LINEAR SATU VARIABEL
F. LOGIKA MATEMATIKA (PENGAYAAN) Ketika seorang ahli matematika akan membuktikan atauKetika seorang ahli matematika akan membuktikan atau
3. Ingkaran atau Negasi Suatu Pernyataan
Jikap adalah suatu pernyataan maka ingkarannya dinotasikan sebagai ~p atau –p atau p. Apabila pernyataan p bernilai benar, maka pernyataan ~p bernilai salah. Sebaliknya, apabila pernyataan
p bernilai salah, maka pernyataan ~p bernilai benar.
No. Operator
Nama Lambang Arti Dalam Bahasa Sehari-Hari
1. 2. 3. 4. 5. Negasi Konjungsi Disjungsi Implikasi/Kondisi Biimplikasi tidak, bukan
dan, tetapi, meskipun, walaupun atau
Jika ... maka ....
p ~p
B S
S B
a. p : Semua siswa memakai sepatu hitam.
~p : Tidak benar bahwa semua siswa memakai sepatu hitam, atau
~p : Semua siswa tidak memakai sepatu hitam.
Nilai kebenaran pernyataan p tergantung kenyataannya. Jika
p bernilai benar maka ~p bernilai salah atau sebaliknya. b. r : Gunung Tangkuban Perahu terletak di Jawa
Barat ... (B) ~r : Gunung Tangkuban Perahu tidak terletak di Jawa
Barat ... (S) Berdasarkan uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut.
Ingkaran atau negasi suatu pernyataan p adalah pernyataan ~p
yang bernilai benar jika p bernilai salah dan bernilai salah jika p
bernilai benar.
Agar kalian lebih jelas, perhatikan tabel kebenaran berikut. Keterangan:
B = benar S = salah
Tabel kebenaran tersebut digunakan untuk menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan beserta negasinya.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
2. Tentukan himpunan penyelesaian kalimat terbuka di bawah ini agar menjadi pernyataan yang benar.
a. x2 – 4 = 0
b. y adalah bilangan prima kurang dari 20.
c. –3a – 1 = 8, a bilangan bulat. d. x adalah kelipatan persekutuan
ter-kecil dari 12 dan 35. 1. Tentukan nilai kebenaran
pernyataan-pernyataan berikut.
a. Semua bilangan prima adalah ganjil. b. Hasil kali bilangan bulat negatif dan bilangan bulat negatif adalah bilangan positif.
c. Bandar udara Sultan Thoha terletak di Jambi.
4. Konjungsi
Nilai dan tabel kebenaran konjungsi
Konjungsi merupakan pernyataan majemuk dengan kata penghubungdan. Dua pernyataan p dan q yang dinyatakan dalam bentukp q disebut konjungsi. (p q dibaca: p dan q)
Pernyataanp q disebut juga sebagai pernyataan konjungtif
dan masing-masing p serta q disebut komponen (subpernyataan). Kata penghubung “dan” sering kali berarti “kemudian, lantas, lalu”. Konjungsi bersifat simetrik, artinya p q ekuivalen dengan q p.
Meskipun hari hujan, ia tetap berangkat bekerja. Pernyataan tersebut sama artinya dengan: Ia tetap berangkat bekerja meskipun hari hujan.
Kata-kata yang membentuk konjungsi selain dan adalah
meskipun, tetapi, sedangkan, padahal, sambil, yang, juga,
walaupun, dan lain-lain.
Nilai kebenaran konjungsi disajikan pada tabel kebenaran di samping.
Konjungsi dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilai benar.
a. p : Pura Tanah Lot terletak di Bali ... (B)
q : Pura Tanah Lot berada di pantai ... (B)
p q : Pura Tanah Lot terletak di Bali dan berada di pantai ... (B) b. p : Pura Tanah Lot terletak di Bali ... (B)
q : Pura Tanah Lot tidak berada di pantai ... (S)
p q : Pura Tanah Lot terletak di Bali dan tidak berada di pantai ... (S) p q p x q( ) B B S S B S B S B S S S
3. Tentukan ingkaran pernyataan berikut ini serta tentukan nilai kebenarannya. a. (–9) u 6 = –54.
b. Bunga melati berwarna merah.
c. Aku mempunyai adik. d. Taj Mahal terletak di India. e. 75 habis dibagi 4.
c. p : Pura Tanah Lot terletak di Aceh ... (S)
q : Pura Tanah Lot berada di pantai ... (B)
p q : Pura Tanah Lot terletak di Aceh dan berada di pantai ... (S) d. p : Pura Tanah Lot terletak di Sulawesi ... (S)
q : Pura Tanah Lot tidak berada di pantai ... (S)
p q : Pura Tanah Lot terletak di Sulawesi dan tidak berada di pantai ... (S)
Catatan:
– Dalam pernyataan majemuk, kedua pernyataan tunggalnya boleh tidak mempunyai hubungan.
Contoh: Ibu kota Filipina adalah Manila dan 3 + 7 = 10. – Ada pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung dan
tetapi bukan konjungsi.
Contoh: Ibu pulang dari pasar dan terus memasak.
Pernyataan tersebut bukan konjungsi, karena kata “dan” pada contoh tersebut mengandung pengertian waktu.
Kerjakan soal-soal berikut di buku tugasmu.
2. Diketahui pernyataan-pernyataan se-bagai berikut.
k : 2 adalah bilangan prima genap.
l : 5 adalah 25.
m : Taman wisata Dieng terletak di Jawa Timur.
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan yang dinyatakan dengan notasi berikut. a. k l d. k ~l
b. k m e. ~m l
c. l m
1. Diketahui pernyataan-pernyataan seba-gai berikut.
p : Kamboja adalah salah satu negara anggota ASEAN.
q : Ibu kota Kamboja terletak di Phnom Penh.
Tentukan pernyataan-pernyataan maje-muk yang dinyatakan dengan notasi berikut. a. p q e. ~p ~q b. q p f. ~q ~p c. ~p q g. ~(p q) d. p ~q h. ~(p ~q) ka li ma t
2. Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan belum diketahui nilai kebenarannya.
3. Himpunan penyelesaian dari kalimat terbuka adalah himpunan semua pengganti dari variabel-variabel pada kalimat terbuka sehingga kalimat tersebut bernilai benar.
4. Persamaan adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=).
5. Persamaan linear satu variabel adalah kalimat terbuka yang dihubungkan oleh tanda sama dengan (=) dan hanya mem-punyai satu variabel berpangkat satu. Bentuk umum per-samaan linear satu variabel adalah ax + b = 0 dan a z 0. 6. Penyelesaian persamaan linear adala h pengganti var iabel x
yang menyebabkan persamaan bernilai benar.
7. Dua persamaan atau lebih dikatakan ekuivalen jika mempunyai himpunan penyelesaian yang sama dan dinotasikan dengan tanda “”.
8. Suatu persamaan dapat dinyatakan ke dalam persamaan yang ekuivalen dengan cara:
a. menambah atau mengurangi kedua ruas dengan bilangan yang sama;
b. mengalikan atau membagi kedua ruas dengan bilangan yang sama.
9. Suatu ketidaksamaan selalu ditandai dengan salah satu tanda hubung berikut.
“<” untuk menyatakan kurang dari. “>” untuk menyatakan lebih dari.
“d” untuk menyatakan tidak lebih dari atau kurang dari atau sama dengan.
“t” untuk menyatakan tidak kurang dari atau lebih dari atau sama dengan.
10. Pertidaksamaan a dalah k alimat t erbuka y ang m enyatakan hubungan ketidaksamaan (>, <, t, atau d).
11. Untuk menentukan penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel, dapat dilakukan dalam dua cara sebagai berikut. a. Mencari lebih dahulu penyelesaian persamaan yang
diper-oleh dari pertidaksamaan dengan mengganti tanda ketidak-samaan dengan tanda “=”.
Setelah mempelajari mengenai Persamaan dan Pertidaksa-maan Linear Satu V ariabel, coba rangkum materi yang telah kamu pahami. Catat materi yang belum kamu pahami dan tanyakan kepada gurumu. Berilah contoh masalah beserta penyelesaiannya yang berkaitan dengan persamaan dan pertidaksamaan linear satu variabel. Hasilnya, kemukakan secara singkat di depan kelas.
Kerjakan di buku tugasmu.
A. Pilihlah salah satu jawaban yang tepat.
4. Harga sebuah buku sama dengan dua kali harga pensil. Jika 6 buku dan 15 pensil harganya Rp21.600,00, harga satu buku adalah ....
a. Rp1.600,00 c. Rp800,00 b. Rp1.500,00 d. Rp750,00 5. Tiga bilangan genap yang berurutan
jumlahnya 108. Bilangan yang terbesar adalah ....
a. 36 c. 40 b. 38 d. 44
6. Jika pengurangan 2x dari 3 hasilnya tidak kurang dari 5 maka nilai x adalah ....
a. x t 4 c. x d 4 b. x t –1 d. x d –1 7. Batas n ilai x dari pertidaksamaan
1( 2) 1( 2)
3 x 4 x jika x variabel pada himpunan bilangan bulat adalah ....
a. x < 2 c. x < –2 b.x > 2 d. x > –2 1. Penyelesaian dari p ersamaan 6 – 2x
= 5x + 20 dengan x variabel pada himpunan bilangan bulat adalah .... a.x = 1 c. x = –2 b.x= 2 d. x = –1
2. Diketahui persamaan-persamaan ber-ikut.
(i) 1 3 1
5x (iii)x – 15 = 5 (ii)x – 5 = 5 (iv) 3x – 45 = 15 Dari persamaan di atas yang merupa-kan persamaan ekuivalen adalah .... a. (i), (ii), dan (iii)
b. (i), (iii), dan (iv) c. (i), (ii), dan (iv) d. (ii), (iii), dan (iv)
3. Panjang si si-sisi s ebuah s egitiga diketahui 2x cm, (2x + 2) cm, dan (3x + 1) cm. Jika kelilingnya 24 cm, panjang sisi yang terpanjang adalah .... a. 6 cm c. 10 cm
B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut dengan singkat dan tepat.
1. Jika variabel pada himpunan bilang-an rasional, tentukbilang-an himpunbilang-an penye-lesaian dari setiap persamaan berikut. a. 4 5 1 2 5 x x b. 2 1 3 2 2 x c. 10 2 7 x x d. 1 2 1( 1) 5x 2 x e. 2 13 12 1 2 y y f. 5(13 – y) = 9y – (2y – 5)
2. Panjang sisi-sisi suatu persegi panjang diketahui (2x – 6) cm dan (x + 8) cm. Jika kelilingnya 28 cm, tentukan luas persegi panjang tersebut.
3. Diketahui harga sepasang sepatu 2 kali harga sepasang sandal. Jumlah harga kedua pasang sepatu dan sandal terse-but Rp82.500,00. Susunlah persamaan dalamx dan tentukan harga sepatu dan sandal tersebut.
9. Penyelesaian dari 2(3 – 3 x) > 3x – 12, jika x v ariabel p ada h impunan bilangan bulat adalah ....
a.x < –2 c. x < 2 b.x > –2 d. x > 2
10. Panjang sisi-sisi sebuah persegi dike-tahui (x + 2) cm. Jika kelilingnya tidak lebih dari 20 cm, luas maksimum persegi tersebut adalah ....
a. 9 cm2 c. 20 cm2
b. 16 cm2 d. 25 cm2
8. Grafik himpunan penyelesaian dari 2x + 4 > 3x + 2 dengan x variabel pada {–3, –2, –1, ..., 3} adalah .... a. 0 1 2 –3 –2 –1 3 4 b. –3 –2 –1 0 1 2 3 4 c. –3 –2 –1 0 1 2 3 4 d. –3 –2 –1 0 1 2 3 4
4. Dengan peubah pada himpunan bilang-an bulat, tentukbilang-an penyelesaibilang-an perti-daksamaan berikut, kemudian gam-barlah grafik himpunan penyelesaian-nya. a. 4(x – 3) < x + 3 b. 1 5 2 d 3 x x c. 2 4 2 4 6 3 ! x x d. 2 5 21 5( 3) 2 x x § · ¨ ¸ © ¹ e. 2 3 3 11 3 2 5 d x x f. 1 3 !2 x x
5. Seorang anak mengendarai sepeda dengan kecepatan (x + 3 ) k m/jam selama 1 jam 15 menit. Kemudian dengan k ecepatan ( 2x – 4) km/jam selama 1 jam 30 menit. Jika jarak yang ditempuh seluruhnya tidak lebih dari 19 km, susunlah pertidaksamaan dalamx dan selesaikanlah.