PROSES POISSON PERIODIK
SURASNO
SEKOLAH PASCASARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Kajian Bandwidth
Optimal Pada Pendugaan Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum disajikan dalam bentuk apapun ke perguruan tinggi manapun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain disebutkan di dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.
Bogor, Nopember 2009
Surasno G551070351
SURASNO. A study of the optimal bandwidth in estimation of the local intensity function of a periodic Poisson process. Supervised by I WAYAN MANGKU and SISWANDI
Periodic Poisson process is a Poisson process with periodic intensity function. In many applications, it is needed to find estimators for the intensity function of a periodic Poisson process. In this thesis, bandwidths for the estimators of the local intensity function of a periodic Poisson process are discussed. The behavior of the estimator using optimal bandwidth and estimator using asymptotically optimal bandwidth are compared through Monte Carlo simulations. The results of the simulations show that the behavior of the two estimators are not much different. Finally, asymptotic distribution and confidence interval for the estimator using asymptotically optimal bandwidth of the local intensity function of a periodic Poisson process are discussed.
SURASNO. Kajian Bandwidth Optimal Pada Penduga Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik. Dibimbing oleh I WAYAN MANGKU dan SISWANDI
Banyak fenomena yang dapat kita jumpai di kehidupan sehari – hari yang dapat dijelaskan dengan suatu proses stokastik. Proses stokastik merupakan salah satu bentuk model yang berkaitan dengan suatu aturan – aturan peluang dan mempunyai peranan penting dalam berbagai bidang dalam kehidupan sehari – hari seperti proses kedatangan pelanggan ke suatu pusat servis. Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa fungsi periodik. Dalam banyak penerapan, di samping diperlukan penduga bagi fungsi intensitas
suatu proses Poisson periodik, diperlukan juga bandwidth optimal pada penduga
fungsi intensitas lokal proses Poisson tersebut.
Pada karya ilmiah ini dikaji tentang bandwidth optimal pada penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik. Pada awalnya ditentukan penduga suatu
fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik. (dengan periode ? yang diketahui)
dengan dengan pengamatan pada interval [0,n].
Penduga tipe kernel bagi ????, dirumuskan sebagai berikut:
??? ????? ? ?
Pada penduga di atas, ?? disebut bandwidth
Selanjutnya dibuktikan dan dirumuskan sifat – sifat statistika pend uga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik, berupa aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan, ragam dan MSE. Untuk memperoleh bandwidth optimal dilakukan dengan meminimumkan MSE penduga fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik, dengan terlebih dahulu menentukan turunan pertamanya.
Disamping itu juga dibahas perilaku penduga dengan bandwidth optimal dan
penduga denga n bandwidth optimal asimtotik, melalui simulasi Monte Carlo
menggunakan program R. Dari hasil pengkajian yang dilakukan dengan suatu
syarat tertentu, diperoleh hasil bahwa perilaku penduga fungsi intensitas lokal proses poisson periodik dengan menggunakan bandwidth optimal dan bandwidth optimal asimtotik menunjukkan hasil yang tidak jauh berbeda. Pada bagian terakhir dibahas sebaran asimtotik dan selang kepercayaan penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik dengan bandwidth optimal asimtotik.
Sedangkan sifat-sifat statistika dari masing- masing penduga juga telah
didapatkan rumusannya. Hasil simulasi kenormalan asimtotik (studentization)
bagi ??? ??? ??? menunjukkan bahwa sebaran dari penduga fungsi intensitas lokal
Kata kunci: proses Poisson periodik, fungsi intensitas, bandwidth optimal,
© Hak cipta milik Institut Pertanian Bogor, tahun 2009 Hak cipta dilindungi Undang- undang
1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber
a. Pengutipan hanya untuk kepentingan pendidikan, penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah.
b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar Institut Pertanian Bogor.
Puji syukur kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini dapat dilaksanakan dan diselesaikan dengan baik. Judul yang dipilih pada penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Juni 2009 ini adalah Kajian Bandwidth Optimal Pada Penduga Fungsi Intensitas Lokal Proses Poisson Periodik. Karya ilmiah ini tidak akan mungkin terselesaikan tanpa adanya dorongan, bantuan dan kritikan membangun dari berbagai pihak. Terimakasih penulis ucapkan kepada Dr. Ir. I Wayan Mangku, MSc dan Drs,Siswandi MS selaku pembimbing serta Dr. Ir. Hadi Sumarno, MS.selaku penguji yang banyak memberikan saran.
Demikian pula, penulis mengucapkan terimakasih kepada DEPAG RI yang telah memberikan beasiswa. Ungkapan terimakasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, istri dan anak-anak tercinta serta seluruh keluarga, atas doa dan kasih sayangnya. Kemudian kepada rekan-rekan seangkatan BUD II DEPAG RI dan kakak tingkat yang telah memberikan dorongan motivasi kepada penulis untuk belajar dan menyelesaikan Program Magister Matematika Terapan di Sekolah Pascasarjana IPB..
Semoga Karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Nopember 2009
Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 27 Mei 1964 dari Bapak Djupan dan ibu Muhrimah. Penulis merupakan anak ketiga dari empat bersaudara.
Tahun 1983 penulis lulus dari SMA Negeri 1 Jakarta, melanjutkan kuliah di Institut Agama Islam Negeri (IAIN) Syarif Hidayatullah Jakarta, mengambil program Sarjana Muda Fakultas Tarbiyah Tadris Matematika. Tahun 1988 mendapat SK CPNS sebagai guru di Madrasah Aliyah Negeri (MAN) 1 Purwokerto Filial (sekarang menjadi MAN Sumpiuh) Jawa Tengah. Tahun 2000 menyelesaikan program S1 di Sekolah Tinggi Agama Islam Negeri (STAIN) Purwokerto Fakultas Tarbiyah jurusan Pendidikan Agama Islam. Pada tahun yang sama lulus seleksi Program Penyetaraan Universitas Negeri Semarang pada Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA, mendapat beasiswa DMAP Departemen Agama Republik Indonesia dan lulus pada tahun 2003.
PROSES POISSON PERIODIK
SURASNO
Tesis
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Magister Sains pada
Program Studi Matematika Terapan
SEKOLAH PASCA SARJANA
INSTITUT PERTANIAN BOGOR
NRP : G551070351
Program Studi : Matematika Terapan
Disetujui Komisi Pembimbing
Dr. Ir. I Wayan Mangku, M.Sc. Drs. Siswandi, M.S.
Ketua Anggota
Diketahui
Ketua Program Studi Dekan Sekolah Pascasarjana
Matematika Terapan
Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S. Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.
Halaman
I PENDAHULUAN ... 1
1.1. Latar Belakang ... 1
1.2. Tujuan Penelitian ... 2
II TINJAUAN PUSTAKA ... 3
2.1. Proses Poisson Periodik ... 3
2.6. Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik ... 6
III REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK 8 3.1. Perumusan Penduga Fungsi Intensitas …... 8
3.2. Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas ... 9
3.3. Pemilihan Bandwidth optimal…... 10
IV SIMULASI PEMBANDINGAN PRILAKU PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN DUGAAN BANDWIDTH DAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK 13 4.1 Simulasi dengan Bandwidth Optimal …... 15
4.2 Simulasi dengan Bandwidth Optimal Asimtotik …... 17
V PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK 21 5.1 Perumusan Penduga dan Sifat-sifat Statistikanya …... 21
5.2 Sebaran Asimtotik bagi ??? ??? ??? …... 22
5.3 Selang Kepercayaan Fungsi Intensitas Lokal dengan Penduga ??? ??? ??? g g 26 5.4 Simulasi Kenormalan Asimtotik bagi ???? ?????... 27
5.5 Simulasi Selang Kepercayaan bagi ???? ?????... 29
VI. KESIMPULAN …... 31
DAFTAR PUSTAKA ... 34
Lampiran 1 : Beberapa Definisi dan Lema Teknis ……….. 36
Lampiran 2 : Program Simulasi ……… 43
Lampiran 3 : Hasil simulasi dengan
bandwidth
optimal ………. 48
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Banyak hal dalam kehidupan sehari- hari dapat dijelaskan dengan
menggunakan kaidah-kaidah peluang. Dalam hal ini secara khusus, dengan proses stokastik dapat dimodelkan perilaku kejadian yang akan datang, misalnya untuk
memodelkan proses kedatangan pelanggan pada suatu pusat servis.
Proses stokastik dibedakan menjadi dua yaitu proses stokastik dengan
waktu diskret dan proses stokastik dengan waktu kontinu. Salah satu bentuk dari
proses stokastik dengan waktu kontinu adalah proses Poisson periodik. Proses
Poisson periodik adalah suatu proses Poisson dengan fungsi intensitas berupa
fungsi periodik. Proses Poisson periodik banyak digunakan untuk memodelkan
fenomena pada berbagai bidang di antaranya bidang komunikasi, asuransi dan seismologi (Helmers et al. 2003).
Data yang diperoleh dari suatu kejadian kadang-kadang tidak dapat dijadikan pedoman untuk memperkirakan kejadian berikutnya, sehingga sulit
untuk dianalisis untuk menghasilkan informasi yang penting. Ada beberapa
pendekatan di dalam menganalisis data jenis ini, bisa menggunakan pendekatan
parametrik dan non parametrik. Pendekatan parametrik, akan mudah digunakan
bila suatu data dapat dimodelkan secara sederhana, dan data mempunyai pola distribusi tertentu seperti yang sudah dikenal di dalam statistika. Tetapi bila data
tersebut sulit untuk dimodelkan dan tidak diketahui distribusi apa yang harus digunakan, maka dapat menggunakan suatu pendekatan non parametrik.
Sebagai contoh, proses kedatangan pelanggan ke pusat servis dapat
dimodelkan dengan suatu proses Poisson periodik dengan periode satu hari. Pada
proses kedatangan pelanggan tersebut, fungsi intensitas lokal ?(s) menyatakan laju
kedatangan pelanggan pada waktu s.
Dalam penerapannya diperlukan penduga bagi fungsi intensitas dari suatu
proses Poisson periodik, di antaranya penduga bagi fungsi intensitas global
maupun fungsi intensitas lokal. Pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson
Pada penelitian ini dibahas kajian bandwidth optimal pada penduga fungsi
intensitas lokal proses Poisson periodik.
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian yang dilakukan adalah
1) Mereview sifat-sifat statistik dan penentuan bandwidth optimal dari penduga
fungsi intensitas lokal suatu proses Poisson periodik.
2) Melakukan simulasi Monte Carlo untuk membandingkan perilaku penduga
dengan dugaan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal
asimtotik.
3) Menentukan kenormalan asimtotik dan selang kepercayaan penduga dengan
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Proses Poisson Periodik
Definisi 2.1 : Proses stokastik
Proses stokastik X={X(t), t∈T} adalah suatu himpunan dari peubah acak X(t)
yang memetakan suatu ruang contoh p ke suatu ruang state S.
(Ross, 2007)
Dengan demikian, X(t) merupakan suatu peubah acak untuk setiap t pada
himpunan indeks T, dengan t menyatakan waktu dan X(t) kita sebut sebagai
keadaan (state) dari proses pada waktu t.Dalam hal ini ruang state S dapat berupa
himpunan bilangan bulat (atau himpunan bagiannya) atau dapat juga berupa himpunan bilangan real (atau himpunan bagiannya).
Definisi 2.2 : Proses stokastik dengan waktu kontinu
Suatu proses stokastik X disebut proses stokastik dengan waktu kontinu jika T
adalah suatu interval.
Definisi 2.3 : Inkreme n bebas
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t∈T} disebut memiliki
inkremen bebas jika untuk semua t0 <t1 <t2 <...<tn, peubah acak X(t1)-X(t0),
) (t2
X -X(t1),…,X(tn)-X(tn−1) adalah bebas.
(Ross, 2007)
Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut
memiliki inkremen bebas jika proses berubahnya nilai pada interval waktu yang
tidak tumpang tindih (tidak overlap) adalah bebas.
Definisi 2.4 : Inkremen stasioner
Suatu proses stokastik dengan waktu kontinu {X(t), t∈T} disebut memiliki
inkremen stasioner jika ? ?? ? ?? ? ? ???memiliki sebaran yang sama untuk
semua nilai t.
Dengan kata lain, suatu proses stokastik dengan waktu kontinu X disebut
memiliki inkremen stasioner jika sebaran dari perubahan nilai antara sembarang
dua titik hanya tergantung pada jarak antara kedua titik tersebut, dan tidak
bergant ung pada lokasi titik–titik tersebut.
Proses Poisson merupakan salah satu bentuk khusus dari proses stokastik dengan waktu kontinu. Untuk proses Poisson, kita anggap bahwa himpunan
indeks T adalah interval bilangan nyata tak negatif, yaitu [0, 8).
Definisi 2.5 : Proses pencacahan
Suatu proses stokastik {N(t), t=?} disebut proses pencacahan jika N(t)
menyatakan banyaknya kejadian yang telah terjadi sampai waktu t. Proses
pencacahan N(t) harus memenuhi syarat- syarat sebagai berikut.
(i) N(t) = 0 untuk semua t ?[0, 8). (ii)Nilai N(t) adalah integer.
(iii)Jika s < t maka N(s ) = N(t), s,t ?[0, 8 ).
(iv)Untuk s < t maka N(t ) - N(s), sama dengan banyaknya kejadian yang terjadi
pada interval (s, t].
(Ross, 2007)
Definisi 2.6 : Proses Poisson
Suatu proses pencacahan {N(t), t=0} disebut proses Poisson dengan laju ?, ?>0,
jika dipenuhi tiga syarat berikut.
(i) N(0) = 0.
(ii)Proses tersebut memiliki inkremen bebas.
(iii)Banyaknya kejadian pada sembarang interval waktu dengan panjang t,
memiliki sebaran Poisson dengan nilai harapan ?t. Jadi untuk semua t, s>0,
? ?? ?? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ?
? ? ??????
? K ? ? ? ? ?? ?? ?g
(Ross, 2007)
Dari syarat (iii) dapat dilihat bahwa proses Poisson memiliki inkremen
stasioner. Dari syarat ini juga kita peroleh bahwa ? ?? ???? ? ?t, yang menjelaskan
bahwa proses Poisson memiliki laju ?.
Definisi 2.7 : Proses Poisson homogen
Proses Poisson homogen adalah proses Poisson dengan laju ? yang merupakan
konstanta untuk semua waktu t.
(Ross, 2007)
Definisi 2.8 : Proses Poisson tak homogen
Proses Poisson tak homogen adalah suatu proses Poisson dengan laju pada
sembarang waktu t yang merupakan fungsi tak konstan dari t yaitu ?(t).
(Ross, 2007)
Definisi 2.9 : Fungsi intensitas
Laju dari suatu proses Poisson tak homogen {N(t), t ?0}, yaitu ?(t) disebut fungsi intensitas proses Poisson pada t.
(Cressie, 1991)
Definisi 2.10 : Intensitas lokal
Intensitas lokal dari suatu proses Poisson tak homogen N dengan fungsi intensitas
? pada titik s ? R adalah ?(s), yaitu nilai fungsi ? di s.
(Cressie, 1991)
Definisi 2.11 : Fungsi intensitas global
Misalkan N([0, n]) adalah proses Poisson pada interval [0, n].
Fungsi intensitas global ? dari proses Poisson ini didefinisikan sebagai
? ? ??•
? ? ?
? ? ??? ?? ?? ? ?
jika limit di atas ada.
(Cressie, 1991)
Definisi 2.12 : Fungsi periodik
Suatu fungsi ? disebut periodik jika
? ?? ? ? ?? ? ? ????
untuk semua ? ? ? dan k ? ?, dengan ? adalah himpunan bilangan bulat.
Konstanta terkecil ? yang memenuhi persamaan di atas disebut periode dari fungsi
? tersebut.
Definisi 2.13 : Proses Poisson periodik
Proses Poisson periodik adalah suatu proses Poisson yang fungsi intensitasnya
adalah fungsi periodik.
(Cressie,1991)
2.4 Pendugaan Fungsi Intensitas Proses Poisson Periodik
Fungsi intensitas dari suatu proses Poisson merupakan laju dari proses
Poisson tersebut. Fungsi intensitas dapat dibedakan menjadi dua, yaitu fungsi intensitas lokal (yang lebih sering hanya disebut fungsi intensitas) dan fungsi
intensitas global. Fungsi intensitas lokal menyatakan laju proses Poisson di titik
tertentu, sedangkan fungsi intensitas global menyatakan rata – rata laju dari suatu proses Poisson pada suatu interval dengan panjang menuju tak hingga.
Untuk menduga fungsi intensitas dapat digunakan pendekatan non parametrik (Diggle, 1985). Salah satu pendekatan non parametrik yang dapat
digunakan adalah pendekatan fungsi kernel. Adapun hal ini karena fungsi
intensitasnya tidak diketahui, sehingga untuk menduga bentuk fungsinya dapat
didekati dengan fungsi penduga Kernel (Hardle, 1993).
Pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas lokal dari suatu
proses Poisson di titik s ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian
proses Poisson tersebut dalam interval waktu di sekitar titik s. Secara matematis,
misalkan ?? ? ? dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada
[0,t], maka intensitas di titik s dapat dihampiri oleh ?
? ?? ? ??? ? ???? ? ????G Sedangkan pendekatan yang dipakai pada pendugaan fungsi intensitas global
dari suatu proses Poisson ialah dengan menaksir rata – rata banyaknya kejadian
proses Poisson tersebut pada selang waktu [0,n]. Secara matematis, intensitas
global dapat dihampiri dengan ?
? ? ??? ?? ??G
Penduga fungsi intensitas suatu proses Poisson periodik dapat dibedakan berdasarkan periodenya, yaitu proses Poisson dengan periode yang diketahui dan
periode yang tidak diketahui. Pada periode yang tidak diketahui, pendugaan fungsi intensitasnya lebih rumit dibandingkan dengan pendugaan fungsi intensitas
telah merumuskan pendekatan dengan tipe kernel yang dapat digunakan untuk
menjelaskan kekonsistenan dan sifat-sifat statistik a dari penduga fungsi intensitas
proses Poisson periodik tersebut.
Beberapa penelitian telah dilakukan dalam pendugaan fungsi intensitas (lokal)
proses Poisson periodik. Fungsi intensitas proses Poisson digunakan dalam pemodelan laju polusi minyak di Laut Utara Belanda (Helmers 1995). Pada
perkembangan berikutnya, setelah didapat rumusan penduga fungsi intensitas,
dilanjutkan dengan pendugaan turunan pertama dan kedua oleh Syamsuri (2007).
Diperoleh rumusan baru yaitu penduga turunan pertama dan kedua terhadap
fungsi intensitas proses poisson periodik, yang kemudian dilanjutkan oleh
Herniwati (2007) dan Arifin (2008) . Herniwati mengkaji tentang kekonsistenan
penduga, sedangkan Arifin mengkaji tentang sebaran asimtotik nya. Dalam
kajiannya diperoleh hasil bahwa penduga turunan pertama fungsi intensitas bersifat konsisten dan memiliki sebaran normal, demikian halnya dengan turunan
kedua. Tahun 2009, Eviliyanida melakukan kajian lanjutan, tetapi lebih mengkhususkan pada fungsi intensitas dengan tren linear. Ternyata, prilaku
penduga yang dikaji memiliki kesamaan dalam hal kekonsistenan, kekonvergenan
MSE maupun sifat-sifat statistiknya, baik tanpa tren maupun dengan tren linear. Kajian tentang fungsi intensitas masih diperkaya lagi dengan penelitian oleh
Surawu (2009) yang memfokuskan penelitian pada sebaran asimtotik bukan terhadap penduga fungsi, tetapi terhadap komponen periodik fungsi intensitas
dengan tren linear. Dari kajiannya diperoleh hal yang hampir sama dengan
peneliti-peneliti sebelumnya. Demikian juga dengan Hidayah (2009). Dengan
penelitiannya diperoleh rumusan selang kepercayaan terhadap penduga fungsi
intensitas. Disimpulkan juga bahwa penduga fungsi intensitas memiliki nilai peluang yang hampir sama pada selang kepercayaan, baik teoritis maupun
simulasi. Penelitian dilanjutkan oleh Marthalena (2009) yang memperoleh
rumusan penduga nonparametric bagi fungsi intensitas proses Poisson periodik
dengan periode ganda. Penduga tersebut juga memiliki prilaku yang hampir sama
BAB III
REVIEW SIFAT-SIFAT STATISTIK PENDUGA
FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK
3.1 Perumusan Penduga Fungsi Intensitas
Misalkan N adalah proses Poisson pada interval ?? ?? ? dengan fungsi intensitas ?
(tidak diketahui) yang terintegralkan lokal. Diasumsikan bahwa ? adalah periodik
dengan periode diketahui, yaitu ?. Kita tidak mengasumsikan suatu bentuk
parametrik dari ?, kecuali asumsi bahwa ? adalah periodik. Karena ? adalah
periodik maka untuk setiap titik ? ? ?? ?? ? dan untuk semua ? ? ? dengan ?
adalah himpunan bilangan bulat, berlaku:
??? ? ? ?? ? ? ???G (3.1)
Misalkan bahwa untuk suatu ? ? p, hanya terdapat realisasi tunggal N (? ? dari
proses Poisson N yang terdefinisi pada ruang peluang ?p ? ? ?? ? dengan fungsi
intensitas ? yang diamati hanya pada interval terbatas [0, n].
Diasumsikan juga bahwa s adalah titik Lebesgue dari ?, sehingga berlaku:
??•
fungsi kernel yang memenuhi sifat-sifat berikut (Helmers et al., 2003) :
(K1) K adalah fungsi kepekatan peluang
(K2) K terbatas
(K3) K terdefinisi pada daerah [-1,1].
Misalkan juga ?? merupakan barisan bilangan real positif yang konvergen ke 0,
yaitu:
?? ? ? ? ??G? ?
untuk ? ? ? G
??? ????? ? ?
Penduga yang didefinisikan pada (3.4) dinamakan penduga tipe kernel dari fungsi
intensitas lokal proses Poisson periodik.
Ide di balik perumusan penduga ??? ????? dapat digambarkan sebagai berikut. Nilai
fungsi???? di titik s dapat didekati dengan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar titik s, yaitu banyaknya kejadian pada interval [? ? ???? ? ?? ], untuk
?? ? ?. Nilai rataan ini dapat dinyatakan sebagai : ?
? ?? ? ??? ? ?? ?? ? ????. (3.5)
Karena fungsi ? adalah periodik dengan periode ?, maka untuk menduga nilai
fungsi ? ???dapat juga digunakan nilai rataan dari banyaknya kejadian di sekitar
titik s+k?, asalkan s+k? ? ?? ?? ?. Sehingga untuk setiap k? ?, nilai rataannya dapat dinyatakan sebagai :
?
fungsi kernel umum K yang memenuhi (K1), (K2), dan (K3), sehingga diperoleh
persamaan (3.4).
3.2 Sifat-sifat Statistik Penduga Fungsi Intensitas
Sifat-sifat statistika penduga tipe kernel dari fungsi intensitas suatu proses
Teorema 3.1 : Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan ??? ?????
Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki
turunan kedua ??? berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi
Teorema 3. 2 : Aproksimasi asimtotik varians ??? ?????
Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal , berhingga di s.
Jika kernel K adalah memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), ?? ? ? maka Bukti: (Lihat Mangku 2006)
3.3 Pemilihan Bandwidth Optimal
Dalam penelitian ini, yang dimaksud bandwidth (??? adalah jarak antara titik s
dengan titik terjauh yang disertakan dalam pendugaan fungsi intersitas di titik s,
dimana ?? ? ? dan N[0,t] menyatakan banyaknya kejadian yang terjadi pada [0,t].
Penentuan bandwidth optimal diperlukan, agar pendugaan fungsi intensitas
sedekat mungkin terhadap fungsi intensitasnya. Nilai optimum dari ?? tergantung
pada kriteria yang digunakan untuk mengukur akurasi dari ??? ?? ???. Kriteria yang
bisa digunakan adalah mean square error (MSE) (Cressie, Hardle, 1991).
Untuk menduga bandwidth optimal dilakukan dengan meminimumkan
? ?? ???? ??????, dengan terlebih dahulu menentukan turunan pertamanya. Rumus umum yang digunakan adalah sebagai berikut :
? ?? ???? ?????? ? ? ???? ?? ??? ? ? ?????G (3.10)
? ? ? ? ???? ?????? ? ?? ??? ???? ?? ?????
?
G (3.11)
? ?? ???? ?? ???? ? ? ? ???
sehingga diperoleh sebagai berikut :
??? ?
Selanjutnya untuk menentukan jenis optimumnya, ditentukan turunan
kedua ? ?? ???? ?????? terhadap ?? sebagai berikut
sehingga syarat ? ?? ???? ?????? minimum terpenuhi. Dengan demikian diperoleh
BAB IV
SIMULASI PEMBANDINGAN PERILAKU PENDUGA FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL DAN BANDWIDTH OPTIMAL
ASIMTOTIK
Pada bagian ini dilakukan simulasi untuk membandingkan perilaku
penduga dengan bandwidth optimal dan penduga dengan bandwidth optimal
asimtotik, yaitu bandwidth yang nilainya sama dengan panjang interval
pengamatan pangkat -1/5 atau ?? ? ?? ?? ? ??. Simulasi komputer dilakukan
dengan menggunakan program R dalam membangkitkan realisasi proses Poisson
periodik, dengan ukuran sampel yang terbatas. Dalam simulasi ini digunakan
fungsi intensitas
???? ? ? ??? ?? ???? ? ?
? ? ? ?? (4.1) Dipilih A = 2, ? ? ? ?? ? ? ? ? • ? ? , dan ? ? ? . Dengan pemilihan parameter-parameter tersebut, maka fungsi intensitas (4.1) menjadi
???? ? ? ??? ? ???? ? ?
? ?? untuk ? ? ? ? ? ? • (4.2)
???? ? ? ??? ? ???? ? ?
? ? ?? untuk ? ? ? ? . (4.3)
Gambar 1. Grafik fungsi yang diberikan oleh persamaan (4.2)
s
Gambar 2. Grafik fungsi yang diberikan oleh persamaan (4.3)
Pada simulasi untuk membandingkan perilaku penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik ini digunakan metode Monte Carlo untuk
membangkitkan realisasi dari proses Poisson periodik tersebut. Pembangkitan
realisasi ini dilakukan pada interval [0, n] serta dipilih n = 100, n = 500, dan n =
1000.
Penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik yang digunakan
adalah penduga yang didefinisikan pada persamaan (3.4) dengan fungsi kernel
? ? ?
Pendugaan ? pada simulasi ini dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 2.6 (mewakili
nilai ? ??? yang kecil), di s = 4 (mewakili nilai ???? yang sedang), dan di s = 4.9 (mewakili nilai ? ??? yang besar) dengan periode ? ? ?.
Sedangkan pendugaan ? untuk periode ? ? ? ? dilakukan pada tiga titik, yaitu di s = 5.2 (mewakili nilai ? ??? yang kecil), di s = 8 (mewakili nilai ? ??? yang sedang), dan di s = 9.8 (mewakili nilai ???? yang besar) .
Untuk kernel K yang merupakan fungsi kepekatan peluang seragam pada
interval [-1,1]: yang akan digunakan untuk aplikasi (3.8) dan (3.9).
? ???
Sehingga pendekatan asimtotik bagi nilai harapan penduga, berdasarkan
Teorema 3.1, diperoleh
? ?????? ? ???? ? ?
Sedangkan pendekatan asimtotik bagi varian penduga, berdasarkan Teorema 3.2,
diperoleh
4.1 Simulasi dengan bandwidth optimal
Analog dengan (3.34) , tetapi menggunakan kernel seragam ? ? ?
????? ? ?? ??,
diperoleh bandwith optimal dengan rumus
?? ? ? ? ?? ??? ?? ?????????
? ??
?? ?? ? ?? G ?? G? ?
Selanjutnya dari (4.2) dan (4.3) diperoleh turunan kedua dari fungsi intensitas
sebagai berikut
dipilih, yaitu 100, 500, dan 1000 maka diperoleh nilai bandwidth optimal (4.9).
Hasil yang diperoleh dari simulasi disajikan dalam Tabel 1, berikut ini :
Tabel 1. Hasil simulasi dengan bandwidth optimal (M=1000)
t au t it ik n ?? ? ?????? ? ? ? ???????? ? ??? ???????? ? ? ? ???? ??????
proses Poisson periodik semakin baik. Dari hasil simulasi dengan bandwidth
optimal, diperoleh bahwa MSE terkecil terdapat pada ? ? ?, s =2.6, dan n=1000,
juga pada ? ? ?, s =5.2, dan n=1000, yaitu ? ?? ???? ?????? ? ? G? ? ?. Secara
umum dapat dikatakan bahwa semakin besar n pada setiap titik, diperoleh nilai
semakin besar maka data yang digunakan semakin banyak, sehingga
menyebabkan nilai ? ?? ???? ?????? semakin kecil.
4.2 Simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik.
Pada simulasi ini digunakan bandwidth sama dengan panjang interval
pengamatan pangkat -1/5 atau dapat dinyatakan dengan ?? ? ?? ?? ? ? ?, yang
disebut bandwidth optimal asimtotik. Periode ? untuk ? tetap sama dan dilakukan
pada tiga titik yang sama pula dengan simulasi yang menggunakan bandwidth
optimal. Pendugaan pada setiap titik untuk setiap kasus diulang sebanyak
M=1000 kali.
Hasil yang diperoleh dari simulasi disajikan pada Tabel 2 berikut ini : Tabel 2. Hasil simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik (M=1000)
t au t it ik n ?? ? ?????? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ???????? ? ? ? ???? ??????
5 2.6
100 0.39811 0.73554 0.04514 -0.00604 0.04517
500 0.28854 0.74097 0.01349 -0.00061 0.01349
1000 0.25119 0.75219 0.00766 0.01061 0.00777
4
100 0.39811 2.66656 0.16522 -0.05762 0.16854
500 0.28854 2.73569 0.04783 0.01152 0.04796
1000 0.25119 2.73696 0.02691 0.01279 0.02708
4.9
100 0.39811 4.90477 0.26842 -0.48909 0.50763
500 0.28854 5.23245 0.09875 -0.16142 0.12481
1000 0.25119 5.28154 0.05206 -0.11232 0.06468
10 5.2
100 0.39811 0.68009 0.08768 -0.06149 0.09146
500 0.28854 0.73432 0.02228 -0.00727 0.02234
1000 0.25119 0.73821 0.01494 -0.00337 0.01495
8
100 0.39811 2.45901 0.28194 -0.26516 0.35225
500 0.28854 2.67575 0.08927 -0.04842 0.09162
9.8
besarnya nilai n pada setiap titik. Hal ini juga dikarenakan pada setiap titik, jika
n semakin besar maka data yang digunakan semakin banyak, sehingga
memperkecil nilai ? ?? ???? ?? ????G
Perbandingan nilai ? ?? dari penduga dengan bandwidth optimal dan penduga
dengan bandwidth optimal asimtotik disajikan pada Tabel 3, Tabel 4, dan Tabel 5
Tabel 3. Perbandingan MSE (bandwidth optimal & asimtotik) pada n = 100
n t au t it ik indeks ? ? ? ? ??? ??????
Tabel 4. Perbandingan MSE (bandwidth optimal & asimtotik) pada n = 500
Tabel 5. Perbandingan MSE (bandwidth optimal & asimtotik) pada n = 1000
Perbandingan MSE tersebut diilustrasikan dengan gambar berikut :
Gambar 3. Grafik perbandingan MSE pada n = 100
Gambar 4. Grafik perbandingan MSE pada n = 500
Gambar 5. Grafik perbandingan MSE pada n = 1000
Dari tabel dan grafik di atas dapat disimpulkan bahwa kedua jenis penduga fungsi
intensitas lokal proses Poisson periodik memiliki MSE yang relatif sama, baik
menggunakan bandwidth optimal maupun bandwidth optimal asimtotik.
Maka pada bab berikutnya dibahas pendugaan fungsi intensitas lokal proses
Poisson periodik dengan bandwith optimal asimtotik.
0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,1 0,12
1 2 3 4 5 6
opt imal
asimt ot ik
MSE
BAB V
PENDUGAAN FUNGSI INTENSITAS LOKAL PROSES POISSON PERIODIK
DENGAN BANDWIDTH OPTIMAL ASIMTOTIK
5.1 Perumusan Penduga dan Sifat-sifat Statistikanya
Pada bagian ini dibahas pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson
periodik dengan bandwidth optimal asimtotik, yaitu ?? ? ?? ?? ? ??. Dengan mensubstitusi bandwidth tersebut pada (3.4) diperoleh :
??? ??? ??? ? ?
Berdasarkan pembahasan pada bab III, sifat-sifat statistik penduga fungsi
intensitas lokal proses Poisson periodik adalah sebagai berikut :
Berdasarkan Teorema 3.1 dengan ?? ? ?? ?? ? ? ? diperoleh hasil berikut :
Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki
turunan kedua ??? berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi
kondisi (K1), (K2), (K3), maka dari (3.12) diperoleh :
? ???? ?? ??? ? ?(s)+?
??
??????? ?? ? ??
?? ?? ??? ?? ?? ? ? ? ??? ?? ? ? ??, (5.2) jika n? ? .
Pembuktian (5.2) analog dengan pembuktian (3.12) pada bab III.
Sehingga diperoleh juga
Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal , berhingga di s.
Jika kernel K adalah memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), maka dari (3.13)
jika n? ? , asalkan s adalah titik Lebesgue dari ?.
Sebagaimana (3.15) untuk menghitung MSE menggunakan rumus :
? ?? ???? ?? ???? ? ? ? ? ???? ?????? ? ?? ??? ???? ?? ?????
?
G
Dengan mensubstitusikan (5.5) dan (5.6) diperoleh sebagai berikut :
? ?? ????? ?? ???? ? ?? ???
Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki
turunan kedua ??? berhingga di s. Misalkan pula kernel K adalah simetrik dan memenuhi kondisi (K1), (K2), (K3), maka
jika ? ? ? ? dengan
Untuk membuktikan Teorema 5.1, ruas kiri pada (5.6) dapat ditulis dalam bentuk :
?? ?? ? ? ????? ????? ? ? ???? ? ?? ?? ? ?????
Sehingga, untuk membuktikan (5.6) cukup ditunjukkan
?? ?? ?? ????? ????? ? ? ???? ??????? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?? ?? (5.8)
Terlebih dahulu dibuktikan (5.8) yang ruas kirinya dapat dinyatakan dalam
bentuk :
?? ?? ??? ? ? ? ????? ?????? ???? ??? ???? ? ??? ??? ???
? ? ? ? ???? ??? ????
? G (5.10)
Sehingga untuk membuktikan (5.8), akan ditunjukkan
???? ??
Bukti dari (5.11) adalah sebagai berikut :
Untuk ? ? ? dan setiap ? ? ? interval ?? ? ? ? ? ?? ?? ? ???? ? ? ? ? ?? ?? ? ??? dan
?? ? ?? ? ?? ?? ? ???? ? ?? ? ?? ?? ? ? ?? adalah saling lepas. Hal ini mengakibatkan
untuk setiap ? ? ?? peubah acak ?? dan ?? adalah saling lepas. Selanjutnya
diperoleh bahwa ????, k = 0,1,2,… adalah barisan dari peubah acak yang
memenuhi i.i.d (independent and identically distributed), dengan nilai harapan
? ?? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ?
yang berhingga, karena kernel K terbatas dan memiliki daerah definisi [-1,1].
Sehingga penduga ???? ?? ??? dapat dinyatakan dengan
merupakan jumlah peubah acak i.i.d dikalikan dengan suatu konstanta.
Dengan menggunakan Teorema Limit Pusat dapat diperoleh (5.11).
Untuk membuktikan (5.12), terlebih dahulu ruas kirinya dinyatakan sebagai berikut :
? ?? ?? ? ?? ? ? ??? ? ??
? ????
Selanjutnya dengan menggunakan (5.4) persamaannya menjadi :
? ?? ?? ?? ??? ???
Selanjutnya untuk membuktikan (5.9), dengan menggunakan (5.2), ruas kiri pada
(5.9) dapat dinyatakan dengan
? ?? ?? ?? ?? Dengan demikian Teorema 5.1 terbukti.
Teorema 5.2 (Kenormalan asimtotik (Studentization) bagi ??? ??? ????
Misalkan fungsi intensitas ? adalah periodik, terintegralkan lokal dan memiliki
turunan kedua ?? berhingga di s. Jika kernel K adalah simetrik dan memenuhi
kondisi (K1), (K2),(K3), maka berlaku
?? ?? ??
? ????? ?? ??? ?? ???? ?
? ? ? ?
????? ????? ? ????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? ?? G? ? ?
Bukti :
Untuk membuktikan (5.13), akan ditunjukkan bahwa
? ???? ?????
? ????
?
? ? ? ?? G? ? ?
jika ? ? ? G
Jika kedua ruas (5.14) dikuadratkan maka diperoleh
?
Jadi untuk membuktikan (5.14) cukup dibuktikan
???? ????? ? ???
?
? ? ? ?? G? ? ?
jika ? ? ? G
Atau sama dengan membuktikan
??? ??? ???? ?????? ?? G? ? ?
Untuk membuktikan (5.16) digunakan Teorema 3.1 tentang pendekatan asimtotik
bagi nilai harapan, yang dinyatakan pada persamaan (5.2), dan Teorema 3.2
tentang pendekatan asimtotik bagi varian, yang dinyatakan pada persamaan (5.4)
Untuk membuktikan (5.17) maka akan diperlihatkan untuk setiap ? ? ? berlaku
? ?????? ?? ??? ? ????? ? ?? ? ? ? ?? G? ? ?
jika ? ? ? . Ruas kiri pada (5.18) dapat dinyatakan sebagai berikut:
? ?????? ????? ? ????? ? ??
? ? ??????? ?? ??? ? ? ???? ?????? ? ?? ?? ? ??
? ??? ? ? ????? ? ?? G ?? G? ? ?
Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga maka ruas kanan persamaan (5.19)
? ? ?????? ????? ? ? ???? ?????? ? ?? ?? Berdasarkan Teorema 3.1, dari persamaan (5.2) dapat dinyatakan bahwa
? ???? ????? ? ? ????untuk ? ? ? , maka ada bilangan nyata M, sehingga
?? ???? ????? ? ????? ? ?
?? ? ? ? ? G ?? G? ? ?
Dengan mensubstitusikan persamaan (5.22) ke ruas kanan (5.21), maka (5.20) dapat ditulis menjadi:
? ?????? ?? ??? ? ? ???? ?????? ? ?
?? G ?? G? ? ?
Dengan menggunakan ketaksamaan Chebyshev, maka peluang pada (5.22) adalah
? ? ? ? ????? ??????
Berdasarkan Teorema 5.2 tentang kenormalan asimtotik (studentization)
(5.13) dapat dirumuskan suatu selang kepercayaan dengan koefisien kepercayaan
? ? ? bagi ???? sebagai berikut:
Corollary 1 (Selang Kepercayaan bagi ? ???)
Untuk suatu tingkat kepercayaan ? dengan 0 < ? < 1, berdasarkan selang
kepercayaan normal untuk ???? melalui pendekatan peluang 1 – ? diberikan oleh
?? ? ? ???? ????? ? ? ? ? ?? ? ?
dimana ? menyatakan fungsi distribusi normal baku, dan
? ????? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ?? G? ? ? untuk ? ? ? , asalkan s adalah titik Lebesgue bagi ?, dan periode ? diketahui.
5.4 SimulasiKenormalan Asimtotik bagi ??? ??? ???
Pada simulasi untuk memeriksa kenormalan asimtotik bagi ??? ??? ???
menggunakan metode Monte Carlo dengan membangkitkan realisasi sejumlah
bilangan acak yang merupakan realisasi proses Poisson. Pembangkitan realisasi
dari proses Poisson dipilih untuk n = 100, n = 500, dan n = 1000.
Penduga fungsi intensitas lokal proses Poisson periodik yang digunakan
adalah penduga yang didefinisikan pada persamaan (5.1) dan mengambil fungsi
kernel K = ?
Pendugaan pada simulasi ini dilakukan pada tiga titik, sebagaimana pada simulasi
terdahulu (BAB IV), yaitu di s = 2.6 (mewakili nilai ???? yang kecil), di s = 4
Gambar 6. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =100, s =2.6, ? ? ? G
Gambar 7. Kenormalan asimtotik 1000 penduga ???? ????? untuk n =500, s =2.6, ? ? ? G
Dari hasil simulasi normalitas asimtotik sebagaimana pada Gambar 6, 7 dan
8, (dapat juga dilihat Gambar 9-23 pada lampiran 4) menunjukkan bahwa semakin
besar nilai n grafiknya semakin mendekati garis lurus, artinya bahwa sebaran dari
penduga mendekati normal.
5.5 Simulasi Selang Kepercayaan bagi ??? ??? ???
Pada simulasi ini dibandingkan banyaknya fungsi intensitas lokal yang
berada pada selang kepercayaan teoritis (berdasarkan persamaan (5.24)) dengan
selang kepercayaan simulasi. Selang kepercayaan teoritis dengan menggunakan
fungsi kernel K = ?
dimana ? menyatakan fungsi distribusi normal baku, dan
? ????? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ?G
Sedangkan selang kepercayaan simulasi dirumuskan sebagai berikut:
?? ?
Sebagaimana simulasi terdahulu, simulasi ini juga menggunakan metode
Monte Carlo dengan membangkitkan realisasi sejumlah bilangan acak yang merupakan realisasi proses Poisson. Pembangkitan realisasi dari proses Poisson
dipilih untuk n = 100, n = 500, dan n = 1000.
Pendugaan dilakukan pada tiga titik, sebagaimana pada simulasi terdahulu
yaitu di s = 2.6 (mewakili nilai ? ??? yang kecil), di s = 4 (mewakili nilai ? ???
yang sedang), dan di s =4.9 (mewakili nilai ? ??? yang besar) dengan periode
? ? ?.
Sedangkan pendugaan ? untuk periode ? ? ? ? dilakukan pada tiga titik, yaitu
sedang), dan di s =9.8 (mewakili nilai ???? yang besar) . Hasil simulasi dengan
Secara umum dari tabel tersebut bisa dilihat, jika semakin panjang interval
pengamatan, maka akan diperoleh selang kepercayaan bagi penduga fungsi
intensitas lokal yang semakin pendek, hal ini berkaitan dengan nilai simpangan
BAB VI
KESIMPULAN
Untuk menduga fungsi intensitas lokal dari suatu proses Poisson periodik
dengan periode ? (diketahui) yang diamati pada interval?? ?? ?? dilakukan
pendugaan ? ??? di titik ? ? ?? ?? ? cukup diduga nilai ? ??? pada ? ? ?? ???.
Dari kajian yang telah dilakukan oleh peneliti terdahulu diperoleh rumusan
bandwidth optimal berikut :
1. Berdasarkan hasil simulasi, diperoleh bahwa perilaku penduga fungsi
intensitas lokal proses Poisson periodik dengan menggunakan bandwidth
optimal dan bandwidth optimal asimtotik adalah tidak jauh berbeda.
Oleh sebab itu dilakukan pendugaan fungsi intensitas lokal proses Poisson
periodik dengan bandwidth optimal asimtotik, yaitu ?? ? ?
? ? ?
? .
Dengan mensubstitusi nilai bandwidth tersebut, diperoleh
??? ??? ??? ? ?
2. Selanjutnya dilakukan pengkajian mengenai sifat-sifat statistik dan kenormalan
asimtotik, yang hasilnya sebagai berikut:
a). Aproksimasi asimtotik bagi nilai harapan ??? ??? ???adalah
? ? ? ???? ??? ???? ? ? ? ???
3. Berdasarkan kajian dari sifat-sifat statistika dan kenormalan asimtotik dari
penduga ??? ??? ??? dapat disimpulkan bahwa:
Kenormalan asimtotik (studentization) bagi ??? ??? ??? adalah
?? ?? ??
? ???? ??? ??? ?? ?? ???? ?? ?
???? ??? ??? ? ? ????? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ???
jika ? ? ? .
4. Sebagai aplikasi dari kenormalan (studentization) bagi ??? ??? ??? dapat diperoleh
suatu selang kepercayaan bagi ? ???, adalah sebagai berikut:
?? ? ? ??? ??
dimana ? menyatakan fungsi distribusi normal baku dan
? ????? ? ??? ? ? ? ? ? ? ?? ??
5. Hasil simulasi kenormalan asimtotik (studentization) bagi ??? ??? ???
menunjukkan bahwa sebaran dari penduga fungsi intensitas lokal proses
Poisson periodik mendekati normal baku.
6. Nilai peluang fungsi intensitas lokal berada pada selang kepercayaan teoritis
DAFTAR PUSTAKA
Arifin, Z. 2008. Sebaran Asimtotik Penduga Turunan Pertama dan Turunan
Kedua dari Fungsi Intensitas Suatu Proses Poisson Periodik. Departemen
Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Browder A. 1996. Mathematical Analysis : An Introduction. New York: Springer.
Cressie, N. 1991. Statistics for Spatial Data. New York: Wiley.
Diggle, P. J. 1985. A Kernel method for smoothing point proses data. Applied
Statistic, 34, 138-147.
Dudley RM. 1989. Real Analysis and Probability. California: Wardswort &
Brooks.
Ghahramani S, 2005, Fundamental of Probability with Stochastics Processes. Ed.
Ke-3. New Jersey: Pearson Prentice Hall.
Grimmet GR, Stizaker DR. 2001. Probability and Random Processes. Ed.ke 2.
Oxford: Clarendon Press.
Farida, T. 2008. Pendugaan Komponen Periodik dari Fungsi Intensitas Proses
Poisson Periodik dengan Tren Fungsi Pangkat. Departemen Matematika IPB.
Tesis. Bogor.
Hardle, W. 1991. Smoothing Techiques, Springer-Verlag, New York.
Hardle, W. 1993. Applied Nonparametric Regression, Cambridge University
Press.
Helmers R. 1995. On estimation the intensity of oil-polution in the North-Sea.
CWI Note BS-N9501.
Helmers R, Mangku I W., Zitikis R. 2003. Consistent estimation of the intensity
function of a cyclic Poisson proses. Journal of Multivariate Analysis. 84,
19-39.
Helmers R, Mangku I W., Zitikis R. 2005. Statistical properties of the intensity
function of the intensity function of cyclic Poisson process. Journal of
Multivariate Analysis. 92, 1-23.
Herniwati. 2007. Kekonsistenan Penduga Turunan Pertama dan Turunan Kedua
dari Fungsi Intensitas suatu Proses Poisson Periodik. Departemen
Hidayah, S. 2009. Selang Kepercayaan bagi Fungsi Intensitas Proses Poisson
Periodik. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Hogg RV, Craig AT, Mc Kean JW. 2005. Introduction to Mathematical
Statistics. Ed.Ke-5. New Jersey: Prentice Hall, Upper Saddle River.
Mangku, I W., 2006. Asymptotic normality of a kernel-type estimator for the
intensity of a periodic Poisson process. Journal of Mathematics and Its
Application. Vol.5, No:2, 13-22
Roos S. M., 2007. Introduction to Probability Models. Ed. 9. Burlington:
Elsevier, Inc.
Serflling, R. J. 1980. Aproximation Theorems of Mathematical Statistics. New
York: John Wiley & Sons.
Surawu, Joko. 2009. Sebaran Asimtotik Penduga Komponen Periodik Fungsi
Intensitas suatu Proses Poisson Periodik dengan Tren Linear. Departemen Matematika IPB. Tesis. Bogor.
Syamsuri. 2007. Pendugaan Turunan Pertama dan Turunan Kedua dari Fungsi
Intensitas Proses Poisson Periodik. Departemen Matematika IPB. Tesis.
Bogor.
Walpole, R. E. 1982. Pengantar Statistika. Jakarta: Gramedia.
Wheeden, R.L. and Zygmund. 1977. Measure and Integral: An Introduction to
Lampiran 1 : Beberapa definisi dan Lema Teknis Ruang Contoh, Kejadian dan peluang
Dalam penelitian biasanya diperlukan pengamatan yang diperoleh melalui
percobaan yang dilakukan secara berulang dalam kondisi yang sama. Hasil
percobaan tersebut tidak dapat diprediksi dengan tepat, tetapi bisa diketahui
semua kemungkinan hasilnya. Percobaan semacam ini disebut dengan percobaan
acak.
Definisi 1 : Ruang contoh
Ruang contoh adalah himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan
acak, dinotasikan dengan p.
(Grimmett dan Stirzaker , 2001)
Definisi 2 : Kejadian
Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang contoh p.
(Grimmett dan Stirzaker , 2001)
Definisi 3: Kejadian lepas
Kejadian A dan B disebut saling lepas jika irisan dari keduanya adalah himpunan
kosong (? ?.
(Grimmett dan Stirzaker, 2001)
Definisi 4 : Kejadian saling bebas
Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika:
Secara umum himpunan kejadian ????? ? ?? dikatakan saling bebas jika :
? ? ? ??
?? ?
? ? ? ? ????
?? ?
?
untuk setiap himpunan bagian J dari I.
(Grimmett dan Stirzaker , 2001)
Peubah Acak dan Fungsi Sebaran
Definisi 5 : Peubah acak
Misalkan adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang
terdefinisi pada yang memetakan setiap unsur ? ? ? kesatu dan hanya satu
bilangan real X (? ?= x disebut peubah acak.
Ruang dari X adalah himpunan bagian bilangan real ? ? ?? ?? ? X (? ?? ? ? ? ?G
(Hogg et al, 2005)
Peubah acak dinotasikan dengan huruf kapital, misalkan X, Y, Z.
Sedangkan nilai peubah acak dinotasikan dengan huruf kecil seperti x, y, z. Setiap
peubah acak memiliki fungsi sebaran.
Definisi 6 : Fungsi sebaran
Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang ? . Misalkan kejadian ? ?
????? ? ? ? ? maka peluang dari kejadian A adalah
? ?? ? ? ? ? ???? ?G
Fungsi ?? disebut fungsi sebaran dari peubah acak X.
(Hogg et al, 2005)
Definisi 7 : Peubah acak diskret
Suatu peubah acak disebut peubah acak diskret jika semua himpunan nilai dari
semua peubah acak tersebut merupakan himpunan tercacah.
Definisi 8 : Fungsi massa peluang
Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi ? ?? ? ?? ?? ? yang
diberikan oleh:
?? ?? ? ? ? ?? ? ? ?G
(Hogg et al, 2005)
Definisi 9 : Peubah acak Poisson
Suatu peubah acak X disebut peubah acak Poisson dengan parameter ?, ?> , jika
fungsi massa peluangnya diberikan oleh
???? ? ? ??? ?
?
? K?
untuk k = 0, 1, 2,…
(Ross , 2007)
Nilai Harapan dan Varian Definisi 10 : Nilai harapan
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang
???? ?. Nilai harapan dari X, dinotasikan dengan E(X), adalah
? ?? ? ? ? ? ???? ?
? ?
?
jika jumlah di atas konvergen mutlak.
(Hogg et al, 2005)
Definisi 11: Varian
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan fungsi massa peluang ???? ? dan
Statistik adalah suatu fungsi dari satu atau lebih peubah acak yang tidak
Definisi 13 : Penduga
Misalkan ??????g ??? adalalah contoh acak. Suatu statistik U(??????g ???) yang
digunakan untuk menduga fungsi parameter ? ?? ?, dikatakan sebagai penduga
(estimator) bagi ? ?? ?, dilambangkan oleh ???? ?G
Bilamana nilai ?? ? ??? ?? ? ???g ? ?? ? ?? ? maka nilai U(??? ???g ???) disebut sebagai dugaan (estimate) bagi ? ?? ?.
(Hogg et al, 2005)
Definisi 14 : Penduga tak bias
(i) Suatu penduga yang nilai harapannya sama dengan parameter ? ?? ?, yaitu
E[U(??????g ???)]= ? ?? ?disebut penduga tak bias bagi parameter ? ?? ?. Jika sebaliknya, penduga di atas disebut berbias.
(ii)Jika ??• ? ? ? ? ?? ???????g ????? ? ? ?? ?, maka U(??????g ???) disebut sebagai penduga tak bias asimtotik bagi parameter ? ?? ?.
(Hogg et al, 2005)
Definisi 15 : Kekonvergenan dalam peluang
Misalkan ? ???????g adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang
??? ? ? ?). Barisan peubah acak ?? dikatakan konvergen dalam peluang ke X, dinotasikan ?? ? ? ?? jika untuk setiap ? ? ? berlaku
? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ?
untuk ? ? ?G
(Grimmett dan Stirzaker, 2001)
Definisi 16 : Kekonvergenan dalam sebaran
Misalkan ? ???????g adalah barisan peubah acak pada suatu ruang peluang
??? ? ? ?). Barisan peubah acak ?? dikatakan konvergen dalam sebaran ke X, dinotasikan ?? ? ? ?? jika untuk semua titik x pada fungsi ???? ? ? ? ?? ? ? ? yang kontinu berlaku
? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ??
untuk ? ? ?G
Definisi 17 : Penduga konsisten
Suatu penduga yang konvergen dalam peluang ke parameter ? ??), disebut
penduga konsisten bagi ? ?? ?G
(Hogg et al, 2005)
Definisi 18 : Fungsi terintegralkan lokal
Fungsi intensitas ? disebut terintegralkan lokal, jika untuk sembarang himpunan
Borel terbatas ? kita peroleh
? ?? ? ? ? ????? ? ? ? G
?
(Dudley, 1989)
Definisi 19 : ? (.) dan o(.)
Simbol–simbol ?(.) dan o(.) merupakan cara untuk membandingkan besarnya dua
fungsi u(x) dan v(x) dengan x menuju suatu limit L.
Kita katakan s adalah titik Lebesgue dari fungsi ? jika berlaku
??•
Lema 1 (Teorema Deret Taylor)
Lema 2 (Teorema Limit Pusat)
Misalkan X1, X2, ... adalah barisan peubah acak yang i.i.d. (independent and
identically distributed) dengan nilai harapan µ dan ragam ??. Maka distribusi dari
Untuk membuktikan Teorema Limit Pusat diperlukan Teorema Kekontinuan
Levy, sebagai berikut:
Lema 3 (Teorema Kekontinuan Levy)
Misalkan X1, X2, ... adalah barisan peubah acak dengan masing- masing fungsi
distribusi F1, F2, ... dan fungsi pembangkit momen ? ?
????, ? ?????, ... . Misalkan
adalah peubah acak dengan fungsi distribusi F dan fungsi pembangkit
momen? ????G Jika semua untuk nilai t, ? ?
????konvergen ke ? ????, maka
titik-titik dari F yang kontinu, Fn konvergen ke F.
Bukti Teorema Limit Pusat:
? ? ?
Dari Teorema kekontinuan Levy, cukup dibuktikan bahwa ? ?
???? konvergen ke ? ? ? ??
?
? ? yang merupakan fungsi pembangkit momen dari Z. Ekivalen dengan
menunjukkan bahwa
menentukan nilainya dapat digunakan aturan L’H??pital dua kali, sehingga
LAMPIRAN 2
Program simulasi
A. Program Pembangkitan Realisasi Proses Poisson Periodik
Random<-function(n,tau)
B. Program Pembangkitan Penduga
for(l in 1:M)
C. Program Lambda Asli dan Turunan kedua
sebenarnya<-function(s,tau)
D. Program Bandwidth Optimal bandwith< -function(n,s,tau)
E. Program Bandwidth Optimal Asimtotik bandwith< -function(n)
{
F. Program Nilai Harapan dan Ragam Penduga Simulasi
H. Program untuk Memeriksa Kenormalan Asimtotik Penduga qqnorm(Dugaan)
qqline(Dugaan)
I . Program Selang Kepercayaan Teoritis
k<-0
for (i in 1:M) {
if(lambda>=batasbawah[i]&lambda<=batasatas[i]) {
k<-k+1 }}
return(k) }
J. Program Selang Kepercayaan Simulasi
jumlahselsimulasi<-function(n,titik,tau,M,alpha) {
band=n^-0.2
lambda<-sebenarnya(titik,tau) Data<-Random(n,tau)
Dugaan< -Penduga(n,titik,band,tau,M)
batasbawah<-Dugaan-(qnorm(1-(alpha/2))*sqrt(var(Dugaan))) batasatas<-Dugaan+(qnorm(1-(alpha/2))*sqrt(var(Dugaan)))
k<-0
for (i in 1:M) {
if(lambda>=batasbawah[i]&lambda<=batasatas[i]) {
k<-k+1 }}
return(k)
Lampiran 3 : Hasil simulasi dengan bandwidth optimal
a. Untuk ? ? ? dengan ( i) . s = 2.6
• Untuk n = 100 diper oleh bandw idth optimal ?
? ? 0.6541583
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 0.7980102
? ? ? ???????? ?0.03170042
? ??????????? ? 0.05642671
? ?? ???? ?? ???? ?0.03488439
• Untuk n = 500 diper oleh bandw idth optimal ?
? ?0.4741207
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 0.7761842
? ? ? ???????? ? 0.00793953
? ??????????? ? 0.03460071
? ?? ???? ?????? ? 0.009136736
• Untuk n = 1000 diper oleh bandw idth optimal ?
? ? 0.412746
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 0.7708736
? ? ? ???????? ? 0.00469453
? ??????????? ? 0.02929012
? ?? ???? ?????? ? 0.005552441
( ii) . s = 4
• Untuk n = 100 diper oleh bandw idth optimal ?
? ? 0.6224028
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
? ?????? ? 2.704117
? ? ? ???????? ? 0.1132796
? ??????????? ? -0.02005402
? ?? ???? ?????? ? 0.1136817
• Untuk n = 500 diper oleh bandw idth optimal ?
? ?0.4511049
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 2.77635
? ? ? ???????? ? 0.03092566
? ??????????? ? 0.05217877
? ?? ???? ?????? ? 0.03364829
• Untuk n = 1000 diper oleh bandw idth optimal ?? ? 0.3927096
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 2.767019
? ? ? ???????? ? 0.0175868
? ??????????? ? 0.04284816
? ?? ???? ?????? ? 0.01942277
( iii) . s = 4.9
• Untuk n = 100 diper oleh bandw idth optimal ?
? ? 0.4454884
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 4.871227
? ? ? ???????? ? 0.2610133
? ??????????? ? -0.5226366
? ?? ???? ?????? ? 0.5341623
• Untuk n = 500 diper oleh bandw idth optimal ?
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 5.203095
? ? ? ???????? ? 0.0819801
? ??????????? ? -0.1907683
? ?? ???? ?????? ? 0.1183726
• Untuk n = 1000 diper oleh bandw idth optimal ?? ? 0.2810842
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 5.26948
? ? ? ???????? ? 0.0492435
? ??????????? ? -0.1243836
? ?? ???? ?????? ? 0.06471477
b . Untuk ? ? ? ? dengan ( i) . s = 5.2
• Untuk n = 100 diper oleh bandw idth optimal ?? ? 1.308317
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 0.7491686
? ? ? ???????? ? 0.02836783
? ??????????? ? 0.00758509
? ?? ???? ?????? ? 0.02842537
• Untuk n = 500 diper oleh bandw idth optimal ?? ?0.9482413
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 0.770152
? ??????????? ? 0.02856857
? ?? ???? ?????? ? 0.008640398
• Untuk n = 1000 diper oleh bandw idth optimal ?
? ? 0.825492
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 0.7711522
? ? ? ???????? ? 0.00494554
? ??????????? ? 0.02956874
? ?? ???? ?????? ? 0.00581985
( ii) . s = 8
• Untuk n = 100 diper oleh bandw idth optimal ?? ? 1.244806
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 2.584901
? ? ? ???????? ? 0.09829616
? ??????????? ? -0.1392703
? ?? ???? ?????? ? 0.1176924
• Untuk n = 500 diper oleh bandw idth optimal ?? ?0.9022097
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 2.737556
? ? ? ???????? ? 0.03003004
? ??????????? ? 0.01338543
? ?? ???? ?????? ? 0.03020921
• Untuk n = 1000 diper oleh bandw idth optimal ?
? ? 0.7854192
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
? ?????? ? 2.755783
? ? ? ???????? ? 0.01850826
? ??????????? ? 0.03161212
? ?? ???? ?????? ? 0.01950758
( iii) . s = 9.8
• Untuk n = 100 diper oleh bandw idth optimal ?
? ? 0.8909768
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 4.616057
? ? ? ???????? ? 0.2454413
? ??????????? ? -0.777806
? ?? ???? ?????? ? 0.8504234
• Untuk n = 500 diper oleh bandw idth optimal ?
? ?0.6457619
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 5.153804
? ? ? ???????? ? 0.06767927
? ??????????? ? -0.2400597
? ?? ???? ?????? ? 0.1253079
• Untuk n = 1000 diper oleh bandw idth optimal ?
? ? 0.5621684
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 5.238848
? ? ? ???????? ? 0.04693127
? ??????????? ? -0.1550149
Lampiran 4 : Hasil simulasi dengan bandwidth optimal asimtotik
a. Untuk ? ? ? dengan ( i) . s = 2.6
• Untuk n = 100 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? 0.398107171
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 0.7355431
? ? ? ???????? ?0.04513741
? ??????????? ? -0.00604035
? ?? ???? ?????? ?0.0451739
• Untuk n = 500 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ?0.288539981
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 0.7409718
? ? ? ???????? ?0.01348722
? ??????????? ? -0.00061166
? ?? ???? ?????? ?0.01348759
• Untuk n = 1000 diper oleh bandw idth optimal asim totik
?? ? 0.25118864
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 0.7521936
? ? ? ???????? ?0.007659134
? ??????????? ? 0.01061015
? ?? ???? ?????? ?0.00777171
( ii) . s = 4
• Untuk n = 100 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? 0.398107171
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 2.666556
? ??????????? ? -0.0576152
? ?? ???? ?????? ?0.1685378
• Untuk n = 500 diperoleh bandw idth optimal asimtotik
?? ? ? G? ? ? ? ? ? ? ?
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 2.735687
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,1000] diperoleh :
? ?????? ? 2.736957
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,100] diperoleh :
? ?????? ? 4.904772
Dari hasil simulasi sebanyak M = 1000 realisasi proses Poisson N
yang diamati pada [0,n]=[0,500] diperoleh :
? ?????? ? 5.232446
? ? ? ???????? ? 0.09875007
? ??????????? ? -0.1614168