BAB IV KONVERGENSI METODE DEKOMPOSISI ADOMIAN
C. Kecepatan Konvergensi
Untuk menunjukkan kecepatan konvergensi dari MDA adalah dengan menggunakan lemma beserta buktinya di bawah ini.
Lemma 4.1
‖ ‖ dan ‖ ‖ dengan suatu variabel bebas, maka ∑ merupakan suatu solusi pendekatan persamaan fungsional. Jika deret lengkap diganti dengan deret terpotong yang melibatkan suku , maka galatnya sama dengan .
Bukti
Metode Adomian memberikan hasil yang sangat baik bahkan jika diambil deret terpotong dengan banyaknya suku yang sedikit. Hasil tersebut diperoleh dari analogi deret Adomian dan deret Taylor. Sehingga, diperoleh:
∑ ∑ ∑ (∑ ) (4.8)
Dipandang deret terpotong ∑ untuk solusi pendekatan
∑ , maka untuk menghitung galat adalah dengan menggunakan bentuk dibawah ini, yaitu:
|∑ ∑ | | ∑ | |∑ | |∑ (∑ ) | ∑ | (∑ ) | ∑| ||∑ | ∑| |(∑| | ) ∑| | (4.9) dengan ∑ | |.
Misalkan bahwa dibatasi dalam norm oleh suatu konstanta , variabel bebas , dan bahwa juga dibatasi dalam norm oleh suatu , maka galat yang diberikan dibatasi oleh:
(4.10)
dengan dan secara beturut-turut adalah suatu konstanta posisitif dan suatu bilangan bulat positif.
71 BAB V PENUTUP
Pada bab ini diberikan kesimpulan mengenai pembahasan pada bab-bab sebelumnya serta saran untuk penelitian selanjutnya.
A. Kesimpulan
Telah dilihat bahwa metode dekomposisi yang ditulis oleh G. Adomian dapat menyelesaikan persamaan nonlinear. Dalam tugas akhir ini penulis menyelesaikan persamaan diferensial parsial nonlinear dengan menggunakan MDA tersebut. Penyelesaian dengan menggunakan MDA ini didukung dengan teori-teori dasar seperti persamaan diferensial, turunan, integral, deret Taylor dan deret Maclaurin serta konsep konvergensi deret Taylor.
Dalam tugas akhir ini terlihat bahwa MDA dapat menyelesaikan persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Metode ini merupakan metode yang sangat sederhana dengan bantuan polinomial Adomian. Dalam tugas akhir ini penulis menggunakan cara yang sangat sederhana dan dapat mempermudah dalam menghitung polinomial Adomian yang didasarkan pada aljabar, identitas trigonometri, dan deret Taylor. Metode ini digunakan untuk memperoleh solusi yang eksak sebagai deret takhingga dari fungsi. Cara termudah dalam mencari solusi eksak adalah dengan menggunakan deret terpotong. Deret terpotong yang dihasilkan tersebut merupakan solusi pendekatannya.
Terlihat bahwa penggunaan MDA pada keempat persamaan di atas memperoleh solusi eksak sehingga deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi eksak tersebut dan galat pemotongannya dapat dihitung. Sehingga, deret terpotong yang biasanya melibatkan beberapa suku merupakan solusi pendekatan. Solusi pendekatan ini secara eksplisit bergantung pada variabel ruang dan waktu.
B.Saran
Penulis sadar bahwa dalam penulisan tugas akhir ini masih banyak kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini. Tulisan ini hanya membahas mengenai penyelesaian MDA untuk persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Penulis berharap kelak akan ada yang melanjutkan penelitian ini dengan menggunakan metode lain yang mungkin memberikan hasil yang lebih baik.
73 DAFTAR PUSTAKA
Adomian, G. (1988). A review of the decomposition method in applied mathematics. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 135 (2): 501-544.
Adomian, G. (1998). Solution of nonlinear partial diferential equations. Applied Mathematics Letters, 11 (3): 121-123.
Al-Khaled, K. dan Allan, F. (2004). Construction of solutions for the shallow water equations by the decomposition method. Mathematics and Computers in Simulation, 66 (6): 479-486.
Bermudes, A. Dan Vasquez, E.M. (1994). Upwind methods for hyperbolic conservation laws with source terms. Computation Fluids, 23 (8): 1049-1071.
Cherruault, Y. and Adomian, G. (1993). Decomposition methods: a new proof of convergence, Mathl. Comput. Modelling, 18 (12): 103-106.
Dawson, C. dan Mirabito, M.C. (2008). “The Shallow Water Equations”. http://users.ices.utexas.edu/~arbogast/cam397/dawson_v2.pdf/ Diakses tanggal 28 September 2015.
Dispini, M. and Mungkasi, S. (2016). Adomian decomposition method used to solve the shallow water equations, AIP Conference Proceedings, 1746: 020055.
Martins, R., Leandro, J. and Djordjevic, S. (2016). Analytical solution of the classical dam-break problem for the gravity wave-model equations, Journal of Hydraulic Engineering, 142 (4): 06016003.
Mungkasi, S dan Dheno, M. F. S. (2016). Adomian decomposition method used to solve the gravity wave equations. International Conference on Engineering, Science and Nanotechnology. To appear in AIP Conference Proceeding. Ross, S.L. (1984). Differential Equations. New Delhi: John Wiley and Sons, Inc.
Thomas, G. B. (2010). Thomas’ Calculus Early Transcendentals. Boston: Person Education.
Wazwaz, A.M. (2009). Partial Differential Equation Method and Applications. Berlin : Springer.
74
Lampiran
Berikut ini adalah code program MAPLE untuk perhitungan persamaan gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik dengan menggunakan MDA.
1. Perhitungan untuk persamaan Burger
2. Perhitungan untuk persamaan gelombang air dangkal (PGAD)
>
3. Perhitungan untuk persamaan gelombang gravitasi
4. Perhitungan untuk persamaan gelombang kinematik
>
ABSTRAK
Persamaan diferensial parsial terdiri dari persamaan diferensial parsial linear dan nonlinear. Beberapa model persamaan diferensial parsial nonlinear antara lain adalah persamaan Burger, persamaan gelombang air dangkal (PGAD), persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Agar perhitungan menjadi lebih cepat dan sederhana, PGAD kemudian disederhanakan ke dalam model lain yang salah satunya adalah persamaan gelombang gravitasi dan persamaan gelombang kinematik.
Dalam tugas akhir ini, keempat model persamaan diferensial parsial nonlinear di atas diselesaikan dengan menggunakan metode dekomposisi Adomian (MDA). Dengan menggunakan MDA, solusi persamaan diferensial diasumsikan sebagai jumlahan fungsi atau deret tak hingga fungsi dengan bantuan polinomial Adomian. Polinomial Adomian digunakan untuk menyelesaikan suku nonlinear dalam persamaan diferensial tersebut. Persamaan diferensial harus disertai dengan kondisi awal agar persamaan diferensial tersebut dapat diselesaikan. Kondisi awal yang diberikan tersebut sangat berpengaruh terhadap solusi yang didapatkan.
Sebagai tindak lanjut dari penggunaan konsep MDA dalam keempat persamaan diferensial parsial nonlinear di atas adalah jika terdapat solusi eksak eksplisit dari masalah yang dicari maka deret yang diperoleh konvergen sangat cepat ke solusi tersebut. Solusi pendekatan MDA merupakan solusi yang berasal dari deret terpotong yaitu yang biasanya melibatkan beberapa suku saja. Secara eksplisit, solusi pendekatan tersebut bergantung pada variabel ruang dan waktu.
Penelitian ini menerapkan konsep MDA ke dalam persamaan Burger, PGAD, persamaan gelombang gravitasi, dan persamaan gelombang kinematik. Perhitungan dilakukan dengan bantuan program komputer yaitu MAPLE.
ABSTRACT
Partial differential equations are of linear and nonlinear. Some models of nonlinear partial differential equations, are Burger equation, Shallow Water Equation (SWE), gravity wave equation, and kinematic wave equation. In order to make the calculation becomes faster and simpler, SWE is simplified into other models, which are gravity wave equation and kinematic wave equation.
In this thesis, the four models of nonlinear partial differential equations are solved by using Adomian Decomposition Method (ADM). By using this method, the solution of differential equation is assumed as the sum of functions or infinite series of functions with the help of Adomian polynomials. Adomian polynomial is used for solving the nonlinear term in the differential equation. The differential equation must be accompanied by an initial condition so that the differential equation can be solved. The initial condition which is given greatly affects the obtained solution.
As the follow-up of the use of the ADM in the four nonlinear partial differential equations above is that if there is an explicit exact solution of the problem, the series converges quickly into the solution. The approximate solution is the solution derived from a truncated series which is usually involving only several terms. Explicitly, the approximate solution depends on the space and time variables.
This research applies ADM concept into the Burger equation, SWE, gravity wave equation, and kinematic wave equation. The calculation is done by the aid of the MAPLE computer software.