BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA
2.2 Rangkaian Listrik
2.2.2 Hukum – Hukum Rangkaian Listrik
Hukum arus Kirchhoff menyatakan bahwa jumlah aljabar dari arus – arus yang memasuki setiap node/simpul rangkaian adalah nol (William H, 2005). Arus yang menuju node dinyatakan positif dan yang meninggalkan node dinyatakan negatif. Untuk memberi gambaran mengenai hukum arus Kirchhoff dengan gambar sebagai berikut:
11
Gambar 2.1 Simpul Arus Sederhana
Berdasarkan hukum arus Kirchhoff pada rangkaian diperoleh persamaan =0
Atau
2. Hukum Tegangan Kirchhoff (HTK)
Hukum tegangan Kirchhoff menyatakan bahwa penjumlahan aljabar dari tegangan disekeliling suatu lintasan tertutup sama dengan nol (William H, 2005).
3. Hukum Ohm
Hukum Ohm menyatakan bahwa tegangan V yang melewati suatu penghantar berbanding lurus degan arus I dari elemen rangkaian yang ditulis sebagai (Zainuddin Zukhri, 2007).
2.2.3 Elemen Resistor, Induktor, dan Kapasitor dalam Hubungan Seri dan Paralel
1. Resistor dalam Hubungan Seri dan Parallel
Gambar 2. 2 Kombinasi Rangkaian N Buah Resitor
Gambar 2.3 Rangkaian Ekivalen Resistor
Dalam praktiknya kita bisa saja menggantikan suatu kombinasi resistor yang terlalu rumit dengan sebuah resistor ekivalen. Kombinasi dari N buah resistor yang terhubung seri dapat disederhanakan dengan mengantikan N buah resistor dengan sebuah resistor ekivalen (Req). Resistansi ekivalen untuk N buah resistor yang terhubung seri adalah:
∑ (2.6)
13
Proses penyederhanaan yang serupa juga dapat diaplikasikan untuk rangkaian paralel.
Sebuah rangkaian yang mengandung N buah resistor dalam hubungan paralel adalah.
Yang dapat ditulis sebagai
Untuk kasus dimana hanya terdapat dua buah resistor yang terhubung paralel.
Persamaannya dapat di rumuskan sebagai:
2. Induktor dalam Hubungan Seri dan Paralel
Kombinasi dari N buah induktor yang terhubung seri pada gambar dapat diganti denga sebuah rangkaian induktor ekivalen, dengan induktansi Leq untuk menggantikan kombinasi seri tersebut. Dengan menerapakan HTK (hukum tegangan Kirchhoof atau Kirchoof voltage law) pada rangkaian aslinya.
Gambar 2.4 Rangkaian Kombinasi N Buah Induktor
Gambar 4.5 Rangkaian Ekivalen N Buah Induktor
untuk rangkaian ekivalen, KVL (kirchooff voltage law) menghasilkan
Untuk kasus dua induktor yang terhubung paralel
(2.8)
3. Kapasitor dalam Hubungan Seri dan Paralel
Kombinasi dari N buah kapasitor yang terhubung seri membentuk kombinasi yang sama dengan konduktansi – konduktansi atau resistor – resistor paralel.
Untuk kasus dua kapasitor yang terhubung seri. Persamaan yang diperoleh adalah
15
Untuk rangkaian N buah kapasitor yang terhubung paralel yaitu
(2.10)
2.2.4 Tanggapan Rangkaian RLC Seri
Pada rangkaian listrik, terdapat 3 respon yang dikenal, yaitu respon alami yang kurang teredam (underdamped), teredam kritis (crititically damped), dan sangat teredam (overdamped), karena yang akan dibicarakan adalah arus, maka, respon yang dimaksud adalah respon arus. Secara matematis dalam ilmu rangkaian listrik dapat dijelaskan 3 respon ini. Suatu rangkaian listrik sederhana yang terdiri dari komponen aktif R, juga komponen pasif L dan C dirangkai secara seri pada gambar dengan menerapkan hukum tegangan Kirchhoff pada gambar maka diperoleh persamaan arus, sebagai:
Gambar 2.6 Rangkaian RCL Seri
∫
Persamaan derajat kedua diperoleh dengan mendiferensiasikan terhadap fungsi waktu sebagai:
Persamaan terakhir yang diperoleh dikenal sebagai persamaan karakteristik atau persamaan pelengkap (auxiliary). Karena persamaan ini adalah sebuah persamaan kuadrat, maka persamaan tersebut memiliki dua buah pemecahan yang diidentifikasikan sebagai dan Dengan sebagai parameter frekuensi resonansi
√
Dan sebagai parameter frekuensi neper atau koefisien redaman eksponensial
Terdapat tiga kondisi yang di peroleh yaitu:
Untuk merupakan kondisi teredam kritis
17 Dan dengan mengatur kembali suku – sukunya, diperoleh
∫
Transformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat digunakan secara mudah untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Transformasi Laplace juga dapat digunakan untuk mengubah persamaan diferensial kedalam bentuk persamaan aljabar, sehinnga mengurangi kerumitan penggunaan bentuk eksponensial menjadi bentuk ekspresi persamaan aljabar. intrgral infinitnya konvergen. Pemusatan terjadi ketika limit
∫
Eksis. Jika limit ini tidak eksis, integral tak wajar tersebut divergen dan tidak memiliki transformasi laplace.
2.4.1 Transformasi Laplace Dari Turunan 1. Turunan Pertama
{ } ∫
Bukti:
{ } ∫
Dengan menggunakan integral parsial diperoleh
{ } ∫
∫
[ ] ∫
[ ] ∫
( )
{ } (2.20)
19
Dengan menggunakan integral parsial dan hasil dari turunan pertama diperoleh { } ∫
Sifat – sifat transformasi Laplace invers adalah sebagai berikut
1. Transformasi invers dari suatu jumlah atau selisih dari pernyataan adalah jumlah atau selisih dari masing – masing transformasi invers itu sendiri. yang ditulis sebagai:
{ } { } { }
2. Transformasi invers dari suatu pernyataan yang dikalikan dengan suatu konstanta adalah konstanta tersebut dikalikan dengan transformasi invers dari pernyataan tersebut, dengan kata lain:
{ } { } di mana adalah konstanta.
2.4.3 Transformasi Laplace dalam Ekpansi Pecahan Parsial
Di dalam penggunaannya, transformasi Laplace sering kali melibatkan bentuk
dengan banyak fraksi, di mana P(s) dan Q(s) merupakan suku polinomial. Solusinya ialah dengan cara mengetahui bagaimana fraksi – fraksi yang terlibat/dihasilkan diubah dalam bentuk fraksi pecahan (parcial fraction). Jika
dengan penyebut
Maka, terdapat tiga penyelesaiannya.
1. Akar – akar Real yang Tidak Sama
Untuk setiap faktor dari P(s) yang linear dalam bentuk dan diperoleh bentuk pecahan parsialnya sebagai
(2.25)
Dengan dan sebagai konstanta.
21
2. Akar – akar Real yang Sama
Untuk setiap faktor dari P(s) yang linear dalam bentuk
Untuk setiap faktor dari P(s) dalam bentuk
Maka, pecahan parsialnya dapat ditulis dalam bentuk
2.5 Masalah Nilai Awal (Initial Value Problem) Masalah nilai awal untuk persamaan diferensial order
( ) yaitu menentukan solusi persamaan diferensial pada interval I yang memenuhi syarat awal di subset dari real
di mana adalah konstanta yang diberikan (Baiduri, 2002).
BAB 3
METODE PENELITIAN
3.1 Langkah – Langkah Metode Penelitian
Peranan metode penelitian dalam suatu penelitian sangat penting. Sehingga dengan metode penelitian dapat mencapai tujuan penelitian yang telah ditetapkan dan agar penelitian yang telah dilakukan berjalan dengan lancar. Melalui metode penelitian, masalah yang dihadapi dapat diatasi dan dipecahkan.
Langkah – langkah yang dilakukan pada penelitian ini meliputi beberapa hal yaitu:
1. Pemilihan Masalah
Yang menjadi permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana menyelesaikan sistem persamaan diferensial pada rangkaian seri RLC dengan menggunakan metode transformasi Laplace dan inversnya.
2. Merumuskan Masalah
Perumusan masalah diperlukan untuk membatasi permasalahan sehingga diperoleh bahan kajian yang jelas. Sehingga akan lebih mudah untuk menentukan langkah dalam memecahkan masalah tersebut.
3. Studi Pustaka
Setelah diperoleh masalah untuk diteliti, peneliti mengadakan studi pustaka. Studi pustaka adalah penelahan sumber pustaka yang relevan, digunakan untuk mengumpulkan data informasi yang diperlukan dalam penelitian. Studi pustaka diawali dengan mengumpulkan sumber pustaka yang berupa buku atau literatur, jurnal, skripsi dan sebagainya. Setelah pustaka terkumpul dilanjutkan dengan pemahaman isi sumber pustaka tersebut yang pada akhirnya sumber pustaka ini dijadikan landasan untuk menganalisis permasalahan.
23
4. Memecahkan Masalah
Setelah permasalahan dirumuskan dan sumber pustaka terkumpul, langkah selanjutnya adalah pemecahan masalah melalui pengkajian secara teoritis yang selanjutnya disususn secara rinci dalam bentuk pembahasan.
Dalam pemecahan masalah dilakukan langkah – langkah sebagai berikut:
a. Memodelkan permasalahan rangkaian secara matematis, dalam hal ini dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial linear.
b. Mengambil transformasi Lapalce dan inversnya dalam persamaan diferensial yang diperoleh.
c. Mengetahui bagaimana bentuk karakteristik rangkaian orde satu dan dua.
5. Menarik Kesimpulan
Langkah terakhir dalam kegiatan penelitian ini adalah menarik kesimpulan dari keseluruhan permasalahan yang telah dirumuskan dengan berdasarkan pada landasan teori dan hasil pemecahan masalah.
BAB 4
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Tanggapan Alami Rangkaian Orde Satu
Tanggapan alami adalah solusi homogen dari persamaan diferensial homogen pada rangkaian.
1. Tanggapan Alami Rangkaian RL
Sebuah rangkaian RL bersifat resistif (memuat resistor - resitor) dihubungkan secara seri dengan sebuah induktor tanpa sumber sebagaimana terlihat pada gambar berikut:
Gambar 4.1 Rangkaian RL
Analisis rangkaian dilakukan dengan menghitung nilai-nilai ekivalen resistor yang terhubung seri dan paralel sebagai
Rangkaian ekivalennya diperoleh sebagai berikut:
25
Gambar 4.2 Rangkaian Ekivalen RL
Pada rangkaian ekivalen ini di berikan arus awal yang melewati induktor sebesar . Akan ditentukan bagaimana bentuk karakteristik tanggapan arus yang dihasilkan dari rangkaian tersebut.
Pada waktu aplikasi HTK dan hukum Ohm memberikan sistem persamaan rangkaian orde satu sebagai:
Dengan menyederhanakan persamaan rangkaian dan mensubstitusikan nilai – nilai elemen rangkaian dalam persamaan diferensial diperoleh
Dengan mengambil transformasi Lapalce di kedua sisi dari persamaan diferensial dan mensubstitusikan nilai arus awal yang diberikan pada persamaan diferensial diperoleh
[ ]
Untuk memperoleh bentuk arus dalam fungsi waktu dengan mengambil transformasi Laplace invers dari persamaan diperoleh
Adapun gambar grafiknya sebagai berikut:
Gambar 4.3 Tanggapan Rangkaian RL Seri Sebagai
pada gambar 4.3., menunjukkan bahwa bentuk tanggapan alami rangkaian RL teredam kritis pada 1 konstanta waktu tanggapan ini menghilang dengan seiring berjalannya waktu atau menuju nol yang merupakan tanggapan transien (sementara).
2. Tanggapan Alami Rangkaian RC
Beberapa resistor dihubungkan dengan kapasitor sebagaimana terlihat pada gambar berikut
Gambar 4.4 Rangkaian RC Kombinasi Seri dan Paralel
27
Analisis rangkaian dilakukan dengan menghitung nilai-nilai ekivalen resistor yang terhubung seri dan paralel sebagai
Dengan rangkaian ekivalennya sebagai berikut
Gambar 4.5 Rangkaian RC Ekivalen
Dengan nilai arus awal yang melewati kapasitor yang menyebabkan timbulnya tegangan pada kedua ujung kapasitor pada rangkaian sebesar . Akan ditentukan bagaimana bentuk karakteristik tegangan yang dihasilkan dari rangkaian tersebut.
Pada waktu aplikasi HAK pada rangkaian ekivalen diperoleh persamaan arus sebagai
Dengan menyederhanakan persamaan akan menghasilkan
Dengan mengambil transformasi Laplace di kedua sisi dari persamaan diferensial rangkaian dan mensubstitusikan nilai–nilai elemen rangkaian dan kondisi awal yang diberikan pada persamaan diferensial diperoleh
[ ]
Dengan mengambil transformasi Laplace invers dari persamaan diperoleh tegangan kapasitor dalam fungsi waktu sebagai berikut
Adapun hasil plot dari persamaan diperoleh gambar grafiknya sebagai berikut
Gambar 4.6 Tanggapan Rangkaian RC Sebagai
Pada gambar 4.6., menunujukkan bahwa bentuk tanggapan alami rangkaian RC merupakan bentuk eksponensial menurun dengan seiring berjalannya waktu sampai 5 konstanta waktu tegangan akan hilang atau menuju nol yang merupakan tanggapan transien (sementara).
4.2 Tanggapan Alami Rangkaian Orde Dua 1. Tanggapan Rangkaian Kurang Teredam
Diberikan gambar rangkaian RLC dengan nilai arus awal yang melewati induktor dan nilai arus awal yang melintasi kedua ujung kapasitor diberikan sebagai:
29
Gambar 4.7 Rangkaian RLC Seri
Aplikasi HTK pada waktu memberikan persamaan integral diferensial karakteristik untuk rangkaian jenis ini sebagai
∫
Mendiferensialkan persamaan terhadap fungsi waktu diperoleh persamaan diferensial orde dua homogen yang linear.
Akan ditentukan bagaimana bentuk karakteristik tanggapan arus yang dihasilkan dari rangkaian. Nilai-nilai parameter frekuensi redaman eksponensial, frekuensi resonansi, dan frekuensi alami diberikan sebagai
√ √
√ √
Berdasarkan nilai-nilai parameter diperoleh yang mengindikasikan kondisi kurang teredam sesuai dengan persamaan (2.12).
Dengan mengambil transformasi Laplace di kedua sisi dari persamaan diferensial dan mensubstitusikan nilai-nilai elemen rangkaian dan kondisi awal yang diberikan pada persamaan diferensial diperoleh
[ ] [ ]
Dengan menggunakan penyelesaian kuadrat pada penyebutnya diperoleh
Hasil plot dari persamaan diperoleh gambar grafiknya sebagai berikut
31
Gambar 4.8 Tanggapan Rangkaian RLC Kurang Teredam
Pada gambar 4.8., menunjukkan bahwa bentuk tanggapan alami rangkaian RLC kurang teredam bersifat sinusoida dengan seiring berjalannya waktu tanggapan arus akan hilang atau menuju nol yang merupakan tanggapan transien (sementara).
2. Tanggapan Teredam Berlebih
Diberikan gambar rangkaian RLC dengan nilai arus awal yang melewati induktor dan nilai arus awal yang melintasi kedua ujung kapasitor sebagai
Gambar 4.9 Rangkaian RLC Seri
Analisis rangkaian dilakukan dengan menghitung nilai-nilai tahanan (R) yang terhubung seri.
Dengan gambar rangkaian ekivalennya sebagai berikut
Gambar 4.10 Rangkaian Ekivalen RLC Seri
Aplikasi HTK pada waktu memberikan persamaan diferensial orde dua sebagaimana tanggapan kurang teredam sebagai berikut:
33
Akan ditentukan bagaimana bentuk karakteristik arus yang dihsilkan dari rangkaian.
Nilai frekuensi redaman eksponensial dan frekuensi resonansi adalah
√ √ Berdasarkan nilai-nilai parameter diperoleh
Yang mengindikasikan kondisi teredam berlebih sesuai dengan persamaan (2.13).
Dengan mengambil transformasi Laplace di kedua sisi dari persamaan diferensial dan mesubstitusikan nilai-nilai elemen rangkaian dan kondisi awal yang diberikan pada persamaan diferensial diperoleh
Dengan menggunakan cara alternatif untuk memperoleh konstanta A dan B
Dengan mengambil transformasi Laplace invers dari persamaan diperoleh {
} {
}
Merupakan bentuk tanggapan teredam berlebih sesuai dengan persamaan (2.13) dengan nilai akar-akarnya sebagai berikut:
√ dan
Hasil plot dari persamaan diperoleh gambar grafiknya sebagai
Gambar 4.11 Tanggapan Rangkaian RLC Seri Teredam Berlebih
Pada gambar 4.11., menunjukkan bahwa bentuk tanggapan alami rangkaian RLC teredam berlebih dengan seiring berjalannya waktu sampai 3 konstanta waktu tanggapannya akan menghilang atau menuju nol. Tanggapan ini merupakan tanggapan transien (sementara).
35
3. Tanggapan Teredam Kritis
Diberikan gambar rangkaian RLC sebagai berikut dengan arus awal yang melewati induktor dan arus awal yang melintasi kedua ujung kapasitor diberikan
Gambar 4.12 Rangkaian RLC Kombinasi Seri dan Paralel
Analisis rangkaian dilakukan dengan menghitung nilai-nilai resitor yang terhubung paralel dan seri sebagai:
Diperoleh gambar rangkaian ekivalennya sebagai:
Gambar 4. 13 Rangkaian Ekivalen RLC Seri
Aplikasi HTK pada waktu memberikan persamaan diferensial orde dua sebagaimana tanggapan kurang teredam sebagai berikut:
Akan ditentukan bagaimana bentuk karakteristik tanggapan arus yang dihasilkan dari persamaan rangkaian. Nilai-nilai parameter frekuensi peredam eksponensial dan frekuensi resonansi diberikan sebagai
Mengindikasikan kondisi teredam kritis sesuai dengan persamaan (2.11).
Dengan mengambil transformasi Laplace di kedua sisi dari persamaan diferensial dan mensubstitusikan nilai-nilai elemen rangkaian dan kondisi awal yang diberikan pada persamaan diferensial diperoleh
37
Dengan mengambil transformasi Laplace invers dari persamaan diperoleh {
} { }
Yang merupakan bentuk umum tanggapan teredam kritis dengan gambar hasil plot sebagai berikut
Gambar 4.14 Tanggapan Rangkaian RLC Seri Teredam Kritis
Pada gambar 4.14., menunjukkan bahwa bentuk tanggapan alami rangkaian RLC teredam kritis dengan seiring berjalannya waktu sampai pada 2 konstatanta waktu tanggapannya menghilang atau menuju nol yang merupakan tanggapan transien (sementara).
BAB 5
KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan yang telah dibuat, diperoleh kesimpulan antara lain:
1. Karakteristik tanggapan alami dari persamaan diferensial pada rangkaian orde satu diperoleh dalam bentuk fungsi eksponensial menurun dengan seiring berjalannya waktu, tanggapan arus akan menghilang atau menuju nol. Arus ini bersifat transien (sementara).
2. Karakteristik tanggapan alami dari persamaan diferensial pada rangkaian orde dua terdapat tiga jenis, yaitu: teredam berlebih (Overdamped), teredam kritis (Crititially damped), dan kurang teredam (Under damped). Dengan menaikkan nilai tahanan (R) dan menurunkan nilai kapasitor (C) pada rangkaian seri RLC menyebabkan bentuk tanggapan alami berubah-ubah dengan seiring berjalannya waktu tanggapan alami tersebut akan menghilang atau menuju nol yang merupakan tanggapan transien (sementara).
5.2 Saran
Dalam penelitian ini membatasi penyelesaian persoalan persamaan diferensial linear orde dua dengan transformasi Laplace yang diaplikasikan pada rangkaian listrik RLC.
Ada banyak metode lain yang dapat digunakan untuk penelitian selanjutnya.
Diharapkan menggunakan metode lain dalam hal rangkaian yang berbeda.
39
DAFTAR PUSTAKA
Arifin Syamsul. 2013. Metode Transformasi Laplace Matriks Dan Penerapannya Pada Sistem Pegas Massa. [Skripsi]. Yogyakarta: Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga, Program Pascasarjana.
Baiduri. 2002. Persamaan Diferensial dan Matematika Model. Malang: UMM Press.
Bronson Richard., Costa Gabriel., 2007. Persamaan Differensial schaum outline, Edisi Ketiga, Penerbit Erlangga. Jakarta. hlm:155-156.
K. A. Stroud 2003. Matematika Teknik Edisi Kelima, Jilid I, Penerbit Erlangga. Jakarta.
hlm:348-352.
Santoso Widiarti. 1988. Persamaan Diferensial Biasa dengan penerapan modern Edisi Kedua, Penerbit Erlangga. Jakarta. hlm:116.
Sears dan Zemansky. 2003. Fisika Universitas Edisi Kesepuluh, Penerbit Erlangga.
Jakarta.
Sudirham Sudaryatno. 2013. Analisis Rangkaian Listrik. Jilid II. hlm:55-56.
Wlliam H., Jack E.Kemmerly., Steven M. Durbin., 2005 Rangkaian Listrik Edisi Keenam, Jilid I, Penerbit Erlangga. Jakarta.
Yuni Yulida. Juni 2012. Metode Dekomposisi Adomian Laplace Untuk Solusi Persamaan Diferensial Nonlinear Koefisien Fungsi. Jurnal Matematika Murni dan Terapan . Vol 6:1. hlm 18-20.
Zukhri Zainuddin. 2007. Analisis Rangkaian, Edisi kedua, Penerbit Graha Ilmu.
Jakarta.
TABEL TRANSFORMASI LAPLACE
1
41
Sumber: Richard Bronson 2007