Interval dan Desimal

2.6 Interval dan Desimal

Relasi pada R menentukan sebuah koleksi dari subset-subset yang dikenal dengan interval. Notasi dan istilah untuk himpunan khusus ini sebagai berikut. Jika a, b ∈ R dan a ≤ b, maka interval buka yang ditentukan oleh a dan b adalah

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}. (2.6.1)

Titik-tiitk a dan b disebut titik ujung-titik ujung dari interval buka (a, b), tetapi titik ujung tersebut tidak termasuk. Jika kedua ujung termasuk disebut interval tutup. [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}. (2.6.2) Himpunan [a, b) = {x ∈ R : a ≤ x < b}, (2.6.3) dan (a, b] = {x ∈ R : a < x ≤ b}, (2.6.4)

disebut interval-interval setengah buka yang ditentukan oleh titik a dan b. Setiap interval di atas mempunyai panjang b − a. Jika a = b, catat bahwa interval buka yang bersesuaian adalah himpunan kosong

(a, a) = ∅, (2.6.5)

sementara yang bersesuaian dengan interval tutup adalah himpunan dengan anggota tunggal [a, a] = {a}. Jika a ∈ R maka himpunan-himpunan yang didefinisikan dengan

(a, ∞) = {x ∈ R : x > a}, (2.6.6)

(−∞, a) = {x ∈ R : x < a}, (2.6.7)

disebut himpunan buka tak hingga. Juga himpunan-himpunan yang didefinisikan dengan

[a, ∞) = {x ∈ R : x ≥ a}, (2.6.8)

(−∞, ] = {x ∈ R : x ≤ a}, (2.6.9)

disebut interval tutup tak terbatas. Dalam kasus ini titik a disebut titik akhir dari interval ini. Sering adalah baik untuk menuliskan R dalam sebuah interval tak hingga. Dalam kasus ini kita tuliskan

(−∞, ∞) = R, (2.6.10)

dan kita tidak mempunayi titik ujung dari (−∞, ∞). Perlu di catat bahwa interval -interval dalam persamaan (2.6.1), . . . , (2.6.5) adalah interval terbatas. Sedan-gkan interval dalam persamaan (2.6.6),. . . ,(2.6.10) merupakan interval tak terbatas.

Untuk menotasikan interval-interval ini kita gunakan simbol −∞ dan ∞. Simbol-simbol tersebut tidak termasuk dalam R. Interval satuan adalah interval tutup [0, 1] = {x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1}. Dan notasi standar yang dipakai adalah I

Interval Bersarang

Kita katakan sebuah barisan interval In, n ∈ N, disebut bersarang (lihat gambar

2.6.1 dalam buku) jika rangkaian berikut memenuhi

I₁ ⊇ I₂ ⊇ I₃ ⊇ · · · ⊇ I_n⊇ I_n+1 ⊇ · · · .

Untuk contohnya, jika I_n = [0, 1/n], n ∈ N, maka I_n ⊇ I_n+1, ∀n. Maka

interval-interval tersebut bersarang. Dalam kasus ini 0 termasuk dalam semua I_ndan menu-rut sifat archimedes 2.5.2 dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa satu-satunya anggota seperti itu hanyalah 0. Jadi

∩∞

n=1I_n= {0}.

Secara umum sebuah barisan bersarang dari interval-interval tidak perlu mempunyai anggota bersama. Untuk contohnya J_n = (0, 1/n), n ∈ N. Ini merupakan barisan interval bersarang yang tidak mempunyai anggota bersama. Ini benar karena untuk setiap x > 0 maka terdapat m ∈ N sedemikian sehingga 1/m < x sehingga x /∈ J_m. Sama juga untuk interval-interval K_n = (n, ∞), n ∈ N, adalah bersarang tetapi tidak punyai anggota bersama. Akan tetapi adalah penting sifat dari R bahwa setiap barisan bersarang dari interval-interval tutup mempunyai anggota bersama. Kelengkapan dari R memegang peranan esensial untuk menjelaskan sifat ini.

2.6.1 Sifat Interval bersarang

Jika In = [an, bn], n ∈ N adalah barisan interval bersarang dari interval-interval tutup terbatas, maka terdapat sebuah bilangan ξ ∈ R sedemikian sehingga ξ ∈

I_n, ∀n ∈ N.

Bukti.

Karena interval-interval itu bersarang, kita punyai I_n ⊆ I₁, ∀n ∈ N, sedemikan

sehingga a_n ≤ b₁, ∀n ∈ N. Oleh karena itu himpunan tak kosong {a_n : n ∈ N} terbatas di atas, dan kita misalkan ξ adalah suprimumnya. Jelas bahwa a_n ≤ ξ, ∀n ∈ N. Kita klaim juga bahwa ξ ≤ b_n, ∀n. Ini dapat dijelaskan untuk sebarang n, bilangan b_n adalah batas atas dari himpunan {a_k : k ∈ N}. Kita perhatikan dua kasus. (i) Jika n ≤ k, maka karena I_n ⊇ I_k, kita punyai a_k ≤ b_k ≤ b_n. (ii) Jika

k < n, maka karena I_k ⊇ I_n, kita punyai a_k ≤ a_n ≤ b_n. (Lihat gambar 2.6.2 di buku). Jadi kita simpulkan bahwa a_k ≤ b_n, ∀k, sehingga b_n adalah batas atas dari

{a_k : k ∈ N}. Oleh karena itu ξ ≤ b_n untuk setiap n ∈ N. Karena a_n ≤ ξ ≤ b_n, ∀n,

kita punyai ξ ∈ I_n, ∀n ∈ N.

2.6.2 Teorema

Jika I_n = [a_n, b_n], n ∈ N, adalah sebuah barisan bersarang dari interval terbatas dan tutup sedemikian sehingga panjang b_n− a_n dari I_n memenuhi

2.6 Interval dan Desimal 33

maka bilangan ξ termuat dalam I_n, ∀n ∈ N adalah tunggal.

Bukti.

Jika η = inf{bn : n ∈ N}, maka dengan argumen seperti dalam bukti 2.6.1 dapat digunakan untuk menunjukkan bahwa a_n ≤ η, ∀n, sehingga ξ ≤ η.

Kenyataan-nya dapat dutunjukkan(latihan 2.6.8) bahwa x ∈ I_n, ∀n ∈ N jika dan hanya jika ξ ≤ x ≤ η. Jika kita punyai inf{bn− an : n ∈ N} = 0, maka untuk setiap ² > 0, terdapat sebuah m ∈ N sedmikian sehingga 0 ≤ η − ξ ≤ b_m − a_m < ². Karena

ini memenuhi untuk semua ² > 0, maka menurut teorema 2.2.9 disimpulkan bahwa

η − ξ = 0. Oleh karena itu kita simpulkan bahwa ξ = η yang hanya sebuah titik

yang termasuk dalam I_n, ∀n ∈ N.

Representasi Biner dan Desimal

Kita akan pertama mempelajari ide dari representasi biner bila diberikan x dalam interval [0, 1]. Dengan menggunakan prosedur bagi dua kita akan kita sesuaikan dengan barisan 0 dan 1 sebagai berikut. Jika x 6= 1

2 dan x ∈ [0,1

2], maka suku pertamaa₁ dari barisan kita ambil a₁ = 0, jika x ∈ [1

2, 1], maka kita ambil a₁ = 1, jika x = 1

2 maka bisa mengambil 0 atau 1. Dalam sebarang kasus kita punyai

a₁ 2 ^{≤ x ≤} a₁ 2 ⁺ 1 2^.

Kita kemudian bagi dua interval [1 2a₁,1

2a₁+1

2. Untuk suku ke dua kita ambil a₂ = 0 jika x terletak di sebelah kiri subinterval, dan kita ambil a₂ = 1 jika x terletak di sebelah kanan subinterval. Jika x = 1

4 atau x = 3

4, maka a₂ dapat diambil 0 atau 1. Pada tahap ini kita punyai ketidaksamaan

a₁ 2 ⁺ a₂ 22 ≤ x ≤ ^a1 2 ⁺ a₂ 22 + ¹ 22.

Kita lanjutkan prosedur bagi dua ini, tandai pada langkah ke n dengan a_n = 0 jika x terletak di sebelah kiri subinterval dan an = 1 jika x terletak di sbelah kanan subinterval. Dengan cara ini kita peroleh sebuah barisan a₁, a₂, · · · , a_n, · · ·

dari dari barisan 0 dan 1 yang bersesuaian dengan dengan sebuah barisan bersarang dari interval-interval yang irisannya sebuah titik x. Untuk setiap n, kita punyai ketidaksamaan a₁ 2 ⁺ a₂ 22 + · · · + ^an 2n ≤ x ≤ ^a1 2 ⁺ a₂ 22 + · · · + ^an 2n + ¹ 2n. (∗) (2.6.11)

Jika terjadi x menjadi titik pembagi pada langkah ke n, maka x mempunyai bentuk

x = m/2n dengan m ganjil. Dalam kasus ini kita bisa memilih di sebelah kiri atau sebelah kanan subinterval sehingga an = 0 atau an = 1, akan tetapi ketika subin-terval telah dipilih maka semua subset subinsubin-terval dalam proses bagi dua ini dapat ditentukan. Untuk contohnya, jika kita pilih subinterval sebelah kiri x_n = 0, maka

x akan menjadi titik akhir sebelah kanan untuk semua subset subintervalnya, jadi a_k = 1, ∀k ≥ n + 1. Di lain pihak jika kita pilih a_n = 1, maka kita akan punyai

a_k = 0, ∀k ≥ n + 1. Untuk contohnya, jika x = 1

2, maka dua barisan yang mungkin adalah 0, 1, 1, · · · dan 1, 0, 0, · · ·.

Untuk rangkumannya: Jika x ∈ [0, 1], maka terdapat sebuah barisan a₁, a₂, · · · , a_n, · · ·

n. Kita akan tulis x = (.a₁a₂· · · a_n· · ·)₂ dan kita katakan representasi biner dari

x. Representasi ini akan tunggal kecuali jika x dalam bentuk x = m/2n, dimana m adalah ganjil, yang dalam kasus ini dua kemungkinan representasi itu

x = (.a₁a₂· · · a_n−1100 · · ·)₂ = (.a₁a₂· · · a_n−1011 · · ·)₂,

yang diakhiri dengan 0 dan yang lain diakhiri dengan 1. Sebaliknya setiap barisan dari 0 dan 1 adalah representasi biner dari sebuah bilangan tunggal di [0, 1]. Sesung-guhnya jika diberikan a₁, a₂, · · · , a_n, · · · dimana a_n = 0 atau a_n = 1 untuk semua

n ∈ N, maka ketaksamaan (*) menentukan sebuah subinterval tertutup dari [0, 1]

dengan panjang 1/2n untuk setiap n. Adalah mudah untuk membuktikan bahwa barisan dari inetrval-interval yang diperoleh dengan cara ini adalah bersarang, jadi dengan teorema 2.6.2, terdapat sebuah tunggal bilangan real x yang memenuhi (*) untuk setiap n ∈ N. Tetapi ini mengartikan bahwa x mempunyai representasi biner (.a₁a₂· · · a_n· · ·)₂.

Secara geometrik representasi desimal dari bilangan real sama dengan representasi biner kecuali dalam kasus representasi desimal kita kita bagi setiap interval kedalam 10 sub-subinterval yang sama, jika dalam biner hanya dua. Jika diberikan x ∈ [0, 1] dan jika kita bagi [0, 1] dalam 10 subinterval yang sama, maka x terletak dalam subinterval [b₁/10, (b₁+ 1)/10] untuk suatu bilangan bulat b₁ di {0, 1, · · · , 9}. Jika x adalah salah satu titik subpembagi, maka dua nilai dari b₁ punyai dua kemungkinan yang bisa dipilih. Dalam sebarang kasus kita akan punyai

b₁ 10 ^{≤ x ≤} b₁ 10⁺ 1 10^,

dimana b₁ ∈ {0, 1, · · · , 9}. Kemudian subinterval yang dipilih dibagi dalam 10

subin-terval yang sama, dan proses kemudian dilanjutkan. Dengan cara ini kita mendapat sebuah barisan b1, b2, · · · , bn, · · · dari bilangan bulat dengan 0 ≤ bn ≤ 9, ∀n ∈ N

sedemikian sehingga x memenuhi ketaksamaan

b1 10⁺ b2 102 + · · · + ^bn 10n ≤ x ≤ ^b1 10⁺ b2 102 + · · · + ^bn 10n + ¹ 10n, ∀n ∈ N (∗∗)

Kita tulis x = .b₁b₂· · · b_n· · · dan kita katakan ini sebagai representasi desimal dari x. Jika x ≥ 1 dan jika b ∈ N sedemikian sehingga B ≤ x < B + 1, maka x = B.b₁b₂· · · b_n· · · dimana representasi desimal dari x − B ∈ [0, 1] merupakan

rep-resentasi di atas. Bilangan negatif dapat dilakukan dengan cara yang sama. Keny-ataannya setiap desimal menentukan sebuah bilangan real tunggal mengikuti teo-rema 2.6.2. Bentuk desimal .b₁b₂· · · b_n· · ·, kita dapatkan sebuah barisan bersarang

dari interval-interval dengan panjang 1/10n melalui ketaksamaan (**), oleh karena itu terdapat tunggal bilangan real x dalam irisannya. Karena x memenuhi (**), maka x = .b₁b₂· · · b_n· · ·.

Representasi desimal dari x ∈ [0, 1] adalah tunggal kecuali x sebagai subpembagi pada suatu langkah. Misalkan bahwa x titik seperti itu, maka x = m/10n untuk suatu m, n ∈ N, 1 ≤ m ≤ 10n. (Kita asumsikan bahwa m tidak habis dibagi 10). Maka x muncul sebagai titik subpembagi pada langkah ke n, dan dua nilai un-tuk digit ke n adalah mungkin. Satu pilihan dari bn bersesuaian dengan pemilihan subinterval sebelah kiri untuk langkah berikutnya. Karena x adalah titik akhir se-belah kanan dari subinterval ini, selanjutnya bahwa semua subbarisan digit akan

2.6 Interval dan Desimal 35

mempunyai nilai 9, yakni b_k = 9 untuk semua k ≥ n + 1. Jadi satu representasi desimal untuk x mempunyai bentuk x = .b₁b₂· · · b_n99 · · ·. Untuk pilihan lain untuk tempat desimal ke n. Karena x adalah titik akhir sebelah kiri dari subinterval ke

n, semua nilai subbarisan, yakni b_k = 0 untuk semua k ≥ n + 1. Jadi representasi desimal lain dari x mempunayi bentuk x = .b₁b₂· · · (b_n+ 1)00 · · · (untuk contohnya jika x = 1

2, maka x = .499 · · · = 0.500 · · ·. Dengan cara yang sama jika y = 38/100 maka y = 0.3799 · · · = 0.3800 · · ·). Kita akan simpulkan untuk representasi desimal dari bilangan real dengan mendiskripsikan tipe-tipe kontras dari desimal repersen-tasi yang terjadi untuk bilangan rasional dan irasional. Untuk ini kita perlukan idea dari desimal periodik.

Sebuah desimal B.a₁a₂· · · a_n· · · dikatakan periodik (pengulangan) jika terdapat

bilangan asli k dan m sehingga an = an+m untuk semua n ≥ k. Dalam ka-sus ini blok dari digit a_ka_k+1· · · a_n· · · diulangi digit ke k tercapai. Nilai

terke-cil bilangan m dengan sifat ini disebut period dari desimal. Untuk contohnya 19/88 = 0.2159090 · · · 90 · · · mempunyai period m = 2 yang menyatakan blok 90 yang dimulai pada digit k = 4. Akhir desimal pengulangan desimal jika pengu-langan blok yang disederhanakan dengan digit 0. Hubungan antara rasionalitas dan irasionalitas bilanga real dan bilangan asli dari representasi desimalnya adalah bahwa sebuah bilangan real positif adalah rasional jika dan hanya jika represen-tasi desimalnya periodik. Untuk menunjukkan hanya akan menunjukkan idea yang mendasarkannya. Misalkan kita punyai bilangan rasional p/q dimana p, q adalah bilangan asli dengan tidak mempunyai faktor prima bersama. Adalah cukup untuk menunjukkan dalam kasus ini 0 < p < q. Dapat ditunjukkan bahwa proses umum dari pembagian panjang q terhadap p menghasilkan representasi desimal dari p/q. Setiap langkah pembagian menghasilkan sebuah bilangan bulat sisa antara 0 dan

q − 1. Oleh karena itu setelah q langkah , bebarapa sisa akan muncul yang kedua

dan pada titik dalam pembagian akan memberikan pengulangan dalam cycle. Oleh karena itu representasi desimal dari bilangan rasional akan periodik.

Sebaliknya jika sebuah drepresentasi desimal periodik, maka akan menunjukkan bilangan rasional. Ide dari bukti akan diilustrasikan dengan contoh. Misalkan

x = 7.31414 · · · 14 · · ·. Kita pertama mengalikan dengan 10 untuk memindahkan

titik desimal ke blok pengulangan bersama, yakni 10x = 73.1414. Kita kemudian kita kalikan 10x dengan 102 untuk mengubah satu blok pada sebelah kiri dari titik desimal, yakni 1000x = 7314.1414 · · ·. Selisihkan sekarang menjadi 1000x − 10x = 7314 − 73 = 7241 · · · Oleh karena itu x = 7241/990 yang merupakan bilangan ra-sional.