Isnaini Nurisusilawati

1. Eksperimen probabilitas (probability experiment)

Segala kegiatan dimana suatu hasil/keluaran, tanggapan, ataupun ukuran diperoleh.

2. Ruang sampel (sample space)

Himpunan yang memuat seluruh kemungkinan hasil, tanggapan, ataupun ukuran dari sebuah eksperimen.

3. Peristiwa (event)

Segala himpunan bagian dari hasil, tanggapan, ataupun ukuran dalam suatu ruang sampel.

 Eksperimen probabilitas adalah setiap proses untuk menghasilkan data mentah.  Misal,

Percobaan melempar mata uang Percobaan melempar dadu

Peluncuran sebuah rudal dan pengamatan kecepatannya pada saat tertentu Pendapat rakyat mengenai rencana undang-undang

Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan statistika disebut

ruang sampel dan dinyatakan dengan lambang T.

Tiap hasil dalam ruang sampel disebut unsur atau anggota ruang sampel atau titik

sampel.

Ketentuan penulisan ruang sampel:

- Lambang: T

- Anggota ruang sampel didaftar dengan menuliskannya di antara 2 akolade {} - Masing-masing unsur dipisah koma

Misal,

Ruang sampel T yang merupakan kumpulan semua hasil dari lemparan mata uang: T= {M, B}

Misal:

Dalam percobaan pelemparan sebuah dadu,

Bila yang diselidiki adalah nomor yang muncul di sebelah atas, maka ruang sampelnya:

T1 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Bila yang diselidiki apakah yang muncul nomor genap atau ganjil, maka ruang sampelnya:

T2 = {ganjil, genap}

Misal,

Suatu percobaan terdiri dari lemparan suatu mata uang logam dan jika muncul “muka” maka uang dilempar sekali lagi. Jika muncul “Belakang” maka sebuah dadu digulirkan. Tulis semua ruang sampel dari percobaan tersebut! T = {MM, MB, B1, B2, B3, B4, B5. B6} Diagram pohon M M B B 1 2 3 4 5 6

Event adalah himpunan bagian dari ruang sampel

Dalam sebuah percobaan, yang ingin kita ketahui mungkin adalah munculnya kejadian tertentu bukan hasil unsur tertentu dalam ruang sampel.

Misal,

Kita ingin tahu tentang kejadian A yaitu bahwa hasil lemparan dadu yang dapat dibagi tiga.

T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {3, 6}

Atau ingin tahu kejadian B bahwa hasil lemparan dadu lebih kecil dari 3. T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Komplemen suatu kejadian A terhadap T ialah himpunan semua unsur T yang tidak termasuk A.

A komplemen dinyatakan dengan At_.

Misal,

T = {buku, pensil, cangkul, montir, temperature, es} A = {pensil, montir, temperatur}

Maka,

Irisan 2 kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A ∩ B, ialah kejadian yang unsurnya termasuk dalam A dan B.

Misal,

A dan B dua kejadian yang berkaitan dengan suatu percobaan (A dan B himpunan bagian dari ruang sampel yang sama). Kejadian A adalah munculnya bilangan genap. Kejadian B adalah munculnya bilangan yang lebih dari 3.

Maka,

A = {2, 4, 6} dan B = {4, 5, 6} Dengan T = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A ∩ B = {4, 6}

Gabungan 2 kejadian A dan B, dinyatakan dengan lambang A U B, ialah kejadian yang mengandung semua unsur yang termasuk A atau B atau

keduanya. Misal,

A = {a, b, c} B = {b, c, d, e}

Ruang sampel Kejadian/event

S

A

B

C

1. Dua juri dipilih dari 4 calon pada suatu perlombaan. Dengan menggunakan

lambang C1C3 , misalnya, untuk menyatakan kejadian sederhana bahwa calon 1 dan 3 yang terpilih, tuliskanlah ke 6 unsur ruang sampel T!

2. Suatu percobaan terdiri atas pergiliran suatu dadu dan kemudian melempar

uang logam satu kali bila angka yang muncul pada dadu genap. Bila angka pada dadu ganjil, mata uang tadi dilemparkan dua kali. Dengan menggunakan lambang 4M, misalnya, untuk menyatakan kejadian bahwa pada dadu muncul angka 4 dan kemudian uang logam muncul muka, dan 3MB menyatakan kejadian bahwa dadu memberi angka 3 diikuti oleh muka dan kemudian belakang pada uang logam, buatlah diagram pohon untuk menunjukkan ke 18 unsur dalam ruang sampel T

Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, maka kedua operasi itu dapat

dikerjakan bersama-sama dengan n1n2 cara. Misal,

Berapa banyak titik sampel dalam ruang sampel bila sepasang dadu dilemparkan sekali?

Solusi:

Dadu 1 (n1) = 6 posisi Dadu 2 (n2) = 6 posisi

Soal,

Suatu perusahaan perumahan menawarkan bagi calon pembelinya pilihan rumah gaya luar berbentuk tradisional, Spanyol, kolonial, dan modern di daerah pusat kota, pantai, dan bukit. Dalam berapa banyak pilihan seorang pembeli dapat memesan rumah?

Bila suatu operasi dapat dilakukan dengan n1 cara, dan bila untuk tiap cara ini operasi kedua dapat dikerjakan dengan n2 cara, dan bila untuk setiap kedua cara operasi tersebut operasi ketiga dapat dikerjakan dengan n3 cara, maka

deretan k operasi dapat dikerjakan dengan n1n2..nk. Misal,

Seorang langganan ingin memesan telepon dan dia dapat memilih dari n1 = 10 warna dekorasi, yang dimisalkan tersedia dengan pilihan panjang kawat sambungan n2 = 3 dengan n3 = 2 jenis telepon, yaitu, yang diputar atau dipakai tombol.

Maka, pilihan jenis telepon yang ada: n1n2n3 = (10)(3)(2) = 60

Soal,

Berapa macam hidangan dapat disajikan bila masing-masing hidangan dapat terdiri atas sop, nasi goreng, bakmi, dan soto, bila tersedia 4 macam sop, 3 macam nasi goring, 5 macam bakmi, dan 4 macam soto?

Permutasi adalah suatu susunan yang dapat dibentuk dari satu kumpulan benda yang diambil sebagian atau seluruhnya.

Misal,

Ambil 3 huruf a,b,c. Permutasi yang dapat dibuat adalah abc, acb, bac, bca, cab, cba. Untuk tempat pertama, ada n1 = 3 pilihan

Untuk tempat kedua, ada n2 = 2 pilihan Untuk tempat ketiga, ada n3 = 1 pilihan

Banyaknya permutasi n benda yang berlainan adalah n! Misal,

Banyak permutasi empat huruf a,b,c,d adalah 4! = (4)(3)(2)(1) = 24

Banyaknya permutasi n benda berlainan bila diambil r sekaligus adalah

𝒏𝑷𝒓= 𝒏! 𝒏−𝒓 !

Misal,

Dari 20 undian, 2 diambil untuk hadiah pertama dan kedua. Hitunglah banyak titik sampel dalam ruang T!

𝟐𝟎𝑷𝟐= 20!

Banyaknya permutasi yang berlainan dari n benda bila n1 diantaranya berjenis pertama, n2 berjenis kedua, … , nk berjenis ke k adalah

𝒏!

𝒏𝟏! 𝒏𝟐! … 𝒏𝒌! Misal,

Sebuah rangkaian lampu terdiri dari 9 bola lampu yang dirangkai seri. Ada berapa cara menyusun 9 bola lampu itu bila 3 diantaranya berwarna merah, 4 kuning, dan 2 biru?

Banyaknya susunan yang berlainan ada 𝟗!

Banyaknya cara menyekat suatu himpunan n benda dalam r sel, masing-masing berisi n1 unsur dalam sel pertama, n2 sel dalam sel kedua, dst, adalah

𝒏

𝒏𝒊,𝒏𝟐,…,𝒏𝒓 =

𝒏!

𝒏𝟏!𝒏𝟐!…𝒏𝒓! 𝒅𝒆𝒏𝒈𝒂𝒏 𝒏𝟏 + 𝒏𝟐 + ⋯ + nr =n

Misal,

Berapa banyak cara untuk menampung 7 petinju dalam 3 kamar hotel, bila 1 kamar bertempat tidur 3, sedang 2 lainnya punya 2 tempat tidur?

Banyaknya cara 𝟕 𝟑,𝟐,𝟐

𝟕!

Banyaknya kombinasi dari n benda yang berlainan bila diambil sebanyak r sekaligus adalah 𝒏 𝒓

=

𝒏! 𝒓! 𝒏−𝒓 ! Misal,

Bila ada 4 kimiawan dan 3 fisikawan, carilah banyaknya panitia 3 orang yang dapat dibuat yang beranggotakan 2 kimiawan dan 1 fisikawan.

Solusi,

Banyaknya cara memilih 2 kimiawan dari 4 = 𝟒_𝟐 = 𝟒!

𝟐!𝟐! = 6

Banyaknya cara memilih 1 fisikawan dari 3 = 𝟑 𝟏 =

𝟑!

𝟏!𝟐! = 3

1. Sebuah perusahaan menawarkan rumah dalam 4 pilihan model, 3 macam sistem

pendingin, dengan atau tanpa garasi, dan dengan atau tanpa beranda. Berapa macam pilihan yang berbeda tersedia bagi seorang pembeli?

2. Seorang saksi mata dalam kecelakaan tabrak lari memberitahukan polisi bahwa

plat mobil yang menabrak mengandung huruf RLH dan diawali oleh 3 angka, yang pertama angka 5. Bila saksi itu tidak dapat mengingat kedua angka yang lainnya tetapi yakin ketiga angka berlainan, cari banyaknya nomor plat maksimum yang perlu diperiksa polisi!

3. Tiga nomor undian untuk hadiah pertama, kedua, dan ketiga ditarik dari 40

Probabilitas adalah sebuah bilangan yang terletak di antara 0 dan 1 yang berkaitan dengan suatu peristiwa (event) tertentu.

Jika peristiwa itu pasti terjadi, maka probabilitas kejadian/peristiwa itu adalah 1. Jika peristiwa itu mustahil terjadi, maka probabilitas kejadian/peristiwa itu adalah 0. Tiga definisi/pendekatan probabilitas:

1. Probabilitas klasik

2. Probabilitas frekuensi relatif/empiris 3. Probabilitas subjektif (intuitif)

Probabilitas diartikan sebagai hasil bagi dari Jumlah hasil yang diharapkan dengan jumlah seluruh hasil mungkin terjadi dengan asumsi bahwa hasil yang didapat dari sebuah eksperimen memiliki peluang sama besar.

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖ℎ𝑎𝑟𝑎𝑝𝑘𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑚𝑢𝑛𝑔𝑘𝑖𝑛 Contoh,

Lakukan sebuah eksperimen melempar dadu bersisi 6. Berapa probabilitas kejadian sebuah angka genap muncul?

Solusi

Hasil yang mungkin : 6 = (1,2,3,4,5,6) Hasil yang diharapkan : 3 = (2), (4), (6)

Sebuah mata uang dilemparkan 2 kali. Berapa peluang bahwa paling sedikit muncul muka sekali?

Solusi,

Ruang sampel percobaan -> T = {MM, MB, BM, BB} Bobot tiap titik sampel = ¼

Kejadian A = muncul Muka sekali = {MM, MB, BM} P(A) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾

Sebuah dadu diberati sedemikian rupa sehingga kemungkinan munculnya suatu angka genap 2 kali lebih besar daripada kemungkinan muncul suatu angka ganjil. Bika K menyatakan kejadian munculnya suatu angka yang lebih kecil dari 4 dalam satu lemparan, hitunglah P(K)!

T = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Misal, bobot tiap angka ganjil =b, maka bobot tiap angka genap = 2b Karena jumlah semua bobot adalah 1, maka 3b + 3(2b) = 1

Maka b = 1/9

Jadi, tiap angka ganjil berbobot 1/9 dan genap 2/9 K = {1, 2, 3}

Probabilitas empiris didasarkan pada jumlah kemunculan suatu kejadian sebagai sebuah proporsi dari sejumlah percobaan yang telah diketahui.

Probabilitas suatu kejadian yang muncul adalah sebagian dari sejumlah kejadian serupa yang telah terjadi di masa lalu.

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑒𝑚𝑝𝑖𝑟𝑖𝑠 = 𝑏𝑎𝑛𝑦𝑎𝑘𝑛𝑦𝑎 𝑘𝑒𝑚𝑢𝑛𝑐𝑢𝑙𝑎𝑛 𝑠𝑢𝑎𝑡𝑢 𝑘𝑒𝑗𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑒𝑠𝑒𝑙𝑢𝑟𝑢ℎ𝑎𝑛 𝑑𝑎𝑟𝑖 𝑝𝑒𝑛𝑔𝑎𝑚𝑎𝑡𝑎𝑛

Pendekatan empiris terhadap probabilitas didasarkan pada apa yang disebut hukum jumlah besar (law of large numbers) -> semakin banyak pengamatan akan menghasilkan prakiraan probabilitas yang lebih akurat.

Dalam percobaan yang jumlahnya sangat banyak, probabilitas empiris dari suatu kejadian akan mendekati probabilitas yang sesungguhnya.

Jumlah percobaan Jumlah muncul kepala Frekuensi relatif munculnya kepala 1 0 0,00 10 3 0,30 50 26 0,52 100 52 0,52 500 236 0,472 1000 494 0,494 10000 5027 0,5027

Contoh,

1. Semester lalu, 80 mahasiswa mendaftar di sebuah universitas. Terdapat 12

mahasiswa mendapat nilai A. Berdasar informasi ini dan aturan probabilitas empiris, dapat diperkirakan kemungkinan seorang mahasiswa memperoleh nilai A adalah 0,15.

2. Pada 1 Februari 2003, pesawat ulang-alik Columbia meledak. Ini adalah bencana

kedua dalam 113 misi luar angkasa NASA. Berdasarkan informasi ini, berapa probabilitas misi mendatang akan berhasil?

𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑡𝑎𝑠 𝑚𝑖𝑠𝑖 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑒𝑟ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 = 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑚𝑖𝑠𝑖 𝑏𝑒𝑟ℎ𝑎𝑠𝑖𝑙 𝑗𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑚𝑖𝑠𝑖 = 111/113

 Dari hasil ujian statistik II, 65 mahasiswa Fakultas Ekonomi Universitas X, didapat nilai

berikut:

X = nilai Statistik

Tentukan probabilitas salah seorang mahasiswa yang nilai statistiknya 8,3!

 Sekantung permen berisi 6 rasa jeruk, 4 rasa kopi, dan 3 rasa coklat. Bila seseorang

mengambil 1 permen secara acak, carilah peluang mendapat: a. Satu rasa jeruk

Probabilitas munculnya suatu kejadian tertentu yang ditentukan oleh seseorang berdasarkan informasi apapun yang tersedia.

Misal,

Penentuan strategi perang yang tidak bisa diuji secara eksperimen langsung. Memperkirakan kemungkinan seseorang akan menikah usia 30.

Bila A dan B dua kejadian sembarang, maka P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Untuk 3 kejadian A, B, dan C

Akibat 1

Bila A dan B kejadian yang terpisah, maka P(A U B) = P(A) + P(B)

Akibat 2

Bila A₁, A₂, A₃, …, A_n saling terpisah, maka

P(A₁ U A₂ U … U A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n) Akibat 3

Bila A₁, A₂, A₃, …, A_n merupakan suatu sekatan ruang sampel T, maka P(A₁ U A₂ U … U A_n) = P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n)

Peluang seorang mahasiswa lulus matematika 2/3 dan peluang lulus biologi 4/9. bila peluang lulus kedua mata kuliah ¼, berapa peluang lulus paling sedikit satu mata kuliah?

Bila M = lulus matematika B = lulus biologi

P(M U B) = P(M) + P(B) – P(M ∩ B) = 2/3 + 4/9 – ¼ = 31/36

Berapa peluang mendapatkan jumlah 7 atau 11 bila 2 dadu dilemparkan? Misal A = kejadian muncul 7 = 6

B = kejadian muncul 11 = 2 P(A) = 6/36

P(B) = 2/36

Bila peluang seseorang yang membeli mobil akan memilih warna hijau, putih, merah, atau biru, masing-masing, 0,09 ; 0,15 ; 0,21 ; 0,23, berapakah peluang seorang pembeli tertentu akan membeli mobil baru berwarna seperti salah satu dari warna tersebut tadi?

Misalkan A, B, C, D kejadian bahwa seorang pembeli memilih masing-masing, mobil berwarna hijau, putih, merah, atau biru. Karena keempat kejadian ini saling terpisah maka peluangnya sebesar

Bila A dan A’ dua kejadian yang berkomplementer, maka P(A) + P(A’) = 1

A

Bila peluang montir mobil akan memperbaiki 3,4,5,6,7,atau 8 lebih mobil pada setiap hari kerja, masing-masing 0,12; 0,19; 0,28; 0,24; 0,10; 0,07. Berapa peluang dia akan memperbaiki paling sedikit 5 mobil pada hari kerja berikutnya?

Misal,

E = kejadian paling sedikit 5 mobil diperbaiki E’ = kejadian kurang dari 5 mobil diperbaiki P(E) = 1 - P(E’)

P(E’) = 0,12 + 0,19 = 0,31 P(E) = 1 – 0,31 = 0,69

Bila kejadian A dan B dapat terjadi pada suatu percobaan, maka 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = P(A)P(B|A)

Misal,

Kita punya kotak berisi 20 sekring, 5 diantaranya cacat. Bila 2 sekring dikeluarkan dari kotak 1 demi satu secara acak (tanpa mengembalikan yang pertama ke kotak), berapa peluang kedua sekring itu cacat?

P(A) = 5/20 P(B|A) = 4/19

Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika 𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = P(A)P(B)

Misal,

Suatu kota kecil mempunyai satu mobil pemadam kebakaran dan satu ambulan untuk keadaan darurat. Peluang mobil pemadam kebakaran siap waktu diperlukan 0,98 dan peluang ambulan siap panggil 0,92. Dalam kejadian ada kecelakaan karena kebakaran gedung, cari peluang keduanya siap.

P(A) = 0,98 P(B) = 0,92

Bila dalam suatu percobaan, kejadian A_1, A_2, A_{3, …} A_kdapat terjadi, maka 𝑃 A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ … ∩ A_k = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁ ∩ A₂) … 𝑃 A_k|A₁ ∩ A₂ ∩ … ∩ A_k−1

Bila kejadian A_1, A_2, A_{3, …} A_k bebas, maka

𝑃 A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ ∩ … ∩ A_k = 𝑃(A₁)P(A₂)P(A₃) … P(A_k) Misal,

Tiga kartu diambil satu demi satu tanpa pengembalian dari sekotak kartu (berisi 52). Cari peluang bahwa kejadian A₁ A₂ A₃ terjadi bila A₁ kejadian bahwa kartu pertama as berwarna merah, A₂ kejadian kartu kedua 10 atau jack, dan A₃ kejadian kartu ketiga lebih besar dari 3 tapi lebih kecil dari 7.

P(A₁) = 2/52 P(A_𝟐|A₁) = 8/51 P(A₃|A₁ ∩ A₂) = 12/50

𝑃 A₁ ∩ A₂ ∩ A₃ = P(A₁)P(A₂|A₁)P(A₃|A₁ ∩ A₂) = 2/52 x 8/51 x 12/50

Peluang terjadinya suatu kejadian B bila diketahui bahwa kejadian A telah terjadi disebut peluang bersyarat.

Peluang bersyarat dinyatakan dengan P(B|A) “peluang B, bila peluang A diketahui” P(B|A) = 𝑷(𝑨∩𝑩)

𝑷(𝑨)

Misal,

Ruang sampel menyatakan populasi orang dewasa yang telah tamat SMA di suatu kota kecil. Mereka dikelompokkan menurut jenis kelamin dan status pekerjaan mereka. Daerah tersebut akan dijadikan daerah pariwisata dan seseorang akan dipilih secara acak untuk mempropagandakan ke seluruh negeri. Kita ingin meneliti peluang laki-laki yang terpilih dalam status bekerja.

M = lelaki yang terpilih

E = orang yang terpilih dalam status bekerja P(E) = 600/900

𝑃 𝐸 ∩ 𝑀 = 460/900 P(M|E) = 23/30

Bekerja Tak Bekerja Jumlah

Lelaki 460 40 500

Wanita 140 260 400

 Peluang suatu penerbangan yang telah terjadwal teratur berangkat tepat waktu P(B) =

0,83; peluang sampai tepat waktu P(S) = 0,82 dan peluang berangkat dan sampai tepat waktu P(B ∩ S) = 0,78. Cari peluang bahwa pesawat a sampai tepat waktu bila diketahui berangkat tepat waktu, dan b berangkat tepat waktu jika diketahui sampai tepat waktu.

 Dari tabel di bawah, tentukan: a. P(A1) b. P(B1|A2) c. P(B2 dan A3)

A1 A2 A3 Total

B1 2 1 3 6

B2 1 2 1 4

Dua kejadian A dan B bebas jika dan hanya jika P(B|A) = P(B) dan P(A|B) = P(A)

Contoh,

Sebuah mata uang logam dilempar 2 kali. Jika pelemparan pertama menghasilkan angka (A), tentukan probabilitas menghasilkan angka pada lemparan kedua (B)!

Solusi,

Probabilitas A muncul pada lemparan pertama = 0,5

Lemparan A tidak mempengaruhi hasil di lemparan B, jadi probabilitas juga 0,5. Jadi, P(B|A) = 0,5

 Peluang bahwa nyonya berada di rumah ketika penjual jamu datang 0,6. jika

nyonya berada di rumah peluangnya dia membeli jamu 0,4. Cari peluangnya bahwa nyonya berada di rumah dan membeli jamu ketika si penjual datang!

 Peluang dokter dengan tepat mendiagnosa sejenis penyakit tertentu 0,7. Bila

dokter tadi salah diagnosa, peluangnya si sakit meninggal 0,9. Berapakah peluangnya sang dokter salah diagnosa dan si sakit meninggal?

 Suatu kantong berisi 4 bola merah dan 3 bola hitam, dan kantong kedua berisi 3

bola merah dan 5 bola hitam. Satu bola diambil dari kantong pertama dan dimasukkan tanpa melihatnya ke kantong kedua. Berapa peluangnya sekarang mengambil bola hitam dari kantong kedua?

 Suatu uang logam mempunyai peluang muncul muka 2 kali lebih besar dari

peluang muncul belakang. Bila uang itu dilempar 3 kali, berapa peluang mendapat 2 belakang dan 1 muka?

Ditemukan oleh Thomas Bayes.

Kaidah ini digunakan untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa berdasarkan pengaruh yang didapat dari hasil observasi.

Teori ini menerangkan hubungan antara probabilitas terjadinya suatu peristiwa (misalnya A) dengan syarat peristiwa lain (misalkan X) telah terjadi.

Kaidah ini didasarkan pada prinsip bahwa tambahan informasi dapat memperbarui probabilitas.

Pada kaidah ini terdapat beberapa probabilitas:

1. Probabilitas awal

2. Probabilitas bersyarat 3. Probabilitas gabungan 4. Probabilitas posterior

Seandainya 5% dari populasi Umen, sebuah negara dunia ketiga fiktif, menderita sebuah penyakit yang aneh. Kita misalkan A1 adalah kejadian “menderita penyakit” dan A2 adalah kejadian “tidak menderita penyakit”. Jadi, kita tahu jika kita memilih seseorang dari Umen secara acak, probabilitas individu yang terpilih yang menderita penyakit tersebut adalah 0,05 atau P(A1)=0,05.

Probabilitas P(A1) = 0,05 -> disebut probabilitas awal (prior probability) Kenapa disebut prior probability?

Karena probabilitas awal tersebut ditentukan sebelum diperoleh data empiris apapun.

Probabilitas awal seseorang tidak menderita penyakit adalah 0,95 atau P(A2)=0,95, diperoleh dari 1-0,05.

𝑷 𝑨𝒊 𝑩 = 𝑷 𝑨𝒊 𝑷(𝑩|𝑨𝒊)

Terdapat suatu diagnosis untuk menemukan penyakit tersebut, tapi teknik ini tidak terlalu akurat.

Misalkan B adalah “diagnosis menunjukkan adanya penyakit”

Anggap pembuktian sejarah menunjukkan bahwa, jika seseorang menderita penyakit tersebut, probabilitas diagnosis tersebut akan mengindikasikan adanya penyakit adalah 0,90.

Pernyataan tersebut dapat ditulis: P(B|A1) = 0,90

Anggap probabilitas seseorang yang tidak menderita penyakit tersebut tetapi diagnosis menunjukkan adanya penyakit adalah 0,15.

Mari kita memilih secara acak seseorang dari Umen dan mendiagnosisnya. Hasil diagnosis menunjukkan bahwa ia menderita penyakit tersebut.

Berapa probabilitas orang itu sebenarnya menderita penyakit tersebut?? Jadi, kita ingin mengetahui P(A1|B),

P(menderita penyakit|hasil diagnosis positif)

Probabilitas menderita penyakit setelah ada diagnosis positif.

Probabilitas P(A1|B) disebut probabilitas posterior (posterior probability)

Probabilitas posterior: probabilitas yang diperbaiki karena adanya informasi tambahan

𝑷 𝑨𝟏 𝑩 = 𝑷 𝑨𝟏 𝑷(𝑩|𝑨𝟏) 𝑷 𝑨𝟏 𝑷 𝑩 𝑨𝟏 + 𝑷 𝑨𝟐 𝑷(𝑩|𝑨𝟐) = 𝟎,𝟎𝟓 (𝟎,𝟗𝟎) (𝟎,𝟎𝟓)(𝟎,𝟗𝟎)+(𝟎,𝟗𝟓)(𝟎,𝟏𝟓) = 0,0450 / 0,1875 = 0,24

Jadi, probabilitas seseorang menderita penyakit jika diketahui hasil diagnosisnya positif adalah 0,24.

Maknanya,

Jika seseorang dipilih secara acak dari populasi, probabilitasnya menderita penyakit adalah 0,05. jika orang tersebut diuji lalu hasilnya positif, probabilitas orang tersebut benar-benar menderita penyakit meningkat hampir 5 kali lipat dari 0,05 menjadi 0,24.

Kejadian

(Ai) Probabilitas awalP(Ai) bersyarat, P(B|Ai)Probabiltas gabungan, P(Ai ∩Probabilitas B)

Probabilitas Posterior

P(Ai|B)

Ada penyakit (A1) 0,05 0,90 0,0450 0,24

Tidak ada penyakit

(A2) 0,95 0,15 0,1425 0,76

SECARA UMUM

Peristiwa B1, B2, …, Bk merupakan suatu sekatan (partisi) dari ruang sampel S dengan P(Bi≠0) untuk i=1,2,…,k

P(A) = P[(B1 ∩ A) U (B2 ∩ A) U … U (Bk ∩ A) = P(B1 ∩ A) + P (B2 ∩ A) + … + P(Bk ∩ A)





 







k i k i i i i

A

P

B

P

A

B

B

P

A

P

1 1

)

|

(

)

(

)

(

)

(

Tiga anggota koperasi dicalonkan menjadi ketua. Peluang Pak Ali terpilih 0,3. Peluang Pak Badu terpilih 0,5. Peluang Pak Cokro terpilih 0,2. Kalau Pak Ali terpilih maka peluang kenaikan iuran koperasi adalah 0,8. Bila Pak Badu atau Pak Cokro yang terpilih maka peluang kenaikan iuran adalah masing-masing 0,1 dan 0,4. berapakah peluang iuran akan naik?

A = orang yang terpilih menaikkan iuran B1 = Pak Ali yang terpilih

B2 = Pak Badu yang terpilih B3 = Pak Cokro yang terpilih

P(B1) = 0,3 P(B2) = 0,5 P(B3) = 0,2 P(A|B1) = 0,8 P(A|B2) = 0,1 P(A|B3) = 0,4

P(A) = P(B1)P(A|B1) + P(B2)P(A|B2) + P(B3)P(A|B3) = (0,3)(0,8) + (0,5)(0,1) + (0,2)(0,4)

= 0,24 + 0,05 + 0,08 = 0,37

Misal,

Bila diketahui iuran telah naik, berapa peluang bahwa Pak Cokro yang terpilih jadi ketua?

Pake teorema Bayes

P(B3|A) = (0,08)/(0,24+0,05+0,08) = 8/37

𝑷 𝑩𝟑 𝑨 = 𝑷 𝑩𝟑 𝑷(𝑨|𝑩𝟑)