Dalam subbab ini terdapat dua kelas ring yang dalam definisinya melibatkan ideal. Kedua kelas ring tersebut yakni kelas ring duo dan kelas ring 2-primal. Berikut ini merupakan definisi dari ring duo.
Definisi 3.3.1 (Camillo dan Nielsen, 2008: 612)
Suatu ring � disebut ring duo jika setiap ideal dari � merupakan ideal dua sisi.
Barry Yonathan, 2013
Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Jika � merupakan suatu ring komutatif, maka jelas setiap ideal dari � adalah ideal dua sisi, sehingga setiap ring komutatif merupakan ring duo. Salah satu contohnya adalah sebagai berikut:
Contoh
Seluruh ideal dari ℤ6 adalah ideal dua sisi, yakni 0 6, 0 6, 2 6, 4 6 ,
0 6, 3 6 , dan ℤ6.
Perhatikan tabel berikut ini.
Tabel 3.1. Pengurangan pada 0 6, 2 6, 4 6
− 0 6 4 6 2 6 2 6 0 6 4 6 4 6 2 6 0 6
Tabel 3.2. Perkalian 0 6, 2 6, 4 6 dengan ℤ6
⊗ 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 2 6 4 6 0 6 2 6 4 6 0 6 4 6 2 6 0 6 4 6 2 6
Berdasarkan Tabel 3.1, Tabel 3.2, dan karena ℤ6 adalah ring komutatif, maka
0 6, 2 6, 4 6 merupakan ideal dua sisi dari ℤ6. Selanjutnya perhatikan tabel-tabel berikut ini:
Tabel 3.3. Pengurangan pada 0 6, 3 6
− 0 6 3 6 3 6 0 6
57
Barry Yonathan, 2013
Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Tabel 3.4. Perkalian 0 6, 3 6 dengan ℤ6
⊗ 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 3 6 0 6 3 6 0 6 3 6
Berdasarkan Tabel 3.3, Tabel 3.4, dan karena ℤ6 adalah ring komutatif, maka
0 6, 3 6 merupakan ideal dua sisi dari ℤ6, selain itu jelas bahwa 0 6 dan ℤ6
merupakan ideal dua sisi dari ℤ6.
Jadi, karena semua ideal dari ℤ6 merupakan ideal dua sisi, maka ℤ6 merupakan ring duo.
Berikut ini merupakan contoh ring non-komutatif yang merupakan ring duo.
Contoh
Diketahui suatu ring � = 2 2
0 2 2 | 0 2, 2, 2, 2 ∈ ℤ2 . Misalkan 1 2 1 2 0 2 0 2 , 01 2 2 01 2 2 ∈ �, tetapi 1 2 1 2 0 2 0 2 10 2 2 01 2 2 = 01 2 2 01 2 2 ≠ 01 2 2 10 2 2 10 2 2 10 2 2 . Jadi � adalah ring non-komutatif.
Ideal-ideal dari � hanyalah ideal trivial, yakni 0 2 0 2
0 2 0 2 dan �. Baik 0 2 0 2
0 2 0 2 maupun � merupakan ideal dua sisi, sehingga � dapat dikatakan sebagai ring duo.
Lemma 3.3.2 (Abdelkader, 2013: 1538)
Jika � merupakan ring duo, maka berlaku � = � , untuk setiap ∈ �.
Bukti
Misalkan � suatu ring duo, ∈ � , dan ∈ �. Perhatikan bahwa
Barry Yonathan, 2013
Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
= 1∈ �, dan = 1 ∈ � .
Karena � merupakan ring duo, maka � merupakan ideal kiri, sehingga � ⊆ �, untuk setiap ∈ �,
dan akibatnya � ⊆ �.
Karena � merupakan ring duo, maka � merupakan ideal kanan, sehingga � ⊆ � , untuk setiap ∈ �,
dan akibatnya � ⊆ � .
Jadi terbukti, jika � merupakan ring duo, maka � = � untuk setiap ∈ �. ∎
Dari Lemma 3.3.2, dapat ditunjukkan hubungan kelas ring duo dan kelas ring semi-komutatif, yang dinyatakan oleh proposisi berikut ini.
Proposisi 3.3.3 (Camillo dan Nielsen, 2008: 612)
Jika � merupakan ring duo, maka � merupakan ring semi-komutatif.
Bukti
Misalkan , ∈ � sedemikian sehingga = 0. Perhatikan bahwa untuk setiap ∈ � berlaku
= 0 ⇒ = 0
⇒ � = 0.
Berdasarkan Lemma 3.3.2, maka � = �, sehingga � = � = 0. Jadi terbukti bahwa jika � merupakan ring duo, maka � semi-komutatif. ∎
Kelas ring yang terakhir dalam bab ini adalah kelas dari ring 2-primal.
Definisi 3.3.4 (Camillo dan Nielsen, 2008: 617)
Suatu ring disebut ring 2-primal jika setiap elemen nilpoten termuat di �(�), atau dengan kata lain � ⊆ �(�).
59
Barry Yonathan, 2013
Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
Pada Lemma 2.2.11 telah ditunjukkan bahwa untuk setiap ring �, berlaku � � ⊆ (�), sehingga jika � merupakan ring 2-primal, maka � = �(�). Selanjutnya, pada proposisi berikut ini ditunjukkan hubungan kelas ring 2-primal dengan kelas ring Dedekind finite.
Proposisi 3.3.5 (Lam, 2003: 198)
Jika � merupakan ring 2-primal, maka � merupakan ring Dedekind finite.
Bukti
Misalkan , ∈ � sedemikian sehingga = 1. Akan ditunjukkan bahwa = 1.
Perhatikan bahwa − = 0 ⇒ −1 = 0 ⇒ − = 0 ⇒ 1− = 0 ⇒ 1− 1− = 0 ⇒ 1− 1− = 0 ⇒ 1− 2 = 0. ⇒ 1− ∈ � (karena 1− nilpoten) ⇒ 1− ∈ �(�) (karena � =�(�))
⇒ 1− ∈ �(�) (karena �(�) ideal, Lemma 2.2.12) ⇒ 1− ∈ �(�)
⇒ 1− 1∈ �(�) (karena = 1) ⇒ 1− ∈ � � = (�).
Karena 1− ∈ (�), maka (1− ) merupakan suatu nilpoten. Misalkan suatu nilpoten di � dengan = 0.
Perhatikan bahwa 1 = 1−0
= 1−
Barry Yonathan, 2013
Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
= 1 + + 2+ + −1− − 2 − − −1 − = 1 + + 2 + + −1 + − − 2 − − −1− (3.32) = 1 + + 2 + + −1 1 + 1 + + + −2+ −1 − = 1 + + 2 + + −1 (1− ). (3.33) Berdasarkan (3.32), didapat 1 = 1 1 + + 2+ + −1 + − 1 + + + −2+ −1 = 1− 1 + + + −2+ −1 . (3.34)
Berdasarkan (3.33) dan (3.34), dapat disimpulkan bahwa untuk sembarang nilpoten , bentuk (1− ) merupakan unit.
Karena 1− nilpoten, maka 1− 1− = adalah unit, sehingga terdapat ∈ � sedemikian sehingga = 1, dan akibatnya
1 = ⇒1 = ( ) ⇒ = ⇒ = ⇒ = 1 ⇒ = ⇒ = 1.
Karena = 1 mengakibatkan = 1, maka � merupakan ring Dedekind finite. Jadi terbukti jika � merupakan ring 2-primal, maka � merupakan ring Dedekind
finite. ∎
Pada bab selanjutnya dibahas mengenai sejumlah modul yang merupakan perluasan konsep dari ring-ring pada bab ini.
78 Barry Yonathan, 2013
Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
BAB V PENUTUP
5.1 Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan materi pada Bab III dan Bab IV, diperoleh kesimpulan sebagai berikut:
1. Dari seluruh pembahasan pada Bab III, diperoleh hubungan implikasi dari seluruh kelas-kelas ring, yang ditunjukkan oleh bagan berikut.
2. Berdasarkan pembahasan pada Subbab 4.1, disimpulkan sifat-sifat dari modul semi-komutatif, yakni
a. Jika � merupakan modul semi-komutatif atas ring tereduksi , maka �
merupakan modul McCoy atas .
b. Jika terdapat suatu homomorfisma ring � dari ke , dan � modul atas , maka � adalah modul atas .
Jika � merupakan homomorfisma onto, � merupakan modul semi-komutatif atas jika dan hanya jika � modul semi-komutatif atas . c. Jika � merupakan modul simetrik atas ring , maka � merupakan
modul semi-komutatif atas .
2-primal Duo Dedekind finite Abelian Tereduksi Semi-komutatif Simetrik Reversibel Armendariz Linier McCoy Linier McCoy Linier Kanan Armendariz McCoy
Barry Yonathan, 2013
Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu
3. Berdasarkan pembahasan pada Subbab 4.2, disimpulkan sifat-sifat dari modul P.Q-Baer sebagai berikut.
a. Jika � merupakan modul semi-komutatif atas ring , maka �
merupakan modul P.Q-Baer atas jika dan hanya jika � modul P.P atas .
b. Jika � merupakan modul P.Q-Baer dan modul semi-komutatif atas ring , maka � merupakan modul tereduksi atas .
5.2 Rekomendasi
Dalam skripsi ini, masih ada implikasi yang belum diulas oleh penulis, yakni implikasi dari kelas ring duo ke kelas ring McCoy, dan implikasi dari kelas ring semi-komutatif ke kelas ring 2-primal. Sebagian besar contoh ring yang disajikan adalah ring komutatif, diharapkan agar kelak dapat dikaji contoh dari ring yang tak komutatif (contoh tak trivial). Selain itu penulis baru membahas sebagian kecil mengenai modul P.Q-Baer dan modul P.P.
Diharapkan oleh penulis agar kelak modul P.Q-Baer, modul P.P, serta modul lain seperti modul Rickart, modul flat, dan modul nonsingular dapat dikaji lebih lanjut.
80 Barry Yonathan, 2013
Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu