BAB II LANDASAN TEOR
2.4 Keantaraan
Keantaraan merupakan konsep yang juga cukup penting. Ada
banyak cara yang digunakan untuk mendefinisikan konsep keantaraan.
Berikut ini akan diberikan postulat mengenai keantaraan secara aksiomatik
terlebih dahulu, kemudian secara metrik.
Definisi 2.4.1 (Prenowitz & Jordan, 1965 : 186)
Dalam pembahasan secara aksiomatik, notasi untuk keantaraan adalah (a-
b-c) dan dibaca sebagai b di antara a dan c. Relasi keantaraan memenuhi
sistem postulat berikut :
B2. (Sifat antisiklik) Jika (a-b-c) maka bukan (b-c-a)
B3. (Koherensi linear) a, b, c adalah titik-titik yang berbeda dan kolinear
jika dan hanya jika (a-b-c) atau (b-c-a) atau (c-a-b)
B4. (Sifat memisahkan) Misalkan sebuah titik P yang kolinear dan berbeda
dengan titik a, b, c. Maka, (a-p-b) mengakibatkan (b-p-c) atau (a-p-c) tapi
tidak keduanya.
B5. (Eksistensi) Jika a ≠ b, maka ada x, y, z sedemikian sehingga (x-a-b),
(a-y-b), (a-b-z). ∎
Postulat-postulat tersebut cukup mudah dimengerti. Postulat B1
mengatakan bahwa jika titik b berada di antara a dan c, maka titik b juga
berada di antara c dan a. Dari potulat pertama ini kita dapat menarik
kesimpulan bahwa relasi keantaraan ini bersifat simetri . Yang terpenting
adalah posisi titik yang terletak ditengah. Postulat B2 ingin mengatakan
bahwa permutasi siklik tidak berlaku dalam keantaraan. Jika b berada di
antara a dan c, maka pernyataan bahwa c berada di antara a dan b adalah
salah. Postulat B3 berupa biimplikasi sehingga dapat diartikan menjadi 2
implikasi, yaitu :
B3.1 Jika (a-b-c) maka a, b, dan c adalah tiga titik berbeda dan kolinear.
B3.2 Jika a, b dan c adalah tiga titik yang berbeda dan kolinear maka (a-b-
c), atau (b-c-a) atau (c-a-b)
Postulat B4 mengatakan jika sebuah titik P memisahkan a dari b, maka
Postulat B5 berbicara mengenai eksistensi 3 buah titik sedemikian
sehingga jika titik a tidak sama dengan b , maka
i) ada sebuah titik yang memisahkan titik a dan b.
ii) ada sebuah titik yang dipisahkan dari b oleh titik a, artinya titik a
terletak di antara titik b dan titik lain.
iii) ada sebuah titik yang dipisahkan dari a oleh b, artinya, titik b
terletak di antara titik a dan titik lainnya.
Selanjutnya, akan diberikan definisi keantaraan dengan pendekatan metrik.
Definisi 2.4.2 (Millman & Parker, 1991:47):
B di antara A dan C, jika A, B, C adalah 3 titik berbeda yang kolinear
dalam geometri metrik { S ,ℒ, d } , dan jika d , + , =
( , ) ∎
Dalam geometri metrik, B di antara A dan C dinotasikan sebagai A-B-C.
Dan jarak , dinotasikan sebagai AB.
Yang perlu diperhatikan dari Definisi 2.4.2 adalah ketiga titik harus
kolinear atau segaris. Jika tidak segaris, maka tidak bisa memenuhi konsep
keantaraan. Selanjutnya, ketiga titik yang segaris tersebut harus memenuhi
+ = agar bisa memenuhi Definisi 2.4.2. Jika kedua syarat tersebut terpenuhi, maka titik B dapat dikatakan terletak diantara titik A
dan C.
Contoh 2.4.1 :
Misalkan 2,0 , 2,5 , (2,6) adalah titik-titik dalam geometri Euclides. Untuk membuktikan bahwa ketiga titik tersebut kolinear, kita
perlu mencari garis yang melewati titik A dan B, kemudian kita cek
apakah garis tersebut juga melewati titik C. Jika iya, maka ketiga titik
tersebut kolinear, tetapi jika tidak maka ketiga titik tersebut tidak kolinear.
Garis yang melewati titik A dan B adalah garis = 2. Ternyata garis tersebut juga melewati titik C. Oleh karena itu ketiga titik tersebut
merupakan titik-titik yang kolinear.
Sekarang kita perlu mencari jarak tiap 2 titik.
= (2−2)2+ (5−0)2 = 5 = (2−2)2+ (6−0)2 = 6 = (2−2)2+ (6−5)2 = 1
+ = 5 + 1 = 6 = .
Dari perhitungan di atas terlihat bahwa + = . Maka, titik B terletak di antara A dan C. ●
Teorema 2.4.1 (Millman & Parker, 1991:49): Jika A-B-C maka C-B-A.
Bukti :
Jika A, B, dan C adalah 3 titik yang berbeda dan kolinear, maka begitu
= AC. Karena PQ = QP untuk semua P dan Q, kita mempunyai BA +CB =
CA atau CB +BA = CA yang menunjukkan bahwa C-B-A. □
Untuk lebih memahami Teorema 2.4.1, perhatikan gambar berikut :
Gambar 2.9 menunjukkan titik B di antara A dan C. Gambar 2.10
menunjukkan titik B di antara A dan C.
Melihat dari kedua gambar di atas dan isi Teorema 2.4.1 , kita dapat
menyimpulkan bahwa yang konsep yang paling penting dalam keantaraan
bukanlah posisinya, tetapi jaraknya.
Selanjutnya, akan dibahas mengenai konsep keantaraan dalam bilangan
real.
Definisi 2.4.3 (Bartle & Sherbert, 1927:44)
Untuk setiap x dan y adalah sembarang bilangan real dengan x < y,
terdapat sebuah bilangan real r, sedemikian sehingga x < r < y
x < r < y berarti x < r dan r < y. ∎
Untuk lebih memahami Definsi 2.4.3, perhatikan contoh berikut :
A B C Gambar 2.9 A-B-C C B A Gambar 2.10 C-B-A
Contoh 2.4.2 :
Misalkan ada 2 bilangan real, yaitu 3 dan 8. Karena 3 < 8, maka kita bisa
mencari suatu bilangan real yang terletak di antara 3 dan 8, misalnya 5,
sedemikian sehingga 3 < 5 <8 terpenuhi. ●
Selanjutnya, akan dibahas Teorema 2.4.2, Teorema ini ada sebagai bentuk
gabungan dari Definisi 2.4.1 dan Definisi 2.4.2. Teorema ini
menggabungkan konsep keantaraan dalam titik dengan konsep keantaraan
bilangan.
Teorema 2.4.2 (Millman & Parker, 1991:49)
Anggap l adalah sebuah garis dan f sebuah sistem koordinat untuk . Jika A, B, dan C adalah 3 titik pada garis l dengan koordinat x, y, z , maka A- B-C jika dan hanya jika x < y < z.
Bukti :
Perhatikan, jika A,B, dan C adalah titik yang sama, maka A-B-C dan x < y
< z, keduanya jelas salah. Karena itu, kita mengasumsikan bahwa A,B, dan
C adalah tiga titik yang berbeda.
Pertama, kita akan membuktikan jika A-B-C maka x < y < z.
Diketahui bahwa x = f(A), y=f(B) , z=f(C), dan AB + BC = AC. Maka
menurut definisi fungsi jarak,
AB = � − �( ) = − BC = − AC = − sehingga − + − = − . (2.4.1)
Kita harus menunjukkan bahwa persamaan tersebut mengakibatkan x < y
< z atau z < y < x.
Karena A,B,C adalah 3 titik yang berbeda, maka hanya satu kondisi untuk
x,y,z yang tepat dari antara berbagai kemungkinan berikut :
(i) x < y < z (ii) z < y < x (iii) y < x < z (iv) z < x < y (v)x < z < y (vi)y < z < x
Kita akan menunjukkan bahwa dalam kasus (iii) akan terjadi kontradiksi.
Kasus (iii) mengakibatkan
− = − − = − − = −
Jika kita memasukkan persamaan tersebut ke dalam persamaan (2.4.1),
maka
− + − = −
=
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda.
Karena itu, kasus (iii) tidak memenuhi.
Kasus (iv) mengakibatkan
− = − − = − − = −
Jika kita memasukkan persamaan tersebut ke dalam persamaan (2.4.1),
maka
− + − = −
=
Karena itu, kasus (iv) tidak memenuhi.
Kasus (v) mengakibatkan
− = − − = − − = −
Jika kita memasukkan persamaan tersebut ke dalam persamaan (2.4.1),
maka
− + − = −
=
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda.
Karena itu, kasus (v) tidak memenuhi.
Kasus (vi) mengakibatkan
− = − − = − − = −
Jika kita memasukkan persamaan tersebut ke dalam persamaan (2.4.1),
maka
− + − = −
=
Hal ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa x,y,z adalah berbeda.
Karena itu, kasus (vi) tidak memenuhi.
Jadi yang memungkinkan hanyalah kasus (i) atau kasus (ii), sehingga
terbukti bahwa x < y < z.
Sekarang kita akan menunjukkan jika x < y < z maka A-B-C.
Anggap x<y<z (untuk kasus z<y<x sama saja). Dalam kasus ini
− = − − = − − = − sehingga − + − = −
atau � − �( ) + �( )− �( ) = �( )− �( )
atau AB + BC = AC.
Jadi, A,B,C adalah tiga titik yang kolinear dan berbeda, serta A-B-C. □