Akibat 1
Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(A U B) = P(A) + P(B)
Akibat 2
Bila A1, A2, A3, …, An saling terpisah, maka
P(A1 U A2 U … U An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) Akibat 3
Bila A1, A2, A3, …, An merupakan suatu sekatan ruang sampel T, maka P(A1 U A2 U … U An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An)
Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluang lulus biologi 4/9. bila peluang lulus kedua mata kuliah ¼, berapa peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah?
Bila M = lulus matematika B = lulus biologi
P(M U B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B) = 2/3 + 4/9 – ¼ = 31/36
Berapa peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 bila 2 dadu dilemparkan? Misal A = kejadian muncul 7 = 6
B = kejadian muncul 11 = 2 P(A) = 6/36
P(B) = 2/36
Bila peluang seseorang yang membeli mobil akan memilih warna hijau, putih, merah, atau biru, masing-masing, 0,09 ; 0,15 ; 0,21 ; 0,23, berapakah peluang seorang pembeli tertentu akan membeli mobil baru berwarna seperti salah satu dari warna tersebut tadi?
Misalkan A, B, C, D kejadian bahwa seorang pembeli memilih masing-masing, mobil berwarna hijau, putih, merah, atau biru. Karena keempat kejadian ini saling terpisah maka peluangnya sebesar
Bila A dan A’ dua kejadian yang berkomplementer, maka P(A) + P(A’) = 1
A
Bila peluang montir mobil akan memperbaiki 3,4,5,6,7,atau 8 lebih mobil pada setiap hari kerja, masing-masing 0,12; 0,19; 0,28; 0,24; 0,10; 0,07. Berapa peluang dia akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya?
Misal,
E = kejadian paling sedikit 5 mobil diperbaiki E’ = kejadian kurang dari 5 mobil diperbaiki P(E) = 1 - P(E’)
P(E’) = 0,12 + 0,19 = 0,31 P(E) = 1 – 0,31 = 0,69
Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = P(A)P(B|A)
Misal,
Kita punya kotak berisi 20 sekring, 5 diantaranya cacat. Bila 2 sekring dikeluarkan dari kotak 1 demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke kotak), berapa peluang kedua sekring itu cacat?
P(A) = 5/20 P(B|A) = 4/19
Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = P(A)P(B)
Misal,
Suatu kota kecil mempunyai satu mobil pemadam kebakaran dan satu ambulan untuk keadaan darurat. Peluang mobil pemadam kebakaran siap waktu diperlukan 0,98 dan peluang ambulan siap panggil 0,92. Dalam kejadian ada kecelakaan karena kebakaran gedung, cari peluang keduanya siap.
P(A) = 0,98 P(B) = 0,92
Bila dalam suatu percobaan, kejadian A1, A2, A3, … Akdapat terjadi, maka 𝑃 A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩ A2) … 𝑃 Ak|A1 ∩ A2 ∩ … ∩ Ak−1
Bila kejadian A1, A2, A3, … Ak bebas, maka
𝑃 A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ … ∩ Ak = 𝑃(A1)P(A2)P(A3) … P(Ak) Misal,
Tiga kartu diambil satu demi satu tanpa pengembalian dari sekotak kartu (berisi 52). Cari peluang bahwa kejadian A1 A2 A3 terjadi bila A1 kejadian bahwa kartu pertama as berwarna merah, A2 kejadian kartu kedua 10 atau jack, dan A3 kejadian kartu ketiga lebih besar dari 3 tapi lebih kecil dari 7.
P(A1) = 2/52 P(A𝟐|A1) = 8/51 P(A3|A1 ∩ A2) = 12/50
𝑃 A1 ∩ A2 ∩ A3 = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩ A2) = 2/52 x 8/51 x 12/50
Peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat.
Peluang bersyarat dinyatakan dengan P(B|A) “peluang B, bila peluang A diketahui” P(B|A) = 𝑷(𝑨∩𝑩)
𝑷(𝑨)
Misal,
Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan mereka. Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakan ke seluruh negeri. Kita ingin meneliti peluang laki-laki yang terpilih dalam status bekerja.
M = lelaki yang terpilih
E = orang yang terpilih dalam status bekerja P(E) = 600/900
𝑃 𝐸 ∩ 𝑀 = 460/900 P(M|E) = 23/30
Bekerja Tak Bekerja Jumlah
Lelaki 460 40 500
Wanita 140 260 400
Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B) = 0,83; peluang sampai tepat waktu P(S) = 0,82 dan peluang berangkat dan sampai tepat waktu P(B ∩ S) = 0,78. Cari peluang bahwa pesawat a sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu, dan b berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.
Dari tabel di bawah, tentukan: a. P(A1) b. P(B1|A2) c. P(B2 dan A3)
A1 A2 A3 Total
B1 2 1 3 6
B2 1 2 1 4
Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P(B|A) = P(B) dan P(A|B) = P(A)
Contoh,
Sebuah mata uang logam dilempar 2 kali. Jika pelemparan pertama menghasilkan angka (A), tentukan probabilitas menghasilkan angka pada lemparan kedua (B)!
Solusi,
Probabilitas A muncul pada lemparan pertama = 0,5
Lemparan A tidak mempengaruhi hasil di lemparan B, jadi probabilitas juga 0,5. Jadi, P(B|A) = 0,5
Peluang bahwa nyonya berada di rumah ketika penjual jamu datang 0,6. jika nyonya berada di rumah peluangnya dia membeli jamu 0,4. Cari peluangnya bahwa nyonya berada di rumah dan membeli jamu ketika si penjual datang!
Peluang dokter dengan tepat mendiagnosa sejenis penyakit tertentu 0,7. Bila dokter tadi salah diagnosa, peluangnya si sakit meninggal 0,9. Berapakah peluangnya sang dokter salah diagnosa dan si sakit meninggal?
Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dan kantong kedua berisi 3 bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan tanpa melihatnya ke kantong kedua. Berapa peluangnya sekarang mengambil bola hitam dari kantong kedua?
Suatu uang logam mempunyai peluang muncul muka 2 kali lebih besar dari peluang muncul belakang. Bila uang itu dilempar 3 kali, berapa peluang mendapat 2 belakang dan 1 muka?
Ditemukan oleh Thomas Bayes.
Kaidah ini digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.
Teori ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (misalnya A) dengan syarat peristiwa lain (misalkan X) telah terjadi.
Kaidah ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbarui probabilitas.
Pada kaidah ini terdapat beberapa probabilitas:
1. Probabilitas awal
2. Probabilitas bersyarat
3. Probabilitas gabungan
Seandainya 5% dari populasi Umen, sebuah negara dunia ketiga fiktif, menderita sebuah penyakit yang aneh. Kita misalkan A1 adalah kejadian “menderita penyakit” dan A2 adalah kejadian “tidak menderita penyakit”. Jadi, kita tahu jika kita memilih seseorang dari Umen secara acak, probabilitas individu yang terpilih yang menderita penyakit tersebut adalah 0,05 atau P(A1)=0,05.
Probabilitas P(A1) = 0,05 -> disebut probabilitas awal (prior probability) Kenapa disebut prior probability?
Karena probabilitas awal tersebut ditentukan sebelum diperoleh data empiris apapun.
Probabilitas awal seseorang tidak menderita penyakit adalah 0,95 atau P(A2)=0,95, diperoleh dari 1-0,05.
𝑷 𝑨𝒊 𝑩 = 𝑷 𝑨𝒊 𝑷(𝑩|𝑨𝒊)
Terdapat suatu diagnosis untuk menemukan penyakit tersebut, tapi teknik ini tidak terlalu akurat.
Misalkan B adalah “diagnosis menunjukkan adanya penyakit”
Anggap pembuktian sejarah menunjukkan bahwa, jika seseorang menderita penyakit tersebut, probabilitas diagnosis tersebut akan mengindikasikan adanya penyakit adalah 0,90.
Pernyataan tersebut dapat ditulis: P(B|A1) = 0,90
Anggap probabilitas seseorang yang tidak menderita penyakit tersebut tetapi diagnosis menunjukkan adanya penyakit adalah 0,15.
Mari kita memilih secara acak seseorang dari Umen dan mendiagnosisnya. Hasil diagnosis menunjukkan bahwa ia menderita penyakit tersebut.
Berapa probabilitas orang itu sebenarnya menderita penyakit tersebut?? Jadi, kita ingin mengetahui P(A1|B),
P(menderita penyakit|hasil diagnosis positif)
Probabilitas menderita penyakit setelah ada diagnosis positif.
Probabilitas P(A1|B) disebut probabilitas posterior (posterior probability)
Probabilitas posterior: probabilitas yang diperbaiki karena adanya informasi tambahan
𝑷 𝑨𝟏 𝑩 = 𝑷 𝑨𝟏 𝑷(𝑩|𝑨𝟏) 𝑷 𝑨𝟏 𝑷 𝑩 𝑨𝟏 + 𝑷 𝑨𝟐 𝑷(𝑩|𝑨𝟐) = 𝟎,𝟎𝟓 (𝟎,𝟗𝟎) (𝟎,𝟎𝟓)(𝟎,𝟗𝟎)+(𝟎,𝟗𝟓)(𝟎,𝟏𝟓) = 0,0450 / 0,1875 = 0,24
Jadi, probabilitas seseorang menderita penyakit jika diketahui hasil diagnosisnya positif adalah 0,24.
Maknanya,
Jika seseorang dipilih secara acak dari populasi, probabilitasnya menderita penyakit adalah 0,05. jika orang tersebut diuji lalu hasilnya positif, probabilitas orang tersebut benar-benar menderita penyakit meningkat hampir 5 kali lipat dari 0,05 menjadi 0,24.
Kejadian
(Ai) Probabilitas awalP(Ai) bersyarat, P(B|Ai)Probabiltas gabungan, P(Ai ∩Probabilitas B)
Probabilitas Posterior
P(Ai|B)
Ada penyakit (A1) 0,05 0,90 0,0450 0,24
Tidak ada penyakit
(A2) 0,95 0,15 0,1425 0,76
SECARA UMUM
Peristiwa B1, B2, …, Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel S dengan P(Bi≠0) untuk i=1,2,…,k
P(A) = P[(B1 ∩ A) U (B2 ∩ A) U … U (Bk ∩ A) = P(B1 ∩ A) + P (B2 ∩ A) + … + P(Bk ∩ A)
k i k i i i iA P B P A B
B
P
A
P
1 1)
|
(
)
(
)
(
)
(
Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0,3. Peluang Pak Badu terpilih 0,5. Peluang Pak Cokro terpilih 0,2. Kalau Pak Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Pak Badu atau Pak Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. berapakah peluang iuran akan naik?
A = orang yang terpilih menaikkan iuran B1 = Pak Ali yang terpilih
B2 = Pak Badu yang terpilih B3 = Pak Cokro yang terpilih
P(B1) = 0,3 P(B2) = 0,5 P(B3) = 0,2 P(A|B1) = 0,8 P(A|B2) = 0,1 P(A|B3) = 0,4
P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3) = (0,3)(0,8) + (0,5)(0,1) + (0,2)(0,4)
= 0,24 + 0,05 + 0,08 = 0,37
Misal,
Bila diketahui iuran telah naik, berapa peluang bahwa Pak Cokro yang terpilih jadi ketua?
Pake teorema Bayes
P(B3|A) = (0,08)/(0,24+0,05+0,08) = 8/37
𝑷 𝑩𝟑 𝑨 = 𝑷 𝑩𝟑 𝑷(𝑨|𝑩𝟑)