BAB I PENDAHULUAN
D. Kaidah Pencacahan
Materi peluang pada matematika dibagi menjadi empat pokok bahasan antara lain, yaitu: (i) kaidah pencacahan, (ii) pengertian percobaan, ruang contoh,
dan kejadian, (iii) peluang suatu kejadian dan komplemennya, (iv) peluang kejadian majemuk.
Pada penelitian ini, materi yang digunakan adalah materi peluang dengan pokoh bahasan kaidah pencacahan. Hal ini dikarenakan, pada penelitian ini materi yang digunakan adalah materi yang sudah pernah diajarkan dan tidak sedang diajarkan. Sedangkan penelitian dilaksanakan setelah siswa menerima materi peluang dengan pokok bahasan kaidah pencacahan. Oleh karena itu, materi yang digunakan adalah materi peluang dengan pokok bahasan kaidah pencacahan.
Dalam pokok bahasan kaidah pencacahan dikatakan bahwa banyak cara yang mungkin terjadi dari sebuah percobaan yang dapat ditentukan dengan memakai salah satu atau gabungan dari metode berikut ini, yaitu: (i) aturan pengisian tempat yang tersedia (filling slots), (ii) permutasi, (iii) kombinasi.
1. Aturan Pengisian Tempat yang Tersedia (Aturan Perkalian)
Untuk memahami kaidah pencacahan dengan menggunakan aturan pengisian tempat yang tersedia, perhatikan persoalan berikut :
Misalkan tersedia dua buah celana masing-masing berwarna biru dan hitam serta tiga buah baju masing-masing berwarna kuning, merah, dan putih. Masalahnya adalah, berapa banyak pasangan warna celana baju yang dapat disusun?
Penyelesaiannya :
Dalam persoalan di atas, tersedia :
• 3 buah baju berwarna kunig, merah, dan putih.
Banyak pasangan warna celana dan baju yang mungkin disusun dapat dicari dengan beberapa cara, yaitu :
a) Diagram Pohon
Diagram Pohon 2.1: Pemasangan Warna Celana dan Baju.
b (biru)
h (hitam)
Warna celana Warna baju Pasangan warna
(b,k) (b,m) (b,p) k (kuning) m (merah) p (putih) k (kuning) m (merah) p (putih) (h,k) (h,m) (h,p)
Berdasarkan diagram pohon di atas, tampak bahwa pasangan warna celana dan baju yang dapat disusun ada 6 macam. Ke enam pasang warna celana dan baju itu adalah (b,k), (b,m), (b,p), (h,k), (h,m), dan (h,p). Pasangan (b,k), artinya celana berwarna biru dan baju berwarna kuning, dan seterusnya.
b) Tabel Silang
Tabel 2.1: Pemasangan Warna Celana dan Baju
k (kuning) m (merah) p (putih)
Warna baju ⇒
b (biru) h (hitam) (b,k) (h,k) (b,m) (h,m) (b,p) (h,p) Pasangan warna celana dan baju Berdasarkan tabel silang pada tabel di atas, tampak bahwa pasangan warna celana dan baju yang dapat disusun ada 6 macam.
c) Pasangan Terurut
Misalkan himpunan warna celana dinyatakan dengan A = {b,h} dan himpunan warna baju dinyatakan dengan B = {k, m, p}.
Himpunan pasangan terurut dari himpunan A dan himpunan b ditulis sebagai :
A x B = {(b,k), (b,m), (b,p), (h,k), (h,m), (h,p)}.
Banyak unsur dalam himpunan pasangan terurut A x B menyatakan banyak pasangan warna celana dan baju yang dapat disusun, yaitu ada 6 macam pasangan warna.
Berdasarkan deskripsi tersebut, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut:
Misalkan terdapat n buah tempat tersedia, dengan : k1 adalah banyak cara untuk mengisi tempat pertama,
k adalah banyak cara untuk mengisi temapat kedua setelah temapt pertama terisi,
k adalah banyak cara untuk mengisi tempat ketiga setelah tempat pertama
dan tempat kedua terisi, 3
…, demikian seterusnya.
k adalah banyak cara untuk mengisi tempat ke-n setelah temapat- tempat
pertama, kedua, ketiga, …, dan ke (n - 1) terisi.
n
Banyak cara untuk mengisi n tempat yang tersedia secara keseluruhan adalah
k1 x k x k x … x k 2 3 n
Aturan tersebut dikenal sebagai aturan pengisian tempat yang tersedia (filling slots) dan sering pula disebut sebagai aturan dasar membilang atau aturan perkalian.
2. PERMUTASI
a) Faktorial dari Bilangan Asli
Faktorial dari suatu bilangan asli didefinisikan sebagai berikut :
Definisi : Faktorial
Untuk setiap bilangan asli n, didefinisikan :
Gambar 2.1: Definisi Faktorial
Lambang atau notasi n! dibaca sebagai n faktorial.
n! = 1 x 2 x 3 x … x (n-2) x (n-1) x n
Didefinisikan pula bahwa:
Gambar 2.2: Definisi 1! dan 0! 1! = 1 dan 0! = 1
Dengan menggunakan definisi tersebut, faktorial suatu bilangan asli dapat ditentukan. Sebagai contoh: 4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24.
Definisi: Permutasi
Gambar 2.3: Definisi Permutasi
Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (tiap unsur itu berbeda) adalah susunan dari r unsur itu dalam suatu urutan (r ≤n). Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia dilambangkan dengan notasi:
Gambar 2.4: Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia.
Jika r = n, maka banyak permutasi n unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia (biasa disingkat: permutasi n unsur) dilambangkan dengan notasi:
Gambar 2.5: Banyak permutasi n unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia.
Secara umum dapat disimpulkan bahwa :
Gambar 2.6: Kesimpulan Definisi Permutasi.
( ) ( ) ( ) ( )
! ! 1 2 1 r n n r n n n n Prn − = + − × × − × − × = L• Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang tersedia ditentukan dengan aturan :
(n 1) (n 2) 3 2 1 n!
n
P
nn= × − × − ×L× × × =
b) Permutasi dari Unsur - Unsur yang Berbeda
Misalkan dari tiga buah angka 1, 2, dan 3 akan disusun suatu bilangan yang terdiri atas tiga angka dengan bilangan-bilangan itu tidak mempunyai angka yang sama. Susunan yang dapat dibentuk adalah:
123 132 213 231 312 321
Banyak cara untuk membuat susunan seperti itu adalah 3 x 2 x 1 = 6 cara
Susunan yang diperoleh seperti di atas disebut permutasi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur yang tersedia.
c) Permutasi yang Memuat Beberapa Unsur Sama
• Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama (k ≤
n), maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan: Gambar 2.7: Aturan yang memuat n unsur yang tersedia yang terdapat
k unsur yang sama (k ≤n)
! ! k n P=
• Misalkan dari n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama (k + l + m ≤ n), maka banyak permutasi dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:
Gambar 2.8: Aturan yang memuat n unsur yang tersedia terdapat k unsur yang sama, l unsur yang sama, dan m unsur yang sama (k + l + m ≤ n) ! ! ! ! m l k n P=
d) Permutasi Siklis
Misalkan tiga orang A (Ani), B (Boy), dan C (Carly) menempati tiga buah kursi yang mengelilingi sebuah meja bundar. Susunan penempatan tiga orang itu diperlihatkan pada gambar berikut:
Gambar 2.9: Susunan penempatan tiga orang mengelilingi meja bundar.
A
B C
A
B C
Perhatikan bahwa susunan ABC, susunan BCA, dan susunan CAB adalah sebuah susunan yang sama dan susunan ACB, susunan CBA, dan susunan BAC adalah sebuah susunan yang sama, yaitu susunan yang diperlihatkan pada 2 gambar di atas.
Jadi, banyak susunan dari tiga huruf A, B, dan C yang ditempatkan pada sebyah kurva tertutup yang berbentuk lingkaran seluruhnya ada 2! = 2 macam.
Penempatan unsur-unsur dengan cara seperti gambar di atas disebut permutasi siklis atau permutasi sirkuler (circular permulation).
Berdasarkan deskripsi di atas, dapat diambil kesimpulan secara umum sebagai berikut, Misalkan tersedia n unsur yang berbeda. Banyak permutasi siklis dari n unsur itu ditentukan dengan aturan:
Gambar 2.10: Aturan Permutasi Siklis
