Definisi 6.5 Sebuah isomorfisma φ : G → G0 adalah suatu homomorfisma dari G ke G0 yang bersifat satu-satu dan onto. Notasi yang biasa digunakan untuk menunjukkan bahwa dua buah grup isomorfis adalah G ' G0.
Teorema 6.3 Misalkan ζ merupakan himpunan grup-grup, dan didefinisikan G ' G0, untuk G dan G0 pada ζ, jika ada isomorfisma φ : G → G0. Maka ' merupakan relasi ekuivalensi.
Buktikan !
Langkah-langkah untuk menunjukkan dua buah grup G dan G0 adalah iso-morfis :
1. Definisikan suatu fungsi φ yang memberikan isomorfisma dari G ke G0. 2. Tunjukkan bahwa φ merupakan fungsi satu-satu.
3. Tunjukkan bahwa φ merupakan fungsi onto.
4. Tunjukkan bahwa φ(xy) = φ(x)φ(y), ∀x, y ∈ G.
Teorema 6.4 Setiap grup siklik tak hingga, G, isomorfis dengan grup bilangan bulat, Z, di bawah operasi penjumlahan.
Buktikan teorema di atas dengan mengikuti langkah-langkah untuk menunjukkan dua grup yang isomorfis dengan mendefinisikan fungsi φ : G → Z dengan φ(an) = n, ∀an ∈ G.
Setelah memahami langkah-langkah untuk menunjukkan keisomorfisan dua buah grup, sekarang bagaimana menunjukkan dua buah grup yang tidak iso-morfis? Untuk itu diperlukan pemahaman tentang beberapa sifat struktural dari grup, yakni sifat-sifat yang diawetkan oleh sebuah isomorfisma. Beberapa sifat struktural dapat disebutkan antara lain:
• siklik;
Bab VI. Homomorphisma Grup antonius cp 47
• abelian;
• keberhinggaan dan ketakhinggaan;
• ordo grup;
• banyaknya elemen yang berordo tertentu;
• penyelesaian suatu persamaan pada grup.
Selain sifat struktural, ada sifat non-struktural yakni sifat yang tidak di-awetkan oleh sebuah isomorfisma, sehingga perbedaan dua buah grup pada sifat non-struktural ini tidak dapat dijadikan pedoman untuk menyatakan bahwa dua buah grup tidak isomorfis. Beberapa contoh sifat non-struktural dapat dise-butkan antara lain:
• grup memuat 5;
• semua elemen grup berupa bilangan;
• operasi biner dalam grup berupa komposisi;
• elemen-elemen dalam grup berupa permutasi;
• grup tersebut merupakan subgrup pada grup bilangan riil.
Contoh : Tidak dapat dikatakan bahwa Z dan 3Z tidak isomorfis karena 17 ∈ Z tetapi 17 6∈ 3Z. Sifat ini bukan sifat struktural melainkan sekedar nama suatu elemen. Dan pada kenyataannya Z dan 3Z adalah isomorfis, sebab fungsi φ : Z → 3Z, dimana φ(n) = 3n, merupakan sebuah isomorfisma.
Contoh: Tidak dapat dikatakan bahwa Z dan Q tidak isomorfis karena 12 ∈ Q tetapi 12 6∈ Z. Tetapi dapat dikatakan bahwa Z dan Q tidak isomorfis karena Z siklik sedangkan Q tidak.
Teorema 6.5 Teorema Cayley. Setiap grup isomorfis dengan suatu grup per-mutasi.
Bab VI. Homomorphisma Grup antonius cp 48
Buktikan teorema Cayley tersebut dengan langkah:
1. Diawali adanya sebuah grup G, carilah suatu himpunan permutasi G0 yang dijadikan kandidat untuk membentuk sebuah grup dibawah operasi perkalian permutasi yang akan isomorfis dengan G.
2. Buktikan bahwa G0 merupakan grup terhadap operasi perkalian permutasi.
3. Definisikan fungsi φ : G → G0 dan tunjukkan bahwa φ merupakan isomor-fisma dari G ke G0.
SOAL LATIHAN HOMOMORPHISMA GRUP
1. Untuk setiap pemetaan berikut, tentukan apakah merupakan homomor-phisma grup atau bukan! Bila ya, buktikan, bila tidak, berilah counter-examplenya.
(a) φ : Z → < dengan aturan φ(x) = x.
(b) φ : < → Z dengan aturan φ(x) = bxc.
(c) φ : Z6 → Z2 dengan aturan φ(x) = sisa bila x dibagi 2.
(d) φ : Z9 → Z2 dengan aturan φ(x) = sisa bila x dibagi 2.
(e) φ : Z → Z dengan aturan φ(x) = −x
(f) φ : F → F dengan aturan φ(f ) = 3f , bila F adalah ring dari semua fungsi riil.
(g) φ : < → Z terhadap operasi penjumlahan dengan φ(x) = bxc, ∀x ∈ <.
(h) φ : [<, +] → [<, ·] dengan φ(x) = 2x
(i) φi : Gi → G1×G2×...×Gi×...×Grdengan φi(gi) = (e1, e2, ..., gi, ..., er), dimana gi ∈ Gi dan ej elemen identitas dalam Gj.
(j) φ : G → G dengan φ(x) = x−1, ∀x ∈ G.
(k) φ : F → F dengan φ(f ) = f ”, ∀f ∈ F , dimana F adalah grup jumlahan semua fungsi << yang terdeferensialkan pada semua order.
Bab VI. Homomorphisma Grup antonius cp 49
(l) φ : F → R dengan φ(f ) =R4
0 f (x)dx, dimana F grup jumlahan semua fungsi kontinu <<; < grup jumlahan bilangan riil.
(m) φ : F → F dengan φ(f ) = 3f , dimana F grup jumlahan semua fungsi
<<.
(n) φ : Mn→ < dengan φ(A) = det(A), dimana Mngrup jumlahan semua matriks 2x2, dan < grup jumlahan bilangan riil.
2. Misalkan F = << grup jumlahan, D = {f ∈ <<|f terdef erensialkan }.
Apakah φ : f ∈ D → f0 ∈ F homomorphisma atau bukan ? Jika ya, sebutkan Ker(φ).
3. Misal G grup. Jika φ : Z × Z → G homomorphisma dan misalkan φ(1, 0) = h dan φ(0, 1) = k, tentukan φ(m, n).
4. Misalkan G grup dan g ∈ G. Misalkan φg : x ∈ G → gx ∈ G. Untuk g yang mana, φg merupakan homomorphisma ?
5. Misalkan G grup dan g ∈ G. Misalkan φg : x ∈ G → gxg−1 ∈ G. Untuk g yang mana, φg merupakan homomorphisma ?
6. Misalkan φ : G → G0 homomorphisma. Tunjukkan bahwa jika |G| < ∞ maka |φ(G)| < ∞ dan |φ(G)| | |G|.
7. Misalkan φ : G → G0 homomorphisma. Tunjukkan bahwa jika |G0| < ∞ maka |φ(G)| < ∞ dan |φ(G)| | |G0|.
8. Misalkan φ : G → G0 homomorphisma. Tunjukkan bahwa jika |G| prima, maka φ haruslah merupakan homomrphisma trivial atau monomorphisma.
9. Misalkan G, G0 dan G” semuanya grup. Tunjukkan bahwa jika φ : G → G0 dan γ : G0 → G” homomorphisma, maka komposisi γφ : G → G” juga homomorphisma.
Bab VI. Homomorphisma Grup antonius cp 50
10. Misalkan φ : G → G0 homomorphisma dengan Ker(φ) = H dan a ∈ G.
Tunjukkan bahwa {x ∈ G|φ(x) = φ(a)} = Ha.
11. Sebutkan semua isomorphisma yang memetakan : (a) Z2× Z3 kepada Z6
(b) Z2× Z5 kepada Z10
12. Tentukan banyaknya automorphisma dalam: Z2, Z6, Z8, Z, dan Z12. 13. Misalkan Γ adalah himpunan grup-grup. Didefinisikan relasi ∼ dalam Γ
dengan aturan: G ∼ G0 jika G isomorphis terhadap G0, ∀G, G0 ∈ Γ. Buk-tikan bahwa ∼ relasi equivalensi.
14. Misalkan G grup siklik dengan generator a. Jika φ : G → G0 sebuah isomorphisma, tunjukkan bahwa ∀x ∈ G, φ(x) dapat dinyatakan sebagai perpangkatan dari φ(a).
15. Misalkan G grup abelian. Tunjukkan bahwa jika G0 isomorphis terhadap G, maka G0 juga grup abelian.
16. Misalkan G adalah grup siklik. Buktikan bahwa siklik merupakan sifat struktural dari G.
17. Misalkan [G, ·] merupakan grup. Operasi ∗ dalam G didefinisikan sebagai a ∗ b = b · a, ∀a, b ∈ G. Tunjukkan bahwa [G, ∗] merupakan grup yang isomorphis terhadap [G, ·].
18. Jika G grup siklik berordo n, maka G isomorphis terhadap Zn. Buktikan.
19. Misalkan G grup dan g ∈ G. Bila didefinisikan αg(x) = gxg−1, ∀x ∈ G, tunjukkan bahwa αg merupakan sebuah automorphisma pada G.
20. Misalkan [S, ∗] merupakan grup bilangan riil kecuali -1 dibawah operasi ∗ yang didefinisikan sebagai: a ∗ b = a + b + ab. Tunjukkan bahwa [S, ∗]
isomorphis terhadap [<∗, ·], dimana <∗ = < − {0}.
Bab VI. Homomorphisma Grup antonius cp 51
21. Misalkan [S, ∗] grup bilangan riil kecuali -4. Didefinisikan pemetaan φ : R∗ → S dengan aturan φ(x) = x − 4. Definisikan operasi biner ∗ pada S agar φ isomorphisma.
22. Misalkan [S, ∗] grup bilangan riil kecuali -t. Didefinisikan pemetaan φ : R∗ → S dengan aturan φ(x) = x − t. Definisikan operasi biner ∗ pada S agar φ isomorphisma.
23. Misalkan [S, ∗] grup bilangan riil. Didefinisikan pemetaan φ : <∗ → S dengan aturan φ(x) = x3 + 1. Tentukan syarat keanggotaan dalam S dan definisikan operasi biner ∗ pada S agar φ isomorphisma.
24. Misalkan G grup. Buktikan bahwa permutasi-permutasi ρa : G → G, di-mana ρa(x) = xa, untuk a ∈ G dan x ∈ G, membentuk sebuah grup G”
yang isomorphis terhadap G.
Bab 7
GRUP FAKTOR
Grup faktor merupakan sebuah grup yang beranggotakan koset-koset dari suatu subgrup. Pembentukan sebuah struktur grup faktor da-pat diawali oleh sebuah homomorfisma maupun oleh sebuah subgrup normal. Oleh karenanya pembahasan kedua konsep ini menjadi menu utama yang disajikan dalam bab ini.
7.1 Pembentukan Grup Faktor oleh Homomor-fisma
Teorema 7.1 Misalkan φ : G → G0 adalah homomorphisma grup dengan Ker(φ) = H. Maka R/H = {a ∗ H|a ∈ R} merupakan grup dengan operasi-operasi biner :
(aH)(bH) = (ab)H
Dan pemetaan µ : G/H → φ(G) yang didefinisikan oleh µ(a ∗ H) = φ(a), meru-pakan sebuah isomorphisma.
Contoh : Pemetaan φ : Z → Zn yang didefinisikan dengan φ(m) = r, dimana r adalah sisa bila m dibagi n, merupakan suatu homomorphisma. Karena Ker(φ) = nZ, maka Z/nZ merupakan suatu ring dan Z/nZ isomorpis terhadap Zn.
52
Bab VII. Grup Faktor antonius cp 53