Kasus dengan Efektivitas Vaksinasi Berbeda

BAB III PEMBAHASAN

E. Simulasi Model Penyebaran Penyakit Campak

2. Kasus dengan Efektivitas Vaksinasi Berbeda

Pada bagian ini akan dilihat mengenai pengaruh efektifitas vaksinasi terhadap suatu penyakit. Dimulai dengan vaksinasi berhasil 10%, 45%, dan 70% akan ditunjukkan dengan grafik.

Gambar 3.3 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 10%

Gambar 3.5 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 70%

Pada saat vaksinasi 10%, 45%, dan 70% mengakibatkan periode penyebaran penyakit dan individu terinfeksi menjadi lebih lama yaitu lebih dari 100 hari. Dari gambar 3.2 menunjukkan bahwa untuk nilai persentase vaksin sebesar 95% maka proporsi individu yang terinfeksi penyakit campak mengalami peningkatan kemudian akan mengalami penurunan pada kurun waktu kurang dari 100 hari.

Dapat disimpulkan bahwa besarnya persentase sukses vaksinasi dapat mempercepat periode penyebaran dan tingkat individu terinfeksi penyakit campak. Namun, karena sistem tidak stabil, persentase vaksin sebesar 95% belum mampu mencegah terjadinya endemi penyakit campak di Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta.

80 BAB IV PENUTUP

A. Kesimpulan

Pada skripsi ini telah dibahas mengenai penyebaran penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi di Kabupaten Sleman Provinsi DIY. Kesimpulan yang dapat diambil yaitu :

1. Model penyebaran penyakit campak merupakan persamaan diferensial nonlinear. Adapun model matematika yang diperoleh yaitu :

2. Berdasarkan karakteristik penyebaran penyakit campak dengan vaksinasi dapat dibentuk model matematika SEIR dengan 4 kelas yaitu kelas susceptible, kelas exposed, kelas infected, dan kelas recovered. Diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit sebesar ) )

dan

)

) ) ) √ ) ) ) ) ) )

95% maka proporsi individu yang terinfeksi penyakit campak mengalami peningkatan kemudian akan mengalami penurunan pada kurun waktu kurang dari 100 hari.

3. Besarnya persentase sukses vaksinasi dapat mempercepat periode penyebaran dan tingkat individu terinfeksi penyakit campak, namun belum mampu mencegah terjadinya endemi penyakit campak di Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta.

B. Saran

Pada skripsi ini pembahasan model penyebaran penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi di Kabupaten Sleman Provinsi DIY tahun 2015 hanya terbatas pada titik kesetimbangan bebas penyakit. Oleh karena itu, untuk pembahasan selanjutnya dapat dianalisis mengenai titik kesetimbangan untuk kasus endemik. Persentase pemberian vaksin sebesar 95% tidak dapat mencegah terjadinya endemi penyakit campak, oleh karena itu perlu dilakukan pengkajian lebih lanjut mengenai parameter apa yang sangat berpengaruh pada sistem penyebaran penyakit campak. Model ini juga dapat dikembangkan lagi dengan memperhatikan pengaruh biaya vaksinasi, imigrasi, dan model campak dengan vaksinasi pulse (berkala).

DAFTAR PUSTAKA

Anton, Howard.1997. Aljabar Linear Elementer, fifth Edition (Alih Bahasa Pantur Silaban). Jakarta: Erlangga.

Braueer, Fred, dkk. 2008. Mathematical Epidemiology: Mathematical Biosciences Subseries. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.

Campbell, S. L., & Haberman, R. 2008. Introduction to Differential Equations with Dynamical System. New Jersey: Princeton University Press.

Departemen Kesehatan Republik Indonesia. 2016. Profil Kesehatan Indonesia 2015. Jakarta: Kementrian Kesehatan Republik Indonesia.

Hardiningsih, A. Y. 2010. Kajian Model Epidemik SIR Deterministik dan Stokastik pada Waktu Diskrit. http://digilib.its.ac.id/public/ITS- Undergraduate 13427Paper.pdf [22 Januari 2014].

Juli Iswanto, Ripno. 2012. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu : Yogyakarta. Luenberger, D.G. 1979. Introduction to Dynamic System Theory, Models, and

Applications. New York: John Wiley and Sons.

Maesaroh Ulfa. 2013. Model Matematika untuk Kontrol Campak Menggunakan Vaksinasi. Skripsi. UIN Sunan Kalijaga. Yogyakarta

Olsder, G. J & Woude, J. W. van der. 2004. Mathematical System Theory. Netherland: VVSD.

Perko, Lawrence. 2001. Differential Equations and Dynamical System: Third Edition. New York: Springer-Verlag, New York.

Ross, Shepley L.1984. Differential Equations: Third Edition. New York: John Wiley and Sins.

Setyawan, A. 2011. Analisis Stabilitas pada Penyebaran Penyakit Campak dan Demam Berdarah Dengue di Kabupaten Jember.Skripsi.Tidak Diterbitkan. Jember: Matematika FMIPA Universitas Jember.

Sri, Rejeki. 2016. Analisis Penyebaran Penyakit Diare Sebagai Salah Satu Penyebab Kematian pada Balita Menggunakan Model Matematika SIS (Susceptible-Infected-Susceptible). Skripsi. UNY.

Suparyanto. 2014. Penyakit campak. Diakses dari http://dr suparyanto.blogspot.co.id/2014/03/penyakit-campak-dan-masalahnya.html. Pada tanggal 20 Februari 2017

Wahab, W. & Subiantoro, A. Tanpa Tahun. Fundamental of Control

System Stability Criterion-Routh Hurwitz.

http://staff.ui.ac.id/internal/130702176/material/Lecture5StabilityCriterion- Routh-HurwitzTest20Oct08.pdf . Diakses pada 22 Februari 2017

Widowati dan Sutimin. 2007. Pemodelan Matematika. Semarang: Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Diponegoro.

Wiggins, Stephen. 2003. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical System and Chaos: Second Edition. New York: Springer-Verlag.

WHO. 2013. Measles Disease. Diakses dari http://www.Who.int/mediacentre/ factsheeet/en/. Pada tanggal 20 Februari 2017

ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIR DENGAN VAKSINASI PADA PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DI KABUPATEN SLEMAN

PROVINSI DIY

TUGAS AKHIR SKRIPSI

Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Disusun Oleh: Septina Wahidah Indrayani

NIM. 13305141002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA

LEMBAR PERSETUJUAN

Tugas Akhir Skripsi dengan Judul

ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIR DENGAN VAKSINASI PADA PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DI KABUPATEN SLEMAN

PROVINSI DIY

Disusun oleh:

Septina Wahidah Indrayani NIM 13305141002

telah memenuhi syarat dan disetujui oleh Dosen Pembimbing untuk dilaksanakan Ujian Akhir Tugas Skripsi bagi yang bersangkutan.

Yogyakarta, 17 Maret 2017

Mengetahui, Disetujui,

Ketua Program Studi Dosen Pembimbing,

Dr. Agus Maman Abadi, M.Si Nikenasih Binatari, M. Si NIP. 1970082819955021001 NIP. 198410192008122005

iii

SURAT PERNYATAAN

Saya yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Septina Wahidah Indrayani NIM : 13305141002

Program Studi : Matematika

Judul TAS : Analisis Kestabilan Model SEIR dengan Vaksinasi pada Penyebaran Penyakit Campak di Kabupaten Sleman Prov. DIY

menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.

Yogyakarta, 17 Maret 2017

Septina Wahidah Indrayani NIM. 13305141002

HALAMAN PENGESAHAN

Skripsi yang berjudul “ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIR DENGAN

VAKSINASI PADA PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DI

KABUPATEN SLEMAN PROVINSI DIY” yang disusun oleh Septina Wahidah Indrayani, NIM. 13305141002 ini telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 4 April 2017 dan dinyatakan lulus.

TIM PENGUJI

Nama Jabatan Tanda

Tangan Tanggal Nikenasih Binatari,M.Si NIP.198410192008122005 Ketua Penguji . . . . . . .. Dwi Lestari,M.Sc NIP.198505132010122006 Sekretaris Penguji . . . . . . Dr. Hartono NIP.196203291987021002 Penguji Utama . . . . . .

Kus Prihantoso K.,M.Si NIP.197904062005011005 Penguji Pendamping . . . . . . Yogyakarta, . . .

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta

Dekan,

Dr. Hartono, M.Si

v MOTTO

“Maka sesungguhnya beserta kesulitan itu ada kemudahan” (QS. Al Insyirah : 5-8)

“That in the end, all will be well”

(Queen Elizabeth)

“Apabila kamu bersyukur nescaya akan Aku tambahkan nikmat-Ku, dan apabila kamu kufur maka adzab-Ku sangat pedih”

PERSEMBAHAN

Skripsi ini saya persembahkan untuk : Endro Hadi Sunaryoso (Bapak saya), Dra. Siti Kabshoh (Ibu saya), Seluruh keluarga, Rara adek sepupu, Terima kasih selalu mendoakan saya, serta memberi dukungan

dan motivasi.

Terima kasih kepada Irfani Sulistyawan, yang selalu memberikan support, semangat, dan pengertiannya disaat-saat tersulit.

Terima kasih kepada Habiby, Muhajir, Dwi, Andira dan Sisca, teman- teman terbaik yang telah memberikan semangat, kehangatan dan kebahagiaan, menjadi tempat paling nyaman untuk berkeluh kesah.

Terima kasih juga kepada kawan-kawan Mat-B 2013 atas kebersamaan dan perjuangan kurang lebih selama 3,5 tahun, serta semua pihak yang telah membimbing dan membantu selama proses penulisan skripsi ini.

Terima kasih semuanya dan tak lupa selalu bersyukur kepada Allah SWT.

vii

ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIR (SUSCEPTIBLE-EXPOSED-

INFECTED-RECOVERED) DENGAN VAKSINASI PADA PENYEBARAN

PENYAKIT CAMPAK DI KABUPATEN SLEMAN PROVINSI DIY Oleh:

Septina Wahidah Indrayani

ABSTRAK

Campak merupakan penyakit menular yang masih banyak terjadi di Kabupaten Sleman. Penyakit ini disebabkan oleh infeksi virus campak atau measles karena kontak langsung antara individu rentan dengan individu terinfeksi. Tujuan dari penelitian ini yaitu menganalisis penyebaran penyakit campak dengan membentuk model matematika SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered), menginterpretasikan model dengan melakukan simulasi model, dan menganalisis pengaruh vaksinasi pada perilaku penyebaran penyakit campak di Kabupaten Sleman.

Tahapan untuk menganalisis penyebaran penyakit campak untuk kasus bebas penyakit yaitu membuat asumsi berdasarkan karakteristik penyakit campak, membentuk model penyebaran penyakit campak, menentukan titik kesetimbangan penyakit, menentukan bilangan reproduksi dasar, menganalisa kestabilan di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit, dan simulasi model matematika penyebaran penyakit campak.

Hasil yang diperoleh yaitu dapat di bentuk model matematika SEIR dengan 4 kelas populasi yaitu kelas susceptible, kelas exposed, kelas infected, dan kelas recovered. Model penyebaran penyakit campak merupakan model yang berbentuk sistem persamaan diferensial nonlinear. Persentase pemberian vaksin sebesar 95% belum mampu mencegah terjadinya endemi penyakit campak di Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta, namun persentase vaksin sebesar 95% dapat mempersingkat periode penyebaran dan tingkat individu terinfeksi penyakit campak sehingga selama kurang dari 100 hari penyebaran penyakit akan menurun dalam populasi.

Kata kunci : Penyakit campak, model SEIR, titik kesetimbangan bebas penyakit, bilangan reproduksi dasar, kestabilan.

viii

ANALYSIS OF STABILITY OF THE MODEL SEIR (SUSCEPTIBLE- EXPOSED-INFECTED-RECOVERED) AND VACCINATION ON

DISEASE SPREAD MEASLES IN SLEMAN REGENCY OF YOGYAKARTA

By :

Septina Wahidah Indrayani

ABSTRACT

Measles is an infectious disease that is still a lot happening in Sleman Regency. This disease is caused by infection of measles virus paramyxovirus due to direct contact with susceptible individuals infected individuals. This research aims to analyze the spread of measles disease by establishing mathematical model SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered), interpret the model by performing a simulation model, and analyze the effect of vaccination on the behavior of spreading measles in Sleman.

Stage to analyze the spread of disease in the case of disease free is make assumptions based on characteristic of measles, measles disease spread models, determines the equilibrium point of the disease, determine the basic reproduction number, analyzes the stability of the equilibrium point of the around disease free, mathematical model and simulation of the spread of disease.

The results obtained can be in the form, namely mathematical models of SEIR with 4 classes of the population that is susceptible class, exposed class, infected class, and recovered class. Measles is a disease spread models of nonlinear differential equation system of the form. The percentage of the grant

amounting to 95% vaccine hasn’t been able to prevent the occurrence of endemic

measles in Sleman Regency, Yogyakarta, however, it can shorted the period of the spread and the rate of individuals infected with measles allowing for less than 100 days will decrease the spread of disease in the population.

Key words : measles, model SEIR, disease free equilibrium point, the basic reproduction number, stability.

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas berkat rahmat dan karunia-Nya, Tugas Akhir Skripsi dalam rangka untuk memenuhi sebagian persyaratan untuk

mendapatkan gelar Sarjana Sains dengan judul “Analisis Kestabilan Model SEIR

dengan Vaksinasi pada Penyebaran Penyakit Campak di Kabupaten Sleman

Provinsi DIY” dapat disusun sesuai dengan harapan. Tugas akhir Skripsi ini dapat

diselesaikan tidak lepas dari bantuan dan kerjasama dengan pihak lain. Berkenaan dengan hal tersebut, penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada yang terhormat:

1. Dr. Hartono, M.Si, sebagai Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kesempatan penulis dalam menyelesaikan studi. 2. Dr. Slamet Suyanto, sebagai Wakil Dekan I FMIPA Universitas Negeri

Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dalam pengurusan administrasi selama penulisan skripsi.

3. Dr. Ali Mahmudi, M.Pd, sebagai Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kemudahan dalam pengurusan administrasi selama penulisan skripsi.

4. Dr. Agus Maman Abadi, sebagai Penasehat Akademik sekaligus Ketua Program Studi Matematika yang telah memberikan informasi dan pengarahan dalam penyusunan tugas akhir skripsi.

5. Nikenasih Binatari, M.Si, sebagai Dosen Pembimbing yang telah memberikan pengarahan, nasehat dan motivasi dalam menyusun skripsi.

6. Seluruh dosen Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan ilmu kepada penulis.

7. Semua pihak, secara langsung maupun tidak langsung, yang tidak dapat disebutkan disini atas bantuan dan perhatiannya selama penyusunan Tugas Akhir Skripsi ini.

Yogyakarta, 20 Maret 2017 Penulis,

Septina Wahidah Indrayani NIM. 13305141002

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ... i

PERSETUJUAN ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN PERNYATAAN ... vi MOTTO ... x PERSEMBAHAN ... vi ABSTRAK ... vii KATA PENGANTAR ... ix DAFTAR ISI ... xi

DAFTAR SIMBOL ... xiv

DAFTAR TABEL ... xvi

DAFTAR GAMBAR ... xvii

DAFTAR LAMPIRAN ... xviii

BAB I PENDAHULUAN ... 1 A. Latar Belakang ... 1 B. Identifikasi Masalah ... 4 C. Batasan Masalah... 4 D. Rumusan Masalah ... 4 E. Tujuan Penelitian ... 5 F. Manfaat Penelitian ... 5

BAB II KAJIAN PUSTAKA ... 7

xii

1. Pengertian Campak ... 7

2. Campak di Sleman ... 9

B. Pemodelan Matematika ... 10

C. Persamaan Diferensial ... 12

D. Orde Persamaan Diferensial ... 14

E. Sistem Persamaan Diferensial ... 15

1. Sistem Persamaan Diferensial Linear ... 16

2. Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear ... 18

F. Solusi Persamaan Diferensial ... 20

G. Titik Kesetimbangan ... 21

H. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 24

I. Linearisasi ... 25

J. Analisis Kestabilan ... 28

K. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz ... 34

L. Bilangan Reproduksi Dasar ... 36

M. Model SIR ... 39

BAB III PEMBAHASAN ... 42

A. Model Matematika SEIR untuk Penyebaran Penyakit Campak ... 42

1. Asumsi-Asumsi yang Digunakan ... 43

2. Formulasi Model Matematika SEIR pada Penyebaran Penyakit Campak ... 44

B. Titik Kesetimbangan Model ... 54

1. Titik Kesetimbangan Bebas Penyakit ... 54

C. Bilangan Reproduksi Dasar ... 57

D. Analisis Kestabilan pada Titik Ekuilibrium Model SEIR ... 65

1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ... 66

E. Simulasi Model Penyebaran Penyakit Campak ... 71

1. Estimasi Parameter ... 72

xiii BAB IV PENUTUP ... 79 A. Kesimpulan ... 79 B. Saran ... 80 DAFTAR PUSTAKA ... 81 LAMPIRAN ... 83

xiv

DAFTAR SIMBOL

� = angka kelahiran (birth date)

= angka kematian alami (morality rate)

= angka kontak (contact rate) � = angka infektivitas (infectious rate)

= angka kesembuhan (recovery rate)

= angka kematian karena campak (differential mortality due to measles)

� = proporsi sukses vaksinasi pada kelahiran (proportion of those successively vaccinated at birth)

̂ = titik kesetimbangan bebas penyakit kelas susceptible

�̂ = titik kesetimbangan bebas penyakit kelas exposed

�̂ = titik kesetimbangan bebas penyakit kelas infected

̂ = titik kesetimbangan bebas penyakit kelas recovered

�̇ = sistem persamaan diferensial orde satu �̂ = titik kesetimbangan

�� ₌_{Ruang Euclid}

xv ℛ� = Bilangan riil dari nilai eigen

xvi

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Tabel Routh ... 34 Tabel 3.1 Tabel Routh untuk Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ... 70 Tabel 3.2 Data Nilai Awal Kelas SEIR dengan Asumsi Tertentu ... 73

xvii

DAFTAR GAMBAR

Gambar 2.1 Proses Pemodelan ... 10

Gambar 3.1 Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Campak dengan Vaksinasi ... 43

Gambar 3.2 Simulasi Penyebaran Penyakit Campak ... 75

Gambar 3.3 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 10 % ... 77

Gambar 3.4 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 45% ... 77

xviii

DAFTAR LAMPIRAN

Dalam dokumen ANALISIS KESTABILAN MODEL SEIR (SUSCEPTIBLE-EXPOSEDINFECTED- RECOVERED) DENGAN VAKSINASI PADA PENYEBARAN PENYAKIT CAMPAK DI KABUPATEN SLEMAN PROVINSI DIY. (Halaman 77-103)