PELABELAN TOTAL AJAIB SISI KUAT
PADA GRAF SIKEL DENGAN TAMBAHAN
�
ANTING
UNTUK
� ≥ �
DAN
�
GANJIL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Ayu Kristianna
091414050
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2013
i
PELABELAN TOTAL AJAIB SISI KUAT
PADA GRAF SIKEL DENGAN TAMBAHAN
�
ANTING
UNTUK
� ≥ �
DAN
�
GANJIL
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana
Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh:
Ayu Kristianna
091414050
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA
2013
ii
iii
iv
”
Ia membuat segala sesuatu indah pada
waktunya, bahkan Ia memberikan
kekekalan dalam hati mereka.”
(Kolose 3:23)
Kupersembahkan karya ini untuk:
Tuhan Yesus Kristus, Sahabat dan Juru Selamat
yang selalu menyertai setiap langkahku
Orang tuaku terkasih, Bapak Yohanes Sumiran dan
Ibu Anastasia Sri Murwani atas segala kasih, doa,
dukungan, serta pengorbanan selama hidupku
Adik-adikku, Lukas Kris Pradikta dan
Ester Rina Apriliyani yang menjadi pemacu semangatku
Fr. Adrianus Wisnu W., OCSO, Ibu Inge Umboh, serta
seluruh keluarga besar yang telah mendukungku
Almamaterku “SMA Sedes Sapientiae Bedono” dan
“Universitas Sanata Dharma Yogyakarta”
v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA
Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini
tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan
dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.
Yogyakarta, 20 Agustus 2013
Penulis,
Ayu Kristianna
vi
LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS
Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:
Nama : Ayu Kristianna
NIM : 091414050
Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada
Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:
Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat
Pada Graf Sikel dengan Tambahan � Anting untuk � ≥ � dan � Ganjil
Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas
Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,
mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan
mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis
tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya
selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.
Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.
Dibuat di Yogyakarta
Pada Tanggal : 20 Agustus 2013
Yang menyatakan,
(Ayu Kristianna)
vii
ABSTRAK
Ayu Kristianna, 2013. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan Tambahan � Anting untuk � ≥ � dan � Ganjil. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Penelitian ini menyelidiki pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel
dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil. Tujuan dari penelitian ini adalah meninjau apakah graf sikel dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat, menentukan nilai konstanta ajaib
yang terbentuk, serta menentukan nilai label untuk masing-masing titik dan sisi.
Penelitian ini mengkaji beberapa buku, jurnal, dan hasil penelitian sebelumnya
untuk mendapatkan teori-teori yang mendukung.
Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa pelabelan total ajaib sisi kuat
berlaku pada graf sikel dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib � terletak pada interval 9�+3
2 �
11�+3
2 . Nilai label
titik dan sisi untuk pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan tambahan
viii
Kata Kunci : graf, pelabelan graf, graf sikel dengan tambahan � anting, pelabelan total ajaib sisi kuat
ix
ABSTRACT
Ayu Kristianna, 2013. Strong Edge Magic Total Labeling on The Cycle Graph with � Extra Arms for � ≥ � and � is Odd. Mathematics Education Study Program. Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teachers Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.
This research observed the strong edge magic total labeling on the cycle
graph with � extra arms for � ≥3 and � is odd. The purpose of this research is to observe whether the cycle graph with � extra arms for � ≥ 3 and � is odd satisfy the strong edge magic total labeling, to observe the value of magic constant, and
to find the labeling values for each vertex and edge. This research examined
2 . The labeling values for each vertex and edge on
the strong edge magic total labeling on the cycle graph with � extra arms, � ≥ 3
xi
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala kasih, rahmat
dan berkat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul
”Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan Tambahan � Anting untuk � ≥3 dan � Ganjil” ini . Skripsi ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan pada Program Studi Pendidikan
Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas
Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.
Skripsi ini dapat tersusun berkat bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak.
Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis menyampaikan terima kasih
kepada:
1. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si, M.Si. selaku Dosen Pembimbing
Akademik sekaligus dosen pembimbing skripsi atas dukungan dan bimbingan
selama studi terlebih selama proses penyusunan skripsi ini
2. Bapak Rohandi, Ph.D selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan
Universitas Sanata Dharma
3. Bapak Drs. A. Atmadi, M.Si. selaku Ketua Jurusan Pendidikan dan Ilmu
Pengetahuan Alam, FKIP, Universitas Sanata Dharma
4. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Kaprodi Pendidikan Matematika
5. Bapak Drs. Thomas Sugiarto, M.T. dan Bapak Sutrisno, M.Sc. selaku dosen
penguji skripsi
xii
6. Seluruh Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah banyak
memberikan ilmu pengetahuan dan bekal keterampilan sehingga penulis dapat
menyelesaikan studi dengan baik
7. Kedua orang tua penulis, Bapak Yohanes Sumiran dan Ibu Anastasia Sri
Murwani, Adik Lukas Kris Pradikta dan Ester Rina Apriliyani, Eyang Maria
Suyatmi, fr. Adrianus Wisnu W. OCSO, Ibu Inge Umboh, serta Dominico S.
Saputra yang telah memberikan dukungan dan doa
8. Teman-teman Program Studi Pendidikan Matematika Angkatan 2009, khususnya
Yasintha Rizky, Chintya Rudiyanto, Ryan Sanjaya, Endar Retnowati, Cicilia
Viranti, serta Th. Ridarta Intan P. yang telah berbagi hari-hari menyenangkan
serta semangat dan dukungan untuk terus maju
9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas bantuan dan saran
yang berguna selama penulisan skripsi ini
Penulis mengharapkan kritik dan saran guna kemajuan penelitian, khususnya
dalam bidang matematika. Akhir kata, penulis berharap kiranya skripsi ini dapat
bermanfaat bagi para pembaca.
Yogyakarta, 20 Agustus 2013
xiii
DAFTAR ISI
Halaman
HALAMAN JUDUL ... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii
HALAMAN PENGESAHAN ... iii
HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... vi
ABSTRAK ... vii
ABSTRACT ... ix
KATA PENGANTAR ... xi
DAFTAR ISI ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xv
DAFTAR TABEL ... xvii
DAFTAR NOTASI ... xviii
BAB I PENDAHULUAN ... 1
1.1. Latar Belakang ... 1
1.2. Batasan Masalah ... 5
1.3. Rumusan Masalah ... 5
1.4. Tujuan ... 5
1.5. Manfaat Penelitian ... 6
1.6. Metode Penelitian ... 6
1.7. Sitematika Penulisan ... 7
xiv
BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI ... 9
2.1. Teori Graf ... 9
2.2. Pelabelan Graf ... 22
2.3. Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting ... 24
2.4. Graf Sikel dengan Tambahan Dua Anting ... 25
2.5. Kerangka Berpikir ... 27
BAB III HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ... 28
3.1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan Tambahan n Anting ... 28
3.2. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �� +��1 untuk � ≥3 dan � Ganjil dengan � =9�+3 2 ... 34
3.3. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �� +��1 untuk � ≥3 dan � Ganjil dengan � =11�+3 2 ... 47
BAB IV PENUTUP ... 55
4.1. Kesimpulan ... 55
4.2. Saran ... 57
DAFTAR PUSTAKA ... 58
xv
DAFTAR GAMBAR
Halaman
Gambar 1.1 Model Jembatan Königsberg... 1
Gambar 1.2 Graf Model Jembatan Königsberg ... 2
Gambar 1.3 Ilustrasi Kondisi Jalan Raya menggunakan Graf ... 3
Gambar 2.1 Graf ... 10
Gambar 2.2 Bukan Graf ... 10
Gambar 2.3 Graf �1 ... 12
Gambar 2.4 Graf Sederhana ... 14
Gambar 2.5 Graf Tak Sederhana... 15
Gambar 2.6 Graf Berhingga ... 15
Gambar 2.7 Graf Tak Berhingga... 16
Gambar 2.8 Graf Tak Berarah... 17
Gambar 2.9 Graf Berarah ... 17
Gambar 2.10 Graf Lengkap ... 18
Gambar 2.11 Graf Sikel ... 19
Gambar 2.12 Graf Roda ... 19
Gambar 2.13 Graf Teratur ... 20
Gambar 2.14 Graf Planar ... 20
Gambar 2.15 Graf Tak Planar ... 21
Gambar 2.16 Graf Bidang ... 21
Gambar 2.17 Graf Bipartit ... 22
Gambar 2.18 Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf �4 dengan � = 12 ... 23
xvi
Gambar 2.19 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf �3 dengan � = 9 . 24 Gambar 2.20 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting ... 25
Gambar 2.21 Graf Sikel dengan Tambahan Dua Anting ... 26
Gambar 3.1 Graf Sikel dengan Tambahan � Anting ... 28 Gambar 3.2 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �� +��1, � ≥3,
� = 2�+ 1,� = 1, 3, 5,… ,� = 9�+3
2 ... 42
Gambar 3.3 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �� +��1, � ≥3
� = 2�+ 1,� = 2, 4, 6,…,�=9�+3
2 ... 43 Gambar 3.4 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �7+ 7�1, � = 33 ... 45
Gambar 3.5 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �5+ 5�1, � = 24 ... 46
Gambar 3.6 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �� +��1, � ≥3, � Ganjil, � = 11�+3
2 ... 52
Gambar 3.7 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �5+ 5�1, � = 29 ... 54
xvii
DAFTAR TABEL
Halaman
Tabel 3.1 Interval Nilai c pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada
�� +��1 ... 32
Tabel 3.2 Nilai Label Titik dan Sisi pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada
�� +��1 untuk � ≥3 dan � Ganjil dengan � =
9�+3
2 ... 34 Tabel 3.3 Nilai Label Titik dan Sisi pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada
�� +��1 untuk � ≥3 dan � Ganjil dengan � =
11�+3
2 ... 47
xviii
DAFTAR NOTASI
�(�) himpunan titik di � �(�) himpunan sisi di �
�(�) order (banyak titik) dari � �(�) size (banyak sisi) dari � �� titik ke-�
��, sisi yang menghubungkan titki ke-� dan titik ke-
�� jumlah semua label titik �� jumlah semua label sisi � jumlah semua bobot sisi
(��) label titik �� ��, label sisi ��,
� ��, bobot masing-masing sisi ��,
�� graf sikel berorder � �1 anting pada graf
∅ himpunan kosong ∪ gabungan himpunan
□ akhir pembuktian
1
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Teori graf merupakan salah satu pokok bahasan yang memiliki banyak
terapan praktis hingga saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan
objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi
visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan,
atau titik (vertex), sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis
atau sisi (edge).
Teori graf muncul pertama kali pada tahun 1736 ketika Leonhard Euler,
seorang matematikawan dari Swiss, mencoba mencari solusi dari
permasalahan Jembatan Königsberg. Sungai Pregel yang melalui kota
Königsberg membagi wilayah daratan pada kota tersebut menjadi empat
bagian dengan tujuh buah jembatan dibangun di atasnya seperti gambar
berikut.
Gambar 1.1 Model Jembatan Königsberg
Teka-teki Jembatan Königsberg mulai muncul pada abad XVII ketika
warga Königsberg memikirkan apakah mungkin untuk berjalan di seluruh
2
wilayah Königsberg dengan melalui setiap jembatan hanya sekali. Teka-teki
tersebut menarik perhatian Euler yang kemudian merepresentasikan masalah
tersebut dalam sebuah diagram. Diagram tersebut terdiri dari empat titik A,
B, C, dan D yang merepresentasikan keempat wilayah daratan, serta tujuh
buah garis yang merepresentasikan jembatan, seperti terlihat pada gambar
berikut (Suryadi, 1996:3).
Gambar 1.2 Graf Model Jembatan Königsberg
Salah satu kajian yang banyak diteliti dan dikembangkan dalam teori graf
adalah pelabelan graf yang pertama kali diperkenalkan oleh Sedláček (1963), kemudian Stewart (1966), serta Kotzig dan Rosa (1970). Hingga saat ini
pemanfaatan teori pelabelan graf sangat dirasakan peranannya, misalnya pada
sektor sistem komunikasi, transportasi, navigasi geografis, radar,
penyimpanan data komputer, dan pemancar frekuensi radio.
Pada sektor transportasi misalnya, pelabelan graf digunakan untuk
memantau arus dan kepadatan kendaraan di jalan. Graf yang digunakan
adalah graf berarah yang menunjukkan arah arus kendaraan yang telah diberi
label berupa lambang bilangan pada masing-masing titik dan sisinya. Label
pada titik menunjukkan banyak kendaraan yang melewati titik tersebut setiap
3
satuan waktu. Sementara itu, label pada sisi menunjukkan kapasitas efektif
jalan untuk dilalui sejumlah kendaraan setiap satuan waktu beserta presentase
dari kondisi arus sebenarnya dibandingkan kapasitas efektif jalan. Bila arus
kendaraan telah melebihi kapasitas efektif jalan, maka presentasenya akan
bernilai lebih dari 100%. Bila terjadi kepadatan di suatu titik, polisi dapat
berkoordinasi untuk mengalihkan sebagian kendaraan ke jalur yang belum
padat. Sistem ini diterapkan terutama pada kondisi tertentu seperti mudik
tahunan.
Gambar 1.3 Ilustrasi Kondisi Jalan Raya menggunakan Graf
Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan bijektif yang
memetakan unsur-unsur graf (titik dan/atau sisi) dengan bilangan bulat
positif. Jika domain dari pelabelan adalah titik (vertex), maka pelabelan
tersebut dinamakan pelabelan titik (vertex labelling), jika domainnya adalah
sisi (edge), maka pelabelannya disebut pelabelan sisi (edge labelling),
sedangkan jika domainnya adalah titik dan sisi, maka pelabelannya disebut
pelabelan total (total labelling) (Wallis, 2001:11).
150
100 120
200
60 100
125
25
75/75%
160/125%
125/100%
75/100%
50/50% 120/50%
160/75%
4
Salah satu jenis pelabelan yang dikenal hingga saat ini adalah pelabelan
ajaib (magic labeling), yang dibagi menjadi dua yaitu pelabelan ajaib sisi
(edge magic labeling) dan pelabelan ajaib titik (vertex magic labeling). Pada
penelitian ini akan digunakan pelabelan ajaib sisi yaitu pemetaan bijektif
yang memetakan himpunan titik dan sisi pada himpunan bilangan bulat
{1, 2, 3,… ,�+�} dengan � menyatakan banyak titik dan � menyatakan banyak sisi, sedemikian hingga bobot masing-masing sisinya sama/konstan.
Bobot sisi adalah jumlah dari label sisi dan label titik-titik yang bersisian
dengan sisi tersebut.
Penelitian mengenai pelabelan ajaib terus berkembang hingga kemudian
Wallis (2001:17) memperkenalkan istilah pelabelan total ajaib sisi kuat
(strong edge magic total labeling). Pelabelan ajaib sisi dikatakan kuat jika
himpunan titik-titiknya �1,�2,�3,…,�� dipetakan satu-satu dengan
himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3,…,�} dengan � menyatakan banyak titik pada graf tersebut. Graf yang memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat
dinamakan graf total ajaib sisi kuat.
Berdasarkan hasil penelitian sebelumnya, penulis mengembangkan hasil
penelitian yang berkaitan dengan graf total ajaib sisi kuat dengan menentukan
interval serta pola konstanta ajaib yang terbentuk pada graf sikel �� dengan tambahan � anting, serta rumus pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel �� dengan tambahan � anting untuk nilai konstanta ajaib dengan pola
tertentu.
5
1.2 Batasan Masalah
Pada tugas akhir ini, graf yang digunakan adalah graf yang berhingga,
sederhana, dan tak berarah, yaitu graf sikel �� dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil. Anting pada graf sikel �� dibentuk dari � buah titik yang masing-masing dihubungkan dengan tepat satu titik pada graf sikel
�� oleh sebuah sisi. Titik-titik di luar graf sikel �� berturut-turut dinamakan ��+1, ��+2, ��+3,… ,�2�. Sedangkan pelabelan yang digunakan adalah
pelabelan total ajaib sisi kuat (strong edge magic total labeling).
1.3 Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas, rumusan masalah
yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah:
1. Apakah pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel �� dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil? Bagaimana interval konstanta ajaib yang terbentuk?
2. Bagaimana rumus untuk menentukan nilai label titik dan sisi pada
pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel �� dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan ganjil dengan nilai konstanta ajaib berpola tertentu?
6
1.4 Tujuan Penelitian
1. Mengetahui apakah pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel
�� dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil, serta mengetahui
bagaimana interval dari konstanta ajaib yang terbentuk.
2. Mengetahui rumus untuk menentukan nilai label titik dan sisi pada
pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel �� dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib dengan pola tertentu.
1.5 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah:
1. Menambah jenis graf baru yang memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat
2. Menambah wawasan mengenai pelabelan total ajaib sisi kuat
3. Dapat memberi label pada graf sikel dengan tambahan � anting dengan menentukan nilai konstanta ajaibnya
1.6 Metode Penelitian
Penelitian yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah penelitian pustaka
(literature research) yang mengacu pada buku Magic Graph oleh W. D.
Walis (2001).
Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif, sehingga pola
pembahasan dimulai dari hal-hal khusus (induktif) menuju pada suatu
7
generalisasi yang bersifat umum (deduktif). Secara garis besar langkah
penelitian ini sebagai berikut.
1. Mengumpulkan berbagai literatur yang berhubungan dengan topik
2. Mempelajari topik
3. Menganalisa sifat-sifat pelabelan total ajaib sisi kuat (strong edge magic
total labeling)
4. Membangun graf sikel dengan tambahan � anting dan menganalisa sifat graf tersebut
5. Menentukan apakah pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel
dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil, sekaligus menentukan pola konstanta ajaib yang terbentuk
6. Menentukan rumus nilai label titik dan sisi pada graf sikel dengan
tambahan � anting, � ≥3 dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib dengan pola tertentu
1.7 Sistematika Penulisan
Sistematika penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi empat bagian:
BAB I : PENDAHULUAN
Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, rumusan masalah,
pembatasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode
penelitian, dan sistematika penulisan.
8
BAB II : KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI
Pada bab ini dijelaskan mengenai teori graf dasar seperti definisi graf,
beberapa istilah dalam teori graf, jenis-jenis graf, pelabelan graf, graf sikel
dengan tambahan satu anting (�� +�1), serta graf sikel dengan tambahan
dua anting (�� + 2�1).
BAB III : HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dianalisis mengenai sifat graf sikel dengan tambahan � anting, pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf tersebut, serta rumus nilai
label masing-masing titik dan sisi pada graf tersebut, khususnya untuk � ≥ 3
dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib dengan pola tertentu. BAB IV : PENUTUP
Pada bab ini dijelaskan kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan
pada bab sebelumnya serta saran-saran yang berkaitan dengan pembahasan
tersebut.
9
BAB II
KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI 2.1. Teori Graf
1. Pengertian Graf
Definisi 2.1.1 (Goodaire dan Parmenter, 1998:329)
Graf adalah himpunan pasangan terurut � = (�,�) di mana �(�)
himpunan tak kosong dan �(�)adalah himpunan pasangan elemen yang berbeda di �(�). Elemen �(�) disebut titik (vertex) dan elemen �(�)
disebut sisi (edge). Jadi, jika � ∈ �(�), maka e merupakan himpunan pasangan � = (��,�), di mana �� ≠ � , ��,� ∈ �(�). Selanjutnya, �� dan � disebut titik ujung dari e, atau dengan kata lain �= (��,�)
menghubungkan titik �� dan �. Selanjutnya sisi �= (��,�) dinotasikan dengan ��, di mana sisi tersebut merupakan sisi yang sama dengan sisi �= (� ,��) yang dinotasikan dengan �,�.
Banyaknya unsur di �(�) disebut order dari G dilambangkan dengan �(�) dan banyaknya unsur di �(�) disebut ukuran (size) dari � dilambangkan dengan �(�) . Secara geometris graf dapat digambarkan sebagai sekumpulan titik pada bidang dimensi dua yang
dihubungkan dengan sekumpulan sisi (Chartrand dan Oellermann,
1993:3).
10
Contoh:
Gambar 2.1 Graf
Pada Gambar 2.1 gambar (a) merupakan graf dengan �(�) = 7 dan �(�) = 8, sedangkan gambar (b) merupakan graf dengan �(�) = 6
dan �(�) = 0.
Gambar 2.2 Bukan Graf
Gambar 2.2 bukan merupakan graf karena tidak memenuhi definisi 2.1.1
yaitu � � = ∅.
2. Beberapa Istilah dalam Graf
Berikut diberikan definisi berdekatan (adjacent) yang digunakan
untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf lengkap (complete
graph).
(a) (b)
11
Definisi 2.1.2 (Munir, 2001:191)
Misal terdapat dua titik �� dan � pada graf G, dua titik tersebut dikatakan berdekatan (adjacent) bila terdapat sebuah sisi yang
menghubungkan kedua titik tersebut. Dapat ditulis dengan notasi
�= (��,� )∈ �(�) di mana �� ≠ � .
Berikut diberikan definisi bersisian (incident) yang digunakan untuk
menjelaskan derajat sebuah titik, graf sikel dan graf planar, pelabelan
total ajaib sisi, serta sifat pada graf sikel dengan tambahan � anting. Definisi 2.1.3 (Munir, 2001:191)
Diberikan graf G dan ��,� ∈ � � , jika terdapat sebuah sisi yang menghubungkan �� dengan � , dinotasikan �= (��,�) ∈ �(�) maka dikatakan bahwa e bersisian (incident) dengan titik �� dan �.
Berikut diberikan definisi derajat (degree) sebuah titik yang
digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf teratur.
Definisi 2.1.4 (Chartrand dan Oellermann, 1993:6)
Derajat (degree) sebuah titik �� pada graf G yang dituliskan dengan
deg(��) menyatakan banyak sisi yang bersisian dengan ��, dengan kata lain banyak sisi yang memuat �� sebagai titik ujung. Titik dengan derajat nol disebut titik terisolasi (isolated vertex).
12
Berikut diberikan definisi sisi ganda (multiple edge) yang digunakan
untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf
tak sederhana.
Definisi 2.1.5 (Munir, 2001:181)
Jika terdapat beberapa sisi berbeda pada graf yang menghubungkan
pasangan titik yang sama maka graf tersebut dikatakan mempunyai sisi
ganda (multiple edge).
Berikut diberikan definisi sisi ganda (multiple edge) yang digunakan
untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf
tak sederhana.
Definisi 2.1.6 (Munir, 2001:181)
Jika terdapat sebuah sisi pada graf yang berawal dan berakhir pada satu
titik maka graf tersebut dikatakan memiliki gelang (loop).
Berikut diberikan contoh untuk memperjelas Definisi 2.1.2, 2.1.3,
2.1.4, 2.1.5, dan 2.1.6.
Contoh :
Gambar 2.3 Graf �1
�1
�2 �3
�4 �7
�5 �6
�1
�9
�3
�5 �2
�6 �8
�4
�7
13
Graf �1 memuat himpunan titik � �1 = {�1,�2,�3,�4,�5,�6,�7} dan
himpunan sisi � �1 = �1,�2,�3,�4,�5,�6,�7,�8,�9 .
(i) Pada graf �1, pasangan titik �2 dan �3 serta titik �2 dan �5 merupakan titik-titik yang adjacent karena terhubung langsung oleh
sebuah sisi yaitu sisi �2 dan sisi �8, sedangkan titik �2 dan �4 bukan merupakan titik-titik yang adjacent karena tidak terdapat sisi
yang menghubungkan �2 dan �4.
(ii) Pada graf �1, sisi �1 incident dengan titik �1 dan �2 karena �1 menghubungkan �1 dan �2, tetapi tidak terdapat sisi yang incident
dengan titik �1dan �3 karena tidak ada sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut.
(iii) Pada graf �1, deg(�3) = 4, deg(�5) = 4, deg(�1) = 2, �7 disebut
isolated vertex karena deg(�7) = 0.
(iv) Graf �1 memuat multiple edge yaitu sisi �6 dan �7 karena dua sisi tersebut menghubungkan pasangan titik yang sama yaitu �5 dan �6, serta memuat loop yaitu �3,�3,�3 dimana sisi �3 berawal dan
berakhir di satu titik yaitu titik �3.
3. Jenis-jenis Graf
Graf dikelompokkan berdasarkan sifat-sifatnya, antara lain
berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda, berdasarkan banyaknya
titik, serta berdasarkan orientasi arah pada sisinya.
14
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf,
graf dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:182), yaitu:
a. Graf Sederhana (Simple Graph)
Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun
sisi-ganda.
Contoh:
Gambar 2.4 Graf Sederhana
b. Graf Tak Sederhana (Unsimple Graph)
Graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau
gelang atau keduanya. Graf tak sederhana dibagi menjadi dua
macam, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).
Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu
adalah graf yang mengandung sisi ganda dan gelang.
15
Contoh :
Gambar 2.5 Graf Tak Sederhana
Pada Gambar 2.5, (a) merupakan graf ganda karena memiliki sisi
ganda, sedangkan (b) merupakan graf semu karena selain memiliki
sisi ganda juga memiliki gelang.
Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf
dapat dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:183), yaitu :
a. Graf Berhingga (Finite Graph)
Graf berhingga adalah graf yang banyak titiknya berhingga.
Contoh:
Gambar 2.6 Graf Berhingga
b. Graf Tak Berhingga (Infinite Graph)
Graf tak berhingga adalah graf yang banyak titiknya tidak berhingga.
(a) (b)
16
Contoh :
Gambar 2.7 Graf Tak Berhingga
Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf
dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:183), yaitu :
a. Graf Tak Berarah (Undirected Graph)
Graf tak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi
arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan
oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi (��,�) dan (�,��) adalah sisi yang sama.
17
Contoh:
Gambar 2.8 Graf Tak Berarah
b. Graf Berarah (Directed Graph/Diagraph)
Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.
18
Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus (Munir, 2001:205) antara
lain:
a. Graf Lengkap (Complete Graph)
Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya berdekatan
atau terhubung langsung oleh satu sisi. Graf lengkap dengan n buah
titik dilambangkan dengan Kn. Banyak sisi pada sebuah graf lengkap
yang terdiri dari n buah titik adalah �(� −1)/2. Contoh :
Gambar 2.10 Graf Lengkap
Gambar 2.12 menunjukkan graf lengkap 1, 2, 3, 4 dan 5
dengan banyak titik masing-masing 1, 2, 3, 4, dan 5.
b. Graf Sikel (Cycle Graph)
Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya
mempunyai dua sisi yang bersisian. Graf sikel dengan n titik
dilambangkan dengan ��.
19
Contoh:
Gambar 2.11 Graf Sikel
Gambar 2.11 menunjukkan graf sikel �3, �4, �5 dan �6 dengan banyak titik masing-masing 3, 4, 5, dan 6.
c. Graf Roda (Wheels Graph)
Graf roda merupakan graf yang diperoleh dengan cara
menambahkan satu titik pada graf sikel ��, dan menghubungkan titik baru tersebut dengan semua titik pada graf sikel tersebut.
Contoh:
Gambar 2.12 Graf Roda
d. Graf Teratur (Regular Graph)
Graf teratur merupakan graf yang setiap titiknya mempunyai derajat
yang sama. Apabila derajat setiap titik pada graf teratur adalah r,
maka graf tersebut dinamakan graf teratur berderajat r. Banyak sisi
pada graf teratur dengan n titik adalah 1
2�� sisi.
20
Contoh :
Gambar 2.13 Graf Teratur
Gambar 2.13 menunjukkan graf teratur dengan �= 2 dan �= 3. e. Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)
Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan
pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang
berpotongan kecuali di titik di mana keduanya bersisian. Namun,
suatu graf mungkin saja planar meskipun biasanya digambarkan
dengan sisi yang saling berpotongan, karena graf tersebut dapat
digambarkan dengan cara berbeda di mana sisi-sisinya tidak saling
berpotongan. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang
tidak saling berpotongan disebut graf bidang.
Contoh:
Gambar 2.14 Graf Lengkap 4 merupakan Graf Planar
21
Gambar 2.15 Graf Lengkap 5 merupakan Graf Tak Planar
Gambar 2.16 Semua Graf Sikel dan Graf Lengkap 1, 2, 3
merupakan Graf Bidang
f. Graf Bipartit (Bipartite Graph)
Suatu graf sederhana G disebut bipartit jika mempunyai himpunan
titik V yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan tak kosong yang
tak beririsan �1 dan �2 sedemikian hingga setiap sisi hubung dalam graf menghubungkan suatu titik di �1dengan titik di �2, atau tak ada sisi hubung di dalam G yang menghubungkan dua titik di �1 maupun di �2.
22
Contoh:
Gambar 2.17 Graf Bipartit
Dari Gambar 2.17 kedua grafadalah graf bipartit karena setiap sisinya
menghubungkan dua titik dari himpunan yang berbeda.
2.2. Pelabelan Graf (Graf Labeling)
Pelabelan graf adalah pemetaan bijektif yang memetakan elemen dari
graf tersebut (titik dan/atau sisi) dengan bilangan bulat positif. Terdapat
beberapa macam pelabelan graf berdasarkan domainnya, yaitu pelabelan
titik (vertex labeling) yang domainnya himpunan titik, pelabelan sisi (edge
labeling) yang domainnya himpunan sisi, serta pelabelan total (total
labeling) yang domainnya titik dan sisi.
Bobot adalah jumlahan dari label-label pada setiap elemen graf. Pada
pelabelan graf terdapat dua jenis pelabelan menurut jumlah dari setiap
bobotnya yaitu pelabelan ajaib (magic labeling) dan pelabelan tak ajaib
(antimagic labeling). Pelabelan ajaib adalah suatu pelabelan yang bobot
masing-masing titik atau sisinya sama/konstan, sedangkan pelabelan tak
ajaib adalah suatu pelabelan yang bobot masing-masing titik atau sisinya
berbeda.
23
Pada penelitian ini akan digunakan pelabelan total ajaib sisi kuat (strong
edge magic total labeling).
Definisi 2.2.1 (Wallis, 2001:17)
Pelabelan total ajaib sisi adalah pemetaan bijektif dari �(�)∪ �(�) ke bilangan bulat positif 1, 2, 3,…,�+�, dengan �= �(�) dan �= �(�) , jika terdapat konstanta c sedemikian sehingga untuk setiap sisi ��, dan semua titik �� dan � yang bersisian dengan sisi ��, berlaku:
(��) + ��, + (� ) =�
dengan (��, ) adalah label sisi ��, , (��) dan (�) adalah label titik yang
bersisian dengan sisi ��, . Dengan kata lain �(��, ) =� untuk setiap sisi sisi
��, , dengan �(��, ) adalah bobot masing-masing sisi ��, . Bilangan c
disebut konstanta ajaib (magic constant) dari �. Contoh:
Gambar 2.18 Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf �4 dengan � = 12
Pada Gambar 2.18 bobot setiap sisi konstan, yaitu 12. Bobot �1,2adalah
1 + 5 + 6 = 12, bobot �2,3 adalah 6 + 4 + 2 = 12, bobot �3,4 adalah
2 + 7 + 3 = 12, dan bobot �1,4 adalah 1 + 8 + 3 = 12. Jadi contoh
5
8
2 6
3 1
4
7
�2
�4
�1
�3
24
pelabelan pada Gambar 2.20 disebut pelabelan total ajaib sisi pada �4 dengan � = 12.
Definisi 2.2.2 (Wallis, 2001:17)
Pelabelan total ajaib sisi dikatakan kuat (strong) jika label-label titiknya
merupakan bilangan bulat positif 1, 2, 3,…,�, �= �(�) . Contoh:
Gambar 2.19 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf �3 dengan � = 9
Pada Gambar 2.19 �(�) = 3 dan bobot setiap sisi konstan yaitu 9. Bobot �1,2 adalah 1 + 6 + 2 = 9, bobot �2,3 adalah 2 + 4 + 3 = 9, dan bobot �1,3 adalah 3 + 5 + 1 = 9. Karena bobot setiap sisi konstan dan label-label titiknya adalah 1, 2, 3 maka contoh pelabelan pada Gambar 2.21
disebut pelabelan total ajaib sisi kuatpada �3dengan � = 9.
2.3. Graf Sikel (Cycle Graph) dengan Tambahan Satu Anting
Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua,
atau graf dengan lintasan tertutup. Graf sikel dengan n titik dilambangkan
dengan ��.
Graf sikel dengan tambahan satu anting merupakan pengembangan
bentuk dari graf sikel �� dengan menambahkan satu titik diluar �� dan
5
6
4 3
1 2
�1 �2
�3
25
sebuah sisi yang menghubungkan titik tersebut dengan ��. Graf sikel dengan tambahan satu anting dilambangkan dengan �� +�1 (Septian,
2011:27).
Contoh:
Gambar 2.20 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting
Setiap graf sikel dengan tambahan satu anting (�� +�1) mempunyai
�, ��� (vertex antimagic total labeling) dengan � ≥3 dan 8
untuk semua � ≥3. Jika label sisi adalah himpunan bilangan bulat positif
{1, 2, 3,…,�+ 1} dan label titik adalah himpunan bilangan bulat positif {�+ 2,�+ 3,…, 2�+ 2} maka nilai � adalah �(5− )
2 + 4. Untuk � ≥3 dan
� ganjil, = 1, 3, 5; untuk� ≥ 3 dan � genap, = 2, 4; sedangkan
= 6, 7, 8 tidak memenuhi untuk semua � ≥3. Pada graf sikel dengan tambahan satu anting (�� +�1) terdapat 2�+ 4, 1 ��� dan �+ 4, 3 ��� untuk � ≥3 dan � ganjil (Septian, 2011:56).
2.4. Graf Sikel (Cycle Graph) dengan Tambahan Dua Anting
Graf sikel dengan tambahan dua anting merupakan pengembangan dari
graf sikel �� dengan menambahkan dua titik diluar �� dan dua sisi yang
(a) �4+�1 (b) �5+�1 (c) �6 +�1
26
menghubungkan masing-masing titik tersebut dengan ��. Graf sikel dengan tambahan satu anting dilambangkan dengan �� + 2�1 (Yuliyanto, 2012:26).
Contoh:
Gambar 2.21 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting
Graf sikel dengan tambahan dua anting (�� + 2�1) memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat dengan nilai konstanta ajaib � terletak pada interval 5�+9
2 <� < 5�+17
2 . Untuk nilai konstanta ajaib � = 5�+13
2 , nilai label untuk masing-masing titik dan sisi adalah sebagai berikut:
�1 =
�+ 1 2
�2 = 2
�� =
�+ 4 +�
2 �= 3, 5, 7,…,�
�+ 1
2 � = 4, 6, 8,…,� −1
��+1 = 1
��+2 =
�+ 5 2
�1,2 = 2�+ 3
��,�+1 = 2�+ 3 − � �= 2, 3, 4,…,� −1
�1,� =�+ 3
(a) �4+ 2�1 (b) �6+ 2�1
27
�1,�+1 = 2�+ 4
�2,�+2 = 2�+ 2 (Yuliyanto, 2012:71).
2.5. Kerangka Berpikir
Sejauh ini telah dipelajari teori terkait definisi tentang graf, pelabelan
graf, serta hasil dari penelitian sebelumnya. Berdasarkan apa yang telah
dipelajari tersebut akan diselidiki apakah pelabelan total ajaib sisi kuat
(strong edge magic total labeling) berlaku pada graf sikel dengan
tambahan � anting, � ≥3, � ganjil dan akan ditentukan interval nilai konstanta ajaib c, serta akan diselidiki bagaimana rumus nilai label titik
dan sisi pada pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan
tambahan � anting, � ≥3 dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib � dengan pola tertentu.
28
BAB III
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
3.1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat (Strong Edge Magic Total Labeling) pada Graf Sikel dengan Tambahan � Anting
Graf sikel dengan tambahan n anting merupakan pengembangan dari
graf sikel �� dengan menambahkan n buah titik diluar �� yang masing-masing dihubungkan dengan tepat satu titik pada �� oleh sebuah sisi. Graf sikel dengan tambahan n anting dilambangkan dengan �� +��1.
Gambar 3.1 Graf Sikel dengan Tambahan n Anting
Pada �� +��1 terdapat � buah titik dan � buah sisi pada �� serta � buah titik di luar �� dan � buah sisi yang yang masing-masing menghubungkan sebuah titik di luar �� dengan tepat satu titik pada ��. Titik dan sisi yang menjadi anting pada graf sikel tersebut merupakan titik
29
semua label sisi dihitung satu kali. Akibatnya:
� =�� + 3 (��) semua label sisi, dan �� merupakan jumlah semua label titik.
Berdasarkan Definisi 2.2.1, karena banyak titik dan sisi pada �� +��1
adalah 4�, akibatnya label titik dan sisi untuk graf tersebut adalah
1, 2, 3,…, 4�. Sedangkan banyak sisinya adalah 2�, akibatnya � = 2�.�
atau penjumlahan berulang nilai konstanta ajaib � sebanyak 2�:
30
Berdasarkan tiga kemungkinan di atas, diperoleh hasil sebagai berikut:
31
Substitusi persamaan (3.2) ke persamaan (3.1):
2��= 2� 4�+ 1 + 2.�
2(�+ 1)
� =2� 4�+ 1 +�(�+ 1) 2�
� =2 4�+ 1 + (�+ 1) 2
� =9�+ 3
2
2) Jika �1,�2,�3,…,�� diberi label �+ 1,�+ 2, �+ 3,…,2�, akibatnya:
�� �
1
= �+ 1 + �+ 2 + �+ 3 +⋯+ 2�
�� �
1
= �
2 3�+ 1 …(�.�)
Substitusi persamaan (3.3) ke persamaan (3.1):
2��= 2� 4�+ 1 + 2.�
2(3�+ 1)
� =2� 4�+ 1 +�(3�+ 1) 2�
� =2 4�+ 1 + (3�+ 1) 2
� =11�+ 3
2
32
n interval nilai c kemungkinan
33
dan � =11�+3
2 . Peneliti tidak melakukan penelitian untuk pelabelan total ajaib sisi kuat pada �� +��1 untuk � genap, maupun pelabelan total ajaib
sisi kuat pada �� +��1 untuk � ganjil dengan pola yang lain, misalnya
34
ganjil dengan nilai konstanta ajaib � =9�+3
42
Bukti:
Perhatikan ilustrasi pelabelan berikut yang dikonstruksi berdasarkan
pola pelabelan pada kasus 1 dan 2 di atas.
Gambar 3.2 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat
43
Gambar 3.3 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat
pada �� +��1, � ≥3, � = 2�+ 1,� = 2, 4, 6,…,�=
Teorema 3.1, sehingga terbukti bahwa graf sikel dengan tambahan n anting
47
3.3. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada ��+�� untuk � ≥ � dan n
Ganjil dengan �= �+�
Dalam penelitian ini diambil salah satu pola pelabelan yang memenuhi
pelabelan total ajaib sisi kuat pada�� +��1 untuk � ≥3 dan � ganjil
dengan nilai konstanta ajaib � =11�+3
49
Dari tabel di atas, pelabelan total ajaib sisi kuat pada �� +��1 untuk � ≥3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib � =11�+3
2 memiliki nilai label titik dan sisi dengan rumus sebagai berikut:
52
Bukti:
Perhatikan ilustrasi pelabelan berikut yang dikonstruksi berdasarkan
pola pelabelan di atas.
Gambar 3.6 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat
53
11�+3
54
Gambar 3.7 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �5+ 5�1, � = 29 19
14 15
6
9
7 10
8 4
3 5
2 1
13
12
18 20
17 16
��+1
�1
��
�2
�4 �3
��+3
�2�
��+4 ��+2
11
55
BAB 1V PENUTUP 4.1. Kesimpulan
Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, dapat
disimpulkan bahwa:
1. Pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel dengan tambahan n
anting untuk � ≥ 3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib c terletak
2 adalah sebagai berikut:
57
4.2. Saran
Untuk penelitian selanjutnya dapat dikembangkan hasil dari penelitian
ini antara lain:
1. Penelitian untuk menyelidiki pola pelabelan total ajaib sisi kuat pada
graf sikel dengan tambahan n anting, � ≥3 dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib 9�+3
2 <� < 11�+3
2 .
2. Penelitian untuk menyelidiki pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf
sikel dengan tambahan n anting untuk � ≥3 dan � genap.
58
DAFTAR PUSTAKA
Chartrand, Gary & Ortrud R. Oellermann. 1993. Applied and Algorithmic Graph
Theory. New York: McGraw-Hill, Inc.
Goodaire, Edgar G., & Michael M. Parmenter. 1998. Discrete Mathematics with
Graph Theory. New York: Prentice-Hall, Inc.
Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Bandung: Penerbit Informatika.
Septian, Cosmas W. 2011. Pelabelan Total Tak Ajaib Titik pada Graf Sikel
dengan Tambahan Satu Anting. Skripsi Pendidikan Matematika.
Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.
Suryadi H. S. 1996. Edisi I. Cetakan V. Teori Graf Dasar. Jakarta: Penerbit
Gunadarma.
Wallis, W. D. 2001. Magic Graph. New York: Hamilton Printing.
Yuliyanto, Benedictus D. 2012. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel
dengan Tambahan Dua Anting. Skripsi Pendidikan Matematika.
Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.