Kemiringan (Skewness) 6.3 Kurtosis

NILAI UJIAN F KUM 31 atau lebih

6.2. Kemiringan (Skewness) 6.3 Kurtosis

 Misalkan diberikan variabel x dengan harga-

harga x₁, x₂, ….,x_n. Jika A = bilangan tetap dan

r = 0,1,2,…, maka momen ke-r sekitar A (_m’_r),

maka rumusnya :

 Jika data telah disusun dalam daftar distribusi

frekuensi, maka rumusnya berbentuk :

n A x m r i r



  ( ) ' n A x f m r i i r



  ( ) '

adalah ukuran yang menunjukan miring atau tidaknya suatu kurva.

Dua buah kurva bisa saja berbeda, mungkin saja mempunyai rata-rata hitung dan deviasi standard yang sama. Perbedaan bentuk kurva saja mempunyai rata-rata hitung dan deviasi standard yang sama. Perbedaan bentuk kurva tersebut dikarenakan tingkat kemencengan yang berbeda.

Kurtosis adalah suatu ukuran yang menunjukan keruncingan suatu kurva.

Ada 3 macam tingkat keruncingan :

1. Leptokurtic

1. Leptokurtic

2. Mezokurtic

 Diberikan data : 5,4,4,6,3,8,10,8,3,2

Hitunglah :

a. Momen pertama, kedua, ketiga dan keempat b. momen ke-1, ke-2, ke-3, dan ke-4 sekitar

b. momen ke-1, ke-2, ke-3, dan ke-4 sekitar rata-rata

7.1. Analisis Regresi Linier Sederhana 7.2. Analisis Korelasi

7.3. Koefisien Determinasi 7.4. Regresi Linier Berganda

Definisi

 Analisis regresi adalah analisis yang mengkaji pola

hubungan antara 2 variabel atau lebih yaitu antara

variabel bebas (independent variable) dan variable tak bebas/terikat (dependent variable) yang dinyatakan bebas/terikat (dependent variable) yang dinyatakan dalam suatu bentuk persamaan matematis yaitu

persamaan regresi yang tujuannya adalah untuk meramalkan nilai variable tak bebas (Y) atas dasar variable bebas (X) tertentu

Regresi Sederhana (simple regression) yaitu

analisis regresi yang hanya melibatkan 1 variabel X.

◦ _{Regresi Linier : Regresi dengan bentuk}

persamaan garis lurus

◦ : regresi dengan bentuk

◦ Regresi Non Linier : regresi dengan bentuk

persamaan kuadratik, logaritmik, eksponensial, dll.

 Buat Hipotesis Komponen-komponen

penelitian

 Estimasi Parameter-parameter modelnya (a

& b) & b)

 Evaluasi model dengan menguji parameter-

parameter tersebut

 Bentuk persamaan regresi :

Y = a + bX

a = intercept = Nilai Y pada X = 0 b = koefisien regresi

= rata-rata perubahan Y jika X bertambah 1 unit

Y Regression Plot

bertambah 1 unit X = Variabel Bebas Y = Variabel Tak Bebas

X Y = a + bX Xi }

}

b = Slope a = Intercept Yi { Error: e_i

 Menghitung koefisien regresi











 

   2 2 X X n Y X XY n b n X b Y X b Y a   







 Analisis Korelasi adalah analisis yang mengkaji kuat hubungan linier antara 2 variabel yang dinyatakan melalui koefisien korelasi (r).  



_{ }





_ _ 



        2 2 2 2 Y X XY n r

 Besarnya koefisien korelasi –1  r  1

 



_ 2  _ 2







_ 2 _ 2



Y Y n X X n

Arti besar nilai r

 Jika r = 1 atau mendekati 1 maka hubungan antara 2 variabel sangat kuat secara positif yaitu hubungan yang terjadi searah yaitu apabila nilai X meningkat maka Y juga akan semakin meningkat dan sebaliknya.

 Jika r = -1 atau mendekati -1 maka hubungan antara 2 variabel sangat kuat secara negatif yaitu hubungan yang terjadi berbalik arah yaitu apabila nilai X meningkat maka akan diikuti dengan penurunan Y atau sebaliknya.

 Jika r = 0 atau mendekati 0 maka hubungan antara 2 variabel tidak ada atau lemah maka dapat dikatakan tidak terdapat hubungan antara X dan Y.

Y

X

r = 0 Y

X r = -1

Koesisien Determinasi

Untuk mengetahui seberapa besar pengaruh variabel X terhadap variabel Y atau seberapa besar variasi Y dapat dijelaskan oleh X.

KD = r2 _{x 100%}

KD = r x 100%

Misalkan : r = 0.8 maka KD = 0.82_{x 100% = 64%}

artinya : Variabel Y dipengaruhi oleh variabel X sebesar 64% sisanya 100-64 = 36% dipengaruhi faktor lain.

Definisi



Regresi Berganda (multiple

regression)

yaitu analisis regresi yang

regression)

melibatkan lebih dari 1 variabel X (independen).

 Hubungan linier antara 1 variabel dependent

dengan 2 atau lebih variabel independent Population Population Y Y--interceptintercept Population Population slopes

slopes RandomRandom_errorerror

Y

_i





0





1

X

1_i





2

X

2_i

 



_k

X

_ki





_i error error Dependent Dependent (response) (response) variable variable Independent Independent (explanatory) (explanatory) variables variables

 X = Nilai ujian matematika mahasiswa FE-USAKTI

Y = Nilai ujian statistika mahasiswa FE-USAKTI

X : 7 6 8 9 10 5 4 9 7 3

Y : 6 8 9 7 9 6 5 8 8 4

a. Dengan menggunakan persamaan regresi, berapa nilai statistik yang diperoleh kalau nilai matematika yang dicapai sebesar 8,5 ? b. Hitung koefisiensi penentuan atau determinasi dan apa artinya? c. Tulis persamaan regresi linear sederhana, berapa besarnya nilai

koefisien regresi? apa arti nilai ini ?

8.1. Definisi Peluang

8.2. Beberapa Aturan Peluang

 Mengundi dengan sebuah mata uang logam

atau sebuah dadu merupakan contoh eksperimen dari suatu peristiwa.

 Untuk menyatakan peristiwa / peluang

digunakan huruf kapital. digunakan huruf kapital.

 Contoh :

Ambil eksperimen mengenai mencatat banyak kendaraan yg melalui sebuah tikungan setiap jam. Hasilnya bisa terdapat 0, 1, 2, 3,….buah kendaraan setiap jam yg melalui tikungan tersebut.

 Definisi 1 : Dua peristiwa atau lebih dinamakan

saling eksklusif atau saling asing jika terjadinya peristiwa yg satu mencegah terjadinya yg lain.

 Contoh :

1. E misalkan barang yg dihasilkan rusak dan E berarti barang yg dihasilkan tidak rusak.

2. Mata uang logam mempunyai dua muka yg berlainan. Kita sebut saja muka G dan muka H. maka peristiwa-peristiwa muka G yg

nampak dan muka H yg nampak sebagai hasil undian dgn sebuah mata uang mrpk dua peristiwa yg saling eksklusif.

 Definisi 2 : Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali di

antara N peristiwa yg saling eksklusif dan masing-masing terjadi dengan kesempatan yg sama. Maka peluang peristiwa E terjadi adalah :

 Contoh :

Sebuah kotak berisi 20 kelereng yg identik kecuali warnanya. Terdapat 5 berwarna merah, 12 berwarna kuning dan sisanya berwarna hijau.

N n E

P( ) 

5 berwarna merah, 12 berwarna kuning dan sisanya berwarna hijau. Kelereng dalam kotak itu diaduk baik-baik lalu diambil sebuah tanpa melihat ke dalam kotak atau dengan mata tertutup. Maka peluang mengambil kelereng berwarna merah = 5/20 = 0,25 ; peluang mengambil yg berwarna kuning = 12/20 = 0,6 ; dan peluang mengambil yg hijau = 3/20 = 0,15.

 Definisi 3 : Kita perhatikan frekuensi relatif tentang

terjadinya sebuah peristiwa untuk sejumlah pengamatan. Maka peluang peristiwa itu adalah limit

dari frekuensi relatif apabila jumlah pengamatan diperbesar sampai tak hingga banyaknya.

 Contoh :

Produksi semacam barang diperiksa 500 dan terdapat yg rusak 22. Frekuensi relatif kerusakan produksi = yg rusak 22. Frekuensi relatif kerusakan produksi = 0,044. Selanjutnya periksa 2.000 dimana terdapat yg rusak 82. Frekuensi relatifnya = 0,041. Lanjutkan proses demikian, kalau mungkin hasil produksi diperiksa dan dicatat berapa yg rusak. Bilangan yg didapat mrpk peluang kerusakan barang yg diproduksi, misalnya 0,04 / 4% yg berarti dlm proses produksi yg cukup lama dengan kondisi yg sama, maka dari setiap 100 barang yg dihasilkan terdapat 4 rusak.

 P(A) = peluang (probabilitas) bahwa peristiwa

A akan terjadi

 0 ≤ P(A) ≤ 1

 P(A) = 0 ; artinya A tidak mungkin terjadi  P(A) = 1 ; artinya A pasti terjadi

 Eksperimen: Proses yang menghasilkan satu dan hanya

satu(output ) dari sejumlah pengamatan.

 Outcome: Hasil pengamatan pada eksperimen.

 Ruang sampel (Sample Space) : Kumpulan semua outcome

yang mungkin dalam suatu eksperimen.

◦

Eksperimen Output Outcome Sample Spaces

Mengundi koin 1× Mengundi dadu Mengundi koin 2× Mengikuti test Menjadi mahasiswa Sisi koin Sisi dadu Sisi koin Hasil test Alumn Gambar, Angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 GG, GA, AG, AA Lolos, Gagal Lulus, DO S = {Gambar, Angka} S= {1,2,3,4,5,6} S= {GG,GA,AG,AA} S = {Lolos, Gagal} S = {Lulus, DO}

Eksperimen Output Outcome Sample Spaces

Mengundi koin 1× Mengundi dadu Mengundi koin 2× Mengikuti test Menjadi mahasiswa Sisi koin Sisi dadu Sisi koin Hasil test Alumn Gambar, Angka 1, 2, 3, 4, 5, 6 GG, GA, AG, AA Lolos, Gagal Lulus, DO S = {Gambar, Angka} S= {1,2,3,4,5,6} S= {GG,GA,AG,AA} S = {Lolos, Gagal} S = {Lulus, DO}

 Event / kejadian: Kejadian atau peristiwa yg

merupakan himpunan bagian dari ruang sampel .

 Elementary Event: event yang tidak dapat dipecah

lagi menjadi event lain. lagi menjadi event lain.

 Contoh : Mata uang logam hanya mempunyai 2

 Mutually Exclusive Events: _{adalah kejadian-kejadian yang tidak} mempunyai irisan. Artinya, kejadian yang satu meniadakan kejadian yang lainnya; kedua kejadian tidak dapat terjadi secara simultan

(tidak secara bersamaan). Apabila X dan Y mutually exclusive, maka P(X∩Y) = 0

Contoh : Contoh :

1. Jika X _{adalah peristiwa “penarikan sebuah kartu As dari sebuah}

tumpukan kartu” dan Y _{adalah peristiwa “penarikan sebuah kartu Raja”,} maka P(X_{) = 4/52 =1/13 , dan P(}Y_{) = 4/52 = 1/13. Sehingga peluang}

terambilnya salah satu kartu As atau Raja dalam 1x pengambilan adalah P(X + Y_{) = P(}X_{) +P(}Y_{) = 1/13 + 1/13 = 2/13.}

Oleh karena kartu As dan Raja kedua-duanya tdk dpt ditarik sekaligus dlm 1x pengambilan, maka peristiwa ini namanya peristiwa saling eksklusif.

2. Jika X _{adalah peristiwa “penarikan sebuah kartu As” dari sebuah}

tumpukan kartu dan Y _{adalah peristiwa”penarikan sebuah kartu sekop}

(spade)”, maka X _dan Y _{bukan merupakan peristiwa saling eksklusif}

krn kartu sekop dapat diambil dlm 1x pengambilan.

Jadi peluang terambilnya kartu As atau sekop atau kedua-duanya adalah P(X ₊Y_{) = P(}X_{) + P(}Y_{) – P(}XY_{) = 4/52 + 13/52 – 1/52 = 16/52 = 4/13}

 Independent Events: adalah kejadian-kejadian

satu sama lain tidak saling mempengaruhi. Artinya, terjadi atau tidak terjadinya satu kejadian tidak mempengaruhi terjadi atau tidak terjadinya kejadian lainnya.

tidak terjadinya kejadian lainnya.

P(X|Y) = P(X) dan P(Y|X) = P(Y) P(X|Y) artinya probabilitas bahwa X terjadi apabila diketahui Y telah terjadi.

 Kenyataannya, kejadian-kejadian bebas ini

jarang terjadi, karena pd dasarnya antara kejadian yg satu dgn lainnya saling

mempengaruhi baik secara langsung maupun tidak.

tidak.

 Contoh :

1. Kejadian pasang surut Kali Ciliwung dgn

harga motor Honda di Jakarta.

2. Banyaknya hujan di Sumatra dgn naiknya

1. A menyatakan si X akan hidup dlm tempo 30 thn lagi. B menyatakan si Y akan hidup dlm tempo 30 thn lagi. Diberikan P(A)=0,65 dan P(B)=0,52

Jawab : P(A)=P(X)=0,65 , P(B)=P(Y)=0,52 , maka P(si X dan si Y dua-duanya akan hidup dlm tempo 30 thn lagi)=0,65.0,52=0,338. 2. Satu mata uang logam Rp 500,- dilemparkan ke atas sebanyak 2x. 2. Satu mata uang logam Rp 500,- dilemparkan ke atas sebanyak 2x. Jika X adl.lemparan pertama yg mendapat gambar burung (B), Y adl.lemparan kedua yg mendapatkan gambar burung (B),

berapakah P(X∩Y) ?

Jawab : Krn pd pelemparan pertama hasilnya tdk mempengaruhi pelemparan kedua, P(X)=P(B)=1/2 dan P(Y)=P(B)=1/2, maka P(X∩Y)=P(X).P(Y)=P(B).P(B)=1/2.1/2=1/4

Dua kartu diambil dari tumpukan 52 kartu yang telah dikocok dengan baik sebelumnya.

Carilah peluang bahwa kedua kartu yang diambil adalah kartu As jika kartu yang pertama diambil adalah kartu As jika kartu yang pertama diambil

 Dikembalikan ke dalam tumpukan kartu

9.5. Distribusi Normal 9.6. Distribusi Student - t

 Distribusi normal adalah distribusi yang paling banyak ditemukan.

 Diperoleh dari data kontinyu  Parameter: μ = _rata-rata, σ deviasi standar π=3,14 , e=2,7183,-∞<x<∞  Fungsi densitasnya: 2 ) ( 2 / 1 2 1 ) (         x e x X f

 Distribusi Normal Standar :

 _{Distribusi normal yang memiliki} μ = 0 _dan σ = 1.

 _{Konversi dari X yang terdistribusi normal ke Z yang}

 Distribusi student-t sama dengan distribusi

Normal

 Digunakan apabila jumlah sampel yang ada

ukurannya kecil (n< 30) ukurannya kecil (n< 30)

Tabel ini berisi nilai peluang untuk nilai z dari 0 s.d. 4.095