BAB III : HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI 2.1.Teori Graf
1. Pengertian Graf
Definisi 2.1.1 (Goodaire dan Parmenter, 1998:329)
Graf adalah himpunan pasangan terurut � = (�,�) di mana �(�)
himpunan tak kosong dan �(�)adalah himpunan pasangan elemen yang berbeda di �(�). Elemen �(�) disebut titik (vertex) dan elemen �(�)
disebut sisi (edge). Jadi, jika � ∈ �(�), maka e merupakan himpunan pasangan � = (��,�), di mana �� ≠ � , ��,� ∈ �(�). Selanjutnya, �� dan � disebut titik ujung dari e, atau dengan kata lain �= (��,�)
menghubungkan titik �� dan �. Selanjutnya sisi �= (��,�) dinotasikan dengan ��, di mana sisi tersebut merupakan sisi yang sama dengan sisi �= (� ,��) yang dinotasikan dengan �,�.
Banyaknya unsur di �(�) disebut order dari G dilambangkan dengan �(�) dan banyaknya unsur di �(�) disebut ukuran (size) dari � dilambangkan dengan �(�) . Secara geometris graf dapat digambarkan sebagai sekumpulan titik pada bidang dimensi dua yang
dihubungkan dengan sekumpulan sisi (Chartrand dan Oellermann,
1993:3).
10
Contoh:
Gambar 2.1 Graf
Pada Gambar 2.1 gambar (a) merupakan graf dengan �(�) = 7 dan �(�) = 8, sedangkan gambar (b) merupakan graf dengan �(�) = 6
dan �(�) = 0.
Gambar 2.2 Bukan Graf
Gambar 2.2 bukan merupakan graf karena tidak memenuhi definisi 2.1.1
yaitu � � = ∅.
2. Beberapa Istilah dalam Graf
Berikut diberikan definisi berdekatan (adjacent) yang digunakan
untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf lengkap (complete
graph).
(a) (b)
11
Definisi 2.1.2 (Munir, 2001:191)
Misal terdapat dua titik �� dan � pada graf G, dua titik tersebut dikatakan berdekatan (adjacent) bila terdapat sebuah sisi yang
menghubungkan kedua titik tersebut. Dapat ditulis dengan notasi
�= (��,� )∈ �(�) di mana �� ≠ � .
Berikut diberikan definisi bersisian (incident) yang digunakan untuk
menjelaskan derajat sebuah titik, graf sikel dan graf planar, pelabelan
total ajaib sisi, serta sifat pada graf sikel dengan tambahan � anting. Definisi 2.1.3 (Munir, 2001:191)
Diberikan graf G dan ��,� ∈ � � , jika terdapat sebuah sisi yang menghubungkan �� dengan � , dinotasikan �= (��,�) ∈ �(�) maka dikatakan bahwa e bersisian (incident) dengan titik �� dan �.
Berikut diberikan definisi derajat (degree) sebuah titik yang
digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf teratur.
Definisi 2.1.4 (Chartrand dan Oellermann, 1993:6)
Derajat (degree) sebuah titik �� pada graf G yang dituliskan dengan
deg(��) menyatakan banyak sisi yang bersisian dengan ��, dengan kata lain banyak sisi yang memuat �� sebagai titik ujung. Titik dengan derajat nol disebut titik terisolasi (isolated vertex).
12
Berikut diberikan definisi sisi ganda (multiple edge) yang digunakan
untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf
tak sederhana.
Definisi 2.1.5 (Munir, 2001:181)
Jika terdapat beberapa sisi berbeda pada graf yang menghubungkan
pasangan titik yang sama maka graf tersebut dikatakan mempunyai sisi
ganda (multiple edge).
Berikut diberikan definisi sisi ganda (multiple edge) yang digunakan
untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf
tak sederhana.
Definisi 2.1.6 (Munir, 2001:181)
Jika terdapat sebuah sisi pada graf yang berawal dan berakhir pada satu
titik maka graf tersebut dikatakan memiliki gelang (loop).
Berikut diberikan contoh untuk memperjelas Definisi 2.1.2, 2.1.3,
2.1.4, 2.1.5, dan 2.1.6. Contoh : Gambar 2.3 Graf �1 �1 �2 �3 �4 �7 �5 �6 �1 �9 �3 �5 �2 �6 �8 �4 �7
13
Graf �1 memuat himpunan titik � �1 = {�1,�2,�3,�4,�5,�6,�7} dan himpunan sisi � �1 = �1,�2,�3,�4,�5,�6,�7,�8,�9 .
(i) Pada graf �1, pasangan titik �2 dan �3 serta titik �2 dan �5
merupakan titik-titik yang adjacent karena terhubung langsung oleh
sebuah sisi yaitu sisi �2 dan sisi �8, sedangkan titik �2 dan �4
bukan merupakan titik-titik yang adjacent karena tidak terdapat sisi
yang menghubungkan �2 dan �4.
(ii) Pada graf �1, sisi �1 incident dengan titik �1 dan �2 karena �1
menghubungkan �1 dan �2, tetapi tidak terdapat sisi yang incident
dengan titik �1dan �3 karena tidak ada sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut.
(iii) Pada graf �1, deg(�3) = 4, deg(�5) = 4, deg(�1) = 2, �7 disebut
isolated vertex karena deg(�7) = 0.
(iv) Graf �1 memuat multiple edge yaitu sisi �6 dan �7 karena dua sisi tersebut menghubungkan pasangan titik yang sama yaitu �5 dan �6, serta memuat loop yaitu �3,�3,�3 dimana sisi �3 berawal dan berakhir di satu titik yaitu titik �3.
3. Jenis-jenis Graf
Graf dikelompokkan berdasarkan sifat-sifatnya, antara lain
berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda, berdasarkan banyaknya
titik, serta berdasarkan orientasi arah pada sisinya.
14
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf,
graf dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:182), yaitu:
a. Graf Sederhana (Simple Graph)
Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun
sisi-ganda.
Contoh:
Gambar 2.4 Graf Sederhana
b. Graf Tak Sederhana (Unsimple Graph)
Graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau
gelang atau keduanya. Graf tak sederhana dibagi menjadi dua
macam, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).
Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu
adalah graf yang mengandung sisi ganda dan gelang.
15
Contoh :
Gambar 2.5 Graf Tak Sederhana
Pada Gambar 2.5, (a) merupakan graf ganda karena memiliki sisi
ganda, sedangkan (b) merupakan graf semu karena selain memiliki
sisi ganda juga memiliki gelang.
Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf
dapat dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:183), yaitu :
a. Graf Berhingga (Finite Graph)
Graf berhingga adalah graf yang banyak titiknya berhingga.
Contoh:
Gambar 2.6 Graf Berhingga
b. Graf Tak Berhingga (Infinite Graph)
Graf tak berhingga adalah graf yang banyak titiknya tidak berhingga.
(a) (b)
16
Contoh :
Gambar 2.7 Graf Tak Berhingga
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf
dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:183), yaitu :
a. Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf tak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi
arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan
oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi (��,�) dan (�,��) adalah sisi yang sama.
17
Contoh:
Gambar 2.8 Graf Tak Berarah
b. Graf Berarah (Directed Graph/Diagraph)
Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.
Pada graf berarah (��,� ) dan (� ,��) menyatakan dua sisi yang
berbeda ((��,�)≠ (� ,��)). Pada sisi (��,�) titik ��dinamakan titik asal (initial vertex) dan titik � dinamakan titik terminal (terminal vertex), sedangkan pada sisi (�,��) titik � dinamakan titik asal (initial vertex) dan titik �� dinamakan titik terminal (terminal vertex).
Contoh :
Gambar 2.9 Graf Berarah � � � �� � � �� � � � � � � �� � � �� � � �
18
Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus (Munir, 2001:205) antara
lain:
a. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya berdekatan
atau terhubung langsung oleh satu sisi. Graf lengkap dengan n buah
titik dilambangkan dengan Kn. Banyak sisi pada sebuah graf lengkap
yang terdiri dari n buah titik adalah �(� −1)/2. Contoh :
Gambar 2.10 Graf Lengkap
Gambar 2.12 menunjukkan graf lengkap 1, 2, 3, 4 dan 5
dengan banyak titik masing-masing 1, 2, 3, 4, dan 5.
b. Graf Sikel (Cycle Graph)
Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya
mempunyai dua sisi yang bersisian. Graf sikel dengan n titik
dilambangkan dengan ��.
19
Contoh:
Gambar 2.11 Graf Sikel
Gambar 2.11 menunjukkan graf sikel �3, �4, �5 dan �6 dengan banyak titik masing-masing 3, 4, 5, dan 6.
c. Graf Roda (Wheels Graph)
Graf roda merupakan graf yang diperoleh dengan cara
menambahkan satu titik pada graf sikel ��, dan menghubungkan titik baru tersebut dengan semua titik pada graf sikel tersebut.
Contoh:
Gambar 2.12 Graf Roda
d. Graf Teratur (Regular Graph)
Graf teratur merupakan graf yang setiap titiknya mempunyai derajat
yang sama. Apabila derajat setiap titik pada graf teratur adalah r,
maka graf tersebut dinamakan graf teratur berderajat r. Banyak sisi
pada graf teratur dengan n titik adalah 1
2�� sisi.
20
Contoh :
Gambar 2.13 Graf Teratur
Gambar 2.13 menunjukkan graf teratur dengan �= 2 dan �= 3. e. Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)
Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan
pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang
berpotongan kecuali di titik di mana keduanya bersisian. Namun,
suatu graf mungkin saja planar meskipun biasanya digambarkan
dengan sisi yang saling berpotongan, karena graf tersebut dapat
digambarkan dengan cara berbeda di mana sisi-sisinya tidak saling
berpotongan. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang
tidak saling berpotongan disebut graf bidang.
Contoh:
Gambar 2.14 Graf Lengkap 4 merupakan Graf Planar
21
Gambar 2.15 Graf Lengkap 5 merupakan Graf Tak Planar
Gambar 2.16 Semua Graf Sikel dan Graf Lengkap 1, 2, 3
merupakan Graf Bidang
f. Graf Bipartit (Bipartite Graph)
Suatu graf sederhana G disebut bipartit jika mempunyai himpunan
titik V yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan tak kosong yang
tak beririsan �1 dan �2 sedemikian hingga setiap sisi hubung dalam graf menghubungkan suatu titik di �1dengan titik di �2, atau tak ada sisi hubung di dalam G yang menghubungkan dua titik di �1 maupun di �2.
22
Contoh:
Gambar 2.17 Graf Bipartit
Dari Gambar 2.17 kedua grafadalah graf bipartit karena setiap sisinya
menghubungkan dua titik dari himpunan yang berbeda.
2.2. Pelabelan Graf (Graf Labeling)
Pelabelan graf adalah pemetaan bijektif yang memetakan elemen dari
graf tersebut (titik dan/atau sisi) dengan bilangan bulat positif. Terdapat
beberapa macam pelabelan graf berdasarkan domainnya, yaitu pelabelan
titik (vertex labeling) yang domainnya himpunan titik, pelabelan sisi (edge
labeling) yang domainnya himpunan sisi, serta pelabelan total (total
labeling) yang domainnya titik dan sisi.
Bobot adalah jumlahan dari label-label pada setiap elemen graf. Pada
pelabelan graf terdapat dua jenis pelabelan menurut jumlah dari setiap
bobotnya yaitu pelabelan ajaib (magic labeling) dan pelabelan tak ajaib
(antimagic labeling). Pelabelan ajaib adalah suatu pelabelan yang bobot
masing-masing titik atau sisinya sama/konstan, sedangkan pelabelan tak
ajaib adalah suatu pelabelan yang bobot masing-masing titik atau sisinya
berbeda.
23
Pada penelitian ini akan digunakan pelabelan total ajaib sisi kuat (strong
edge magic total labeling).
Definisi 2.2.1 (Wallis, 2001:17)
Pelabelan total ajaib sisi adalah pemetaan bijektif dari �(�)∪ �(�) ke bilangan bulat positif 1, 2, 3,…,�+�, dengan �= �(�) dan �= �(�) , jika terdapat konstanta c sedemikian sehingga untuk setiap sisi ��, dan semua titik �� dan � yang bersisian dengan sisi ��, berlaku:
(��) + ��, + (� ) =�
dengan (��, ) adalah label sisi ��, , (��) dan (�) adalah label titik yang bersisian dengan sisi ��, . Dengan kata lain �(��, ) =� untuk setiap sisi sisi ��, , dengan �(��, ) adalah bobot masing-masing sisi ��, . Bilangan c
disebut konstanta ajaib (magic constant) dari �. Contoh:
Gambar 2.18 Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf �4 dengan � = 12
Pada Gambar 2.18 bobot setiap sisi konstan, yaitu 12. Bobot �1,2adalah
1 + 5 + 6 = 12, bobot �2,3 adalah 6 + 4 + 2 = 12, bobot �3,4 adalah
2 + 7 + 3 = 12, dan bobot �1,4 adalah 1 + 8 + 3 = 12. Jadi contoh
5 8 2 6 3 1 4 7 �2 �4 �1 �3
24
pelabelan pada Gambar 2.20 disebut pelabelan total ajaib sisi pada �4
dengan � = 12.
Definisi 2.2.2 (Wallis, 2001:17)
Pelabelan total ajaib sisi dikatakan kuat (strong) jika label-label titiknya
merupakan bilangan bulat positif 1, 2, 3,…,�, �= �(�) . Contoh:
Gambar 2.19 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf �3 dengan � = 9
Pada Gambar 2.19 �(�) = 3 dan bobot setiap sisi konstan yaitu 9. Bobot �1,2 adalah 1 + 6 + 2 = 9, bobot �2,3 adalah 2 + 4 + 3 = 9, dan bobot �1,3 adalah 3 + 5 + 1 = 9. Karena bobot setiap sisi konstan dan label-label titiknya adalah 1, 2, 3 maka contoh pelabelan pada Gambar 2.21 disebut pelabelan total ajaib sisi kuatpada �3dengan � = 9.
2.3. Graf Sikel (Cycle Graph) dengan Tambahan Satu Anting
Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua,
atau graf dengan lintasan tertutup. Graf sikel dengan n titik dilambangkan
dengan ��.
Graf sikel dengan tambahan satu anting merupakan pengembangan
bentuk dari graf sikel �� dengan menambahkan satu titik diluar �� dan
5 6 4 3 1 2 �1 �2 �3
25
sebuah sisi yang menghubungkan titik tersebut dengan ��. Graf sikel dengan tambahan satu anting dilambangkan dengan �� +�1 (Septian, 2011:27).
Contoh:
Gambar 2.20 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting
Setiap graf sikel dengan tambahan satu anting (�� +�1) mempunyai �, ��� (vertex antimagic total labeling) dengan � ≥3 dan 8
untuk semua � ≥3. Jika label sisi adalah himpunan bilangan bulat positif
{1, 2, 3,…,�+ 1} dan label titik adalah himpunan bilangan bulat positif {�+ 2,�+ 3,…, 2�+ 2} maka nilai � adalah �(5− )
2 + 4. Untuk � ≥3 dan � ganjil, = 1, 3, 5; untuk� ≥ 3 dan � genap, = 2, 4; sedangkan
= 6, 7, 8 tidak memenuhi untuk semua � ≥3. Pada graf sikel dengan tambahan satu anting (�� +�1) terdapat 2�+ 4, 1 ��� dan �+ 4, 3 ��� untuk � ≥3 dan � ganjil (Septian, 2011:56).
2.4. Graf Sikel (Cycle Graph) dengan Tambahan Dua Anting
Graf sikel dengan tambahan dua anting merupakan pengembangan dari
graf sikel �� dengan menambahkan dua titik diluar �� dan dua sisi yang
(a) �4+�1 (b) �5+�1 (c) �6 +�1
26
menghubungkan masing-masing titik tersebut dengan ��. Graf sikel dengan tambahan satu anting dilambangkan dengan �� + 2�1 (Yuliyanto, 2012:26). Contoh:
Gambar 2.21 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting
Graf sikel dengan tambahan dua anting (�� + 2�1) memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat dengan nilai konstanta ajaib � terletak pada interval 5�+9
2 <� <5�+17
2 . Untuk nilai konstanta ajaib � =5�+13
2 , nilai label untuk masing-masing titik dan sisi adalah sebagai berikut:
�1 =�+ 1 2 �2 = 2 �� = �+ 4 +� 2 �= 3, 5, 7,…,� �+ 1 2 � = 4, 6, 8,…,� −1 ��+1 = 1 ��+2 =�+ 5 2 �1,2 = 2�+ 3 ��,�+1 = 2�+ 3 − � �= 2, 3, 4,…,� −1 �1,� =�+ 3 (a) �4+ 2�1 (b) �6+ 2�1
27
�1,�+1 = 2�+ 4
�2,�+2 = 2�+ 2 (Yuliyanto, 2012:71).
2.5. Kerangka Berpikir
Sejauh ini telah dipelajari teori terkait definisi tentang graf, pelabelan
graf, serta hasil dari penelitian sebelumnya. Berdasarkan apa yang telah
dipelajari tersebut akan diselidiki apakah pelabelan total ajaib sisi kuat
(strong edge magic total labeling) berlaku pada graf sikel dengan
tambahan � anting, � ≥3, � ganjil dan akan ditentukan interval nilai konstanta ajaib c, serta akan diselidiki bagaimana rumus nilai label titik
dan sisi pada pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan
tambahan � anting, � ≥3 dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib � dengan pola tertentu.
28
BAB III
