Jika G grup dan H subgrup pada G, maka menurut dua teorema terakhir tentang koset di atas, himpunan semua koset dari H akan merupakan partisi pada G dan H berkorespondensi satu-satu dengan setiap kosetnya. Untuk himpunan hingga, konsep korespondensi satu-satu ini berimplikasi pada kesamaan banyaknya el-emen. Sehingga untuk grup hingga dapat dilihat suatu hubungan antara ordo grup dan ordo subgrupnya, sebagaimana secara formal dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 5.5 Teorema Lagrange. Jika G grup berhingga dan H subgrup pada G, maka ordo dari H merupakan faktor dari ordo G.
Contoh:
1. Jika G berordo 8, maka kemungkinan ordo untuk H adalah 1, 2, 4, atau 8.
Jika |H| = 1 maka H = {e}, dimana e adalah elemen identitas dalam G.
Jika |H| = 8 maka H = G.
2. Bisa diselidiki bahwa subgrup-subgrup pada Z6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5} adalah {0}, {0, 3}, {0, 2, 4}, dan Z6 sendiri.
Berikut ini beberapa teorema sebagai konsekwensi dari teorema Lagrange terse-but di atas.
Teorema 5.6 Jika G grup berordo prima maka G merupakan grup siklik dan setiap elemen yang bukan elemen identitas merupakan generator.
Teorema 5.7 Ordo dari setiap elemen dari suatu grup hingga merupakan faktor dari ordo grup tersebut.
Definisi 5.2 Jika G grup dan H subgrup pada G maka indeks dari H dimaksud-kan sebagai banyaknya koset dari H dalam G, dan dinotasidimaksud-kan sebagai (G : H).
Bab V. Koset dan Teorema Lagrange antonius cp 40
Dengan demikian untuk grup berhingga berlaku (G : H) = |G|
|H|
SOAL LATIHAN KOSET DAN TEOREMA LAGRANGE
1. Carilah semua koset dari subgrup-subgrup berikut ini.
(a) 4Z pada grup Z.
(b) 4Z pada grup 2Z.
(c) < 2 > pada grup Z12. (d) < 4 > pada grup Z12. (e) < 18 > pada grup Z36.
(f) {ρ0, ρ2} pada grup D4. (g) {ρ0, µ2} pada grup D4.
2. Tentukan index dari masing-masing subgrup berikut ini.
(a) < 3 > pada grup Z24. (b) < µ1 > pada grup S3. (c) < µ3 > pada grup D4.
3. Tentukan benar atau salah setiap pernyataan berikut ini dan berikan alasan-nya.
(a) Setiap subgrup pada setiap grup pasti mempunyai koset.
(b) Banyaknya koset dari suatu subgrup pada grup hingga membagi habis ordo dari grup tersebut.
(c) Setiap grup berordo prima adalah abelian.
(d) Suatu subgrup merupakan koset bagi dirinya sendiri.
(e) Hanya subgrup dari dari grup hingga saja yang memiliki koset.
Bab V. Koset dan Teorema Lagrange antonius cp 41
4. Misalkan H merupakan sebuah subgrup pada grup G sedemikianhingga g−1hg ∈ H, ∀g ∈ G dan ∀h ∈ H. Tunjukkan bahwa setiap koset kiri, gH, sama dengan koset kanan, Hg!
5. Misalkan H merupakan sebuah subgrup pada grup G. Buktikan bahwa jika partisi pada G oleh koset kiri dari H sama dengan partisi pada G oleh koset kanan dari H, maka berlaku g−1hg ∈ H, ∀g ∈ G dan ∀h ∈ H!
6. Untuk setiap pernyataan berikut ini, buktikan jika benar atau berikan counter-example jika salah.
(a) Jika aH = bH maka Ha = Hb (b) Jika Ha = Hb maka b ∈ Ha
(c) Jika aH = bH maka Ha−1 = Hb−1 (d) Jika aH = bH maka a2H = b2H
7. Jika G merupakan sebuah grup berordo pq, dimana p dan q bilangan prima, tunjukkan bahwa setiap subgrup proper dari G adalah siklik!
8. Tunjukkan bahwa sebuah grup dengan paling sedikit dua elemen tetapi tidak memiliki subgrup proper non trivial, pastilah merupakan grup hingga dan berordo prima!
9. Tunjukkan bahwa jika H merupakan sebuah subgrup dengan index 2 pada sebuah grup hingga G, maka setiap koset kiri H sekaligus merupakan koset kanannya!
10. Tunjukkan bahwa jika sebuah grup G dengan elemen identitas e dan berordo hingga, n, maka an = e, ∀a ∈ G!
11. Misalkan H dan K merupakan dua buah subgrup pada grup G. Didefin-isikan relasi ∼ pada G dengan aturan a ∼ b jika hanya jika a = hbk, untuk suatu h ∈ H dan k ∈ K.
Bab V. Koset dan Teorema Lagrange antonius cp 42
(a) Buktikan bahwa ∼ merupakan relasi ekuivalensi pada G!
(b) Deskripsikan elemen-elemen yang terdapat pada kelas ekuivalensi yang memuat a!
Bab 6
HOMOMORPHISMA GRUP
Bab ini merupakan awal dari bagian kedua materi perkuliahan Struk-tur Aljabar I. Setelah pada bagian pertama dibahas tentang grup, sifat-sifat dan macamnya, maka pada bagian kedua ini dibahas ten-tang fungsi yang akan menghubungkan sebuah grup dengan grup lain-nya. Pada bab ini disajikan pengertian homomorfisma, sifat-sifat dan macamnya.
6.1 Homomorphisma
Pada bab-bab terdahulu telah dibahas tentang suatu struktur aljabar yang dise-but sebagai grup, sifat-sifat dan macamnya. Pada bab ini akan dibahas mengenai pemetaan antar grup. Misalkan G dan G0 adalah grup, maka pemetaan yang dimaksudkan adalah φ : G → G0 yang menghubungkan struktur grup G dengan struktur grup G0. Dari sini akan nampak jelas bahwa struktur grup sangat di-tentukan oleh operasi biner yang didefinisikan di dalamnya. Pemetaan φ perlu didefinisikan sedemikian rupa sehingga dapat menunjukkan bagaimana operasi biner pada G dan G0 akan dihubungkan oleh pemetaan tersebut.
Definisi 6.1 Suatu pemetaan φ dari grup (G, ∗) ke grup (G0, #) disebut homo-morphisma jika
φ(a ∗ b) = φ(a)#φ(b) untuk semua elemen a dan b dalam G.
43
Bab VI. Homomorphisma Grup antonius cp 44
Persamaan pada definisi di atas menunjukkan suatu hubungan antara dua operasi biner ∗ dan #, dan juga dengan demikian hubungan antara dua struktur grup G dan G0.
Catatan : Selanjutnya, untuk menyederhanakan penulisan maka notasi untuk operasi biner dalam suatu grup tidak dituliskan, jadi misalnya G suatu grup dan a, b ∈ G maka operasi a dan b dituliskan sebagai ab.
Untuk setiap grup G dan G0, paling tidak ada sebuah homomorphisma φ : G → G0 yang disebut sebagai homomorphisma trivial dengan aturan φ(g) = e0 untuk setiap g ∈ G dimana e0 adalah elemen identitas pada G0.
Contoh 1: Misalkan α : Z → Zn didefinisikan dengan α(m) = r, dimana r adalah sisa bila m dibagi n. Maka α merupakan suatu homomorphisma.
Contoh 2: Misalkan Sn adalah grup simetrik pada n huruf, dan misalkan φ : Sn→ Z2 dengan ketentuan
φ(ρ) =
0 jika ρ adalah permutasi genap, 1 jika ρ adalah permutasi ganjil
Maka φ merupakan suatu homomorphisma. Tunjukkan !
Contoh 3: Misalkan F adalah grup jumlahan dari semua fungsi dalam R, dan R adalah grup jumlahan bilangan riil, dan misalkan c adalah sebuah bilangan riil. Misalkan φc : F → R dengan aturan φc(f ) = f (c) untuk setiap f ∈ F . Maka φc merupakan suatu homomorphisma dan disebut sebagai homomorphisma evaluasi.
Misalkan φ adalah pemetaan dari himpunan X ke himpunan Y , dan misalkan A ⊆ X dan B ⊆ Y . Bayangan dari A di Y adalah φ(A) = {φ(a)|a ∈ A}.
Himpunan φ(X) disebut sebagai range dari φ. Inverse dari B dalam X adalah φ−1(B) = {x ∈ X|φ(x) ∈ B}
Misalkan φ adalah homomorphisma dari grup g ke grup G0, maka beberapa sifatnya dapat diuraikan sebagai berikut :
1. Jika e adalah elemen identitas dalam G, maka φ(e) adalah elemen identitas e0 dalam G0;
Bab VI. Homomorphisma Grup antonius cp 45
2. Jika a ∈ G, maka φ(a−1) = φ(a)−1;
3. Jika H subgrup pada G, maka φ(H) adalah subgrup pada G0;
4. Jika S0 adalah subgrup pada R0, maka φ−1(G0) adalah subgrup pada G;
Singkatnya, φ mengawetkan elemen identitas, invers dan subgrup.
Definisi 6.2 Misalkan φ : G → G0 merupakan homomorphisma grup, maka ker-nel dari φ, dinotasikan oleh Ker(φ), didefinisikan sebagai
Ker(φ) = φ−1({e0}) = {a ∈ G|φ(a) = e0} dimana e0 adalah elemen identitas dalam G0.
Teorema 6.1 Jika φ : G → G0 merupakan homomorphisma grup, maka Ker(φ) merupakan subgrup pada G.
Buktikan!
Teorema 6.2 Misalkan φ : G → G0 adalah homomorphisma grup dan H = Ker(φ). Misalkan a ∈ G. Maka
φ−1{φ(a)} = {x ∈ G|φ(x) = φ(a)}
adalah koset kiri aH dan juga koset kanan Ha. Sebagai konsekwensinya maka partisi G baik dari koset kiri maupun koset kanan dari H adalah sama.
Akibatnya : Sebuah homomorphisma grup φ : G → G0 merupakan fungsi satu-satu jika hanya jika Ker(φ) = {e}. Buktikan!
Definisi 6.3 Jika φ : G → G0 adalah homomorphisma satu-satu, maka φ disebut monomorphisma, jika onto maka φ disebut sebagai epimorphisma.
Definisi 6.4 Sebuah subgrup H dari G) disebut normal jika gH = Hg untuk setiap g ∈ G.
Bab VI. Homomorphisma Grup antonius cp 46