Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Max-Plus

1.8 Sistem Persamaan Linear Atas Aljabar Max-Plus

1.8.2 Karakterisasi Penyelesaian Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Max-Plus

34

Berdasarkan [17] telah dijelaskan mengenai karakterisasi penyelesaian sistem persamaan linear atas aljabar max-plus sebagai berikut :

Diberikan sistem persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 dengan 𝐴 ∈ ℝ_max𝑚×𝑛, 𝒙 ∈ ℝ_max𝑛 dan 𝒃 ∈ ℝ_max𝑚 . Sistem persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 yang terdiri dari 𝑛 persamaan dan 𝑛 peubah dapat ditulis dalam bentuk perkalian matriks sebagai berikut

𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 [ 𝑎₁₁ 𝑎₁₂ … 𝑎_1𝑛 𝑎21 𝑎22 … 𝑎2𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 … 𝑎𝑛𝑛 ] ⊗ [ 𝑥₁ 𝑥2 ⋮ 𝑥𝑛 ] = [ 𝑏₁ 𝑏₂ ⋮ 𝑏_𝑛 ] atau (𝑎₁₁⊗ 𝑥₁) ⊕ (𝑎₁₂⊗ 𝑥₂) ⊕ … ⊕ (𝑎_1𝑛⊗ 𝑥_𝑛) = 𝑏₁ (𝑎21 ⊗ 𝑥1) ⊕ (𝑎22⊗ 𝑥2) ⊕ … ⊕ (𝑎2𝑛⊗ 𝑥𝑛) = 𝑏2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ (𝑎_𝑛1⊗ 𝑥₁) ⊕ (𝑎_𝑛2⊗ 𝑥₂) ⊕ … ⊕ (𝑎_𝑛𝑛 ⊗ 𝑥_𝑛) = 𝑏_𝑛

Kasus yang pertama dibahas ada suatu penyelesaian dan beberapa elemen dari 𝒃

adalah 𝜀. Tanpa menghilangkan keumumannya, persamaan dapat disusun ulang sehingga elemen-elemen yang berhingga disusun dengan urutan yang pertama, didapat : [ 𝑎1,1 𝑎1,2 … 𝑎1,𝑛 𝑎_2,1 𝑎_2,2 … 𝑎_2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎_𝑛,1 𝑎_𝑛,2 … 𝑎_𝑛,𝑛 ] ⊗ [ 𝑥₁ 𝑥₂ ⋮ 𝑥_𝑛 ] = [ 𝑏₁ ⋮ 𝑏_𝑘 −∞ ⋮ −∞]

dapat dituliskan sebagai :

(𝑎1,1 ⊗ 𝑥₁) ⊕ (𝑎1,2⊗ 𝑥₂) ⊕ … ⊕ (𝑎1,𝑛⊗ 𝑥_𝑛) = 𝑏1 ⋮ (𝑎_𝑘,1⊗ 𝑥₁) ⊕ (𝑎_𝑘,2⊗ 𝑥₂) ⊕ … ⊕ (𝑎_𝑘,𝑛 ⊗ 𝑥_𝑛) = 𝑏_𝑘 (𝑎𝑘+1,1⊗ 𝑥1) ⊕ (𝑎𝑘+1,2⊗ 𝑥2) ⊕ … ⊕ (𝑎𝑘+1,𝑛⊗ 𝑥𝑛) = −∞ ⋮ (𝑎_𝑛,1⊗ 𝑥₁) ⊕ (𝑎𝑛,2⊗ 𝑥₂) ⊕ … ⊕ (𝑎𝑛,𝑛⊗ 𝑥_𝑛) = −∞

Lakukan penomoran ulang pada peubah untuk 𝑗 sehingga

35 terjadi pertama, didapatkan

[ 𝐴₁ 𝐴₂ −∞ ⋯ −∞ ⋮ ⋱ ⋮ −∞ ⋯ −∞ ^𝐴3 ] ⊗ [ 𝑥₁ ⋮ 𝑥_𝑙 𝑥_𝑙+1 ⋮ 𝑥𝑛 ] = [ 𝑏₁ ⋮ 𝑏_𝑘 −∞ ⋮ −∞]

dengan matriks 𝐴1 berukuran 𝑘 × 𝑙. Misalkan :

𝒃̅ = [^𝑏⋮¹

𝑏_𝑘^{] dan 𝒙̅ = [} 𝑥1

⋮ 𝑥_𝑙^]

Catatan bahwa : 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 mempunyai penyelesaian, maka 𝑥_𝑙+1, … , 𝑥_𝑛 = −∞ dan 𝐴₁⊗ 𝒙̅ = 𝒃̅. Jadi 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 mempunyai penyelesaian bila dan hanya bila 𝒙̅ adalah penyelesaian dari 𝐴₁⊗ 𝒙̅ = 𝒃̅ dan penyelesaian dari 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃

adalah 𝒙 = [ 𝒙̅ −∞ ⋮ −∞ ]

Oleh karena itu, penyelesaian dari 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃dengan beberapa elemen 𝒃takhingga dapat direduksi ke bentuk 𝐴₁⊗ 𝒙̅ = 𝒃̅dengan semua elemen dari 𝒃̅ berhingga. Jadi pembahasan persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 dapat ditekankan pada semua elemen 𝒃

berhingga. Bila 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 mempunyai penyelesaian, maka:

𝑎_𝑖𝑗 ⊗ 𝑥_𝑗 ≤ 𝑏_𝑖, ∀𝑖 ∈ 𝑛, 𝑗 ∈ 𝑛

jika dituliskan secara terpisah untuk setiap 𝑖 didapat

𝑎𝑖1 + 𝑥1≤ 𝑏1 atau 𝑥1 ≤ 𝑏1− 𝑎𝑖1 didapat 𝑥1≤ 𝑏1− 𝑎11 𝑥₁ ≤ 𝑏₂ − 𝑎₂₁ ⋮ 𝑥1 ≤ 𝑏𝑛− 𝑎𝑛1 atau 𝑥₁ ≤ min{(𝑏₁ − 𝑎₁₁), (𝑏₂− 𝑎₂₁), … , (𝑏_𝑛 − 𝑎_𝑛1) }

Jadi, jika sistem mempunyai penyelesaian maka harus memenuhi

36

dengan demikian penyelesaian 𝑥 yang mungkin memenuhi

𝑥₁ ≤ min{(𝑏₁ − 𝑎₁₁), (𝑏₂− 𝑎₂₁), … , (𝑏_𝑛 − 𝑎_𝑛1) } 𝑥2 ≤ min{(𝑏1− 𝑎12), (𝑏₂− 𝑎22), … , (𝑏_𝑛 − 𝑎𝑛2) }

⋮

𝑥_𝑛 ≤ min{(𝑏₁− 𝑎_1𝑛), (𝑏₂− 𝑎_2𝑛), … , (𝑏_𝑛 − 𝑎_𝑛𝑛) }

Jadi calon penyelesaian dari 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 yang dinotasikan dengan𝒙̅ adalah

𝒙̅ = [ 𝑥̅₁ 𝑥̅2 ⋮ 𝑥̅_𝑛 ], dengan 𝑥₁ = min{(𝑏₁ − 𝑎₁₁), (𝑏₂− 𝑎₂₁), … , (𝑏_𝑛− 𝑎_𝑛1) } 𝑥₂ = min{(𝑏₁− 𝑎₁₂), (𝑏₂− 𝑎₂₂), … , (𝑏_𝑛 − 𝑎_𝑛2) } ⋮ 𝑥_𝑛 = min{(𝑏₁− 𝑎_1𝑛), (𝑏₂− 𝑎_2𝑛), … , (𝑏_𝑛 − 𝑎_𝑛𝑛) }

Selanjutnya didefinisikan matriks “discrepancy” (ketidaksesuaian) dinotasikan

𝐷_𝐴,𝑏 dengan 𝐷_𝐴,𝑏 = [ 𝑏1− 𝑎11 𝑏1− 𝑎12 … 𝑏1− 𝑎1𝑛 𝑏₂− 𝑎₂₁ 𝑏₂− 𝑎₂₂ ⋮ 𝑏₂− 𝑎_2𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑏𝑛− 𝑎𝑛1 𝑏𝑛 − 𝑎𝑛2 … 𝑏𝑛− 𝑎𝑛𝑛 ]

minimum dari setiap kolom 𝐷_𝐴,𝑏 adalah elemen dari 𝒙̅.

Selanjutnya didefinisikan matriks tereduksi ketaksesuaian 𝑅_𝐴,𝑏 sebagai berikut :

𝑅𝐴,𝑏 = [𝑟𝑖,𝑗]

dengan

𝑟_𝑖,𝑗 = {_{0 , yang lainnya} ^{1, jika 𝑑𝑖,𝑗 = minimum dari kolom ke − j}

Dalam hal ini matriks 𝐷_𝐴,𝑏 dan 𝑅_𝐴,𝑏 dapat digunakan untuk menentukan perilaku penyelesaian dari sistem persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃. Dengan demikian dapat diketahui kekonsistenan dan ketunggalan dari penyelesaian 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃.

Berikut diberikan contoh kasus penyelesaian sistem persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃. Contoh 2.26 Kasus 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 mempunyai penyelesaian tunggal

37 Selesaikan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃,jika 𝐴 = [−4 18 −8^{1 −9 4} 2 1 −4] , 𝑥 = [^𝑥𝑥12 𝑥3 ] dan , 𝑏 = [−6¹ −3^]

didapatkan matriks 𝐷_𝐴,𝑏 dan 𝑅_𝐴,𝑏 sebagai berikut :

𝐷𝐴,𝑏 = [−2 −24^{0 10 −3}2

−5 −4 1 ^{] dan 𝑅𝐴,𝑏 = [}

0 0 1 0 1 0 1 0 0^]

terlihat bahwa setiap kolom matriks 𝑅𝐴,𝑏 hanya terdapat tepat satu elemen bernilai 1. Hal ini menandakan bahwa 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 hanya mempunyai tepat satu penyelesaian 𝒙̅ dengan elemen-elemennya adalah minimum dari setiap kolom matriks 𝐷_𝐴,𝑏 yaitu

𝒙̅ = [−24⁻⁵ −3 ^]

hal ini bisa di cek sebagai berikut :

𝐴 ⊗ 𝒙̅ = [−4 18 −8^{1 −9 4} 2 1 −4] ⊗ [−24⁻⁵ −3] = [𝑚𝑎𝑥(−9, −6, −11)^{𝑚𝑎𝑥(−4, −33,1)} 𝑚𝑎𝑥(−3, −23, −7)^{] = [} 1 −6 −3] = 𝒃. Dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa :

 Pada baris pertama nilai maksimum dicapai hanya satu kali, dengan demikian persamaan baris pertama menetapkan elemen 𝑥3 = −3.

 Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris kedua menetapkan elemen 𝑥2 = −24.

 Pada baris ketiga didapatkan nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris ketiga menetapkan elemen 𝑥₁ = −5.

Setiap elemen-elemen yang sudah dipilih ini tidak bisa diubah, bila diubah yang lain maka akan membentuk pertaksamaan. Karena pada keseluruhan baris nilai maksimum hanya dicapai satu kali, maka hanya terdapat satu cara untuk mencapai persamaan pada semua baris yaitu dengan menetapkan elemen 𝑥₁ = −5,

𝑥₂ = −24, 𝑥₃ = −3. Dengan demikian persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 memiliki penyelesaian tunggal.

38 Selesaikan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃, jika 𝐴 = [−4 18 −8^{1 −9 4} 2 1 −4] , 𝑥 = [^𝑥𝑥12 𝑥3 ] dan , 𝑏 = [²1 3^]

didapatkan matriks 𝐷_𝐴,𝑏 dan 𝑅_𝐴,𝑏 sebagai berikut :

𝐷𝐴,𝑏 = [¹5 −17^{11 −2}9

1 2 7 ^{] dan 𝑅𝐴,𝑏 = [}

1 0 1 0 1 0 1 0 0^]

terlihat bahwa setiap kolom matriks 𝑅𝐴,𝑏 terdapat setidaknya satu elemen bernilai 1, sedangkan pada baris ke-1 terdapat nilai 1 lebih dari satu. Hal tersebut menandakan bahwa 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 mempunyai banyak penyelesaian 𝒙̅. Elemen-elemen minimum dari setiap kolom matriks 𝐷𝐴,𝑏 yaitu

𝒙̅ = [−17¹ −2 ^]

Hal ini bisa di cek sebagai berikut :

𝐴 ⊗ 𝒙̅ = [−4 18 −8^{1 −9 4} 2 1 −4] ⊗ [−17¹ −2 ] = [𝑚𝑎𝑥(−3, 1, −10)^{𝑚𝑎𝑥(2, −26, 2)} 𝑚𝑎𝑥(3, −16, −6)^{] = [} 2 1 3] = 𝒃. dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa :

 Pada baris pertama nilai maksimum dicapai dua kali yaitu pada saat elemen

𝑥1 = 1 dan elemen 𝑥3 = −2.

 Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris kedua menetapkan elemen 𝑥2= −17.

 Pada baris ketiga nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris ketiga menetapkan elemen 𝑥₁ = 1.

Elemen-elemen yang sudah dipilih yaitu 𝑥₂ = −17 dan 𝑥₁ = 1 tidak bisa diubah, bila diubah yang lain maka baris kedua dan ketiga akan membentuk pertaksamaan. Karena persamaan baris ketiga telah menetapkan 𝑥₁ = 1, maka dengan menetapkan elemen 𝑥₃ < −2 pada baris pertama tetap membentuk persamaan dan tidak akan mengubah persamaan pada baris lain. Sehingga persamaan pada semua baris akan tercapai dengan menetapkan elemen 𝑥₁ = 1, 𝑥₂ = −17, 𝑥₃ < −2. Dengan demikian 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃memiliki penyelesaian tak hingga banyak yaitu

39

𝒙̅ = [−17¹

𝑝₃ ] untuk setiap 𝑝3 < −2

Contoh 2.28. Kasus 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 tidak mempunyai penyelesaian

Selesaikan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃,jika 𝐴 = [−4 18 −8^{1 −9 4} 2 1 −4] , 𝑥 = [^𝑥𝑥¹2 𝑥₃^{] dan , 𝑏 = [} 1 2 3^]

didapatkan matriks 𝐷_𝐴,𝑏 dan 𝑅_𝐴,𝑏 sebagai berikut :

𝐷_𝐴,𝑏 = [⁰6 −16 10^{10 −3}

1 2 7 ^{] dan 𝑅𝐴,𝑏 = [}

1 0 1 0 1 0 0 0 0^]

Terlihat bahwa tidak semua kolom matriks 𝑅_𝐴,𝑏 setidaknya memuat satu elemen bernilai 1, yaitu pada baris ke-3 semua elemennya bernilai 0. Hal tersebut menandakan bahwa 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃tidakmempunyai penyelesaian.

Elemen-elemen minimum dari setiap kolom matriks 𝐷_𝐴,𝑏 yaitu

𝒙̅ = [−16⁰ −3 ^]

Selanjutnya bisa di cek bahwa :

𝐴 ⊗ 𝒙̅ = [_{−4 18 −8}^{1 −9 4} 2 1 −4] ⊗ [−16⁰ −3 ] = [𝑚𝑎𝑥(−4, 2, −11)^{𝑚𝑎𝑥(1, −25, 1)} 𝑚𝑎𝑥(2, −15, −7)^{] = [} 1 2 2] < [¹2 3] = 𝒃. Dari hal tersebut dapat dijelaskan bahwa :

 Pada baris pertama nilai maksimum dicapai dua kali yaitu pada saat elemen

𝑥₁ = 0 dan elemen 𝑥₃ = −3.

 Pada baris kedua nilai maksimum dicapai hanya satu kali. Dengan demikian persamaan baris kedua menetapkan elemen 𝑥2= −17.

 Pada baris ketiga tidak terdapat elemen yang dapat mencapai nilai maksimum yang bisa membentuk persamaan, sehingga baris ketiga membentuk pertaksamaan. Oleh karena itu persamaan pada baris ketiga tidak tercapai. Dengan demikian 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃tidakmempunyai penyelesaian.

40

Berdasarkan Contoh 2.26 sampai 2.28 didapatkan matriks 𝑅_𝐴,𝑏 untuk penyelesaian tunggal, tak hingga banyak dan tidak mempunyai penyelesaian sebagai berikut :

Solusi tunggal Solusi tak hingga banyak Tidak mempunyai penyelesaian 𝐷_𝐴,𝑏 = [−2 −24^{0 10 −3}2 −5 −4 1 ^{] 𝐷𝐴,𝑏 = [} 1 11 −2 5 −17 9 1 2 7 ^{] 𝐷𝐴,𝑏 = [} 0 10 −3 6 −16 10 1 2 7 ^] 𝑅_𝐴,𝑏 = [^{0 0 1}0 1 0 1 0 0^{] 𝑅𝐴,𝑏 = [} 1 0 1 0 1 0 1 0 0^{] 𝑅𝐴,𝑏 = [} 0 1 0 1 0 1 0 0 0^]

Berikut diberikan Teorema mengenai beberapa hal yang telah dibahas.

Teorema 2.3 [17]. Diberikan persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 dengan 𝐴 ∈ ℝ_max𝑚×𝑛, 𝒙 ∈ ℝ_max𝑛 dan 𝒃 ∈ ℝ_max𝑚 . Bila suatu baris dari matriks 𝑅_𝐴,𝑏 semua elemennya bernilai

0, maka persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 tidak punya penyelesaian. Bila setidaknya pada setiap baris matriks 𝑅𝐴,𝑏 paling sedikit memuat sebuah elemen bernilai 1, maka

𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃mempunyai penyelesaian.

Bukti.

Tanpa menghilangkan keumuman, misalkan baris ke-𝑘 dari 𝑅_𝐴,𝑏 semua elemennya bernilai 0 dan andaikan bahwa 𝒙̅adalah suatu penyelesian dari persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃, maka:

𝒙̅_𝑗 ≤ 𝑚𝑖𝑛{𝑏_𝑙 − 𝑎_𝑙,𝑗} < (𝑏𝑘− 𝑎_𝑘,𝑗), ∀𝑙 ∈ 𝑛.

Jadi 𝒙̅_𝑗+ 𝑎_𝑘,𝑗< 𝑏_𝑘 untuk semua 𝑗. Dengan demikian 𝒙̅ tidak memenuhi persamaan ke- 𝑘. Hal ini bertentangan dengan 𝒙̅ adalah suatu penyelesaian dari

𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃. Jadi 𝒙̅bukan penyelesaian dari 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃sehingga 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃tidak punya penyelesaian. Berikutnya, andaikan 𝒙̅ bukan penyelesaian dari 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃

maka 𝒙̅_𝑗< 𝑏_𝑘− 𝑎_𝑘,𝑗 untuk semua 𝑘, 𝑗. Jadi :

𝑚𝑎𝑥{𝑎_𝑘,𝑗+ 𝒙̅_𝑗} ≤ 𝑏𝑘, ∀𝑗 ∈ 𝑛

dan bila 𝒙̅bukan penyelesaian dari 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃, maka ada suatu 𝑘 dengan

𝑚𝑎𝑥{𝑎_𝑘,𝑗+ 𝒙̅_𝑗} < 𝑏𝑘, ∀𝑗 ∈ 𝑛

karena

41

maka tidak ada elemen di baris ke- 𝑘 pada matriks 𝑅_𝐴,𝑏 yang bernilai 1. Hal ini bertentangan bahwa setiap baris dari matriks 𝑅𝐴,𝑏 setidaknya memuat elemen yang bernilai 1. Jadi haruslah 𝒙̅ adalah suatu penyelesaian dari 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃. ∎

Teorema 2.3 tersebut menjelaskan eksistensi dari penyelesaian 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃. Eksistensi tersebut belum menjelaskan bilamana 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 memiliki penyelesaiaan tunggal dan tidak tunggal. Untuk hal tersebut diperlukan definisi sebagai berikut :

Definisi 2.25 [17]. Elemen bernilai 1 pada suatu baris 𝑅_𝐴,𝑏 dinamakan elemen peubah tetap bila nilai 1 hanya muncul sekali pada baris tersebut atau bila nilai 1 berada pada kolom yang sama seperti halnya nilai 1 hanya satu-satunya pada baris tersebut. Sedangkan sisa nilai 1 lainnya dinamakan elemen slack.

Berikut ini diberikan matriks 𝑅_𝐴,𝑏 yang didapat dari Contoh 2.26 dan 2.27 untuk mempertegas Definisi 2.25 mengenai elemen peubah tetap dan elemen slack.

Solusi tunggal Solusi tak hingga banyak

𝑅𝐴,𝑏 = [ 0 0 𝟏 0 𝟏 0 𝟏 0 0^{] 𝑅𝐴,𝑏 = [} 𝟏 0 1 0 𝟏 0 𝟏 0 0^]

Dari tabel tersebut dapat dijelaskan beberapa hal sebagai berikut : Berdasarkan Contoh 2.26 didapat matriks

𝐷_𝐴,𝑏 = [−2 −24^{0 10 −3}2

−5 −4 1 ^{] dan 𝑅𝐴,𝑏 = [}

0 0 𝟏 0 𝟏 0 𝟏 0 0^]

semua elemen 𝟏 adalah peubah tetap. Persamaan baris pertama menetapkan elemen

𝑥₃ = −3, Persamaan baris kedua menetapkan elemen 𝑥₂ = −24, dan Persamaan baris ketiga menetapkan elemen 𝑥₁ = −5. Setiap elemen-elemen yang sudah dipilih tidak bisa diubah, bila diubah maka tidak akan memenuhi 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃. Berdasarkan Contoh 2.27 didapat matriks

42 𝐷𝐴,𝑏 = [¹5 −17^{11 −2}9 1 2 7 ^{] dan 𝑅𝐴,𝑏 = [} 𝟏 0 1 0 𝟏 0 𝟏 0 0^]

semua elemen 𝟏 adalah peubah tetap. Sedangkan sisa nilai 1 lainnya dinamakan elemen slack. Pada Contoh 2.26 terdapat satu elemen slack. Pada baris pertama terdapat dua kemungkinan yaitu menetapkan elemen 𝑥₁atau 𝑥₃. Persamaan baris kedua menetapkan elemen 𝑥₂, dan persamaan baris ketiga telah menetapkan elemen

𝑥₁. Karena elemen 𝑥₁ tidak bisa dirubah, maka pada baris pertama dengan menetapkan elemen 𝑥3 < −2 akan membentuk persamaan karena maksimum hanya dicapai satu kali dan tidak akan mengubah persamaan lain. Dengan demikian, dengan menetapkan 𝑥₁= 1, 𝑥₂ = −17 dan 𝑥₃ <_𝑣− 2 persamaan semua baris selalu benar.

Berikut ini diberikan penjelasan mengenai hal yang telah dibahas.

Teorema 2.4 [17]. Diberikan persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 dengan 𝐴 ∈ ℝ_max𝑚×𝑛, 𝒙 ∈ ℝ_max𝑛 dan 𝒃 ∈ ℝ_max𝑚 dan diasumsikan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 mempunyai penyelesaian. Bila setiap baris dari matriks 𝑅_𝐴,𝑏 hanya ada satu anggota yang bernilai 1, maka persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃 mempunyai penyelesaian tunggal. Bila ada elemen slack

pada matriks 𝑅𝐴,𝑏 maka 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃mempunyai penyelesaian tidak tunggal.

Bukti.

Bila disetiap baris 𝑅_𝐴,𝑏 hanya ada satu elemen bernilai 1, maka disetiap baris 𝑅_𝐴,𝑏

ada suatu elemen peubah tetap dan tidak ada elemen slack. Dengan demikian semua elemen 𝒙 tetap, jadi penyelesaian tunggal. Selanjutnya, misalkan 𝑟𝑖,𝑗 adalah satu elemen slack pada 𝑅_𝐴,𝑏 dan 𝒙 adalah penyelesaian dari 𝐴 ⊗ 𝒙 = 𝒃. Karena 𝑟_𝑖,𝑗

bukan elemen peubah tetap, maka tidak ada elemen peubah tetap pada kolom ke- 𝑗

dari matriks 𝑅_𝐴,𝑏. Jadi persamaan bisa dicapai tanpa menggunakan elemen 𝒙̅_𝑗. Dengan demikian walaupun 𝒙̅_𝑗 menunjukkan nilai maksimum yang mungkin untuk elemen ini, akan tetapi untuk setiap nilai yang lebih kecil atau samadengan 𝒙̅_𝑗 tidak akan mempengaruhi eksistensi persamaan baris yang telah ditetapkan. ∎

1.9 Sistem Persamaan Linear atas Aljabar Supertropical

43

Sebagaimana dalam aljabar linear biasa, sistem persamaan linear atas aljabar supertropical terbagi menjadi sistem persamaan tak homogen dan sistem persamaan homogen. Dalam aljabar supertropical, akan digunakan relasi ghost surpass⊨pada 𝑅 sebagai pengganti dari relasi “=”.

Sistem persamaan tak homogen atas aljabar supertropical dinyatakan sebagai 𝐴 ⊗ 𝒙 ⊨ 𝒃.Sedangkan bila semua entri dari 𝒃 = 𝜺 ≝ −∞, maka sistem persamaan 𝐴 ⊗ 𝒙 ⊨ 𝜺 disebut sistem persamaan homogen atas aljabar

45

BAB III