunaan teknik bootstrap sampling pada simulasi ini tidak berpengaruh secara signifikan. Hal ini dapat dilihat pada Gam-bar (4.4) untuk 100 konfigurasi, nilai ∆E yang dihasilkan sama untuk kedua cara (dengan dan tanpa bootstrap), begitu pula dengan nilai kesalahan statistik yang muncul. Adapun kesalahan statistik yang muncul pada simulasi ini diakibatkan karena diskritisasi yang dilakukan.
Gambar (4.5) merupakan hasil simulasi dengan jarak antar titik kisi a yang ber-variasi. Dengan berubahnya a, maka jumlah titik kisi yang harus di-update juga berubah karena volume kisi hiperkubik yang digunakan harus tetap. Pengguna-an nilai a yPengguna-ang semakin kecil mengakibatkPengguna-an jumlah titik kisi yPengguna-ang digunakPengguna-an semakin banyak, sebaliknya bila a makin besar, jumlah titik kisi semakin sedi-kit. Hal ini sangat berpengaruh pada lamanya waktu yang dibutuhkan untuk
0 50 100 150 200 v (m/s)
0 5 10 15 20 25 30
∆E (x 0,197 GeV)
a = at = 0,5 a = 0,4; at = 0,2 a = at = 0,8
Gambar 4.5: Grafik ∆E terhadap kecepatan fluida untuk beberapa nilai a.
mengeksekusi program. Pada tugas akhir ini dilakukan 3 variasi a dengan g = 1 dan digunakan 100 konfigurasi. Yang pertama ialah a = at = 0, 5 fm. Kedua, digunakan a yang lebih kecil yaitu sebesar 0,8 fm dan yang terakhir a dibedakan antara kisi temporal dan spasial, a = 0, 4 fm dan at = 0, 2 fm. Hasil yang di-peroleh ternyata menunjukkan nilai ∆E terhadap v yang berbeda untuk ketiga konfigurasi. Terlihat bahwa semakin kecil a yang digunakan maka ∆E yang di-hasilkan akan semakin besar. Hal ini sesuai dengan persamaan (4.21) untuk ∆E dimana ∆E berbanding terbalik dengan a.
Pada Gambar (4.6) dan (4.7) dapat dilihat hubungan ∆E terhadap kecepatan fluida v bila parameter massa yang digunakan diperbesar, yaitu 500 GeV, dan pada besar konstanta kopling interaksi yang berbeda, yaitu g = 1 dan g = 0, 01.
Terlihat bahwa nilai ∆E cenderung konstan pada kedua grafik, dan dengan atau-pun tanpa bootstrap sampling. Hal ini berarti kontribusi dari interaksi fluida dan materi tidak tampak dan kontribusi yang dominan datang dari massa materi tersebut.
0 50 100 150 200 v (m/s)
0 5 10 15 20
∆E (x 0,197 GeV)
tanpa bootstrap bootstrap
Gambar 4.6: Grafik ∆E terhadap v untuk m = 500 GeV, g = 1 dengan dan tanpa bootstrap sampling.
0 50 100 150 200
v (m/s) 0
5 10 15 20
∆E (x 0,197 GeV)
dengan bootstrap tanpa boostrap
Gambar 4.7: Grafik ∆E terhadap v untuk m = 500 GeV, g = 0, 01 dengan dan tanpa bootstrap sampling.
Bab 5
Kesimpulan
Dari hasil perhitungan dan analisa yang dilakukan pada pemodelan interaksi an-tara fluida dengan materi dengan menggunakan dinamika fluida berbasis teori medan, dapat disimpulkan bahwa hubungan antara energi eksitasi ∆E dengan kecepatan v tidak bergantung secara signifikan pada besarnya konstanta kopling interaksi yang digunakan. Penggunaan jumlah konfigurasi yang berbeda, begitu pula dengan atau tanpa teknik bootstrap sampling, tidak memberikan perbedaan yang signifikan karena update yang dilakukan saat termalisasi jumlahnya cukup banyak sehingga menghasilkan konfigurasi yang stabil. Sementara itu apabila jarak antar titik kisi a diubah, hubungan ∆E dengan v juga berubah dimana se-makin kecil a maka nilai ∆E yang dihasilkan sese-makin besar. Untuk massa materi yang besar, didapatkan bahwa hubungan ∆E terhadap v cenderung konstan dan sama untuk konstanta kopling interaksi yang berbeda. Hal ini menunjukkan bah-wa interaksi materi dan fluida tidak dominan dibandingkan dengan massa materi.
Formulasi dan perhitungan dengan menggunakan lattice gauge theory merupak-an teknik ymerupak-ang menjmerupak-anjikmerupak-an untuk mempelajari lebih lmerupak-anjut sistem-sistem ymerupak-ang dimodelkan dengan menggunakan lagrangian dinamika fluida dimana tidak ada jaminan teori perturbasi berlaku. Selain itu studi lebih lanjut dapat dilakuk-an dengdilakuk-an menambahkdilakuk-an efek-efek lain pada dinamika fluida, seperti viskositas, turbulensi, relativistik dll. serta dapat diaplikasikan pada sistem-sistem yang dimodelkan dengan menggunakan lagrangian fluida.