II LANDASAN TEORI 2.1 Penjadwalan
(5) Karena adalah matriks taksingular, maka
memiliki invers, sehingga dari (5) dapat dinyatakan sebagai:
(6)
Kemudian, fungsi objektifnya berubah menjadi:
min z =
(Winston 2004)
Definisi 4 (Daerah Fisibel)
Daerah fisibel suatu PL adalah himpunan semua titik yang memenuhi semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut.
(Winston 2004)
Definisi 5 (Solusi Basis)
Solusi basis adalah solusi PL yang didapatkan dengan mengatur variabel sama dengan nol dan nilai untuk penyelesaiannya adalah dari sisa variabel . Hal ini dengan mengasumsikan bahwa mengatur variabel sama dengan nol akan membuat nilai yang unik untuk sisa variabel atau sejenisnya, kolom-kolom untuk sisa dari variabel adalah bebas linear. (Winston 2004)
Definisi 6 (Solusi Fisibel Basis)
Solusi fisibel basis adalah solusi basis pada PL yang semua variabel-variabelnya tak- negatif.
(Winston 2004)
Definisi 7 (Solusi Optimal)
Untuk masalah maksimisasi, solusi optimal suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terbesar. Untuk masalah minimisasi, solusi optimal suatu PL adalah suatu titik dalam daerah fisibel dengan nilai fungsi objektif terkecil.
(Winston 2004) Ilustrasi untuk solusi basis dan solusi basis fisibel dapat dilihat dalam contoh berikut:
Contoh 1
Misalkan diberikan PL berikut: min
terhadap
(7) Dari PL tersebut didapatkan:
Misalkan dipilih
4
maka matriks basis ,
,
,
Dengan menggunakan matriks basis tersebut, diperoleh
(8)
Solusi (8) merupakan solusi basis, karena solusi tersebut memenuhi kendala pada PL (7) dan kolom-kolom pada matriks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dari (8) yaitu adalah B bebas linear (kolom yang satu bukan merupakan kelipatan dari kolom yang lain). Solusi (8) juga merupakan solusi fisibel basis, karena nilai-nilai variabelnya lebih dari atau sama dengan nol.
2.3 Pemrograman Linear Integer
Pemrograman linear integer adalah suatu model pemrograman linear dengan variabel yang digunakan berupa bilangan bulat (integer). Jika semua variabel harus berupa integer, maka masalah tersebut dinamakan pure integer programming. Jika hanya sebagian yang harus berupa integer, maka disebut mixed integer programming (MIP). PLI dengan semua variabelnya harus bernilai 0 atau 1 disebut 0-1 PLI.
(Garfinkel & Nemhauser 1972)
Definisi 8 (Relaksasi Pemrograman Linear)
Relaksasi pemrograman linear atau sering disebut relaksasi-PL merupakan suatu pemrograman linear yang diperoleh dari suatu PLI dengan menghilangkan kendala integer atau kendala 0-1 pada setiap variabelnya.
Untuk masalah maksimisasi, nilai optimum fungsi objektif relaksasi-PL lebih besar atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif PLI, sedangkan untuk masalah minimisasi, nilai optimum fungsi objektif relaksasi-PL lebih kecil atau sama dengan nilai optimum fungsi objektif PLI.
(Winston 2004)
2.4 Metode branch and bound untuk menyelesaikan masalah IP
Dalam penulisan karya ilmiah ini, untuk memperoleh solusi optimum dari masalah PLI digunakan software Wolfram Mathematica 7.0. Metode branch and bound adalah suatu prosedur yang paling umum untuk mencari solusi optimal dari masalah PLI. Terdapat dua konsep dasar dalam algoritma branch and bound .
1. Branch
Branching (pencabangan) adalah proses membagi permasalahan menjadi subproblem- subproblem yang mungkin mengarah ke solusi.
2. Bound
Bounding (pembatasan) adalah suatu proses untuk mencari atau menghitung batas atas (dalam masalah minimisasi) dan batas bawah (dalam masalah maksimisasi) untuk solusi optimum pada subproblem yang mengarah ke solusi.
Metode branch-and-bound diawali dari menyelesaikan relaksasi-PL dari suatu pemrograman linear integer. Jika semua nilai variabel keputusan solusi optimum sudah berupa integer, maka solusi tersebut merupakan solusi optimum PLI. Jika tidak, dilakukan pencabangan dan penambahan batasan pada relaksasi-PLnya kemudian diselesaikan.
Winston (2004) menyebutkan bahwa untuk masalah maksimisasi nilai fungsi objektif optimum untuk PLI nilai fungsi objektif optimum untuk relaksasi-PL, sehingga nilai fungsi objektif optimum relaksasi-PL merupakan batas atas bagi nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI. Diungkapkan pula dalam Winston (2004) untuk masalah maksimisasi bahwa nilai fungsi objektif optimum untuk suatu kandidat solusi 4 merupakan batas bawah nilai fungsi objektif optimum untuk masalah PLI asalnya. Suatu kandidat solusi diperoleh jika solusi dari suatu subproblem sudah memenuhi kendala integer pada masalah PLI, artinya fungsi objektif dan semua variabelnya sudah bernilai integer.
Sebelumnya akan dibahas terlebih dulu pengertian subproblem yang terukur. Menurut Winston (2004), suatu subproblem dikatakan terukur (fathomed) jika terdapat situasi sebagai berikut.
1. Subproblem tersebut takfisibel, sehingga tidak dapat menghasilkan solusi optimum untuk PLI.
5
2. Subproblem tersebut menghasilkan suatu solusi optimum dengan semua variabelnya bernilai integer. Jika solusi optimum ini mempunyai nilai fungsi objektif yang lebih baik daripada solusi fisibel yang diperoleh sebelumnya, maka solusi ini menjadi kandidat solusi optimum dan nilai fungsi objektifnya menjadi batas bawah (dalam masalah maksimisasi) dan batas atas (dalam masalah minimisasi) nilai fungsi objektif optimum bagi masalah PLI pada saat itu. Bisa jadi subproblem ini menghasilkan solusi optimum untuk masalah PLI.
3. Nilai fungsi objektif optimum untuk subproblem tersebut tidak melebihi (untuk masalah maksimisasi) batas bawah saat itu, maka subproblem ini dapat dieliminasi.
Berikut ini adalah langkah-langkah penyelesaian suatu masalah maksimisasi dengan metode branch-and-bound.
Langkah 0
Didefinisikan z sebagai batas bawah dari nilai fungsi objektif (solusi) PLI yang optimum. Pada awalnya ditetapkan z dan .
Langkah 1
Subproblem dipilih sebagai bagian masalah berikutnya untuk diperiksa. Subproblem diselesaikan dan diukur dengan kondisi yang sesuai.
a) Jika terukur, batas bawah z diperbarui jika solusi PLI yang lebih baik ditemukan. Jika tidak, bagian masalah (subproblem) baru i dipilih dan langkah 1 diulangi. Jika semua subproblem telah diperiksa, maka proses dihentikan. b) Jika tidak terukur, proses
dilanjutkan ke langkah 2 untuk melakukan pencabangan
Langkah 2
Dipilih salah satu variabel di mana nilai optimumnya adalah yang tidak memenuhi batasan integer dalam solusi Singkirkan bidang pada dimana:
,
dengan membuat dua bagian masalah PL yang berkaitan menjadi dua batasan yang tidak dapat dipenuhi secara bersamaan yaitu :
,
dengan didefinisikan sebagai integer terbesar yang kurang dari atau sama dengan Jika masih tidak terukur, maka kembali ke langkah 1.
(Taha 1996)
Untuk memudahkan pemahaman metode branch-and-bound diberikan contoh sebagai berikut.
Contoh 2
Misalkan diberikan PLI berikut: maksimumkan
dengan kendala
integer (9) Solusi optimum relaksasi-PL dari masalah PLI (9) adalah , , dan (lihat pada Lampiran 1). Batas atas nilai optimum fungsi objektif masalah ini adalah . Daerah fisibel masalah (9) ditunjukkan pada Gambar 1. Solusi optimum berada pada titik perpotongan dua garis yang berasal dari kendala pertidaksamaan masalah (9).
Gambar 1 Daerah fisibel (daerah yang diarsir) untuk relaksasi-PL dari PLI (9). Langkah berikutnya adalah memartisi daerah fisibel relaksasi-PL menjadi dua bagian berdasarkan variabel yang berbentuk pecahan (tak-integer). Karena nilai dari kedua variabel yang diperoleh bukan integer, maka dipilih salah satu variabel untuk dasar pencabangan. Misalnya dipilih sebagai dasar pencabangan. Jika masalah relaksasi-PL diberi nama Subproblem 1, maka pencabangan tersebut menghasilkan 2 subproblem, yaitu:
Subproblem 2: Subproblem 1 ditambah kendala ;
Subproblem 3: Subproblem 1 ditambah kendala .
6
Hal ini diilustrasikan pada Gambar 2.
Gambar 2 Daerah fisibel untuk Subproblem 2 dan Subproblem3.
Setiap titik (solusi) fisibel dari PLI (9) termuat dalam daerah fisibel Subproblem 2 atau Subproblem 3. Setiap subproblem ini saling lepas. Subproblem 2 dan Subproblem 3 dikatakan dicabangkan oleh .
Sekarang dipilih subproblem yang belum diselesaikan. Misalkan dipilih Subproblem 2, kemudian diselesaikan. Solusi optimum untuk Subproblem 2 ini adalah , , dan (lihat Lampiran 1). Semua variabel bernilai integer (solusinya memenuhi kendala bilangan bulat), maka tidak perlu dilakukan pencabangan di Subproblem 2. Solusi dari Subproblem 2 menjadi batas bawah dari solusi PLI yaitu sama dengan 34. Untuk gambar dan hasi optimasi dari setiap subproblem dapat dilihat pada Lampiran 1.
Saat ini subproblem yang belum diselesaikan adalah Subproblem 3. Solusi optimum untuk Subproblem 3 adalah
, , dan (lihat Lampiran 1). Karena nilai pada Subproblem 3 lebih besar dibandingkan dengan Subproblem 2, maka ada kemungkinan nilai pada Subproblem 3 lebih optimum. Oleh karena itu, dipilih pencabangan pada Subproblem 3 atas , sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yakni:
Subproblem 4: Subproblem 3 ditambah kendala ;
Subproblem 5: Subproblem 3 ditambah kendala .
Selesaikan masalah Subproblem 4 dan Subproblem 5 satu per satu. Subproblem 5 takfisibel (lihat Lampiran 1 pada Subproblem 5), maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimum.
Solusi optimum untuk Subproblem 4 adalah , , dan (lihat Lampiran 1 bagian Subproblem 4). Karena
nilai z pada Subproblem 4 lebih besar dibandingkan dengan Subproblem 2, maka dipilih pencabangan pada Subproblem 4 atas , sehingga diperoleh dua subproblem lagi, yaitu:
Subproblem 6: Subproblem 4 ditambah kendala
Subproblem 7: Subproblem 4 ditambah kendala
Penyelesaian subproblem 6 menghasilkan solusi optimum , , dan
(lihat Lampiran 1 bagian subproblem 6). Semua variabel bernilai integer (solusinya memenuhi kendala integer) maka tidak perlu dilakukan pencabangan di Subproblem 6, akan tetapi solusi yang dihasilkan pada subproblem ini tidak lebih baik dari batas bawah pada Subproblem 2 sehingga solusi pada Subproblem 6 tidak menjadi batas bawah yang baru.
Subproblem 7 menghasilkan solusi optimal , , dan (lihat lampiran 1). Solusi dari Subproblem 7 tidak integer dan lebih baik dari batas bawah pada Subproblem 2, maka pada subproblem ini dilakukan pencabangan lagi atas sehingga diperoleh subproblem baru lagi.
Subproblem 8: Subproblem 7 ditambah kendala
Subproblem 9: Subproblem 7 ditambah kendala
Penyelesaian dari Subproblem 9 menghasilkan solusi takfisibel (lihat Lampiran 1), maka subproblem ini tidak dapat menghasilkan solusi optimal. Subproblem 8 menghasilkan solusi optimal , .4, dan (lihat Lampiran 1). Solusi dari Subproblem 8 tidak integer dan lebih baik dari batas bawah pada Subproblem 2, maka pada subproblem ini dilakukan pencabangan lagi atas sehingga diperoleh subproblem baru lagi
Subproblem 10: Subproblem 8 ditambah kendala
Subproblem 11: Subproblem 8 ditambah kendala
Subproblem 10 menghasilkan solusi optimal , , dan . Subproblem ini menghasilkan solusi integer, akan tetapi solusi yang dihasilkan pada subproblem ini tidak lebih baik dari batas bawah sehingga solusi pada Subproblem 10 tidak menjadi batas bawah baru. Subproblem 11 menghasilkan solusi optimal , , dan . Solusi pada subproblem ini menghasilkan solusi integer dan lebih baik dari batas bawah sehingga solusi pada
Subproblem 3
7
Subproblem 11 menjadi batas bawah baru. Karena sudah tidak ada lagi subproblem baru yang dapat dibuat maka tidak perlu dilakukan pencabangan lagi. Dengan demikian, solusi optimum pada PLI (9) adalah , ,
dan . Pohon pencabangan yang menunjukkan penyelesaian masalah PLI (9) secara keseluruhan dapat ditunjukkan pada Gambar 3.
Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode Branch-and-Bound untuk menentukan solusi optimum dari PLI.
Subproblem 9 Subproblem 8 Subproblem 10 Subproblem 11 2 5 x 2 4 x Solusi takfisibel x1 = 1, x2 = 4.4 dan z = 35.1 x1 = 1, x2 = 4 dan z = 32 x1* = 0, x2* = 5 dan z = 35 Subproblem 7 x1 = 1.8, x2 = 4 dan z = 35.2 Subproblem 6 x1 = 3, x2 = 3 dan z = 33 1 2 x 1 1 x Subproblem 4 x1 = 3, x2 = 3.3 dan z = 35.3 Subproblem 5 Solusi takfisibel 2 4 x 2 3 x Subproblem 2 x1 = 5, x2 = 2 dan z = 34 Subproblem 3 x1 = 3.6, x2 = 3 dan z = 35.4 1 4 x 1 3 x Subproblem 1 x1 = 4.5, x2 = 2.5 dan z = 35.5 2 2 x x2 3