KAJIAN PUSTAKA
A. Landasan Teori
1. Pengertian Belajar
Menurut Zainal Arifin (2009: 10), belajar adalah suatu proses perubahan tingkah laku karena interaksi individu dengan lingkungan dan pengalaman. Di Kamus Besar Bahasa Indonesia (KBBI), belajar adalah kegiatan memperoleh pengetahuan melalui pengalaman. Menurut Herman (1977: 273), pengalaman adalah mengerti sesuatu secara langsung dengan akal, yang nampak jelas merupakan pembatasan daripada mengetahui. Adapun memperoleh pengetahuan adalah belajar untuk mendapatkan pengalaman, dan belajar didefinisikan sebagai proses mendapat pengetahuan. Jadi dapat disimpulkan bahwa belajar adalah suatu proses untuk mendapatkan pengetahuan/pengalaman sehingga mampu mengubah tingkah laku manusia. Unsur penting di dalam belajar adalah memori. Memori merupakan daya mengingat untuk dapat menyebutkan kembali pengalaman-pengalaman yang lampau atau secara singkat dikatakan memori merupakan kemampuan untuk mengingat. Mengingat itu sendiri merupakan kemampuan untuk mengemukakan kembali pengetahuan yang kita miliki. Dengan demikian memori adalah salah satu cara utama untuk mengembangkan pengetahuan/pengalaman
kita. Memori membantu kita untuk memperoleh pengetahuan/pengalaman baru.
Pengalaman dalam belajar matematika dapat diperoleh dari pengalaman memperhatikan penjelasan guru, yang akhirnya siswa menjadi paham atau pengalaman mengerjakan tugas, yang akhirnya memperkuat ingatan siswa akan suatu pelajaran yang sudah didapat. 2. Hakikat Belajar
Menurut Winarno Surakhmad (2010: 85) mengatakan bahwa seorang ahli psikologi bertugas menemukan fakta atau unsur-unsur pokok dari proses belajar, mengenai hubungannya dengan dasar-dasar psikologik serta pola-pola yang berlaku di dalam proses itu. Seorang ahli pendidikan lebih mengutamakan metoda serta kondisi yang mempertinggi efisiensi belajar. Untuk ini dia memperhatikan tujuan belajar. Belajar diajukan pada (1) pengumpulan pengetahuan, (2) penanaman konsep dan kecekatan, serta (3) pembentukan sikap dan perbuatan.
Belajar adalah pengalaman, mengalami berarti menghayati sesuatu peristiwa yang akan menimbulkan respon siswa. Pengalaman yang berupa pelajaran akan menghasilkan perubahan berupa pendewasaan pola tingkah-laku, pengertian, serta kekayaan informasi.
3. Metode Penugasan
Syaiful Bahri Djamarah dan Aswan Zain (2002: 96), berpendapat bahwa metode penugasan (resitasi) adalah metode penyajian bahan
dimana guru memberikan tugas tertentu agar siswa melakukan kegiatan belajar. Tugas dan resitasi tidak sama dengan pekerjaan rumah (PR), tetapi jauh lebih luas dari itu. Tugas biasanya dapat bisa dilaksanakan di rumah, di sekolah, di perpustakaan, dan di tempat lainnya. Tugas (resitasi) terdiri atas tiga fase: Pertama pendidik memberi tugas; kedua anak didik melaksanakan tugas (belajar) dan fase ketiga, anak didik “mempertanggungjawabkan” kepada pendidik apa yang ia telah pelajari. a. Fase Pemberian Tugas
Tugas yang diberikan kepada siswa hendaknya mempertimbangkan: 1) Tujuan yang akan dicapai.
2) Jenis tugas yang jelas dan tepat sehingga anak mengerti apa yang ditugaskan tersebut.
3) Sesuai dengan kemampuan siswa.
4) Ada petunjuk/sumber yang dapat membantu pekerjaan siswa. 5) Sediakan waktu yang cukup untuk mengerjakan tugas tersebut. b. Langkah Pelaksanaan Tugas
1) Diberikan bimbingan/pengawasan oleh guru. 2) Diberikan dorongan sehingga anak mau bekerja.
3) Diusahakan/dikerjakan oleh siswa sendiri, tidak menyuruh orang lain.
4) Dianjurkan agar siswa mencatat hasil-hasil yang ia peroleh dengan baik dan sistematik.
c. Fase Mempertanggungjawabkan Tugas Hal yang harus dikerjakan pada fase ini:
1) Laporan siswa baik lisan/tertulis dari apa yang telah dikerjakannya.
2) Ada tanya jawab/diskusi kelas.
3) Penilaian hasil pekerjaan siswa baik dengan tes maupun non tes atau cara lainnya.
Fase mempertanggungjawabkan tugas inilah yang disebut resitasi. Kelebihan dari metode penugasan:
1. Lebih merangsang siswa dalam melakukan aktivitas belajar individual ataupun kelompok.
2. Dapat mengembangkan kemandirian siswa di luar pengawasan guru. 3. Dapat membina tanggung jawab dan disiplin siswa.
4. Dapat mengembangkan kreativitas siswa. Kekurangan dari metode penugasan:
1. Siswa sulit dikontrol, apakah benar ia yang mengerjakan tugas ataukah orang lain.
2. Khusus untuk tugas kelompok, tidak jarang yang aktif mengerjakan dan menyelesaikannya adalah anggota tertentu saja, sedangkan anggota lainnya tidak berpartisipasi dengan baik.
3. Tidak mudah memberikan tugas yang sesuai dengan perbedaan individu siswa.
4. Sering memberikan tugas yang monoton (tak bervariasi) dapat menimbulkan kebosanan siswa (Syaiful Bahri Djamarah dan Aswan Zain, 2002: 96).
4. Pemahaman Siswa a. Pemahaman
Menurut Sardiman (2008 : 42) dalam buku Interaksi dan Motivasi Belajar Mengajar, pemahaman atau comprehension dapat diartikan menguasai sesuatu dengan pikiran. Oleh karena itu maka belajar berarti harus mengerti secara mental makna dan filosofisnya, maksud dan implikasi serta aplikasi-aplikasinya, sehingga menyebabkan siswa dapat memahami suatu situasi. Hal ini sangat penting bagi siswa yang belajar. Memahami maksudnya, menangkap maknanya, adalah tujuan akhir dari setiap belajar. Comprehension atau pemahaman, memiliki arti yang sangat mendasar yang meletakkan bagian-bagian belajar pada proporsinya. Tanpa itu, maka skill pengetahuan dan sikap tidak akan bermakna. Comprehension/pemahaman, tidak sekedar tahu, tetapi juga menghendaki agar subjek belajar dapat memanfaatkan bahan-bahan yang telah dipahami.
b. Pemahaman Konseptual
Menurut John W. Santrock (2007),pemahaman konseptual adalah aspek kunci dari pembelajaran. Salah satu tujuan pengajaran yang penting adalah membantu siswa memahami konsep utama dalam
suatu subjek, bukan sekadar mengingat fakta yang terpisah-pisah. Pemahaman konsep akan berkembang apabila guru dapat membantu siswa mengeksplorasi topik secara mendalam dan memberi mereka contoh yang tepat dan menarik dari suatu konsep. Konsep adalah bagian utama dari pemikiran.
Menurut Hahn & Ramscar (2001) dan Medin (2000) dalam John W. Santrock (2007), konsep adalah elemen dari kognisi yang membantu menyederhanakan dan meringkas informasi. Konsep tak perlu mengulang-ulang pencarian arti setiap kali kita menemukan informasi baru. Konsep juga membantu proses mengingat, membuatnya lebih efisien. Konsep bukan hanya membantu mengembalikan ingatan, tetapi juga membuat komunikasi lebih efisien. Jadi, saat guru memberi Pekerjaan Rumah (PR) matematika pada siswa, guru tidak harus menjelaskan secara detail apa itu matematika atau apa itu pekerjaan rumah. Siswa sudah ingat sejumlah asosiasi yang cocok. Jadi, konsep membantu siswa menyederhanakan dan meringkas informasi, dan meningkatkan efisiensi memori, komunikasi, dan penggunaan waktu mereka. Siswa membentuk konsep melalui pengalaman langsung dengan objek atau kejadian dalam dunia mereka. Siswa juga membentuk konsep melalui pengalaman simbol (sesuatu yang mewakili sesuatu yang lain) contohnya simbol-simbol dalam matematika.
Menurut National Council of Teachers of Mathematics (NCTM) (1989: 223), pengukuran pemahaman siswa terhadap konsep matematika dapat dilihat dari aktivitas siswa sebagai berikut: (1) mendefinisikan konsep secara verbal dan tulisan, (2) mengidentifikasi dan membuat contoh dan bukan contoh, (3) penggunakan model, diagram, dan simbol-simbol untuk merepresentasikan suatu konsep, (4) mengubah suatu bentuk representasi suatu masalah ke bentuk lain, (5) mengenal berbagai makna dan interpretasi konsep, (6) mengidentifikasi sifat suatu konsep dan mengenal syarat yang menentukan suatu konsep, dan (7) membandingkan dan membedakan konsep-konsep.
Kuhnelt H dalam buku Interdiciplinary Aspects of Physics Education (1989: 2), berpendapat bahwa pemahaman meliputi 3 indikator yaitu sebagai berikut:
(1) dapat menghubungkan pemahaman yang baru dengan pemahaman yang telah diketahui,
(2) dapat menghubungkan konsep yang tidak dikenal dengan konsep yang dikenal, dan
(3) dapat menyatakan pemahaman baru yang tidak dikenal dalam satu pikiran yang logis.
5. Pengertian Motivasi
Menurut Sardiman (2008: 73), “motif” diartikan sebagai daya upaya yang mendorong seseorang untuk melakukan sesuatu. Motif dapat
dikatakan sebagai daya penggerak dalam dan di dalam subjek untuk melakukan aktivitas-aktivitas tertentu demi mencapai suatu tujuan. Berawal dari kata “motif” itu, maka motivasi dapat diartikan sebagai daya penggerak yang telah menjadi aktif.
Menurut Mc. Donald dalam Sardiman (2008: 73), motivasi adalah perubahan energi dalam diri seseorang yang ditandai dengan munculnya ”feeling” dan didahului dengan tanggapan terhadap adanya tujuan.
Motivasi dapat juga dikatakan serangkaian usaha untuk menyediakan kondisi-kondisi tertentu, sehingga seseorang mau dan ingin melakukan sesuatu, dan bila tidak suka, maka akan berusaha untuk meniadakan atau mengelakkan perasaan tidak suka itu. Jadi motivasi itu dapat dirangsang oleh faktor dari luar tetapi motivasi itu adalah tumbuh di dalam diri seseorang. Dalam kegiatan belajar, motivasi dapat dikatakan sebagai keseluruhan daya penggerak di dalam diri siswa yang menimbulkan kegiatan belajar, yang menjamin kelangsungan dari kegiatan belajar, yang menjamin kelangsungan dari kegiatan belajar dan yang memberikan arah pada kegiatan belajar, sehingga tujuan yang dikehendaki oleh subjek belajar itu dapat tercapai. Motivasi belajar adalah merupakan faktor psikis yang bersifat non-intelektual. Peranannya yang khas adalah dalam hal penumbuhan gairah, merasa senang dan semangat untuk belajar. Siswa yang memiliki motivasi kuat, akan mempunyai banyak energi untuk melakukan kegiatan belajar. Ibaratnya seseorang itu menghadiri suatu ceramah, tetapi karena ia tidak tertarik
pada materi yang diceramahkan, maka tidak akan mencamkan, apalagi mencatat isi ceramah tersebut. Seorang siswa yang memiliki inteligensia cukup tinggi, boleh jadi gagal karena kekurangan motivasi.
6. Kebutuhan
Sardiman (2008: 76) mengatakan seseorang melakukan aktivitas karena didorong oleh adanya faktor-faktor, kebutuhan biologis, insting, dan mungkin unsur-unsur kejiwaan yang lain serta adanya pengaruh perkembangan budaya manusia. Menurut Skiner dalam Sardiman (2008: 76), aktivitas tersebut lebih cenderung merumuskan dalam bentuk mekanisme stimulus dan respons. Mekanisme hubungan stimulus dan respons inilah akan memunculkan suatu aktivitas. Kemudian dalam hubungannya dengan kegiatan belajar, yang penting bagaimana menciptakan kondisi atau suatu proses yang mengarahkan si siswa itu melakukan aktivitas belajar. Untuk dapat belajar dengan baik, diperlukan proses dan motivasi yang baik pula. Dalam hal ini, perlu ditegaskan bahwa motivasi tidak pernah dikatakan baik, apabila tujuan yang diinginkan juga tidak baik. Sebagai contoh kalau motif yang timbul untuk suatu perbuatan belajar itu, karena rasa takut akan hukuman, maka faktor-faktor yang kurang enak itu dilibatkan ke dalam situasi belajar akan menyebabkan kegiatan belajar tersebut menjadi kurang efektif dan hasilnya kurang permanen/tahan lama, kalau dibandingkan perbuatan belajar yang didukung oleh motif yang menyenangkan.
7. Model Pembelajaran Motivasional
Menurut Keller (1983) dalam Made Wena (2009: 33), mendefinisikan motivasi sebagai intensitas dan arah suatu perilaku serta berkaitan dengan pilihan yang dibuat seseorang untuk mengerjakan atau menghindari suatu tugas serta menunjukkan tingkat usaha yang dilakukannya. Mengingat usaha merupakan indikator langsung dari motivasi belajar, maka secara operasional motivasi belajar ditentukan oleh indikator-indikator sebagai berikut:
a. tingkat perhatian siswa terhadap pembelajaran,
b. tingkat relevansi pembelajaran dengan kebutuhan siswa,
c. tingkat keyakinan siswa terhadap kemampuannya dalam mengerjakan tugas-tugas pembelajaran, dan
d. tingkat kepuasan siswa terhadap proses pembelajaran yang telah dilaksanakan.
Menurut Keller (1983) Made Wena (2009: 34), motivasi belajar sebagai a general trait dan a situation-spesific state. Sebagai suatu general trait motivasi belajar diasumsikan sebagai suatu kecenderungan siswa yang relatif stabil dalam kegiatan pembelajaran, dalam arti motivasi belajar siswa bisa meningkat dan bisa menurun. Visser dan Keller (1990) dalam Made Wena (2009: 34), mengklasifikasikan motivasi belajar menjadi empat variabel, yaitu: a. perhatian (attention), b. relevansi (relevance), c. keyakinan (confidence), dan d. kepuasan (satisfaction). Strategi pembelajaran motivasional ini selanjutnya dikenal
dengan model pembelajaran ARCS yang merupakan akronim dari empat variabel tersebut Attention, Relevance, Confidence, dan Satisfaction.
Guna mengetahui seberapa besar motivasi belajar siswa dapat diketahui dari seberapa jauh perhatian siswa dalam mengikuti pelajaran; seberapa jauh siswa merasakan ada kaitan atau relevansi ini pembelajaran dengan kebutuhannya; seberapa jauh siswa merasa yakin terhadap kemampuannya dalam mengerjakan tugas-tugas pembelajaran; serta seberapa jauh siswa merasa puas terhadap kegiatan belajar yang telah dilakukan. Keempat variabel tersebut merupakan kondisi-kondisi yang nampak dalam diri siswa selama mengikuti pembelajaran.
8. Model Pembelajaran ARCS
Menurut Made Wena (2009: 36), secara garis besar ada tiga jenis strategi untuk membangkitkan dan mempertahankan perhatian siswa dalam pembelajaran, yaitu:
a. membangkitkan daya persepsi siswa, b. menumbuhkan hasrat ingin meneliti, dan
c. menggunakan strategi pembelajaran yang bervariasi.
Pada dasarnya ada tiga jenis strategi guna meningkatkan relevansi isi pembelajaran dengan kebutuhan siswa, yaitu:
a. keakraban atau kebiasaan, b. berorientasi pada tujuan, dan
Menurut Keller & Kopp (1987) dalam Made Wena (2009: 41), pada dasarnya ada tiga jenis strategi untuk menumbuhkan keyakinan pada diri siswa, yaitu:
a. prasyarat belajar, b. kesempatan sukses, dan c. kontrol pribadi.
Menurut Keller & Kopp (1987) dalam Made Wena (2009: 44), pada dasarnya ada tiga jenis strategi pengelolaan motivasional untuk membangkitkan kepuasan dalam pembelajaran, yaitu:
a. konsekuensi alami, b. konsekuensi positif, dan c. kewajaran.
9. Materi Operasi Hitung Bilangan Bulat
Bilangan bulat merupakan kumpulan bilangan negatif, nol, dan bilangan positif. Operasi hitung bilangan bulat meliputi operasi hitung penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian, perpangkatan, dan akar kuadrat pada bilangan bulat (Sukino dan Wilson Simangunsong, 2006: 2).
a. Penjumlahan
Penjumlahan bilangan bulat dapat diselesaikan menggunakan garis bilangan (Cholik Adinawan & Sugijono, 2013).
1) Tanda pada bilangan menyatakan arah, tanda positif berarti ke kanan dan tanda negatif berarti ke kiri.
2) Penjumlahan berarti melangkah maju. Contoh:
Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah: a) 5 + 3
b) 5 + (-3) c) (-5) + 3 d) (-5) + (-3) Penyelesaian:
a) Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kanan sehingga diperoleh bilangan 5, kemudian maju 3 langkah ke kanan. Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu 8.
Jadi, 5 + 3 = 8
b) Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kanan sehingga diperoleh bilangan 5, kemudian arahkan ke kiri lalu maju 3 langkah. Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu 2.
Gambar 2.1 Penyelesaian soal 5 + 3 menggunakan garis bilangan 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 5 3 8
Jadi, 5 + (-3) = 2
c) Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kiri sehingga diperoleh bilangan -5, kemudian arahkan ke kanan lalu maju 3 langkah. Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu -2.
Jadi, -5 + 3 = -2
d) Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kiri sehingga diperoleh bilangan -5, kemudian arahkan ke kanan lalu maju 3 langkah. Hasil penggabungan kedua langkah itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu -8.
Gambar 2.2 Penyelesaian soal 5 + (-3) menggunakan garis bilangan 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 5 -3 2
Gambar 2. 3 Penyelesaian soal -5 + 3 menggunakan garis bilangan 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -5 3 -2
Jadi, -5 + (-3) = -8
b. Sifat Penjumlahan (Cholik Adinawan & Sugijono, 2013) 1) Sifat Tertutup
Hitunglah setiap penjumlahan berikut ini! a. 5 + 12 b. -7 + 6 c. -15 + (-18) Penyelesaian: a. 5 + 12 = 17 b. -7 + 6 = -{7 + (-6)} = -1 c. -15 + (-18) = -(15 + 8) = -23
Berdasarkan uraian di atas, dapat dirumuskan:
Jika a dan b bilangan bulat sembarang, maka a + b juga bilangan bulat. Sifat ini dinamakan sifat tertutup penjumlahan. 2) Sifat Asosiatif
Hitunglah penjumlahan {4 + (-2)} + 9 dan 4 + (-2 + 9). Penyelesaian:
{4 + (-2)} + 9 = 2 + 9 = 11 dan 4 + (-2 + 9) = 4 + 7 = 11 Gambar 2.4 Penyelesaian soal -5 + (-3) menggunakan garis bilangan
5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 -5 -8 -3
Jadi, {4 + (-2)} + 9 = 4 + (-2 + 9) = 11
Berdasarkan contoh di atas itu dapat dikemukakan bahwa: untuk a, b, dan c bilangan bulat sembarang, berlaku:
(a + b) + c = a + (b + c). Sifat ini dinamakan sifat asosiatif penjumlahan. 3) Unsur Identitas
Jika a adalah bilangan bulat sebarang, maka berlaku:
a + 0 = 0 + a = a
Bilangan 0 dinamakan unsur identitas (elemen netral) Contoh:
Hitunglah nilai dari 7 + 0 dan 0 + (-11). Penyelesaian:
7 + 0 = 7 0 + (-11) = -11
4) Invers Operasi Hitung Penjumlahan
Invers dari suatu bilangan maksudnya lawan dari suatu bilangan. Suatu bilangan dikatakan memiliki invers jika hasil dari penjumlahan suatu bilangan dengan invers bilangan tersebut hasilnya merupakan unsur identitas 0 (nol).
Invers pada operasi hitung penjumlahan secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut:
Contoh:
i. -4 lawan dari 4 atau lawan dari 4 adalah -4, sehingga -4 + 4 = 4 + (-4) = 0
ii. -3 lawan dari 3 atau lawan dari 3 adalah -3, sehingga -3 + 3 = 3 + (-3) = 0
iii. 2 lawan dari -2 atau lawan dari -2 adalah 2, sehingga 2 + (-2) = -2 + (2) = 0
iv. 3 lawan dari -3 atau lawan dari -3 adalah 3, sehingga 3 + (-3) = -3 + (3) = 0
5) Sifat Komutatif
Jika a dan b masing-masing bilangan bulat sembarang, maka a + b = b + a.
Sifat ini dinamakan sifat komutatif penjumlahan. Contoh:
Hitunglah penjumlahan -5 + 20 dan 20 + (-5). Penyelesaian:
-5 + 20 = 15 dan 20 + (-5) = 15 Jadi, -5 + 20 = 20 + (-5) = 15 c. Pengurangan
Pengurangan pada bilangan bulat juga dapat dilakukan dengan menggunakan garis bilangan (Cholik Adinawan & Sugijono, 2013).
Aturan pengurangan pada garis bilangan adalah sebagai berikut:
1) Tanda pada bilangan menyatakan arah, tanda positif berarti ke kanan dan tanda negatif berarti ke kiri.
2) Pengurangan berarti melangkah mundur.
Dengan menggunakan garis bilangan, hitunglah: a) 5 – 3
b) 5 – (-3) c) -5 – 3 d) -5 – (-3) Penyelesaian:
i. Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kanan sehingga diperoleh bilangan 5, lalu mundur 3 langkah ke kiri. Selisih kedua bilangan itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu 2.
Jadi, 5 – 3 = 2.
ii. Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kanan sehingga diperoleh bilangan 5, kemudian arahkan ke kiri lalu mundur 3 langkah. Selisih kedua bilangan itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu 8.
5
Gambar 2.5 Penyelesaian soal 5 – 3 menggunakan garis bilangan 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 2 3
Jadi, 5 – (-3) = 8.
iii.Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kiri sehingga diperoleh bilangan -5, kemudian arahkan ke kanan lalu mundur 3 langkah. Selisih kedua bilangan itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu -8.
Jadi, -5 – (3) = -8
.
iv.Dari bilangan 0 arahkan 5 langkah ke kanan sehingga diperoleh bilangan 5, kemudian arahkan ke kiri lalu mundur 3 langkah. Selisih kedua bilangan itu ditunjukkan oleh angka yang terletak pada ujung langkah kedua, yaitu -2.
.
Gambar 2.6 Penyelesaian soal 5 – (-3) menggunakan garis bilangan 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 5 8 3
Gambar 2.7 Penyelesaian soal -5 – (-3) menggunakan garis bilangan 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 5 3 -8
Gambar 2.8 Penyelesaian soal 5 – (-3) menggunakan garis bilangan 8 7 6 5 4 3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 -5 -6 3 5 8
Jadi, 5 – (-3) = 8.
d. Pengurangan sebagai Penjumlahan dengan Lawan Bilangan Pengurangnya (Cholik Adinawan & Sugijono, 2013)
Contoh:
i) 5 – 2 dapat dituliskan kedalam bentuk penjumlahan yaitu 5 ditambah dengan lawan dari bilangan 2 yaitu -2.
Sehingga 5 – 2 dapat dituliskan menjadi 5 + (-2).
ii) -5 – 2 dapat dituliskan kedalam bentuk penjumlahan yaitu - 5 ditambah dengan lawan dari bilangan 2 yaitu -2.
Sehingga -5 – 2 dapat dituliskan menjadi -5 + (-2).
iii) 5 – (-2) dapat dituliskan kedalam bentuk penjumlahan yaitu 5 ditambah dengan lawan dari bilangan -2 yaitu 2.
Sehingga 5 – (-2) dapat dituliskan menjadi 5 + 2. iv)-5 – (-2) dapat dituliskan kedalam bentuk penjumlahan
yaitu -5 ditambah dengan lawan dari bilangan -2 yaitu 2. Sehingga -5 – (-2) dapat dituliskan menjadi -5 + 2. Penyelesaian: i) 5 – 2 = 3 dan 5 + (-2) = 3 Jadi, 5 – 2 = 5 + (-2) = 3 ii) -5 – 2 = -7 dan -5 + (-2) = -7 Jadi, -5 – 2 = -5 + (-2) = -7 iii)5 – (-2) = 7 dan 5 + 2 = 7 Jadi, 5 – (-2) = 5 + 2 = 7
iv)-5 – (-2) = -3 dan -5 + 2 = -3 Jadi, -5 – (-2) = -5 + 2 = -3
Dengan demikian, untuk setiap bilangan bulat a dan b selalu berlaku:
a–b = a + (-b)
Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan bahwa:
Mengurangkan suatu bilangan bulat dengan bilangan bulat yang lain ekuivalen dengan menambah bilangan yang pertama dengan lawan atau invers jumlah dari bilangan kedua.
e. Sifat Pengurangan (Cholik Adinawan & Sugijono, 2013) 1) Sifat Tertutup
Jika a dan b adalah bilangan bulat, maka hasil dari a – b selalu bilangan bulat.
Contoh:
Hitunglah bentuk 15 – 6 dan -4 – 7! Penyelesaian:
15 – 6 = 9
-4 – 7 = -(4 + 7) = -11
Jadi, pengurangan antar bilangan bulat bersifat tertutup. 2) Sifat Asosiatif
Jika a, b, dan c bilangan bulat, maka tidak berlaku (a –b) –c = a– (b–c).
Contoh:
Penyelesaian:
(6 – 4) – 3 = 2 – 3 = -1 dan 6 – (4 – 3) = 6 – 1 = 5 Jadi, (6 – 4) – 3 6 – (4 – 3)
Jadi, sifat asosiatif tidak berlaku pada pengurangan bilangan bulat. 3) Sifat Komutatif
Jika a dan b bilangan bulat sembarang, maka tidak berlaku hubungan a –b = b–a. Contoh: Hitunglah 5 – 2 dan 2 – 5. Penyelesaian: 5 – 2 = 3 dan 2 – 5 = -3 Jadi, 5 – 2 2 – 5
Jadi, pada pengurangan tidak berlaku sifat-sifat komutatif. f. Perkalian pada bilangan bulat
Perkalian adalah operasi penjumlahan berulang dengan bilangan yang sama. Perhatikan contoh berikut! (Cholik Adinawan & Sugijono, 2013).
4 5 = 5 + 5 + 5 + 5 = 20 5 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 20
Meskipun hasilnya sama, perkalian 4 5 dan 5 4 berbeda makna. Secara umum, dapat dituliskan sebagai berikut.
Jika n adalah sebarang bilangan bulat positif maka
n a = a + a + a + ... + a
sebanyak n suku
g. Sifat-sifat perkalian pada bilangan bulat (Cholik Adinawan & Sugijono, 2013)
1) Sifat tertutup
Jika a dan b adalah sembarang bilangan bulat maka a b juga bilangan bulat. Hal ini berarti perkalian antara bilangan bulat memenuhi sifat tertutup.
Contoh: 3 8 = 24 3 (–8) = -24 (–3) 8 = -24 (–3) (–8) = 24 2) Sifat asosiatif
Jika a, b, dan c adalah sembarang bilangan bulat maka berlaku (a b) c = a (b c). Sifat ini disebut sifat asosiatif (pengelompokan) perkalian. Contoh: a) 3 (–2 4) = –24 (3 (–2)) 4 = –24 b) (–2 6) 4 = –48 –2 (6 4) = –48
3) Memiliki elemen identitas
Jika a adalah sembarang bilangan bulat maka berlaku
a 1 = 1 a = a. Bilangan 1 (satu) disebut elemen identitas pada perkalian. Contoh: a) 3 1 = 3 1 3 = 3 b) (–4) 1 = –4 1 (–4) = –4
4) Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku: a) a (b + c) = (a b) + (a c) (distributif kiri) b) (a + b) c = (a c) + (b c) (distributif kanan) Contoh: i) 2 (4 + (–3)) = 2 (2 4) + (2 (–3)) = 2 ii) (–8 + 5) (–3) = 9 ((–8) (–3)) + (5 (–3)) = 9
5) Sifat distributif perkalian terhadap pengurangan
Untuk sembarang bilangan bulat a, b, dan c selalu berlaku: a) a (b c) = (a b) (a c) (distributif kiri) b) (a b) c = (a c) (b c) (distributif kanan)
Contoh: i. 5 (8 – (–3)) = 55 (5 8) – (5 (–3)) = 55 ii. (–7 – 4) 6 = –66 (–7 6) – (4 6) = –66 6) Sifat komutatif
Jika a dan b adalah sembarang bilangan bulat maka selalu berlaku a b = b a. Sifat ini disebut sifat komutatif (pertukaran) pada perkalian. Contoh: a) 2 (–5) = –10 (–5) 2 = –10 b) (–3) (–4) = 12 (–4) (–3) = 12
h. Menghitung hasil perkalian bilangan bulat
Bentuk umum dari perkalian bilangan bulat adalah sebagai berikut: Jika p dan q adalah bilangan bulat maka:
a) p q = pq;
b) p (–q) = –(p q)
Akan dibuktikan p (–q) = –(p q) Bukti:
p 0 = 0
q + ( ) = 0)
(p q) + (p ( q)) = 0 (distributif perkalian terhadap penjumlahan)
(p q) + (p ( q)) = (p q) + ( (p q)) (manipulasi aljabar dengan (p q) + ( (p q)) = 0) p ( q) = (p q) (kedua ruas dikurangi p q ) c) (–p) q = –(p q) = –pq;
Akan dibuktikan bahwa (–p) q = –(p q) Bukti:
(–p) q = q (–p) (sifat komutatif pada perkalian) = –(q p) (pembuktian b)
= –(p q) = –pq; (sifat komutatif pada perkalian) d) (–p) (–q) = p q = pq.
Akan dibuktikan (–p) (–q) = p q Bukti:
(–p) (–q) = –(p (–q)) (sifat asosiatif pada perkalian) = –(–(p q)) (pembuktian b)
= (p q) (invers penjumlahan) i. Pembagian Bilangan Bulat
Pembagian merupakan operasi kebalikan (invers) dari perkalian. Secara umum dapat ditulis sebagai berikut.
Jika p, q, dan r bilangan bulat, dengan q faktor p, dan q 0 maka berlaku
p : q = r jika dan hanya jika p = q r.
Contoh:
Perhatikan uraian berikut. a) 3 4 = 4 + 4 + 4 = 12
Di lain pihak, 12 : 3 = 4 atau dapat ditulis 1 4 = 12 12 : 3 = 4.
4 3 = 3 + 3 + 3 + 3 = 12
Di lain pihak, 12 : 4 = 3, sehingga dapat ditulis 4 3 = 12 12 : 4 = 3
j. Menghitung hasil pembagian bilangan bulat
Untuk setiap p, q, r bilangan bulat, q 0 dan memenuhi p : q = r berlaku
1) jika p, q bertanda sama, r adalah bilangan bulat positif; 2) jika p, q berlainan tanda, r adalah bilangan bulat negatif.
k. Pembagian dengan bilangan nol
Untuk setiap a bilangan bulat berlaku a 0 = 0 0 : a = 0
Jadi, dapat dituliskan sebagai berikut:
Untuk setiap bilangan bulat a, berlaku 0 : a = 0; a 0.
Hal ini tidak berlaku jika a = 0, karena 0 : 0 = tidak terdefinisi.
l. Perpangkatan Bilangan Bulat (Husein Tampomas, 2007)
Perpangkatan suatu bilangan artinya perkalian berulang dengan bilangan yang sama.
Contoh: 21 = 2
22 = 2 2 (22 dibaca 2 kuadrat atau 2 pangkat 2) = 4
23 = 2 2 2 (23 dibaca 2 pangkat 3) = 8
2n = 2 2 2 ... 2 (2n dibaca 2 pangkat n) Secara umum dapat dituliskan sebagai berikut: pn = p p p ... p (p sebanyak n kali)
Dengan p disebut bilangan pokok dan n disebut pangkat (eksponen). Untuk p 0 maka p0 = 1 dan p1 = p.
Pada perpangkatan bilangan bulat pn, perhatikan bilangan pokoknya. pn = p p p ... p (p sebanyak n kali)
-pn = -(p p p ... p) (p sebanyak n kali)
(-p)n = (-p) (-p) (-p) ... (-p) (-p sebanyak n kali) m.Sifat-Sifat Bilangan Berpangkat (Husein Tampomas, 2007)
1) Sifat perkalian bilangan berpangkat Contoh: 32 33 = (3 3) (3 3 3) = 3 3 3 3 3 = 35 2 faktor 3 faktor (2 + 3) faktor
Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka pm pn = (p p ... p) (p p ... p)
= p p ... p p p ... p
= pm + n
pm pn = pm + n
2) Sifat pembagian bilangan berpangkat
Perhatikan pembagian bilangan bulat berpangkat berikut. 55 : 53 = (5 5 5 5 5) : (5 5 5)
= 5 5
= 52
Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat maka pm : pn = (p p ... p) : (p p ... p)
= p p ... p
= pm - n pm : pn = pm – n
3) Sifat perpangkatan bilangan berpangkat
Perhatikan perpangkatan bilangan bulat berpangkat berikut. n faktor (m + n) faktor m faktor 5 faktor 3 faktor (5 – 3) faktor m faktor n faktor (m – n)faktor
=
= (2 2) (2 2) (2 2) = 2 2 2 2 2 2 = 26
Jika m, n bilangan bulat positif dan p bilangan bulat positif maka
= ...
= (p p ... p) (p p ... p) (p p ... p) = (p p ... p p p ... p p p ... p) =
=
4) Sifat perpangkatan suatu perkalian atau pembagian Perhatikan uraian berikut.
(5 2)3 = 103 = 10 10 10 = 1.000 (5 2)3 = 53 23 = 125 8 = 1.000 (2 3)2 = 62 = 36
(2 3)2 = 22 32 = 4 9 = 36
Berdasarkan uraian di atas, dapat dituliskan sebagai berikut. Jika m bilangan bulat positif dan p, q bilangan bulat maka (p q)m = (p q) (p q) ... (p q)
= (p p ... p) (p p ... p) =
n. Akar Kuadrat Utama Bilangan Bulat
Akar kuadrat adalah kebalikan dari pangkat dua. Setiap bilangan posiif mempunyai dua akar kuadrat. Misalnya, dua akar kuadrat dari 9 adalah 3 dan 3, dua akar dari 100 adalah 10 dan 10. Untuk a 0, lambang , disebut akar kuadrat utama dari a, yang menunjukan akar kuadrat tak negatif dari a. Jadi = 3 dan
