a. Untuk ? ? ? dengan ( i) . s = 2.6
• Untuk n = 100 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? 0.398107171
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 0.7355431
? ? ? ???????? ?0.04513741
? ??????????? ? -0.00604035
? ?? ???? ?????? ?0.0451739
• Untuk n = 500 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ?0.288539981
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 0.7409718
? ? ? ???????? ?0.01348722
? ??????????? ? -0.00061166
? ?? ???? ?????? ?0.01348759
• Untuk n = 1000 diper oleh bandw idth optimal asim totik
?? ? 0.25118864
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 0.7521936
? ? ? ???????? ?0.007659134
? ??????????? ? 0.01061015
? ?? ???? ?????? ?0.00777171
( ii) . s = 4
• Untuk n = 100 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? 0.398107171
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 2.666556
? ??????????? ? -0.0576152
? ?? ???? ?????? ?0.1685378
• Untuk n = 500 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? ? G? ? ? ? ? ? ? ?
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 2.735687
? ? ? ???????? ?0.04782867
? ??????????? ? 0.0115157
? ?? ???? ?????? ?0.04796128
• Untuk n = 1 000 diper oleh bandw idth optimal asim totik
?? ? 0.25118864
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 2.736957
? ? ? ???????? ?0.02691195
? ??????????? ? 0.0127859
? ?? ???? ?????? ?0.02707543
( iii) . s = 4.9
• Untuk n = 100 diperoleh bandw idth optimal asim totik
?? ? 0.398107171
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 4.904772
? ? ? ???????? ? 0.2684173
? ??????????? ? -0.4890911
? ?? ???? ?????? ? 0.5076274
• Untuk n = 500 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? ? G? ? ? ? ? ? ? ?
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 5.232446
? ? ? ???????? ? 0.09875007
? ??????????? ? -0.1614168
• Untuk n = 1 000 diper oleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? 0.25118864
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 5.281539 ? ? ? ???????? ?0.05205882 ? ??????????? ? -0.1123248 ? ?? ???? ?????? ?0.06467567 b . Untuk ? ? ? ? dengan ( i) . s = 5.2
• Untuk n = 100 diperoleh bandw idth optimal asim totik
?? ? 0.398107171
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 0.6800933
? ? ? ???????? ?0.08767678
? ??????????? ? -0.06149024
? ?? ???? ?????? ?0.09145783
• Untuk n = 500 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? ? G? ? ? ? ? ? ? ?
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 0.7343176
? ? ? ???????? ?0.02228231
? ??????????? ? -0.00726585
? ?? ???? ?????? ?0.0223351
• Untuk n = 1 000 diper oleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? 0.25118864
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 0.7382101
? ? ? ???????? ?0.01493774
? ??????????? ? -0.00337337
( ii) . s = 8
• Untuk n = 100 diperoleh bandw idth optimal asim totik
?? ? 0.398107171
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 2.459011
? ? ? ???????? ?0.2819375
? ??????????? ? -0.2651598
? ?? ???? ?????? ?0.3522472
• Untuk n = 500 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? ? G? ? ? ? ? ? ? ?
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 2.675747
? ? ? ???????? ?0.08927224
? ??????????? ? -0.048424
? ?? ???? ?????? ?0.09161712
• Untuk n = 1 000 diper oleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? 0.25118864
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 2.697733
? ? ? ???????? ?0.05320546
? ??????????? ? -0.0264376
? ?? ???? ?????? ?0.0539044
( iii) . s = 9.8
• Untuk n = 100 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? 0.398107171
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 4.814282
? ? ? ???????? ?0.6036692
? ??????????? ? -0.5795818
? ?? ???? ?????? ?0.9395842
• Untuk n = 500 diper oleh bandw idth optima asimtotik l
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 5.248562
? ? ? ???????? ?0.1837644
? ??????????? ? -0.1453012
? ?? ???? ?????? ?0.2048768
• Untuk n = 1 000 diper oleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? 0.25118864
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 5.328903
? ? ? ???????? ?0.1069974
? ??????????? ? -0.06495996
Lampiran 5 : Hasil Simulasi Kenormalan Asimtotik penduga ??? ??? ???
Gambar 9. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =100, s =4., ? ? ? G
Gambar 10. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =500, s =4, ? ? ? G
Gambar 12. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =100, s =4,9, ? ? ? G
Gambar 13. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =500, s =4.9, ? ? ? G
Gambar 15. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =100, s =5.2, ? ? ? ? G
Gambar 16. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =500, s =5.2, ? ? ? ? G
Gambar 18. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =100, s =8, ? ? ? ? G
Gambar 19. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =500, s =8, ? ? ? ? G
Gambar 21. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =100, s =9.8, ? ? ? ? G
Gambar 22. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =500, s =9.8, ? ? ? ? G
SURASNO. A study of the optimal bandwidth in estimation of the local intensity function of a periodic Poisson process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI
Periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. In many applications, it is needed to find estimators for the intensity function of a periodic Poisson process. In this thesis, bandwidths for the estimators of the local intensity function of a periodic Poisson process are discussed. The behavior of the estimator using optimal bandwidth and estimator using asymptotically optimal bandwidth are compared through Monte Carlo simulations. The results of the simulations show that the behavior of the two estimators are not much different. Finally, asymptotic distribution and confidence interval for the estimator using asymptotically optimal bandwidth of the local intensity function of a periodic Poisson process are discussed.
Keywords : periodic Poisson process, local intensity function, optimal bandwidth, asymptotic distribution, confidence interval
SURASNO. Kajian Bandwidth Optimal Pada Penduga Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI
Banyak fenomena yang dapat kita jumpai di kehidupan sehari – hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan salah satu bentuk model yang berkaitan dengan suatu aturan – aturan peluang dan mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang dalam kehidupan sehari – hari seperti proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas
suatu proses Poisson periodik, diperlukan juga bandwidth optimal pada penduga
fungsi intensitas lokal proses Poisson tersebut.
Pada karya ilmiah ini dikaji tentang bandwidth optimal pada penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik. Pada awalnya ditentukan penduga suatu
fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. (dengan periode ? yang diketahui)
dengan dengan pengamatan pada interval [0,n].
Penduga tipe kernel bagi ????, dirumuskan sebagai berikut:
??? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? G
Pada penduga di atas, ?? disebut bandwidth
Selanjutnya dibuktikan dan dirumuskan sifat – sifat statistika pend uga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, berupa aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan, ragam dan MSE. Untuk memperoleh bandwidth optimal dilakukan dengan meminimumkan MSE penduga fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik, dengan terlebih dahulu menentukan turunan pertamanya.
Disamping itu juga dibahas perilaku penduga dengan bandwidth optimal dan
penduga denga n bandwidth optimal asimtotik, melalui simulasi Monte Carlo
menggunakan program R. Dari hasil pengkajian yang dilakukan dengan suatu
syarat tertentu, diperoleh hasil bahwa perilaku penduga fungsi intensitas lokal proses poisson periodik dengan menggunakan bandwidth optimal dan bandwidth optimal asimtotik menunjukkan hasil yang tidak jauh berbeda. Pada bagian terakhir dibahas sebaran asimtotik dan selang kepercayaan penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan bandwidth optimal asimtotik.
Sedangkan sifat-sifat statistika dari masing- masing penduga juga telah
didapatkan rumusannya. Hasil simulasi kenormalan asimtotik (studentization)
bagi ??? ??? ??? menunjukkan bahwa sebaran dari penduga fungsi intensitas lokal
Kata kunci: proses Poisson periodik, fungsi intensitas, bandwidth optimal,
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak hal dalam kehidupan sehari- hari dapat dijelaskan dengan menggunakan kaidah-kaidah peluang. Dalam hal ini secara khusus, dengan proses stokastik dapat dimodelkan perilaku kejadian yang akan datang, misalnya untuk memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat servis.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Proses Poisson periodik banyak digunakan untuk memodelkan fenomena pada berbagai bidang di antaranya bidang komunikasi, asuransi dan seismologi (Helmers et al. 2003).
Data yang diperoleh dari suatu kejadian kadang-kadang tidak dapat dijadikan pedoman untuk memperkirakan kejadian berikutnya, sehingga sulit untuk dianalisis untuk menghasilkan informasi yang penting. Ada beberapa pendekatan di dalam menganalisis data jenis ini, bisa menggunakan pendekatan parametrik dan non parametrik. Pendekatan parametrik, akan mudah digunakan bila suatu data dapat dimodelkan secara sederhana, dan data mempunyai pola distribusi tertentu seperti yang sudah dikenal di dalam statistika. Tetapi bila data tersebut sulit untuk dimodelkan dan tidak diketahui distribusi apa yang harus digunakan, maka dapat menggunakan suatu pendekatan non parametrik.
Sebagai contoh, proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dapat dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada
proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal ?(s) menyatakan laju
kedatangan pelanggan pada waktu s.
Dalam penerapannya diperlukan penduga bagi fungsi intensitas dari suatu proses Poisson periodik, di antaranya penduga bagi fungsi intensitas global maupun fungsi intensitas lokal. Pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik telah diteliti pada Helmers et al. (2003, 2005).
Pada penelitian ini dibahas kajian bandwidth optimal pada penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian yang dilakukan adalah
1) Mereview sifat-sifat statistik dan penentuan bandwidth optimal dari penduga
fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik.
2) Melakukan simulasi Monte Carlo untuk membandingkan perilaku penduga
dengan dugaan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal
asimtotik.
3) Menentukan kenormalan asimtotik dan selang kepercayaan penduga dengan
BAB II