KELAS-KELAS RING DAN IMPLIKASINYA SERTA MODUL SEMI-KOMUTATIF DAN P.Q-BAER.

(1)

Barry Yonathan, 2013

Kelas Ring Dan Implikasinya Serta Modul Semi-Komunikatif Dan P.Q-Baer Universitas Pendidikan Indonesia | repository.upi.edu

KELAS-KELAS RING DAN IMPLIKASINYA SERTA MODUL SEMI-KOMUTATIF DAN P.Q-BAER

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Sebagian dari

Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains

Program Studi Matematika

Oleh

BARRY YONATHAN 0808542

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA

FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

(2)

KELAS-KELAS RING DAN

IMPLIKASINYA SERTA

MODUL SEMI-KOMUTATIF

DAN P.Q-BAER

Oleh Barry Yonathan

Sebuah skripsi yang diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si) pada Fakultas Pendidikan Matematika

dan Ilmu Pengetahuan Alam

Juni 2013

Hak Cipta dilindungi undang-undang.

(3)

(4)

BARRY YONATHAN

KELAS-KELAS RING DAN IMPLIKASINYA SERTA MODUL SEMI-KOMUTATIF DAN P.Q-BAER

DISETUJUI DAN DISAHKAN OLEH PEMBIMBING:

Pembimbing I

Dra. Dian Usdiyana, M.Si. NIP. 196009011987032001

Pembimbing II

Ririn Sispiyati, S.Si., M.Si. NIP. 198106282005012001

Mengetahui

Ketua Jurusan Pendidikan Matematika,

(5)

(6)

ii Barry Yonathan, 2013

ABSTRAK

Suatu ring � disebut ring terreduksi jika 2 = 0 mengakibatkan = 0 untuk setiap ∈ �, suatu ring � disebut ring McCoy jika untuk setiap polinom tak nol

� = 0+ 1�+⋯+ � , dan � = 0+ 1�+⋯+ � ∈ � � ,

sedemikian sehingga � � = 0, maka terdapat , ≠0∈ �, sedemikian sehingga � = 0 dan � = 0. Suatu ring � disebut ring 2-primal jika berlaku � � = � . Kelas dari ketiga ring tersebut beserta kelas ring simetrik, kelas ring reversibel, kelas ring semi-komutatif, kelas ring abelian, dan kelas ring Dedekind finite, kelas ring Armendariz, dan kelas ring duo memiliki suatu hubungan implikasi yang secara keseluruhan dapat dinyatakan dalam suatu diagram. Suatu modul atas ring � disebut modul semi-komutatif, jika untuk setiap ∈ �, dan ∈ , sedemikian sehingga = 0, maka � = 0, dan suatu modul atas ring � disebut modul P.Q-Baer jika untuk setiap ∈ , berlaku � � = �, untuk suatu idempoten .

(7)

iii Barry Yonathan, 2013

ABSTRACT

A ring � is said to be reduced if 2 = 0 implies = 0 for every ∈ �, a ring

� is said to be McCoy if for every non-zero polynomial � = 0+ 1�+⋯+ � , and � = 0+ 1�+⋯+ � ∈ � � such that � � = 0, then

there exist , ≠0∈ �, such that � = 0 and � = 0. A ring � is called

2-primal if � =�(�). Each class of those rings with the classes of symmetric, reversible, semi-commutative, abelian, Dedekind finite, Armendariz, and duo rings may have some implicative relations which can be drawn as an implication chart. A module over ring � is said to be semi-commutative if = 0 implies

� = 0, for all ∈ and ∈ �. A module over ring � is said to be P.Q-Baer if � � = �, for all ∈ , and some idempoten .

(8)

vi Barry Yonathan, 2013

DAFTAR ISI

PERNYATAAN ... i

ABSTRAK ... ii

KATA PENGANTAR ... iii

UCAPAN TERIMA KASIH ... iv

DAFTAR ISI ... vi

DAFTAR TABEL ... viii

DAFTAR SIMBOL ... ix

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1 Latar Belakang ... 1

1.2 Rumusan Masalah ... 2

1.3 Tujuan Penulisan ... 2

1.4 Pembatasan Masalah ... 2

1.5 Sistematika Penulisan ... 3

BAB II RING DAN MODUL ... 4

2.1 Ring ... 4

2.2 Ideal ... 8

2.3 Ring Polinom ... 16

2.4 Modul ... 24

BAB III KELAS-KELAS RING DAN IMPLIKASINYA ... 33

3.1 Kelas-kelas Ring Berdasarkan Hasil Operasi ... 33

3.2 Kelas-kelas Ring yang Melibatkan Polinom ... 39

3.3 Kelas-kelas Ring yang Melibatkan Ideal ... 55

BAB IV MODUL SEMI-KOMUTATIF DAN P.Q-BAER ... 61

(9)

vii Barry Yonathan, 2013

4.2 Modul P.Q-Baer ... 72

BAB V PENUTUP ... 78

5.1 Kesimpulan ... 78

5.2 Saran ... 79

DAFTAR PUSTAKA ... 80

(10)

1 Barry Yonathan, 2013

BAB I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Suatu himpunan tak kosong � beserta dua operasi biner + (penjumlahan) dan

· (perkalian) disebut ring jika � merupakan grup komutatif penjumlahan, �

merupakan semigrup perkalian, dan memenuhi sifat distributif perkalian terhadap

penjumlahan. Dari subset suatu ring, dapat dibentuk suatu struktur aljabar yang

disebut ideal. Selain itu, dari suatu ring � dapat dibentuk suatu ring polinom �[�]

dimana elemen ring � menjadi koefisien dari polinom di �[�].

Suatu ring � disebut ring tereduksi jika �2_{= 0}_{mengakibatkan}_�_{= 0}_untuk

setiap � ∈ �, suatu ring � disebut ring McCoy kanan jika untuk setiap polinom

tak nol � , � ∈ �[�] sedemikian sehingga � � = 0, maka terdapat

suatu elemen � ∈ � sedemikian sehingga � �= 0. Suatu ring � disebut ring

duo jika setiap ideal dari ring � merupakan ideal dua sisi.

Selain ketiga ring di atas, dalam skripsi ini dijelaskan pula definisi dari ring

lainnya, di antaranya yakni ring simetrik, ring reversibel, ring semi-komutatif,

ring abelian, ring Dedekind finite, ring Armendariz, dan ring 2-primal.

Dari suatu grup komutatif dan ring, dapat dikonstruksi suatu struktur aljabar

lain, yang dikenal dengan modul. Suatu himpunan tak kosong � disebut modul

kanan atas suatu ring � jika � merupakan grup komutatif, dan memenuhi sifat

perkalian skalar terhadap elemen-elemen di ring �.

Konsep mengenai ring semi-komutatif dapat diperluas ke dalam konsep

modul. Suatu modul kanan � atas ring � disebut modul semi-komutatif jika untuk

setiap � ∈ � dan � ∈ � sedemikian sehingga ��= 0, maka ��= 0. Suatu

modul kanan � atas ring � disebut modul P.Q-Baer jika untuk setiap � ∈ �,

berlaku � �� = �, untuk suatu idempoten .

Berdasarkan uraian di atas, penulis tertarik untuk mengkaji keterkaitan kelas

ring tereduksi, kelas ring McCoy, dan kelas-kelas ring lainnya, serta sifat dari

(11)

(12)

3

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan uraian pada Latar Belakang, rumusan masalah skripsi ini

meliputi:

1. Bagaimanakah implikasi yang terbentuk dari kelas ring tereduksi, kelas ring

simetrik, kelas ring reversibel, kelas ring semi-komutatif, kelas ring abelian,

dan kelas ring Dedekind finite, kelas ring McCoy, kelas ring Armendariz,

kelas ring duo, dan kelas ring 2-primal?

2. Bagaimanakah sifat dari modul semi-komutatif?

3. Bagaimanakah sifat dari modul P.Q-Baer?

1.3 Tujuan Penulisan

Berdasarkan rumusan masalah di atas, tujuan penulisan skripsi ini meliputi:

1. Mengetahui implikasi yang terbentuk dari kelas ring tereduksi, kelas ring

simetrik, kelas ring reversibel, kelas ring semi-komutatif, kelas ring abelian,

dan kelas ring Dedekind finite, kelas ring McCoy, kelas ring Armendariz,

kelas ring duo, dan kelas ring 2-primal.

2. Mengetahui sifat dari modul semi-komutatif.

3. Mengetahui sifat dari modul P.Q-Baer.

1.4 Batasan Masalah

Dalam skripsi ini, hubungan antar kelas ring yang dikaji adalah hubungan

implikasi dan bukan hubungan implikasi dua arah (biimplikasi). Yang dimaksud

dengan kelas ring tereduksi adalah kumpulan dari semua ring tereduksi, begitu pula

kelas ring McCoy adalah kumpulan dari semua ring McCoy, dan seterusnya.

1.5 Sistematika Penulisan

Skripsi ini disusun dalam lima bab, yakni

1. Bab I merupakan pendahuluan, yang terdiri dari Latar Belakang, Rumusan

(13)

2. Bab II merupakan landasan teori, yang membahas ring dan modul, yang terdiri

dari penjelasan mengenai ring, homomorfisma ring, ideal, ring polinom, modul,

dan modul polinom.

3. Bab III merupakan kajian inti pertama, sekaligus landasan untuk bab

selanjutnya. Pada bab ini dibahas mengenai definisi dan contoh, serta hubungan

implikasi dari kelas-kelas ring tereduksi, ring simetrik, ring reversibel, ring

semi-komutatif, ring abelian, ring Dedekind finite, ring Armendariz, ring

McCoy, ring duo, serta ring 2-primal.

4. Bab IV merupakan kajian inti kedua, yang dilandasi oleh Bab 2 dan Bab 3.

Pada bab ini dibahas mengenai definisi dan contoh dari modul semi-komutatif,

modul McCoy, modul P.P, modul P.Q-Baer, beserta sifat-sifatnya.

5. Bab V merupakan bagian penutup dari skripsi ini, yang berisi kesimpulan dari

seluruh pembahasan pada Bab III dan Bab IV, yang mengacu pada rumusan

masalah. Selain itu, pada bab ini disampaikan rekomendasi untuk penelitian

(14)

BAB III

KELAS-KELAS RING DAN IMPLIKASINYA

Dalam bab ini terdapat 10 kelas ring yang dibagi ke dalam tiga macam kelas

ring, yakni kelas ring berdasarkan hasil operasi, kelas ring yang melibatkan

polinom, dan kelas ring yang melibatkan ideal. Selain itu, dibahas juga mengenai

implikasi dari kelas-kelas ring tersebut. Dalam bab ini, semua ring yang dimaksud

merupakan ring dengan elemen kesatuan.

3.1 Kelas-kelas Ring Berdasarkan Hasil Operasi

Dalam subbab ini terdapat enam kelas ring yang akan ditunjukkan hubungan

implikasinya. Keenam kelas ring tersebut adalah kelas ring tereduksi, kelas ring

simetrik, kelas ring reversibel, kelas ring semi-komutatif, kelas ring abelian, dan

kelas ring Dedekind finite.

Kelas ring yang pertama dalam subbab ini adalah kelas dari ring tereduksi,

dengan definisinya sebagai berikut.

Definisi 3.1.1 (Kose et al., 2012: 689)

Suatu ring � disebut ring tereduksi jika 2_{= 0 maka}_{= 0, untuk setiap}

∈ �, atau ekivalen dengan pernyataan bahwa jika ≠ 0 maka 2≠0.

Contoh

Diketahui ℤ5 merupakan ring.

Perhatikan bahwa

1 5≠ 0 5 ⇒ 1 5 2₌ ₁₅_≠ ₀₅_,

2 5≠ 0 5 ⇒ 2 5 2₌ ₄₅_≠ ₀₅_,

3 5≠ 0 5 ⇒ 3 5 2= 1 5≠ 0 5,

4 5≠ 0 5 ⇒ 4 5 2₌ ₃₅_≠ ₀₅_.

Jadi, jika ≠ 0 5 maka 2 ≠ 0 5 untuk setiap ∈ ℤ5.

(15)

Kelas ring yang kedua merupakan kelas dari ring simetrik. Berikut ini

merupakan definisi dari ring simetrik.

Definisi 3.1.2 (Pourteharian dan Rakminhov, 2012: 2)

Suatu ring � disebut ring simetrik jika = 0 maka = 0, untuk setiap

, , ∈ �.

Contoh

Diketahui bahwa ℤ₆ merupakan ring.

Perhatikan bahwa

0 6 2 6 3 6= 0 6 ⇒ 2 6 0 6 3 6= 0 6,

1 6 2 6 3 6= 0 6 ⇒ 2 6 1 6 3 6= 0 6,

0 6 3 6 4 6= 0 6 ⇒ 3 6 0 6 4 6= 0 6,

1 6 3 6 4 6= 0 6 ⇒ 3 6 1 6 4 6= 0 6.

Jadi, jika = 0 ₆, maka = 0 ₆ untuk setiap , , ∈ ℤ₆. ℤ6 merupakan ring simetrik.

Kelas ring yang ketiga adalah kelas ring reversibel. Berikut ini merupakan

definisi dari ring reversibel.

Suatu ring � disebut ring reversibel jika = 0 maka = 0, untuk setiap

, ∈ �.

Contoh

Pada ring ℤ₆, misalkan = 0 6 untuk suatu , ∈ ℤ6, sehingga terdapat

kemungkinan sebagai berikut:

1. Jika salah satu dari atau adalah 0 6, maka jelas = 0 ₆.

2. Jika , ≠ 0 6.

Perhatikan bahwa

(16)

35

= 3 6 2 6,

4 6 3 6 = 0 6

= 3 ₆ 4 ₆.

Jadi, jika = 0 6, maka = 0 6 untuk setiap , ∈ ℤ6.

ℤ6 merupakan ring reversibel.

Selanjutnya, kelas ring yang keempat adalah kelas ring semi-komutatif,

dengan definisi sebagai berikut.

Definisi 3.1.4 (Camillo dan Nielsen, 2008: 599)

Suatu ring � disebut ring semi-komutatif jika = 0 maka � = 0, untuk

setiap , ∈ �.

Contoh

Pada ring ℤ4, misalkan = 0 4 untuk suatu , ∈ ℤ4, sehingga terdapat

kemungkinan sebagai berikut:

1. Jika salah satu dari dan adalah 0 4.

Misalkan = 0 4, maka ℤ4 = 0 4, sehingga ℤ4 = 0 4.

2. Jika , ≠ 0 ₄, maka = 0 ₄ ⇔ = = 2 ₄.

Perhatikan bahwa

2 4 0 4 2 4 = 0 4,

2 4 1 4 2 4 = 2 4 2 4

= 0 ₄,

2 4 2 4 2 4 = 0 ₄ 2 ₄

= 0 4,

2 4 3 4 2 4 = 2 4 2 4

= 0 4.

Jadi, jika = 0 4 maka ℤ4 = 0 4.

(17)

Kelas ring yang kelima dalam subbab ini adalah kelas ring abelian, yang

didefinisikan sebagai berikut.

Suatu ring � disebut ring abelian jika setiap elemen idempotennya merupakan

central, yakni = untuk setiap idempoten dan ∈ �.

Contoh

Pada himpunan bilangan real ℝ, elemen nilpoten adalah 0 dan 1.

Perhatikan bahwa untuk setiap ∈ ℝ, berlaku

0 = 0 = 0, dan

1 = = 1.

Jadi ℝ merupakan ring abelian.

Dalam teorema berikut ini ditunjukkan hubungan implikasi dari kelas lima

ring yang telah didefinisikan di atas.

Teorema 3.1.6 (Pourteharian dan Rakminhov, 2012: 3)

Misalkan � suatu ring. Hubungan implikasi pada � berikut ini benar:

Tereduksi ⇒ Simetrik ⇒ Reversibel ⇒ Semi-komutatif ⇒ Abelian.

Bukti

1. Tereduksi ⇒ Simetrik.

Misalkan � suatu ring tereduksi, , , ∈ �, sedemikian sehingga = 0.

Perhatikan bahwa

= 0 ⇒ = 0

⇒ = 0

⇒ 2_{= 0}

⇒ = 0 (karena � tereduksi)

⇒ = 0

(18)

37

⇒ = 0 (karena � tereduksi)

3. Reversibel ⇒ Semi-komutatif.

Misalkan � suatu ring reversibel dan , ∈ � sedemikian sehingga = 0.

Karena � ring reversibel, maka = 0.

Perhatikan bahwa untuk setiap ∈ �, berlaku

= 0 ⇒ = 0

⇒ = 0 (karena � reversibel)

⇒ = 0.

Karena = 0 mengakibatkan = 0, untuk setiap ∈ �, maka � = 0,

sehingga terbukti bahwa � semi-komutatif.

4. Semi-komutatif ⇒ Abelian.

Misalkan � suatu ring semi-komutatif, dan suatu elemen idempoten dari �.

Perhatikan bahwa untuk setiap ∈ �,

(19)

⇒ −1 = 0

⇒ −1 = 0 (karena � semi-komutatif)

⇒ − = 0

⇒ = . (3.2)

Dari (3.1), diperoleh

−1 = 0 ⇒ −1 = 0 (karena � semi-komutatif)

⇒ − = 0

⇒ = . (3.3)

Berdasarkan (3.2) dan (3.3), maka = = ,

akibatnya merupakan central di �, sehingga � ring abelian.

Jadi terbukti bahwa hubungan implikasi yang dinyatakan di atas adalah benar. ∎

Selanjutnya, kelas ring yang terakhir dalam subbab ini adalah kelas ring

Dedekind finite, yang didefinisikan sebagai berikut.

Suatu ring � disebut ring Dedekind finite jika = 1, maka = 1, untuk

setiap , ∈ �.

Contoh

Dapat ditunjukkan bahwa ℤ₅ merupakan ring Dedekind finite.

Perhatikan bahwa

2 5 3 5= 1 5 ⇒ 3 ₅ 2 ₅ = 1 ₅,

4 5 4 5= 1 5 ⇒ 4 5 4 5 = 1 5.

Jadi ℤ₅ merupakan ring Dedekind finite.

Dalam proposisi berikut ini, ditunjukkan hubungan dari kelas ring abelian dan

kelas ring Dedekind finite.

Proposisi 3.1.8 (Camillo dan Nielsen, 2008: 606)

(20)

39

Bukti

Jadi terbukti, jika � ring abelian maka � merupakan ring Dedekind finite. ∎

Jadi dalam subbab ini telah ditunjukkan hubungan implikasi dari keenam

kelas ring tersebut. Dalam subbab berikutnya dijelaskan kelas ring yang lainnya.

3.2 Kelas-kelas Ring Melibatkan Polinom

Dalam subbab ini terdapat dua kelas ring yang dalam definisinya melibatkan

polinom, dan akan ditunjukkan hubungan implikasinya. Kedua kelas ring tersebut

yakni kelas ring McCoy dan kelas ring Armendariz, dengan definisinya sebagai

(21)

Suatu ring � disebut ring McCoy kanan jika untuk setiap polinom tak nol di

�[ ], yakni

Suatu ring � disebut ring McCoy linier kanan jika untuk setiap polinom linier

tak nol di �[ ], yakni

Jika ring � merupakan ring McCoy linier kanan dan McCoy linier kiri, maka

(22)

41

Contoh

Diketahui bahwa ₂(ℝ) merupakan ring. Misalkan dua polinom atas 2 ℝ

yakni = 1 0

Ini kontradiksi, akibatnya tidak ada ≠ 0 0

(23)

Semua ring semi-komutatif adalah ring McCoy linier.

Bukti

Misalkan � ring semi-komutatif, dan dua polinom linier tak nol, yakni = 0+ 1 , = 0+ 1 ∈ �[ ],

Akan ditunjukkan terdapat , ≠0∈ �, sedemikian sehingga

(24)

43

Akibatnya terdapat ₀, 1, 1≠0∈ � sedemikian sehingga

Berdasarkan (3.7) dan (3.6), maka

0 = 0 1 = 0, dan

Dari (3.5) dan (3.8), didapat

(25)

= 0,

Dari (3.5) dan (3.10), didapat

_{0 1} ≠ 0. (3.11)

0 1 0+ 1 1 0 = 0 ⇒ 0+ 1 1 0 = 0

(26)

45

0 1 0+ 0 1 1 = 0 ⇒ 0 1 0+ 1 = 0

Dalam proposisi berikut ini ditunjukkan hubungan dari kelas ring McCoy

linier kanan dengan kelas ring Dedekind finite.

Jika � merupakan suatu ring McCoy linier kanan, maka � merupakan ring

Dedekind finite.

Bukti

Akan dibuktikan dengan kontrapositif, yakni jika � bukan ring Dedekind

(27)

= + 1−

Dari (3.18), (3.19), dan (3.20), didapat

= + + −

Perhatikan bahwa untuk setiap ∈ �, berlaku:

0 = = + 1−

= + 1−

⇒ = 0 dan 1− = 0

(28)

47

⇒ − 0 = 0 ⇒ −0 = 0 ⇒ = 0.

Ini kontradiksi dengan pernyataan bahwa terdapat ≠0∈ � sedemikian sehingga = 0. Akibatnya tidak ada ≠0∈ � yang memenuhi = 0, sehingga � bukan ring McCoy linier kanan.

Jadi terbukti, jika � bukan ring Dedekind finite, maka � bukan ring McCoy linier

kanan. ∎

Kelas ring yang selanjutnya adalah kelas ring Armendariz, yang didefinisikan

sebagai berikut.

Suatu ring � disebut ring Armendariz jika untuk setiap = ₀+ ₁ +

(29)

Ring berikut ini merupakan bentuk khusus dari ring Armendariz dimana

polinomnya merupakan polinom linier.

Definisi 3.2.6 (Antoine, 2009: 4132)

Suatu ring � disebut Armendariz linier jika untuk setiap = 0+ 1 ,

Kasus 2: Jika salah satunya tak nol.

Misalkan 0 3≠ 0 3 dan 0 3 = 0 ₃, maka

1 0 3 = 1 3 0 3

= 0 3,

dan berdasarkan (3.22), maka

0 3 = 1 0 3+ 0 1 3

= 0 3 + 0 1 3

(30)

49

Dari kedua kasus tersebut, didapat

1 0 3 = 0 1 3= 0 3. (3.24)

Berdasarkan (3.21), (3.23), dan (3.24), maka

0 0 3= 1 1 3 = 1 0 3= 0 1 3 = 0 3.

Jadi ℤ3 merupakan ring Armendariz linier.

Dalam proposisi berikut ini ditunjukkan hubungan dari kelas ring Armendariz

dengan kelas ring tereduksi.

Proposisi 3.2.7 (Pourteharian dan Rakminhov, 2012: 2)

Jika ring � merupakan ring tereduksi, maka ring � merupakan ring

merupakan ring reversibel, sehingga 0 0= 0 mengakibatkan 0 0= 0.

(31)

1. Persamaan untuk koefisien :

0 1+ 1 0= 0 ⇒ 0 0 1+ 1 0 = 0

Persamaan yang tersisa untuk koefisien adalah

0 1 = 0.

2. Persamaan untuk koefisien 2:

0 2+ 1 1+ 2 0= 0 ⇒ 0 0 2+ 1 1+ 2 0 = 0

Persamaan yang tersisa untuk koefisien 2 adalah

0 2+ 1 1 = 0.

3. Persamaan untuk koefisien 3:

(32)

51

⇒ 3 0 = 0 (karena � ring tereduksi)

⇒ 0 3 = 0. (karena � ring reversibel)

Persamaan yang tersisa untuk koefisien 3 adalah

0 3+ 1 2 + 2 1 = 0.

4. Jika langkah 1, 2, dan 3 diteruskan sampai koefisien , maka akan didapat

0= 0, akibatnya 0 = 0, untuk setiap 1≤ ≤ , dan

persamaan yang tersisa untuk koefisien adalah

0 + 1 −1+ + −1 1 = 0.

Jadi persamaan-persaman yang tersisa untuk masing-masing koefisien adalah

0 1 = 0,

serupa seperti keempat langkah di atas, akan didapat

1= 0, untuk setiap 0≤ ≤ −1.

Jika diteruskan, maka akan didapat = 0 untuk setiap 0≤ ≤ , 0≤ ≤ ,

sehingga � merupakan ring Armendariz.

Jadi terbukti jika � merupakan ring tereduksi, maka � merupakan ring

Armendariz. ∎

Selanjutnya, Proposisi 3.2.7 dan Akibat 3.2.8 berikut ini menunjukkan

hubungan kelas ring Armendariz dengan kelas ring McCoy dan kelas ring abelian.

Jika ring � merupakan ring Armendariz, maka ring � merupakan ring

McCoy.

(33)

Misalkan , ∈ � merupakan polinom tak nol, sedemikian

Jadi terbukti jika � ring Armendariz maka � merupakan ring McCoy. ∎

(34)

53

0 0 = 0 1 = 1 0 = 1 1 = 0.

Jadi jika � adalah ring Armendariz linier, maka � adalah ring McCoy linier. ∎

Jika � adalah ring Armendariz linier, maka � adalah ring abelian.

Bukti

Akan dibuktikan dengan kontrapositif, yakni jika � bukan ring abelian maka

� bukan ring Armendariz linier.

(35)

= − 1−

Berdasarkan (3.27), (3.28), dan (3.29) maka

= + − +

(36)

55

0 =

= − 1− 1− + 1−

= 1− + 1− + − 1− 1−

+ − 1− 1− ,

mengakibatkan

1− = 0,

1− = 0, (3.30)

− 1− 1− = 0, − 1− 1− = 0. Dari (3.30) didapat

1− = 0 ⇒ 1− = 0

⇒ − = 0

⇒ − = 0. (karena idempoten) Ini kontradiksi dengan (3.26), sehingga haruslah � bukan ring Armendariz.

Jadi terbukti jika � bukan ring abelian, maka � bukan ring Armendariz. ∎

Jadi dalam subbab ini telah dibahas hubungan dari kelas ring McCoy dengan

kelas ring Armendariz, dan juga dengan kelas-kelas ring pada subbab sebelumnya.

3.3 Kelas-kelas Ring Melibatkan Ideal

Dalam subbab ini terdapat dua kelas ring yang dalam definisinya melibatkan

ideal. Kedua kelas ring tersebut yakni kelas ring duo dan kelas ring 2-primal.

Berikut ini merupakan definisi dari ring duo.

Suatu ring � disebut ring duo jika setiap ideal dari � merupakan ideal dua

(37)

Jika � merupakan suatu ring komutatif, maka jelas setiap ideal dari � adalah

ideal dua sisi, sehingga setiap ring komutatif merupakan ring duo. Salah satu

contohnya adalah sebagai berikut:

Contoh

Seluruh ideal dari ℤ₆ adalah ideal dua sisi, yakni 0 6, 0 6, 2 6, 4 6 ,

0 6, 3 6 , dan ℤ₆.

Perhatikan tabel berikut ini.

Tabel 3.1. Pengurangan pada 0 6, 2 6, 4 6 −

0 6 4 6 2 6

2 6 0 6 4 6

4 6 2 6 0 6

Tabel 3.2. Perkalian 0 6, 2 6, 4 6 dengan ℤ₆

⊗ 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6 0 6

0 6 2 6 4 6 0 6 2 6 4 6

0 6 4 6 2 6 0 6 4 6 2 6

Berdasarkan Tabel 3.1, Tabel 3.2, dan karena ℤ₆ adalah ring komutatif, maka

0 6, 2 6, 4 6 merupakan ideal dua sisi dari ℤ₆.

Selanjutnya perhatikan tabel-tabel berikut ini:

Tabel 3.3. Pengurangan pada 0 6, 3 6 −

0 6 3 6

(38)

57

Tabel 3.4. Perkalian 0 6, 3 6 dengan ℤ₆

Berikut ini merupakan contoh ring non-komutatif yang merupakan ring duo.

Contoh

Jadi � adalah ring non-komutatif.

Ideal-ideal dari � hanyalah ideal trivial, yakni 0 2 0 2

0 2 0 2 dan �.

Baik 0 2 0 2

0 2 0 2 maupun � merupakan ideal dua sisi, sehingga � dapat

dikatakan sebagai ring duo.

Lemma 3.3.2 (Abdelkader, 2013: 1538)

Jika � merupakan ring duo, maka berlaku � = � , untuk setiap ∈ �.

Bukti

Misalkan � suatu ring duo, ∈ � , dan ∈ �.

(39)

= 1∈ �, dan

= 1 ∈ � .

Karena � merupakan ring duo, maka � merupakan ideal kiri, sehingga

� ⊆ �, untuk setiap ∈ �, dan akibatnya � ⊆ �.

Karena � merupakan ring duo, maka � merupakan ideal kanan, sehingga

� ⊆ � , untuk setiap ∈ �, dan akibatnya � ⊆ � .

Jadi terbukti, jika � merupakan ring duo, maka � = � untuk setiap ∈ �. ∎

Dari Lemma 3.3.2, dapat ditunjukkan hubungan kelas ring duo dan kelas ring

semi-komutatif, yang dinyatakan oleh proposisi berikut ini.

Jika � merupakan ring duo, maka � merupakan ring semi-komutatif.

Bukti

Misalkan , ∈ � sedemikian sehingga = 0.

Perhatikan bahwa untuk setiap ∈ � berlaku

= 0 ⇒ = 0

⇒ � = 0.

Berdasarkan Lemma 3.3.2, maka � = �, sehingga � = � = 0.

Jadi terbukti bahwa jika � merupakan ring duo, maka � semi-komutatif. ∎

Kelas ring yang terakhir dalam bab ini adalah kelas dari ring 2-primal.

Suatu ring disebut ring 2-primal jika setiap elemen nilpoten termuat di �(�),

(40)

59

Pada Lemma 2.2.11 telah ditunjukkan bahwa untuk setiap ring �, berlaku

� � ⊆ (�), sehingga jika � merupakan ring 2-primal, maka � = �(�). Selanjutnya, pada proposisi berikut ini ditunjukkan hubungan kelas ring 2-primal

dengan kelas ring Dedekind finite.

Proposisi 3.3.5 (Lam, 2003: 198)

Jika � merupakan ring 2-primal, maka � merupakan ring Dedekind finite.

Bukti

Misalkan , ∈ � sedemikian sehingga = 1.

Akan ditunjukkan bahwa = 1.

(41)

= 1 + + 2+ + −1− − 2 − − −1 −

= 1 + + 2 + + −1 + − − 2 − − −1− (3.32)

= 1 + + 2 + + −1 1 + 1 + + + −2+ −1 −

= 1 + + 2 + + −1 (1− ). (3.33)

Berdasarkan (3.32), didapat

1 = 1 1 + + 2+ + −1 + − 1 + + + −2+ −1

= 1− 1 + + + −2+ −1 . (3.34)

Berdasarkan (3.33) dan (3.34), dapat disimpulkan bahwa untuk sembarang

nilpoten , bentuk (1− ) merupakan unit.

Karena 1− nilpoten, maka 1− 1− = adalah unit, sehingga

terdapat ∈ � sedemikian sehingga = 1, dan akibatnya

1 = ⇒1 = ( )

⇒ =

⇒ = 1

⇒ =

⇒ = 1.

Karena = 1 mengakibatkan = 1, maka � merupakan ring Dedekind finite.

Jadi terbukti jika � merupakan ring 2-primal, maka � merupakan ring Dedekind

finite. ∎

Pada bab selanjutnya dibahas mengenai sejumlah modul yang merupakan

(42)

BAB V

seluruh kelas-kelas ring, yang ditunjukkan oleh bagan berikut.

2. Berdasarkan pembahasan pada Subbab 4.1, disimpulkan sifat-sifat dari modul

semi-komutatif, yakni

a. Jika � merupakan modul semi-komutatif atas ring tereduksi , maka �

merupakan modul McCoy atas .

b. Jika terdapat suatu homomorfisma ring � dari ke , dan � modul atas

, maka � adalah modul atas .

Jika � merupakan homomorfisma onto, � merupakan modul

semi-komutatif atas jika dan hanya jika � modul semi-komutatif atas .

c. Jika � merupakan modul simetrik atas ring , maka � merupakan

modul semi-komutatif atas .

(43)

3. Berdasarkan pembahasan pada Subbab 4.2, disimpulkan sifat-sifat dari modul

P.Q-Baer sebagai berikut.

a. Jika � merupakan modul semi-komutatif atas ring , maka �

merupakan modul P.Q-Baer atas jika dan hanya jika � modul P.P atas

.

b. Jika � merupakan modul P.Q-Baer dan modul semi-komutatif atas ring

, maka � merupakan modul tereduksi atas .

5.2 Rekomendasi

Dalam skripsi ini, masih ada implikasi yang belum diulas oleh penulis, yakni

implikasi dari kelas ring duo ke kelas ring McCoy, dan implikasi dari kelas ring

semi-komutatif ke kelas ring 2-primal. Sebagian besar contoh ring yang disajikan

adalah ring komutatif, diharapkan agar kelak dapat dikaji contoh dari ring yang

tak komutatif (contoh tak trivial). Selain itu penulis baru membahas sebagian kecil

mengenai modul P.Q-Baer dan modul P.P.

Diharapkan oleh penulis agar kelak modul P.Q-Baer, modul P.P, serta modul

lain seperti modul Rickart, modul flat, dan modul nonsingular dapat dikaji lebih

(44)

DAFTAR PUSTAKA

Abdelkader, M. O. (2013). “MP-Dimension of a Meta-Projective Duo-Ring”,

Applied Mathematical Sciences. 7, (31), 1537-1543.

Antoine, R. (2009). “Examples of Armendariz Rings”, Communications in Algebra. 38, (11), 4130-4143.

Baser, M. dan Agayev, N. (2006). “On Reduced and Semicommutative Modules”. Turk J Math. 30, 285-291.

Baser, M. dan Harmanci, A. (2007). “Reduced and P.Q-Baer Modules”.

Taiwanese Journal of Mathematics. 11, (1), 267-275.

Calugareanu, G. dan Schultz, P. (2010). “Modules with Abelian Endomorphism Rings”. Bull. Aust. Math. Soc. 82, (1), 99-112.

Camillo, V. dan Nielsen P.P. (2008). “McCoy Rings and Zero Divisors”. Journal of Pure and Applied Algebra. 212, (3), 599-615.

Conrad, K. Zorn’s Lemma and Some Applications. [Online]. Tersedia:http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/zorn1.pdf. [25 April 2013].

Cui, J. dan Chen J. (2011). “On McCoy Modules”. Bull. Korean Math. Soc. 48,

(1), 23-33.

Durbin, J. R. (2000). Modern Algebra – An Introduction. New York: John Wileys

and Sons.

Herstein, I. N. (1975). Topics in Algebra. New York: John Wiley and Sons.

Hungerford, T. W. (1996). Algebra. New York: Springer.

Kafkas G, et al. (2011), “Generalized Symmetric Rings”. Algebra and Discrete Mathematics. 12, (2), 72-84.

Kim, N. K. dan Lee, Y. (2000). “On Right Quasi-Duo Rings which are � -Regular”. Bull. Korean Math. Soc. 37, (2), 217-227.

Kose, H., Ungor, B. dan Halicioglu, S. (2012). “A Generalization on Reduced Rings”. Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics. 41, (5), 689-696.

(45)

Ludiana, M. (2012). Ring Armendariz. Skripsi Sarjana pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Novianto, A. (2012). Ring Abelian dan Modul Abelian. Skripsi Sarjana pada FPMIPA UPI Bandung: tidak diterbitkan.

Pourtaherian H. dan Rakhimov I. S. (2012). On Some Class of Rings and Their

Links, [Online]. Tersedia:http://arxiv.org/pdf/1210.2844v1.pdf [9 April

2012].

Rege, M. B. dan Buhpang A. M. (2008). “On Reduced Modules”. International Electronic Journal of Algebra. 3, 58-74.