1 BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Campak merupakan penyakit menular yang banyak ditemukan didunia dan dianggap sebagai persoalan kesehatan masyarakat yang harus diselesaikan. Gejala awal campak berupa demam, konjungtivis, pilek batuk dan bintik-bintik kecil dengan bagian tengah berwarna putih atau putih kebiru-biruan dengan dasar kemerahan di daerah pipi. Tanda khas bercak kemerahan dikulit timbul pada hari ketiga sampai ketujuh, dimulai di daerah muka, kemudian meneluruh, berlangsung sekitar 4-7 hari, dan terkadang berakhir dengan pengelupasan kulit berwarna kecoklatan (Enrisyu, 2012).
Penyakit ini disebabkan oleh infeksi virus campak atau measles. Bagi penderita campak, virus campak ada di dalam percikan cairan yang dikeluarkan saat mereka bersin dan batuk. Virus campak akan menulari siapa pun yang menghirup percikan cairan tersebut. Virus campak bisa bertahan di permukaan selama beberapa jam, akibatnya, virus ini bisa bertahan menempel pada benda-benda. Saat menyentuh benda yang sudah terkena percikan virus campak, lalu menempelkan tangan ke hidung atau mulut, orang lain bisa ikut terinfeksi.
2
Prof.dr.M Juffrie, Ph.D.,Sp.A(K), dosen bagian Ilmu Kesehatan Anak Fakultas Kedokteran UGM, menyebutkan bahwa vaksinasi campak merupakan cara paling efektif untuk mencegah penularan virus measles penyebab campak. Imunisasi diberikan dengan cara memberikan vaksin (bahan antigenik yang digunakan untuk menghasilkan kekebalan aktif terhadap suatu penyakit sehingga dapat mencegah atau mengurangi pengaruh infeksi oleh organisme) kedalam tubuh seseorang untuk memberikan kekebalan terhadap penyakit (Nugroho, 2009).
Selain perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi di bidang kedokteran yang memiliki peranan penting dalam mencegah penyebaran penyakit ini agar tidak meluas melalui vaksinasi. Matematika juga memberikan peranan penting dalam mencegah mewabahnya suatu penyakit dengan pengaruh vaksinasi. Peranan matematika ini berupa model matematika yang disebut SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered). Model ini digunakan untuk menganalisis penyebaran penyakit dengan pengaruh vaksinasi.
3
Sunan Kalijaga, 2013., Rejeki., Analisis Penyebaran Penyakit Diare Sebagai Salah Satu Penyebab Kematian pada Balita dengan Menggunakan Model Matematika SIS, Tugas Akhir Program Studi Matematika, FMIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 2015.
Penderita campak memiliki kemungkinan untuk meninggal, memiliki kekebalan tetapi masih rentan terhadap penyakit itu kembali atau menjadi semakin parah. Namun dengan pemberian vaksin individu yang rentan akan memperoleh kekebalan sehingga jika nantinya terjangkit penyakit campak tidak akan sakit atau tidak menjadi parah. Dari pernyataan tersebut, penyakit campak dapat dikelompokkan ke dalam model SEIR (Susceptible-Exposed-Infected-Recovered) yang merupakan model epidemik yang mengasumsikan bahwa individu yang rentan mempunyai kekebalan terhadap penyakit yang bersangkutan dengan pemberian vaksin.
4
Sleman Provinsi DIY. Analisis ini untuk mengetahui perilaku penyebaran campak dalam suatu populasi dengan pengaruh vaksinasi.
B. Identifikasi Masalah
Berdasarkan latar belakang diatas, dapat diidentifikasi permasalahannya sebagai berikut :
1. Campak merupakan penyakit menular yang masih menjadi persoalan di Kabupaten Sleman Provinsi DIY.
2. Pemberian vaksin dengan proporsi tertentu dapat mengurangi tingkat penyebaran penyakit campak di DIY.
3. Kabupaten Sleman merupakan daerah dengan cakupan imunisasi tergolong rendah se-Provinsi DIY.
C. Batasan Masalah
Pada penulisan tugas akhir ini permasalahan dibatasi pada :
1. Analisis penyebaran penyakit campak untuk kasus titik ekuilibrium bebas penyakit yaitu saat penyakit tidak menyebar dalam populasi.
2. Penyebaran penyakit hanya dalam suatu populasi yaitu Kabupaten Sleman.
D. Rumusan Masalah
5
1. Bagaimana model matematika penyebaran penyakit campak dengan pengaruh vaksin di Kabupaten Sleman DIY?
2. Bagaimana menginterpretasikan model dengan melakukan simulasi model?
3. Bagaimana pengaruh vaksinasi pada model perilaku penyebaran penyakit campak di Kabupaten Sleman?
E. Tujuan
Berdasarkan rumusan masalah diatas, tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah :
1. Mendeskripsikan model penyebaran penyakit campak.
2. Mendeskripsikan karakteristik penyebaran penyakit campak melalui simulasi model.
3. Mengetahui pengaruh vaksinasi pada model perilaku penyebaran penyakit campak di Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta.
F. Manfaat
Manfaat yang diperoleh dari penulisan tugas akhir ini adalah :
1. Sebagai bahan referensi belajar pemodelan/bifurkasi untuk penelitian selanjutnya.
6
7 BAB II KAJIAN TEORI
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai landasan teori yang akan digunakan pada bab pembahasan. Teori-teori ini digunakan sebagai bahan acuan yang mendukung tujuan penulisan. Materi-materi yang akan dibahas antara lain pengertian campak, persamaan diferensial, sistem persamaan diferensial, titik kesetimbangan, linearisasi, analisis kestabilan, nilai eigen dan vektor eigen, pemodelan matematika, model epidemik SEIR (susceptible-Exposed-Infected-Recovered), dan bilangan reproduksi dasar.
A. Campak
1. Pengertian Campak
8
berhasil menurunkan 15,6 juta (75%) kematian akibat campak di seluruh dunia (WHO, 2015)
Campak disebabkan oleh virus yang bernama paramiksovirus. Penularan terjadi melalui percikan ludah dari hidung, mulut maupun tenggorokan penderita campak. Masa inkubasi adalah 10-14 hari sebelum gejala muncul. Gejala penyakit campak ditandai dengan demam, batuk, pilek dan bercak-bercak merah pada permukaan kulit 3 – 5 hari setelah anak menderita demam. Bercak mula-mula timbul dipipi bawah telinga yang kemudian menjalar ke muka, tubuh dan anggota tubuh lainnya. Komplikasi dari penyakit Campak ini adalah radang paru-paru, infeksi pada telinga, radang pada saraf, radang pada sendi dan radang pada otak yang dapat menyebabkan kerusakan otak yang permanen. (Suparyanto, 2014).
Pencegahan penyakit campak adalah dengan cara menjaga kesehatan dengan makanan yang sehat, berolah raga yang teratur, istirahat yang cukup, dan melakukan imunisasi. Pemberian Imunisasi akan menimbulkan kekebalan aktif dan bertujuan untuk melindungi terhadap penyakit campak. (Suparyanto,2014).
9
imunisasi, remaja dan dewasa muda yang belum mendapatkan imunisasi kedua (Suparyanto,2014).
2. Campak di Sleman
Menurut Profil Kesehatan Indonesia (2012), Indonesia merupakan Negara ASEAN yang memiliki kasus penyakit campak terbanyak dengan jumlah 15.489 kasus, urutan kedua terbanyak adalah Thailand dengan 5.197 kasus, sedangkan 8 negara ASEAN lainnya memiliki jumlah lebih sedikit dan tidak lebih dari 3.000 kasus. Berdasarkan World Health Statistic, WHO (2013), di Indonesia ada 151.000 kematian anak-anak di bawah usia 5 tahun dan 5% nya disebabkan karena penyakit campak.
Berdasarkan Pusat Data dan Informasi Kesehatan Provinsi D.I. Yogyakarta (2015), campak masih menjadi penyakit menular yang memiliki kasus tertinggi di DIY. Pemberian imunisasi bagi bayi dengan usia 9 bulan mencapai 96.7%, kendati demikian, penyakit campak masih banyak terjadi di Yogyakarta. Untuk regional Jawa-Bali, cakupan imunisasi campak untuk D.I. Yogyakarta tergolong tinggi. Namun di Provinsi DIY sendiri, cakupan imunisasi di Kabupaten Sleman tergolong rendah, yaitu dibawah Kulon Progo, Kota Yogyakarta, dan Bantul.
10
memberikan imunisasi campak pada bayi berusia 9 bulan, dan menghindari kontak dengan penderita campak karena penularan terjadi melalui percikan ludah dari hidung, mulut maupun tenggorokan dari penderita campak.
B. Pemodelan Matematika
Pemodelan matematika merupakan bidang matematika yang digunakan untuk mempresentasikan dan menjelaskan sistem-sistem fisik atau problem pada dunia nyata dalam pernyataan matematika (Widowati dan Sutimin, 2007:1). Representasi matematika yang dihasilkan dari pemodelan matematika disebut sebagai model matematika. Menurut Widowati dan Sutimin (2007:3) beberapa tahap dalam menyusun model matematika dapat dinyatakan dalam Gambar 2.1.
Masalah Nyata Masalah Matematika
Gambar 2.1 Proses Pemodelan
Bandingkan Data Solusi Dunia
Real Interpretasi Solusi
Penyelesaian Persamaan/pertid
aksamaan Formulasi Persamaan/pe
rtidaksamaan Membuat
Asumsi Problem
Matematika Problem
11
Gambar 2.1 menggambarkan perumusan perilaku atau fenomena di dunia nyata yang dibawa ke dalam bentuk matematis dengan menentukan asumsi-asumsi yang tepat sesuai masalah nyata, sehingga dapat dibentuk suatu model matematika. Langkah-langkah dalam mengkonstruksi model matematika sebagai berikut:
i. Identifikasi Masalah
Mengidentifikasi masalah adalah mengidentifikasi apa yang akan dikerjakan dan diselesaikan. Langkah ini meliputi identifikasi variabel-variabel apa saja yang terlibat atau yang menggambarkan fenomena yang terjadi, membentuk beberapa hubungan antara variabel-variabel ini. Menjabarkan variabel-variabel dan sistem menjadi model matematika.
ii. Merumuskan Asumsi
Langkah ini meliputi membuat asumsi tentang model matematika. Asumsi ini secara esensial mencerminkan bagaimana proses berfikir sehingga model dapat berjalan.
iii. Membuat Formulasi Persamaan/pertidaksamaan
12
asumsi-asumsi agar dapat dibentuk formulasi yang sesuai sehingga dapat diselesaikan dan hasilnya realistik.
iv. Menyelesaikan Formulasi Persamaan/pertidaksamaan
Setelah terbentuk formulasinya, langkah selanjutnya adalah menyelesaikan formulasi tersebut. Perlu kehati-hatian dan fleksibilitas dalam proses pemodelan secara menyeluruh. Seiring dengan kemajuan teknologi informasi, penyelesaiannya dapat diperoleh dengan menggunakan software matematika, yang memudahkan mendaptakan solusi.
v. Menginterpretasikan solusi matematis ke dalam dunia nyata
Langkah ini akan menghubungkan penyelesaian formulasi matematika ke problem dunia nyata. Ini dapat dilakukan dalam berbagai cara. Dari sinilah akan dihasilkan suatu kesimpulan atau keputusan yang dalam penyelesaian masalah dunia nyata merupakan suatu hal yang sangat penting.
C. Persamaan Diferensial
Model matematika penyebaran penyakit campak berbentuk persamaan diferensial. Oleh karena itu, salah satu teori yang akan dikaji dalam bab ini adalah Persamaan Diferensial.
13 Definisi 2.1 (Ross, 1984:4)
Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat turunan dari satu
atau lebih variabel tak bebas terhadap satu atau lebih variabel bebas.
Persamaan diferensial diklasifikasikan menjadi dua berdasarkan jumlah variabel bebas yang terlibat, yaitu persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial.
Definisi 2.2 (Ross,1984:4)
Persamaan diferensial biasa yaitu suatu persamaan diferensial yang
melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu
variabel bebas.
Contoh 2. 1
Diberikan beberapa contoh persamaan diferensial biasa yaitu:
(2.1a)
(2.1b)
Berdasarkan Definisi (2.2), maka Persamaan (2.1a) dan (2.1b) merupakan
14 Definisi 2. 3 (Ross, 1984:4)
Persamaan diferensial parsial yaitu suatu persamaan diferensial yang
melibatkan turunan dari satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih
dari satu variabel bebas.
Contoh 2. 2
Contoh persamaan diferensial parsial:
(2.2a)
(2.2b)
Berdasarkan Definisi (2.3), maka Persamaan (2.2a) dan (2.2b) merupakan persamaan diferensial parsial karena melibatkan dua variabel bebas yaitu dan .
D. Orde Persamaan Diferensial
Orde suatu persamaan diferensial didefinisikan sebagai orde tertinggi dari
turunan yang terkandung dalam persamaan diferensial tersebut. Secara umum
persamaan diferensial dituliskan dalam bentuk
15
Persamaan (2.3) adalah persamaan diferensial orde ke- . Persamaan (2.3)
merepresentasikan relasi antara peubah tak bebas .
1.
(Persamaan Diferensial orde 1)
2.
(Persamaan Diferensial orde 2)
E. Sistem Persamaan Diferensial
Sistem persamaan diferensial adalah kumpulan dari beberapa persamaan
diferensial. Diberikan vektor dengan ) dan dan adalah himpunan terbuka dari . Fungsi dengan
) dan ) dimana ) adalah himpunan semua fungsi
yang mempunyai turunan pertama yang kontinu di . Jika =
menyatakan turunan pertama terhadap , maka sistem persamaan diferensial dapat dituliskan menjadi,
̇ ̇ )
(2.4)
̇ ̇ )
̇ ̇ )
̇ ̇ )
16
̇ ) (2.5)
Berdasarkan kelinearannya sistem persamaan diferensial dibedakan menjadi dua yaitu sistem persamaan diferensial linear dan sistem persamaan diferensial nonlinear.
1. Sistem Persamaan Diferensial Linear
Sistem persamaan diferensial linear orde satu dapat muncul dalam masalah
yang melibatkan beberapa variabel tak bebas dan variabel bebas .
Jika =
menyatakan turunan pertama terhadap , secara umum, sistem persamaan diferensial linear orde satu dinyatakan dalam
bentuk sebagai berikut :
̇ ) ) ̇ ) )
(2.6)
̇ ) ) ̇ ) )
̇ ) ) ̇ ) )
17 [ ̇ ̇ ̇ ] [ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ] [ ] [ ) ) ) ]
atau dapat dinyatakan dalam persamaan berikut
̇ ) ) (2.7)
dengan ) [ ) ) ) ) ) ) ) ) ) ] ) [ ) ) ) ]
Contoh 2. 4
Berikut diberikan contoh sistem persamaan diferensial linear.
(2.8)
18 2. Sistem Persamaan Diferensial Non linear
Definisi 2. 4 (Ross, 1984:5)
Persamaan diferensial biasa nonlinear adalah persamaan diferensial biasa
yang tidak linear.
Suatu persamaan diferensial dikatakan nonlinear jika memenuhi salah satu sebagai berikut (Ross, 1984:5).
a. Memuat variabel tak bebas dan/atau turunannya yang berpangkat selain satu.
b. Terdapat perkalian dari variabel tak bebas dan/atau turunan-turunannya. c. Terdapat fungsi transedental dari variabel tak bebas dan
turunan-turunannya.
Contoh 2. 5
Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear:
(
)
(2.9a)
(2.9b)
19
a. Persamaan (2.9a) merupakan persamaan diferensial nonlinear, karena
terdapat variabel tak bebas yang berpangkat dua
dan turunannya yang
berpangkat dua .
b. Persamaan (2.9b) merupakan persamaan diferensial nonlinear, karena terdapat fungsi transenden ( ).
c. Persamaan (2.9c) merupakan persamaan diferensial nonlinear karena
terdapat perkalian variabel tak bebas dan turunannya .
Sistem persamaan diferensial dikatakan nonlinear, jika persamaan diferensial yang membentuknya merupakan persamaan diferensial nonlinear.
Contoh 2. 6
Diberikan sistem persamaan diferensial nonlinear sebagai berikut
(2.10)
20 F. Solusi Persamaan Diferensial
Definisi 2.5 (Ross, 2010:8)
Diberikan suatu persamaan diferensial orde-n berikut :
[ ] (2.11)
Dengan F adalah fungsi real,
1. Misalkan adalah fungsi bilangan real yang terdefinisi untuk semua
dalam interval dan mempunyai turunan ke- untuk semua .
Fungsi disebut solusi eksplisit dari Persamaan diferensial (2.11)
dalam interval jika fungsi memenuhi syarat berikut
a. ) ) ) terdefinisi
b. ) ) )
Hal ini berarti bahwa substitusi )dan variasi turunan dan
turunannya yang berkorespondensi ke persamaan (2.11) akan membuat
Persamaan (2.11) menjadi suatu identitas di interval I.
2. Suatu relasi ) disebut solusi implisit dari Persamaan (2.11)
jika relasi ini mendefinisikan sedikitnya satu fungsi bilangan real
dengan variabel di interval .
3. Solusi eksplisit dari solusi implisit biasa disebut sebagai solusi
21 Contoh 2.7
Contoh persamaan diferensial dan solusinya
Maka solusinya adalah
∫ ∫
G. Titik Kesetimbangan
Titik kesetimbangan menjadi salah satu pembahasan dalam bab ini karena titik kesetimbangan diperlukan dalam proses analisis penyebaran penyakit campak.
Definisi 2. 6 (Wiggins, 2003:5)
Diberikan Sistem persamaan diferensial � = (�). Titik ̂ disebut titik kesetimbangan dari ̇= �(�). jika memenuhi ( ̂
Contoh 2. 8
Akan dicari titik kesetimbangan dari Sistem (2.10) sebagai berikut,
22
Menurut definisi (2.5) titik kesetimbangan ( ̂ ̂) dari Sistem (2.10) dapat
diperoleh jika ( ̂ ̂) . Akan dicari titik kesetimbangan dari Sistem (2.10)
sedemikian, sehingga ( ̂ ̂) dan ( ̂ ̂) .
dengan
( ̂ ̂) ̂ ̂ ̂ ̂
( ̂ ̂) ̂ ̂ ̂ ̂
Untuk ( ̂ ̂)
̂ ̂ ̂ ̂
̂( ̂ )
̂ atau ̂
a. Jika ̂ disubstitusikan ke persamaan ( ̂ ̂) , maka diperoleh
̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂
Jadi, diperoleh titik kesetimbangan pertama yaitu ) .
23
̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂
̂
̂
Jadi, titik kesetimbangan kedua diperoleh .
Berdasarkan hasil yang diperoleh, dapat disimpulkan bahwa Sistem (2.10)
memiliki dua titik kesetimbangan yaitu ) dan .
24 H. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Nilai eigen digunakan untuk mengetahui kestabilan dari suatu sistem persamaan diferensial.
Definisi 2. 7 (Anton, 1998)
Jika merupakan matriks berukuran , maka vektor tak nol di dalam disebut vektor eigen dari . Jika adalah kelipatan skalar dari , maka untuk suatu skalar . Skalar disebut nilai eigen (eigenvalue) dari , sedangkan dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Untuk mencari nilai eigen dari matriks yang berukuran , maka ditulis kembali sebagai , dimana adalah matriks identitas atau
secara ekivalen dapat ditulis :
) (2.11)
Agar dapat menjadi nilai eigen, maka harus ada pemecahan tak nol dari persamaan (2.11), sehingga persamaan tersebut memiliki pemecahan tak nol jika dan hanya jika:
) (2.12)
25
Definisi 2. 8 (Campbell & Haberman 2008:142)
Jika salah satu akar polinom karakteristik bernilai nol dan akar lainnya bernilai positif maka sistem nonlinier tidak stabil. Jika salah satu akar polinom karakteristik bernilai nol dan akar lainnya bernilai negatif maka sistem nonlinier dapat stabil atau tidak stabil bergantung pada unsur nonlinier yang diabaikan.
I. Linierisasi
Linearisasi diperlukan karena bentuk model matematika penyebaran penyakit campak adalah persamaan diferensial nonlinear. Linearisasi adalah proses mentransformasi sistem persamaan diferensial nonlinear ke bentuk persamaan diferensial linear. Proses ini dilakukan dengan linearisasi disekitar titik kesetimbangan.
Definisi 2.9 (Campbell & Haberman, 2008:150).
Linierisasi merupakan proses hampiran persamaan diferensial tak linier dengan persamaan linier.
Contoh 2.9
Diberikan sistem persamaan diferensial berikut :
) (2.13)
26
Dimana ) dan ) tak linear, jika ) merupakan titik kritis dari sistem (2.13) dan (2.14) maka :
)
)
dengan menggunakan aproksimasi Taylor, persamaan (2.13) dan (2.14) dapat dilinierkan sehingga diperoleh :
) ) ) ) ) )
) ) ) ) ) )
Karena ) adalah titik kesetimbangan, maka ) dan ) Persamaan (2.13) dan (2.14) dapat diaproksimasi dan menyerupai sistem linier dari persamaan diferensial:
) ) ) ) (2.15)
) ) ) ) (2.16) Pergantian dari titik kesetimbangan yang dilakukan untuk persamaan order pertama, yaitu dan konstan, maka persamaan diatas menjadi :
(2.17)
27
Dimana konstan, sehingga ) ) ) ). Persamaan (2.17) dan (2.18) merupakan sistem linear
homogen, dengan menggunakan matrik perkalian, persamaan (2.17) dan (2.18) dapat ditulis :
[ ) )
) )] (2.19)
Notasi matrik sangat efektif dalam hal ini, matrik yang elemen-elemennya berupa turunan pertama disebut matrik Jacobian.
Matriks Jacobian
[
]
(2.20)
Sebuah matrik harus dievaluasi pada titik kesetimbangan . Matrik
pergantian dari titik kesetimbangan adalah , sehingga
persamaan (2.20) dapat ditulis menjadi
dimana adalah matrik konstan
yang diperoleh dari mengevaluasi matrik Jacobian pada titik kesetimbangan:
28 J. Analisis Kestabilan
Analisis kestabilan dilakukan untuk mengetahui apakah suatu penyakit menyebar atau menghilang dari suatu populasi, sehingga dapat dilakukan tindakan lebih lanjut. Kestabilan titik kesetimbangan dari suatu sistem persamaan diferensial baik linear maupun nonlinear diberikan dalam definisi berikut.
Definisi 2. 10 (Olsder and Woude, 2004: 53)
Diberikan sistem persaman diferensial orde satu ̇ ) dengan dan ( ) adalah solusi persamaan tersebut pada saat t dengan kondisi awal )
(i) Vektor ̂ yang memenuhi ̂) dikatakan sebagai titik ekuilibrium.
(ii) Titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil jika untuk setiap , terdapat sedemikian sehingga jika ‖ ̂‖ (dengan ‖ ‖ adalah norm pada ), maka ‖ ) ̂‖ untuk .
(iii) Titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil asitotik jika titik kesetimbangannya stabil dan terdapat sedemikian sehingga ‖ ) ̂‖ , bila ‖ ̂‖ .
29
Definisi (2.10) disimulasikan pada Gambar 2.2
Gambar 2.2 Ilustrasi Kestabilan
Diberikan penjelasan mengenai sifat kestabilan suatu sistem yang dilihat dari nilai eigen untuk mempermudah dalam menganalisis kestabilan di sekitar titik kesetimbangan. Penjelasan tersebut dijelaskan dalam Teorema 2.2 berikut,
Teorema 2.2 (Olsder and Woude, 2004: 58)
Diberikan sistem persamaan diferensial ̇ , dengan suatu matriks berukuran mempunyai nilai eigen berbeda dengan .
(i) Titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil asimtotik jika dan hanya jika ) untuk .
(ii) Titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil jika dan hanya jika ) untuk dan jika setiap nilai eigen imajiner
dengan ) , maka multiplisitas aljabar dan geometri untuk nilai eigen harus sama.
(iii) Titik kesetimbangan ̂ dikatakan tidak stabil jika dan hanya jika terdapat paling sedikit satu ) untuk .
� �) �
�̂ �̂
� �)
�
� �)
30 Bukti :
(i) Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan ̂ stabil asimtotik, maka ) untuk .
)
Berdasarkan definisi (2.10), titik kesetimbangan ̂ dikatakan stabil asimtotik jika ‖ ) ̂‖ . Hal ini berarti bahwa untuk ) akan menuju ̂ . Karena ) merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka ) memuat ) . Oleh karena itu, supaya ) menuju ̂ , maka haruslah bernilai negatif.
)
Akan dibuktikan bahwa jika ) untuk maka titik kesetimbangan ̂ stabil asimtotik.
) merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka ) selalu memuat ) . Jika ) , maka untuk ) akan menuju ̂ . Berdasarkan definisi (2.10), titik
kesetimbangan ̂ stabil asimtotik.
(ii) Akan dibuktikan bahwa titik kesetimbangan ̂ stabil, maka ) untuk .
)
31
kesetimbangan ̂ ) untuk , sehingga sistem tidak stabil. Hal ini sesuai dengan kontraposisi pernyataan jika titik kesetimbangan ̅ stabil, maka ) untuk . Jadi terbukti
bahwa jika titik kesetimbangan ̂ stabil, maka ) untuk
)
Akan dibuktikan bahwa jika ) untuk , maka titik kesetimbangan ̂ stabil dan jika ada ) , maka multiplisitas aljabar dan geometri harus sama.
Penyelesaian ) merupakan solusi dari sistem persamaan diferensial, maka ) selalu memuat ) . Jika
) , maka titik kesetimbangan ̂ stabil asimtotik (pasti
stabil). Jika ) , maka nilai eigen berupa bilangan kompleks murni. Multiplisitas aljabar berhubungan dengan nilai eigen sedangkan geometri berhubungan dengan vektor eigen. Oleh karena itu, akan dibuktikan bahwa banyak nilai eigen dan vektor eigen adalah sama.
Tanpa mengurangi pembuktian secara umum, diambil sebarang sistem pada yang mempunyai nilai eigen bilangan kompleks murni. Diambil sistem sebagai berikut
[ ̇̇ ] , dengan , (2.21)
32
| |
Diperoleh persamaan karakteristik
Akar dari persamaan (2.20) adalah
√ √ √
√ atau √
b. Vektor Eigen
Berdasarkan definisi, ) adalah vektor eigen dari yang bersesuaian dengan jika dan hanya jika adalah pemecahan nontrivial dari
( )
(2.22)
Untuk √ maka persamaan (2.22) menjadi
[ √
√ ]
(2.23)
Matriks augmented dari sistem (2.23) yaitu
[ √
33
[ √
√ | ] baris kedua dikali dengan kemudian
dikurangi dengan baris pertama
[ √ | ]
Diperoleh
√
√
Misal , maka √
[ √ ], diambil diperoleh [ √ ]
Oleh karena itu, vektor eigen yang bersesuaian dengan √ adalah
[ √ ]
(iii) Akan dibuktikan bahwa jika titik kesetimbangan ̂ tidak stabil, maka terdapat paling sedikit satu ) untuk )
34 )
Diketahui bahwa jika terdapat paling sedikit satu ) maka solusi persamaan diferensial ) yang memuat ) akan menuju . Oleh karena itu, titik kesetimbangan ̂ tidak stabil
K. Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz
Kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz adalah suatu metode yang digunakan untuk menunjukkan kestabilan sistem dengan memperhatikan koefisien dari persamaan karakteristik tanpa menghitung akar-akar secara langsung. Jika persamaan polinom adalah persamaan karakteristik, maka metode ini dapat digunakan untuk menentukan kestabilan dari suatu sistem. Prosedurnya adalah sebagai berikut:
a. Persamaan polinom orde ditulis dalam bentuk:
dengan koefisien-koefisien adalah bilangan riil dan .
35
[image:35.595.146.509.221.482.2]c. Bila semua koefisien positif, lalu buat tabel Routh seperti pada Tabel 2.1 berikut.
Tabel 2.1 Tabel Routh
Variabel Koefisien
Dengan koefisien-koefisien :
36
d. Banyaknya akar tak stabil dapat dilihat dari banyaknya perubahan tanda pada kolom pertama tabel Routh.
e. Syarat perlu untuk stabil adalah semua koefisien persamaan karakteristik positif dan syarat cukup untuk stabil adalah semua suku pada kolom pertama tabel Routh bertanda positif.
Kriteria Routh-Hurwitz tidak dapat menjelaskan bagaimana memperbaiki kestabilan relatif atau bagaimana menstabilkan sistem tak stabil, tetapi dapat digunakan untuk menentukan batas penguatan suatu sistem agar masih stabil (Wahab W. & Subiantoro A, Tanpa Tahun).
L. Bilangan Reproduksi Dasar
37
dapat diperoleh dengan menentukan nilai eigen dari matriks jacobian pada titik kesetimbangan bebas penyakit.
Cara lain dalam menentukan bilangan reproduksi dasar adalah dengan menggunakan metode matriks next generation. Pada metode matriks next generation didefinisikan sebagai nilai eigen terbesar dari matriks next generation. Formasi ini terdiri dari 2 kelas dari model yaitu terinfeksi dan tidak terinfeksi. Diasumsikan terdapat kelas tidak terinfeksi dan kelas terinfeksi. Selanjutnya dimisalkan sebagai subpoulasi kelas terinfeksi dan sebagai subpopulasi yang tidak terinfeksi , dan dan untuk , sehingga
̇ ) ) dengan (2.24) ̇ ), dengan (2.25)
dengan adalah matriks dari individu yang masuk dan menambah banyaknya individu yang masuk ke kelas terinfeksi, dan adalah matriks dari laju peningkatan jumlah individu yang keluar dari kelas terinfeksi yang menyebabkan berkurangnya jumlah individu pada kelas terinfeksi.
Didefinisikan matriks next generation H dari Persamaan (2.23) dan (2.24) adalah
(2.26)
38 {
}
dan
{ }
Didefinisikan bilangan reproduksi dasar sebagai nilai eigen terbesar dari matiks next generation H adalah
) )
Contoh 2. 9
Diberikan sistem persamaan diferensial berikut
)
) ) ) )
(2.27) )
) ) ) )
dengan ( ) menyatakan populasi individu rentan pada saat , ( ) menyatakan populasi individu terinfeksi pada saat t. Sistem (2.27) mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit ) Matriks next generation dapat diperoleh dari kelas , sehingga kelas dapat dituliskan sebagai berikut
) ) )
39
) ) dan ) )
Hasil linearisasi dari dan masing-masing adalah ̂ ) dan . Matriks next generationnya sebagai berikut
[ ̂ )] [
] [ ̂ ) ]
(2.28)
Substitusikan titik kesetimbangan bebas penyakit ) ke Persamaan (2.27) diperoleh
[ ]
Maka diperoleh nilai dari sistem (2.27) adalah
[ ]
(Sri, Rejeki. 2016. Analisis Penyebaran Penyakit Diare sebagai Salah Satu Penyebab Kematian pada Balita Menggunakan Model Matematika SIS (Susceptible-Infected-Susceptible. Skripsi. UNY. Yogyakarta).
M. Model SIR (Susceptible-Infected-Recovered)
40
�� I
[image:40.595.225.495.145.179.2]I Gambar 2.3 dibawah ini adalah kompartemen dari model SIR klasik.
Gambar 2.3 Kompartemen model SIR klasik
Sehingga formulasi untuk model SIR klasik pada Gambar 2.3 adalah sebagai berikut:
)
)
)
) ) ) )
Penurunan dari model SIR diperlukan asumsi-asumsi, sebagai berikut :
a. Populasi konstan,
b. Individu lahir dan imigrasi merupakan individu sehat tetapi rentan terinfeksi penyakit,
c. Populasi homogen,
d. Masa inkubasi penyakit diabaikan,
e. Hanya terdapat satu macam penyebaran penyakit infeksi,
f. Individu yang sembuh dari penyakit infeksi tidak akan terinfeksi lagi (Hetchcote, 2000).
Probabilitas penularan dinotasikan , dengan dimana adalah jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam suatu
41
42 BAB III
HASIL DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan mengenai model matematika penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi, diantaranya formulasi model penyakit campak, titik ekuilibrium bebas penyakit beserta analisis kestabilannya. Selanjutnya dilakukan simulasi model berdasarkan studi kasus yang dilakukan di Kabupaten Sleman Provinsi DIY dan strategi mengoptimalkan vaksinasi.
A. Model Matematika SEIR untuk Penyebaran Penyakit Campak
Model dasar tentang penyebaran penyakit pertama kali dirumuskan oleh Kermack dan McKendrick pada tahun 1927. Dalam modelnya, KermackMcKendrick membagi populasi total menjadi tiga kelas, yaitu Susceptible (S) merupakan jumlah individu yang sehat tetapi rentan terhadap penyakit, Infected (I) adalah jumlah individu yang terinfeksi dan dapat menularkan penyakit kepada individu yang sehat, dan Recovered (R) yang menotasikan jumlah individu yang telah sembuh dari penyakit dan akan kebal dari penyakit.
Beberapa penyakit seperti campak, mempunyai periode laten, artinya ada selang waktu suatu individu terinfeksi sampai munculnya suatu penyakit. Periode laten ini akan terdapat pada kelas Exsposed (E), artinya individu yang terdeteksi atau terjangkit virus. Penambahan kelas pada penyakit campak ini akan membentuk model SEIR.
43
populasi Infected (I), dan populasi Recovered (R). Populasi Susceptible (S), adalah banyaknya individu yang rentan terhadap penyakit campak. Populasi Exposed (E), adalah banyaknya individu yang terdeteksi campak tetapi belum terinfeksi. Populasi Infected (I), adalah banyaknya individu yang telah terinfeksi penyakit campak dan dapat menularkan penyakitnya ke individu lainnya. Populasi Recovered (R), adalah banyaknya individu yang telah sembuh dari penyakit campak dan kebal terhadap penyakit campak. Total populasi dinyatakan dengan .
1. Asumsi-Asumsi yang Digunakan
Model penebaran penyakit diturunkan dengan menggunakan asumsi atau batasan tertentu. Asumsi-asumsi yang digunakan untuk merumuskan model penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi sebagai berikut:
a. Jumlah populasi diasumsikan cukup besar sehingga dapat dinggap sebagai variabel kontinu.
b. Populasi diasumsikan tertutup. Oleh karena itu, tidak ada populasi yang masuk ke dalam populasi atau keluar dari populasi tersebut.
c. Faktor kelahiran dan kematian diperhatikan.
d. Setiap individu yang lahir diasumsikan rentan terhadap penyakit campak. e. Setiap individu mempunyai kemungkinan yang sama dalam melakukan kontak
dengan individu lain.
f. Individu yang terinfeksi penyakit dapat sembuh dari penyakit dan dapat meninggal akibat penyakit.
44
h. Vaksin hanya diberikan pada individu yang baru lahir.
i. Keampuhan vaksinasi adalah 100%. Hal tersebut berarti setiap individu yang telah mendapatkan vaksin akan kebal dari penyakit.
j. Kekebalan yang terjadi karena vaksin bersifat permanen
2. Formulasi Model Matematika SEIR pada Penyebaran Penyakit Campak
Didefinisikan parameter yang digunakan untuk membentuk model matematika SEIR pada penyebaran penyakit campak yaitu :
= angka kelahiran (Jiwa per hari)
= angka kematian alami (Jiwa per hari)
= laju kontak (Jiwa per hari)
= angka infektivitas (Jiwa per hari)
= angka kesembuhan (Jiwa per hari)
= angka kematian karena campak (Jiwa per hari)
= persentase sukses vaksinasi pada kelahiran (proportion of those successively vaccinated at birth)
45
�� ��
� �E I
�S �E �I �R
� I
Seseorang akan masuk ke dalam kelas exposed ketika virus menyerang manusia pada kelas susceptible, dan individu yang terjangkit melakukan kontak langsung dengan individu lain dalam populasi. Kemudian keluar dari kelas exposed, karena virus berkembang dan menginfeksi maka individu dari kelas exposed masuk kelas infectious, atau karena kematian alami.
Seseorang akan masuk kelas infectious karena virus telah menginfeksi individu dari kelas exposed. Pada kelas ini, individu dapat sembuh atau meninggal baik kematian secara alami atau kematian akibat penyakit. Jika seseorang meninggal secara alami atau akibat penyakit maka secara otomatis akan keluar dari sistem. Selanjutnya jika seseorang sembuh dari penyakit maka akan masuk ke dalam kelas recovered.
Setelah waktu tertentu, seseorang dapat sembuh dan memasuki kelas recovered. Seseorang dapat memasuki kelas recovered karena telah diberikan vaksinasi dan selanjutnya keluar dari kelas recovered karena kematian alami.
[image:45.595.126.490.585.709.2]Dari penjelasan di atas, diperoleh diagram alur model matematika penyakit campak dengan vaksinasi sebagai berikut :
Gambar 3.1 Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Campak dengan Pengaruh Vaksinasi
46
Didefinisikan adalah angka kelahiran. Jumlah individu yang lahir dalam populasi tiap satuan waktu selalu konstan. Jumlah populasi yang lahir proporsional dengan total populasi . Oleh karena itu, jumlah populasi yang lahir dalam populasi adalah . Jumlah populasi yang lahir tersebut akan memasuki kelompok .
adalah angka kematian alami, berdasarkan asumsi angka kelahiran sama dengan angka kematian, maka jumlah populasi yang mati pada setiap kelompok proposional dengan jumlah populasi pada masing-masing kelompok. Oleh karena itu, jumlah kematian pada kelompok S, E, R masing-masing sebesar S, E, R, sedangkan pada kelompok I sebesar )I dengan adalah kematian karena penyakit campak.
adalah angka besarnya populasi yang terinfeksi dimana adalah
koefisien transmisi yang merupakan konstanta yang menunjukkan tingkat kontak sehingga terjadi penularan penyakit, individu rentan memperoleh infeksi dan angka timbulnya penyakit pada populasi yang terinfeksi .
adalah angka terinfeksi dari individu yang telah exposed. Notasi adalah angka kesembuhan dari individu yang telah terinfeksi. Notasi adalah persentase populasi rentan yang di vaksinasi per satuan waktu. Notasi adalah persentase kelas rentan yang berhasil divaksinasi dan memasuki kelas rentan.
47 i. Model untuk kelas Susceptible
Besarnya jumlah individu yang rentan atau perubahan kelas rentan terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah individu yang lahir dalam populasi kemudian akan menurun dengan adanya proporsi sukses
vaksinasi pada kelahiran sebesar , angka individu exposed ,
dan angka kematian alami . Sehingga diperoleh persamaan
.
ii. Model untuk kelas Exposed
Besarnya angka individu yang terjangkit atau perubahan kelas exposed
terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah individu yang terekspos
kemudian akan menurun dengan populasi yang terinfeksi dan angka
kematian alami . Sehingga diperoleh persamaan
.
iii. Model untuk kelas Infected
Besarnya jumlah individu yang terinfeksi atau perubahan kelas infeksi terhadap waktu dipengaruhi oleh jumlah yang terinfeksi kemudian akan menurun dengan adanya jumlah individu yang sembuh dan angka kematian alami dan angka kematian karena penyakit
campak . Sehingga diperoleh persamaan
48 iv. Model untuk kelas Recovered
Besarnya jumlah individu yang sembuh atau perubahan dari kelas recovered terhadap waktu dipengaruhi oleh adanya proporsi sukses vaksinasi pada kelahiran dan angka kesembuhan dari jumlah individu yang terinfeksi dan angka kematian alami . Sehingga
diperoleh persamaan
.
Dari gambar 3.1 dan uraian diatas diperoleh model matematika penyakit campak dengan vaksinasi adalah sebagai berikut.
(3.1a)
(3.1b)
(3.1c)
(3.1d)
Dengan dan
49
(3.2)
dari persamaan (3.2), diperoleh :
(3.3)
Oleh karena itu, dengan persamaan (3.2), sistem (3.1) dapat dinyatakan sebagai berikut : (3.4a) (3.4b) (3.4c) (3.4d)
Selanjutnya akan ditunjukkan total populasi tidak konstan.
Diketahui
50
Turunan pertama dari Persamaan (3.5) terhadap adalah
(3.6)
Substitusikan sistem (3.1) ke persamaan (3.6), sehingga diperoleh
(3.7)
Karena turunan pertama dari tidak sama dengan nol, maka dapat disimpulkan bahwa populasi tidak konstan.
Untuk menentukan proporsi di setiap kelas terlebih dahulu akan dicari proporsi
51 ( ) (3.8)
Berdasarkan persamaan (3.4a), (3.4b), (3.4c), dan (3.4d) akan ditentukan laju proporsi untuk masing-masing kelas.
i. Laju Proporsi untuk Kelas Susceptible
52
Berdasarkan persamaan (3.4a) diperoleh :
ii. Laju Proporsi untuk Kelas Exposed
Laju proporsi kelas exposed merupakan rata-rata banyaknya individu yang terjangkit penyakit tetapi belum dapat menularkannya.
Berdasarkan persamaan (3.4b) diperoleh :
iii. Laju Proporsi untuk Kelas Infected
(3.9a)
53
Laju proporsi kelas infected merupakan rata-rata banyaknya individu terinfeksi dalam populasi.
Berdasarkan persamaan (3.4c) diperoleh :
iv. Laju Proporsi untuk Kelas Recovered
Laju proporsi kelas recovered merupakan rata-rata banyaknya individu yang telah sembuh dari penyakit dalam populasi.
Berdasarkan persamaan (3.4d) diperoleh :
(3.9c)
54
Berdasarkan persamaan (3.9a), (3.9b), (3.9c), dan (3.9d) dapat dibentuk transformasi dari sistem (3.1) yaitu :
(3.10a)
(3.10b)
(3.10c)
(3.10d)
Sistem (3.10) adalah sistem persamaan non linear yang merupakan hasil transformasi model matematika pada penyebaran penyakit campak yang terdapat pada sistem (3.1)
B. Titik Kesetimbangan Model
Dari hasil persamaan tersebut terdapat titik kesetimbangan bebas penyakit, yaitu suatu keadaan dimana tidak terjadi penyebaran penyakit menular dalam populasi atau ketika .
55
Pada bagian ini akan dibahas mengenai titik ekuilibrium bebas penyakit dari model penyebaran penyakit campak pada sistem (3.10) . Titik kesetimbangan bebas penyakit diperoleh saat tidak ada individu yang terinfeksi penyakit campak . Asumsikan variabel yang digunakan dalam pembahasan ini yaitu :
̂ ̂ ̂ ̂ titik kesetimbangan bebas penyakit pada sistem (3.10)
̂ titik kesetimbangan bebas penyakit kelas susceptible
̂ titik kesetimbangan bebas penyakit kelas exposed
̂ titik kesetimbangan bebas penyakit kelas infected
̂ titik kesetimbangan bebas penyakit kelas recovered
Titik ̂ ̂ ̂ ̂ adalah titik kesetimbangan dari sistem (3.10) jika :
( )|
̂ ̂ ̂ ̂
(3.12)
Berdasarkan persamaan , diketahui jumlah proporsi masing-masing kelas adalah satu atau dapat dituliskan menjadi :
̂ ̂ ̂ ̂ (3.13)
Untuk kasus titik ekuilibrium bebas penyakit, diketahui nilai ̂ , akibatnya, ̂ sehingga persamaan (3.13) menjadi
̂ ̂ (3.14)
56
Jika ̂ , akibatnya ̂ , maka berdasarkan sistem (3.10) dn (3.12) diperoleh :
( )|
̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂
̂ ̂ (3.15)
Pada kasus ini akan dibatasi untuk titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu titik kesetimbangan ketika ̂ . Titik kesetimbangan bebas penyakit dapat ditunjukkan pada Teorema (3.1) berikut.
Teorema 3.1
Jika ̂ , maka sistem (3.10) mempunyai titik kesetimbangan bebas penyakit ̂ ̂ ̂ ̂ ).
Bukti :
Berdasarkan Definisi (2.5), maka sistem (3.10) dapat dituliskan menjadi :
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (3.16a)
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (3.16b)
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (3.16c)
57 Berdasarkan (3.16a) diperoleh
̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂
̂ (3.17)
Berdasarkan (3.16d) diperoleh
̂ ̂ ̂ ̂
̂
̂ (3.18)
Sehingga titik kesetimbangan bebas penyakit dari Sistem (3.10) yaitu ̂ ̂ ̂ ̂
C. Bilangan Reproduksi Dasar
58
menghilang dari populasi. Namun, jika , maka penyakit cenderung meningkat dalam populasi dan dapat menyebabkan endemik.
Bilangan reproduksi dasar dapat diperoleh dengan menggunakan metode Next Generation Matrix. Matriks ini merupakan matriks yang dibentuk oleh sub-sub populasi pada kelas exposed dan infection. Pada model penyebaran penyakit campak akan dibahas mengenai bilangan reproduksi dasar pada sistem (3.10) dengan menggunakan kelas terekspose dan terinfeksi pada persamaan (3.10b) dan (3.10c).
Didefinisikan
[ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] (3.19)
dan
[ ̂ ̂] (3.20)
Matriks (3.19) dan (3.20) akan dilinearisasi.
Diberikan sistem persamaan nonlinear
̇
̇
(3.21)
dan
59 ̇
(3.22)
Misalkan ̂ dan ̂ adalah titik kesetimbangan kelas eksposed dan infection pada sistem (3.21) dan (3.22), maka pendekatan linear sistem (3.21) dan (3.22) disekitar titik kesetimbangan kelas terekspos dan kelas terinfeksi menggunakan deret taylor di sekitar titik kesetimbangan ̂ dan ̂ yaitu
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (3.23)
dan
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
(3.24)
60
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (3.25)
dan
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ (3.26)
Dari sistem (3.25), dapat dibentuk matriks sebagai berikut
[ ̇̇ ] [
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
] ̂ ̂
(3.27)
Sistem (3.26) dibentuk menjadi matriks diperoleh
[ ̇̇ ] [
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
] ̂ ̂
(3.28)
61 [ ̇̇ ] [ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] (3.29) dan [ ̇̇ ] [ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] (3.30)
diperoleh matriks jacobian dari Matriks (3.29) adalah
[ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] (3.31) dan [ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ] (3.32)
Persamaan (3.31) diperoleh matriks P
62
Substitusikan nilai ̂ ̂ ̂ ̂ ke matriks P, sehingga diperoleh
[ ]
dari persamaan (3.32) diperoleh matriks R
Berdasarkan persamaan (2.20), maka diperoleh Next Generation Matriks yaitu
[ ] (3.33)
[
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂
̂ ̂ ̂ ]
[ ]
[ ] [ ]
[ ] [
63
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen maksimum Matriks H. Nilai eigen dari Matriks H adalah
64
Berdasarkan sistem (3.35) terdapat dua nilai eigen yaitu
dan
√
(3.35)
√
65
Bilangan reproduksi dasar diperoleh dari nilai eigen maksimum, sehingga nilai eigen yang memenuhi yaitu :
Sebelum menentukan nilai dari bilangan reproduksi dasar akan disederhanakan persamaan dari nilai eigen.
Misal
Maka diperoleh
66
√ ( )
Oleh karena itu, nilai diperoleh pada persamaan (3.36) berikut
√ ( )
D.Analisis Kestabilan pada Titik Ekuilibrium Model SEIR
Setelah diperoleh titik kesetimbangan, selanjutnya akan di analisis kestabilan titik ekuilibrium. Kestabilan titik ekuilibrium digunakan untuk mengetahui
perilaku sistem dengan mendefinisikan √
67
minimum. Jumlah ini merupakan jumlah minimum vaksinasi yang dibutuhkan untuk mencegah terjadinya epidemi. (Ripno Juli Iswanto : 183-184)
1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Pada sub bab ini akan dianalisa kestabilan lokal di sekitar titik kesetimbangan bebas penyakit.
Berdasarkan Teorema 3.1 telah diperoleh titik kesetimbangan bebas penyakit yaitu ̂ ̂ ̂ ̂ ( )
Selanjutnya akan dianalisa kestabilan di sekitar titik kesetimbangan ini dinyatakan dalam teorema berikut.
Teorema 3.2
(i) Jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit ̂ ̂ ̂ ̂ stabil asimtotik lokal.
(ii)Jika maka titik kesetimbangan bebas penyakit ̂ ̂ ̂ ̂ tidak stabil.
Bukti :
Sistem (3.10) didefinisikan sebagai
68
̂ ̂ ̂ ̂ (3.16d)
Untuk membentuk matriks Jacobian, Akan diturunkan sistem (3.16) terhadap ̂ ̂ ̂ ̂.
69
̂ ̂
̂ ̂
Sehingga diperoleh matriks jacobian dari sistem (3.16) adalah :
[ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂] [ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ̂ ]
Matriks jacobian dipersekitaran ̂ ̂ ̂ ̂ adalah :
[ ]
70 |[ ] [ ]| |[ ]|
Menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom pertama, sehingga diperoleh :
[ ]
[ ]
Dari persamaan tersebut terdapat 3 hasil nilai eigen, yaitu :
1.
Maka,
2.
Maka,
3. [ ]
71
[image:71.595.141.506.322.498.2]
Selanjutnya, analisis kestabilan pada kemungkinan ke-3 dapat diperoleh dengan menggunakan table Routh-Hurwitz seperti berikut :
Tabel 3.1 Tabel Routh untuk Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit
Variabel Koefisien
1
0
Agar sistem stabil, maka semua suku kolom pertama table Routh-Hurwitz harus bertanda positif. Agar semua suku bertanda positif, maka :
72
Titik kesetimbangan bebas penyakit ̂ ̂ ̂ ̂ stabil
asimtotik jika
, yang menunjukkan bahwa pada suatu populasi tidak terjadi penyebaran penyakit. Stabil asimtotik berarti perubahan kecil pada syarat awal tidak menimbulkan pengaruh pada penyelesaian.
E. Simulasi Model
Pada sub bab ini akan disimulasikan secara numerik model penyebaran penyakit campak di Kabupaten Sleman Provinsi DIY tahun 2015 dengan memanfaatkan software Maple 18. Simulasi ini dilakukan untuk memberikan gambaran geometris mengenai pola penyebaran penyakit campak sesuai dengan kondisi bilangan reproduksi dasar. Bilangan reproduksi dasar dapat digunakan untuk mengetahui penyakit tersebut menghilang atau endemik dalam populasi.
Saat artinya setiap individu yang terinfeksi dapat menularkan penyakit campak kepada rata-rata kurang dari satu individu rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit dapat menghilang dari populasi. Namun, untuk artinya setiap individu terinfeksi dapat menularkan penyakit campak kepada rata-rata lebih dari satu individu rentan, sehingga dalam jangka waktu tertentu penyakit menyebar dalam populasi.
73
individu yang terkena penyakit campak 104 jiwa, dan jumlah kematian karena penyakit campak 0.
1. Estimasi Parameter Model
Parameter-parameter model dapat diestimasi menggunakan langkah-langkah sebagai berikut :
Angka infeksi yang dinyatakan dengan , yaitu dalam koefisien kontak efektif dan jumlah infectious pada waktu per jumlah total populasi . Dengan
demikian, jumlah exposed pada setiap waktu bergantung pada kontak antara infectious
dan susceptible . Dalam hal ini, diasumsikan dimana adalah jumlah individu
yang melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam populasi rentan selama periode infectious. Rata-rata jumlah individu yang melakukan kontak efektif dengan
setiap orang per unit waktu adalah dengan adalah rata-rata durasi invektifitas.
Untuk penyakit campak, diestimasi 9 hari. (Suparyanto, 2014).
Angka infektivitas adalah angka transmisi dari exposed ke infected . Angka infektifitas dapat diturunkan dari rata-rata periode laten rata-rata periode laten). Periode laten untuk penyakit campak diestimasi 12 hari. (Suparyanto, 2014).
74
Tabel 3.1 Data Nilai Awal Kelas SEIR dengan Asumsi Tertentu No. Proporsi Awal Kelas untuk t=0 Jumlah Populasi
Awal
Proporsi Awal dalam Persen 1. Proporsi Kelas Rentan 759.394 jiwa 0,6505 2. Proporsi Kelas Ekspose 90 jiwa 7,7089x10-5
3. Proporsi Kelas Infeksi 104 jiwa 8,908x10-5 4. Proporsi Kelas Recovered 408.087 jiwa 0,3493
Total Populasi 1.167.481 jiwa 1
Data awal kelas SEIR diperoleh dari data Kabupaten Sleman Daerah Istimewa Yogyakarta pada tahun 2015. Populasi kelas rentan diperoleh dari total individu usia nol sampai dengan 45 tahun, populasi kelas infeksi diperoleh dari jumlah penderita campak, total populasi diperoleh dari jumlah populasi di Kabupaten Sleman Provinsi DIY pada tahun 2015. Selanjutnya untuk populasi kelas ekspose diperoleh dengan mengambil angka yang mendekati jumlah kelas infeksi, kemudian kelas sembuh diperoleh dengan mengurangkan total populasi keseluruhan dengan populasi kelas rentan, ekspose, dan infeksi.
Parameter-parameter model (angka transisi per satuan waktu (hari)) dihitung menggunakan rumus-rumus estimasi parameter model dan diperoleh :
1. Angka infektifitas 1/masa inkubasi
2. Angka kesembuhan 1/masa pemulihan
3. Angka kelahiran
75
4. Angka kematian rata-rata usia orang Indonesia adalah 70 tahun atau
25550 hari
5. Angka kematian karena campak
6. Berdasarkan pusat data dan informasi Prov. DIY 2015, persentase sukses vaksinasi
7. Nilai adalah nilai yang merepresentasikan laju penularan penyakit
campak, dalam hal ini, dimana adalah jumlah individu yang
melakukan kontak efektif dengan setiap orang dalam populasi rentan selama periode infeksi. Rata-rata jumlah individu yang melakukan kontak
efektif dengan setiap orang per unit waktu adalah dengan adalah
rata-rata durasi invektifitas. Untuk penyakit campak, diestimasi 9 hari.
Sehingga . (Maesaroh Ulfa, 2013).
Substitusikan nilai parameter-parameter yang bersesuaian pada sistem (3.10) sehingga didapatkan sistem (3. 34) sebagai berikut
76
Simulasi model matematika SEIR pada penyebaran penyakit campak di Kabupaten Sleman
[image:76.595.183.444.251.510.2]Untuk nilai parameter , diperoleh nilai . Simulasi ditunjukkan pada Gambar 3.2. Script program Maple untuk Gambar 3.2 dapat dilihat pada Lampiran 1.
Gambar 3.2 Simulasi Penyebaran Penyakit Campak
Berdasarkan Gambar 3.2, terlihat proporsi susceptible mengalami penurunan yang signifikan. Hal ini dapat disebabkan karena banyaknya individu kelas rentan yang terinfeksi penyakit campak akibat adanya kontak langsung dengan individu terjangkit atau karena individu rentan masuk kelas recovered.
77
ini terjadi akibat banyaknya individu kelas rentan yang terjangkit dan terinfeksi penyakit campak.
Untuk proporsi kelas recovered, mula-mula kurva mengalami peningkatan kemudian stabil. Hal ini terjadi karena individu dari kelas susceptible, exposed, dan infected masuk ke dalam kelas recovered.
Jika nilai parameter disubstitusikan ke sistem (3.34), maka diperoleh nilai untuk titik ekuilibrium sebesar . Selanjutnya, analisis kestabilan pada titik ekuilibrium bebas
penyakit, jika nilai parameter disubstitusikan, diperoleh nilai eigen riil yang pertama dan kedua bernilai negatif, sedangkan nilai eigen riil yang ketiga, yaitu koefisien Routh bernilai positif. Akibatnya, hubungan dengan koefisien Routh menjadi . Berdasarkan Teorema 2.2, jika terdapat paling sedikit satu nilai eigen riil positif maka sistem tidak stabil.
2. Kasus dengan Efektivitas Vaksinasi Berbeda
78
Gambar 3.3 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 10%
[image:78.595.172.463.402.634.2]79
Gambar 3.5 Kasus dengan Efektifitas Vaksin 70%
Pada saat vaksinasi 10%, 45%, dan 70% mengakibatkan periode penyebaran penyakit dan individu terinfeksi menjadi lebih lama yaitu lebih dari 100 hari. Dari gambar 3.2 menunjukkan bahwa untuk nilai persentase vaksin sebesar 95% maka proporsi individu yang terinfeksi penyakit campak mengalami peningkatan kemudian akan mengalami penurunan pada kurun waktu kurang dari 100 hari.
80 BAB IV PENUTUP
A. Kesimpulan
Pada skripsi ini telah dibahas mengenai penyebaran penyakit campak dengan pengaruh vaksinasi di Kabupaten Sleman Provinsi DIY. Kesimpulan yang dapat diambil yaitu :
1. Model penyebaran penyakit campak merupakan persamaan diferensial nonlinear. Adapun model matematika yang diperoleh yaitu :
2. Berdasarkan karakteristik penyebaran penyakit campak dengan vaksinasi dapat dibentuk model matematika SEIR dengan 4 kelas yaitu kelas susceptible, kelas exposed, kelas infected, dan kelas recovered. Diperoleh titik ekuilibrium bebas penyakit sebesar ) )
dan
)
) ) ) √ ) ) ) ) ) )
81
95% maka proporsi individu yang terinfeksi penyakit campak mengalami peningkatan kemudian akan mengalami penurunan pada kurun waktu kurang dari 100 hari.
3. Besarnya persentase sukses vaksinasi dapat mempercepat periode penyebaran dan tingkat individu terinfeksi penyakit campak, namun belum mampu mencegah terjadinya endemi penyakit campak di Kabupaten Sleman Provinsi Daerah Istimewa Yogyakarta.
B. Saran
82
DAFTAR PUSTAKA
Anton, Howard.1997. Aljabar Linear Elementer, fifth Edition (Alih Bahasa Pantur Silaban). Jakarta: Erlangga.
Braueer, Fred, dkk. 2008. Mathematical Epidemiology: Mathematical Biosciences Subseries. Berlin: Springer-Verlag Berlin Heidelberg.
Campbell, S. L., & Haberman, R. 2008. Introduction to Differential Equations with Dynamical System. New Jersey: Princeton University Press.
Departemen Kesehatan Republik Indonesia. 2016. Profil Kesehatan Indonesia 2015. Jakarta: Kementrian Kesehatan Republik Indonesia.
Hardiningsih, A. Y. 2010. Kajian Model Epidemik SIR Deterministik dan Stokastik pada Waktu Diskrit.
http://digilib.its.ac.id/public/ITS-Undergraduate 13427Paper.pdf [22 Januari 2014].
Juli Iswanto, Ripno. 2012. Pemodelan Matematika. Graha Ilmu : Yogyakarta.
Luenberger, D.G. 1979. Introduction to Dynamic System Theory, Models, and Applications. New York: John Wiley and Sons.
Maesaroh Ulfa. 2013. Model Matematika untuk Kontrol Campak Menggunakan Vaksinasi. Skripsi. UIN Sunan Kalijaga. Yogyakarta
Olsder, G. J & Woude, J. W. van der. 2004. Mathematical System Theory. Netherland: VVSD.
Perko, Lawrence. 2001. Differential Equations and Dynamical System: Third Edition. New York: Springer-Verlag, New York.
83
Setyawan, A. 2011. Analisis Stabilitas pada Penyebaran Penyakit Campak dan Demam Berdarah Dengue di Kabupaten Jember.Skripsi.Tidak Diterbitkan.
Jember: Matematika FMIPA Universitas Jember.
Sri, Rejeki. 2016. Analisis Penyebaran Penyakit Diare Sebagai Salah Satu Penyebab Kematian pada Balita Menggunakan Model Matematika SIS
(Susceptible-Infected-Susceptible). Skripsi. UNY.
Suparyanto. 2014. Penyakit campak. Diakses dari http://dr suparyanto.blogspot.co.id/2014/03/penyakit-campak-dan-masalahnya.html. Pada tanggal 20 Februari 2017
