Kesimpulan

BAB V PENUTUP

A. Kesimpulan

DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN

7 BAB II

PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN TOPIK TERKAIT

Dalam bab ini akan dibahas mengenai landasan teori dari skripsi ini.

Landasan teori yang digunakan adalah turunan, integral, persamaan diferensial, persamaan panas, kondisi Stefan, transformasi Boltzmann.

A. Turunan

Dalam subab ini akan dibahas mengenai turunan dengan menggunakan referensi dari buku karangan Stewart (1999).

Definisi 2.1

Turunan fungsi 𝑓 pada titik 𝑎, dinotasikan dengan 𝑓^′(𝑎) yaitu 𝑓^′(𝑎) = lim

ℎ→0

𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) ℎ

jika nilai limitnya ada.

Contoh 2.1

Contoh ini diambil dari buku Stewart (1999).

Tentukan turunan dari 𝑓(𝑥) = 𝑥²− 8𝑥 + 9!

= lim

ℎ→0(2𝑎 + ℎ − 8)

= 2𝑎 − 8

Jadi, nilai turunan dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥² − 8𝑥 + 9 di 𝑥 = 𝑎 adalah 2𝑎 − 8.

Definisi 2.2

Definisi turunan di atas dapat ditulis sebagai berikut (Stewart, 1999):

Jika ditulis 𝑥 = 𝑎 + ℎ, maka ℎ = 𝑥 − 𝑎 dan ℎ mendekati 0 jika dan hanya jika 𝑥 mendekati 𝑎. Jadi didapat

𝑓^′(𝑎) = lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑥 − 𝑎

jika nilai limitnya ada.

Contoh 2.2

Contoh ini diambil dari buku Stewart (1999).

Gunakan definisi 2.2 untuk mencari 𝑓′(𝑎) jika 𝑓(𝑥) =_2𝑥−1^𝑥 .

Jika 𝑓 terdiferensialkan di 𝑎, maka 𝑓 kontinyu di 𝑎 (Stewart, 1999).

Bukti:

Untuk membuktikan 𝑓 kontinyu di 𝑎 akan ditunjukkan bahwa lim

𝑥→𝑎𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎). Hal tersebut dilakukan dengan menunjukan perbedaan 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) mendekati 0.

Diketahui 𝑓 terdiferensialkan di 𝑎, sehingga 𝑓^′(𝑎) = lim

𝑥→𝑎

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) 𝑥 − 𝑎

ada (berdasarkan definisi 2.2). Selanjutnya, membagi dan mengalikan 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) dengan 𝑥 − 𝑎 (dengan 𝑥 ≠ 𝑎) sehingga diperoleh

𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎) = 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)

𝑥 − 𝑎 (𝑥 − 𝑎)

Kemudian, dengan menggunakan Hukum Perkalian dan definisi 2.2 dapat ditulis

𝑥→𝑎lim[𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)] = lim

Bukti di atas dapat digunakan, dimulai dengan 𝑓(𝑥) dan tambahkan serta kurangi dengan 𝑓(𝑎): Jadi, terbukti 𝑓 kontinyu di 𝑎.

Aturan rantai Teorema 2.2

Jika 𝑔 dan 𝑓 keduanya terdiferensial dan 𝐹 = 𝑓 𝜊 𝑔 adalah fungsi komposisi yang didefinisikan dengan 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑔(𝑥)), maka 𝐹 terdiferensialkan dan 𝐹′

adalah

𝐹^′(𝑥) = 𝑓^′(𝑔(𝑥))𝑔′(𝑥)

Jika 𝑦 = 𝑓(𝑢) dan 𝑢 = 𝑔(𝑥) keduanya fungsi terdiferensial, maka 𝑑𝑦 𝑔(𝑎). Diberikan suatu fungsi terdiferensial 𝑓 yaitu

∆𝑦 = 𝑓^′(𝑎)∆𝑥 + 𝜀∆𝑥 dimana 𝜀 → 0 dan ∆𝑥 → 0.

Jika ∆𝑥 adalah kenaikan di 𝑥 dan ∆𝑢 dan ∆𝑦 adalah kenaikan yang sesuai di 𝑢 dan 𝑦, maka dapat ditulis

∆𝑢 = 𝑔^′(𝑎)∆𝑥 + 𝜀₁∆𝑥 = [𝑔^′(𝑎) + 𝜀₁]∆𝑥 (2.1) dimana 𝜀₁ → 0 dan ∆𝑥 → 0. Demikian pula

∆𝑦 = 𝑓^′(𝑏)∆𝑢 + 𝜀₂∆𝑢 = [𝑓^′(𝑏) + 𝜀₂]∆𝑢 (2.2) dimana 𝜀₂ → 0 dan ∆𝑢 → 0.

Substitusi persamaan (2.1) ke persamaan (2.2), sehingga diperoleh

∆𝑦 = [𝑓^′(𝑏) + 𝜀₂][𝑔^′(𝑎) + 𝜀₁]∆𝑥 Jadi,

∆𝑦

∆𝑥 = [𝑓^′(𝑏) + 𝜀₂][𝑔^′(𝑎) + 𝜀₁]

Ketika ∆𝑥 → 0, persamaan (2.1) menunjukkan bahwa ∆𝑢 → 0. Jadi keduanya 𝜀₁ → 0 dan 𝜀₂ → 0 ketika ∆𝑥 → 0.

Misalkan 𝑢 = 𝑥³ dan 𝑦 = cos 𝑢. Dengan menggunakan Teorema 2.2 diperoleh

Pada contoh ini perhitungan aturan rantai berbentuk 𝑑𝑤

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh integral yang menggunakan referensi dari buku karangan Larson dan Bruce (2010), dan Anton, dkk (2012).

Definisi 2.3

Suatu fungsi 𝐹 disebut anti-turunan dari fungsi 𝑓 pada interval 𝐼 jika 𝐹^′(𝑥) = 𝑓(𝑥) untuk setiap 𝑥 di 𝐼.

Contoh 2.5

Contoh ini diambil dari buku Larson dan Bruce (2010).

Carilah anti-turunan dari fungsi 𝑓(𝑥) = 3𝑥². Penyelesaian:

Fungsi 𝐹(𝑥) = 𝑥³ − 5 memenuhi anti-turunan dari 𝑓(𝑥) = 3𝑥². Pada kenyataannya,

𝐹(𝑥) = 𝑥³+ 𝐶 adalah anti-turuan dari 𝑓, untuk suatu konstanta 𝐶.

Teorema 2.3

Jika 𝐹 adalah turunan dari 𝑓 pada sebuah interval 𝐼 maka 𝐺 adalah anti-turunan dari 𝑓 pada interval 𝐼 jika dan hanya jika 𝐺 berbentuk 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, untuk setiap 𝑥 di 𝐼 dimana 𝐶 adalah konstanta.

Bukti:

Jika 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶, 𝐹^′(𝑥) = 𝑓(𝑥), dan 𝐶 adalah konstanta, maka 𝐺^′(𝑥) = 𝑑

𝑑𝑥[𝐹(𝑥) + 𝐶] = 𝑓(𝑥).

Asumsikan 𝐺 adalah anti-turunan dari 𝑓.

Didefinisikan suatu fungsi 𝐻 sedemikian sehingga 𝐻(𝑥) = 𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥).

Untuk dua titik 𝑎 dan 𝑏 (𝑎 < 𝑏) pada interval, 𝐻 adalah kontinu pada [𝑎, 𝑏] dan terdiferensialkan di (𝑎, 𝑏). Dengan menggunakan teorema nilai rata-rata didapat

𝐻^′(𝑥) =𝐻(𝑏) − 𝐻(𝑎) 𝑏 − 𝑎

untuk beberapa 𝑐 di (𝑎, 𝑏). Namun, 𝐻^′(𝑐) = 0, jadi 𝐻(𝑎) = 𝐻(𝑏). Karena 𝑎 dan 𝑏 adalah sebarang titik pada interval dan 𝐻 adalah suatu fungsi konstan 𝐶. Jadi 𝐺(𝑥) − 𝐹(𝑥) = 𝐶 sehingga 𝐺(𝑥) = 𝐹(𝑥) + 𝐶.

Terbukti.

Teorema 2.4

Andaikan 𝐹(𝑥) dan 𝐺(𝑥) adalah anti-turunan dari 𝑓(𝑥) dan 𝑔(𝑥), berturut-turut, dan 𝑐 adalah konstanta. Maka

i. ∫ 𝑐𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑐𝐹(𝑥) + 𝐶

ii. ∫[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐺(𝑥) + 𝐶 iii. ∫[𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) − 𝐺(𝑥) + 𝐶

Bukti dapat dilihat di buku Anton (2012) yang berjudul Calculus.

C. Persamaan diferensial

Dalam subbab ini akan dibahas mengenai definisi dan contoh persamaan diferensial, persamaan diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, tingkatan (orde) persamaan diferensial, dan persamaan diferensial linear/taklinear yang menggunakan referensi dari buku karangan William dan Richard (1986).

Definisi 2.4

Persamaan diferensial adalah sebuah persamaan yang memuat satu atau lebih turunan dari fungsi yang tidak diketahui (William dan Richard, 1986).

Contoh 2.6

Persamaan dibawah ini beberapa contoh dari persamaan diferensial (William dan Richard, 1986):

𝑑𝑦

𝑑𝑥+ 𝑥𝑦² = 0 (2.3)

𝐿𝑑²𝑄

𝑑𝑡² + 𝑅𝑑𝑄 𝑑𝑡 +1

𝐶𝑄 = 𝐸(𝑡) (2.4)

𝜕²𝑢

𝜕𝑥² +𝜕²𝑢

𝜕𝑦² = 0 (2.5)

𝛼²𝜕²𝑢

𝜕𝑥² = 𝜕𝑢

𝜕𝑡 (2.6)

Definisi 2.5

Persamaan diferensial biasa adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan biasa dimana fungsi yang tidak diketahui bergantung pada satu variabel bebas.

Contoh 2.7

Contoh dari persamaan diferensial biasa ditunjukkan pada persamaan (2.3) dan (2.4). Persamaan (2.3) adalah persamaan diferensial biasa dengan variabel 𝑥 adalah suatu variabel bebas dan 𝑦 adalah variabel tak bebas. Pada persamaan (2.4)

adalah persamaan diferensial biasa dengan variabel 𝑡 adalah variabel bebas dan 𝑄 adalah variabel tak bebas

Definisi 2.6

Persamaan diferensial parsial adalah suatu persamaan diferensial yang melibatkan turunan parsial dimana fungsi yang tidak diketahui bergantung pada satu atau lebih variabel bebas.

Contoh 2.8

Contoh dari persamaan diferensial parsial ditunjukkan pada persamaan (2.5) dan (2.6). Persamaan (2.5) adalah persamaan diferensial parsial dengan variabel 𝑥 dan 𝑦 adalah suatu variabel bebas dan 𝑢 adalah variabel tak bebas. Persamaan (2.6) adalah persamaan diferensial biasa dengan variabel 𝑥 dan 𝑡 adalah variabel bebas dan 𝑢 adalah variabel tak bebas.

Definisi 2.7

Orde dari persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang muncul pada persamaan diferensial. Persamaan umum dari orde 𝑛 berbentuk

𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦^′, . . . , 𝑦^(𝑛)) = 0 (2.7) disebut persamaan diferensial biasa orde ke-𝑛.

Contoh 2.9

Persamaan (2.3) adalah contoh persamaan diferensial biasa orde satu dan persamaan (2.4) adalah contoh persamaan diferensial orde dua. Persamaan (2.5) dan (2.6) adalah contoh persamaan diferensial parsial orde dua.

Definisi 2.8

Persamaan (2.7) disebut linear jika 𝐹 adalah fungsi linear dari variabel 𝑦, 𝑦^′, … , 𝑦^𝑛. Bentuk umum persamaan diferensial biasa linear dari orde 𝑛 adalah

𝑎₀(𝑥)𝑦^(𝑛)+ 𝑎₁(𝑥)𝑦^(𝑛−1)+ ⋯ + 𝑎_𝑛(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) (2.8) dengan 𝑎₀ tidak sama dengan 0.

Contoh 2.10

Contoh persamaan diferensial biasa linear (William dan Richard, 1986).

𝑑²𝑦

𝑑𝑥² + (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 (2.9)

𝑦^′′+ 𝑦 = 0 (2.10)

Persamaan (2.9) dan (2.10) adalah persamaan diferensial biasa linear orde dua. Dalam persamaan (2.9) dan (2.10) variabel 𝑦 adalah variabel tak bebas.

Definisi 2.9

Suatu persamaan diferensial biasa yang tidak berbentuk (2.8) disebut persamaan diferensial tak linear (William dan Richard, 1986).

Contoh 2.11

Contoh persamaan diferensial biasa tak linear 𝑑³𝑦

𝑑𝑥³+ 𝑦𝑑𝑦

𝑑𝑥+ (𝑐𝑜𝑠²𝑥)𝑦 = 𝑥³ (2.11) 𝑦^′′′+ 2𝑒^𝑥𝑦^′′+ 𝑦𝑦^′ = 𝑥⁴ (2.12) Persamaan (2.11) adalah persamaan diferensial biasa tak linear karena terdapat bentuk 𝑦𝑦′. Persamaan (2.12) bukan persamaan diferensial biasa linear karena terdapat bentuk 𝑦^𝑑𝑦_𝑑𝑥 yang melibatkan perkalian terhadap variabel tak bebas dengan turunannya.

D. Persamaan Panas

Pada subab ini akan dibahas mengenai persamaan panas dengan menggunakan referensi dari buku karangan O’Neil (2014) dan Santos (2003).

Misalkan 𝑐 adalah panas spesifik dari suatu bahan batang. Jumlah energi panas harus disuplai ke satuan massa dari material untuk menaikan suhunya satu derajat.

𝑥 + ∆𝑥 𝐹(𝑥, 𝑡)

𝑥

Gambar 2.1. Ilustrasi persamaan panas

Segmen dari batang antara 𝑥 dan 𝑥 + ∆𝑥 mempunyai massa 𝜌𝐴∆𝑥, dan akan diambil pendekatannya 𝜌𝑐𝐴𝑢(𝑥, 𝑡)∆𝑥 satuan dari energi panas untuk perubahan suhu segmen dari nol sampai 𝑢(𝑥, 𝑡), suhu tersebut dalam waktu 𝑡. Hal ini diilustrasikan dalam Gambar 2.1.

Total energi panas pada segmen dalam waktu 𝑡 > 0 (O’Neil, 2014) 𝐸(𝑥, ∆𝑥, 𝑡) = ∫_𝑥^𝑥+∆𝑥𝜌𝑐𝐴𝑢(𝜉, 𝑡)𝑑𝜉.

Jumlah energi panas dalam segman pada waktu 𝑡 dapat meningkat dalam dua cara. Pertama, energi panas dalam segmen dapat mengalir ke ujung-ujungnya.

Kedua, adanya sumber atau hilangnya energi panas dalam segmen tersebut.

Kejadian itu disebut suatu reaksi kimia atau bahan bersifat radioaktif.

Tingkat perubahan suhu dalam segmen bergantung terhadap waktu (O’Neil, 2014)

𝜕𝐸

𝜕𝑡 = ∫ 𝜌𝑐𝐴𝜕𝑢

𝜕𝑡(𝜉, 𝑡)𝑑𝜉.

𝑥+∆𝑥

𝑥

Energi panas yang mengalir dari daerah panas ke daerah dingin dan jumlah energi panasnya sebanding dengan perbedaan suhu disebut Hukum pendingin Newton. Formulanya berbentuk (Wiley dan Sons, 2014):

𝐹(𝑥, 𝑡) = −𝐾𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑥, 𝑡)

dimana 𝐾 adalah konduktivitas panas. Tanda negatif menunjukan bahwa energi mengalir dari yang lebih hangat ke segmen yang lebih dingin.

Persamaan panas satu dimensi berbentuk (O’Neil, 2014):

𝑢_𝑡 = 𝑘𝑢_𝑥𝑥 (2.13)

dimana 𝑘 = 𝐾/𝑐𝜌 adalah difusi dari bahan.

𝐹(𝑥 + ∆𝑥, 𝑡)

𝑥

Jika persamaan (2.13) ditambah dengan suatu fungsi 𝑄(𝑥, 𝑡), maka bentuk persamaan panasnya adalah

𝑢_𝑡 = 𝑘𝑢_𝑥𝑥 + Q(x, t). (2.14) Persamaan (2.13) disebut persamaan homogen dan persamaan (2.14) adalah persamaan non homogen. Persamaan (2.13) dan (2.14) adalah persamaan diferensial orde dua karena tingkat tertinggi dari persamaan itu adalah dua.

Persamaan (2.13) dan (2.14) adalah persamaan diferensial linear.

Kondisi awal pada persamaan panas berbentuk (Wiley dan Sons, 2014) 𝑢(𝑥, 0) = 𝑓(𝑥), 0 < 𝑥 < 𝐿

dimana 𝑓(𝑥) adalah suatu fungsi.

Kondisi batas pada persamaan panas berbentuk (Wiley dan Sons, 2014) 𝑢(𝑥, 0) = 𝛼(𝑡), 𝑢(𝐿, 𝑡) = 𝛽(𝑡), 0 < 𝑥 < 𝐿

dimana 𝛼(𝑡) dan 𝛽(𝑡) adalah fungsi.

E. Kondisi Stefan

Pada subab ini akan dibahas mengenai kondisi Stefan menurut (Jiji, 2003).

Kondisi Stefan adalah suatu proses pembekuan pada daerah cairan semi tak terbatas. Cairan awalnya adalah pada suhu fusi 𝑇_𝑓. Pada permukaan 𝑥 = 0 suhunya 𝑇₀ < 𝑇_𝑓. Proses pemadatan dimulai secara langsung pada 𝑥 = 0. Karena tidak ada panas yang ditransfer ke fase cair maka suhunya tetap, sehingga

𝑇_𝐿(𝑥, 𝑡) = 𝑇_𝑓 (2.15)

Persamaan umum fase padat berbentuk (Jiji, 2003)

𝜕²𝑇_𝑠

𝜕𝑥² = 1 𝛼_𝑠

𝜕𝑇_𝑠

𝜕𝑡 (2.16) dengan kondisi batas:

(1) 𝑇_𝑠(0, 𝑡) = 𝑇₀ (2) 𝑇_𝑠(𝑥_𝑖) = 𝑇_𝑓

(3) 𝑘_𝑠^𝜕𝑇𝑠_𝜕𝑥^(𝑥,𝑡)= 𝜌_𝑠𝜆^𝑑𝑥_𝑑𝑡¹

kondisi awalnya:

(4) 𝑥_𝑖(0) = 0

Persamaan (2.16) dapat diselesaikan dengan menggunakan transformasi similaritas. Andaikan dua variabel bebas 𝑥 dan 𝑡 dapat dikombinasi dengan variabel tunggal 𝜂 = 𝜂(𝑥, 𝑡). Konduksi sementara dalam variabel semi tak terbatas berbentuk (Jiji, 2003) :

𝜂 = 𝑥

√4𝛼_𝑠𝑡 (2.17) Dari persamaan (2.16) dapat dinyatakan sebagai

𝑇_𝑠 = 𝑇_𝑠(𝜂) (2.18)

Menggunakan persamaan (2.17) dan (2.18), persamaan (2.16) ditransformasikan menjadi

𝑑²𝑇_𝑠

𝑑𝜂² + 2𝜂𝑑𝑇_𝑠 𝑑𝜂 = 0

F. Transformasi Boltzmann

Pada subab ini akan dibahas mengenai Transformasi Boltzmann menurut Jiji (2003) dan Fulford dan Broadbrigde (2002).

Tranformasi Boltzmann adalah metode yang memperkenalkan variabel similaritas dengan menggabungkan dua variabel bebas dan mengubah persamaan diferensial parsial ke persamaan diferensial biasa (Jiji, 2003). Namun, ketika menerapkan metode ini untuk variabel konduktivitas termal persamaan diferensial parsial nonlinear ditransformasikan menjadi persamaan diferensial biasa nonlinear.

Transformasi Boltzmann merupakan pendekatan yang didasarkan pada metode yang terdapat pada penyelesaian konduksi sementara di daerah semi tak terbatas dan dalam masalah perubahan fase.

Transformasi Boltzmann berbentuk (Fulford dan Broadbrigde, 2002):

𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑓(𝜂) dimana 𝜂 = ^𝑥

√𝛼𝑡 ,

𝑇₀ 0

dengan 𝑓 adalah fungsi satu variabel dan ^𝑥

√𝛼𝑡 adalah temperatur, 𝑥 adalah variabel ruang, 𝑡 adalah variabel waktu dan 𝛼 adalah konstanta.

Contoh: Konduksi sementara di daerah semi tak terbatas dengan konduktivitas variabel.

Diketahui daerah semi tak terbatas dengan suhu awal seragam 𝑇_𝑖. Permukaan di 𝑥 = 0 tiba-tiba dipertahankan pada suhu konstan 𝑇₀ dan konduktivitas termalnya bergantung pada suhu. Gunakan transformasi Boltzmann untuk menentukan distribusi temperatur transien.

Penyelesaian:

a. Pengamatan:

i. Karena daerah tersebut adalah daerah semi tak terbatas dan awal suhunya seragam, maka masalah tersebut dapat diselesaikan dengan transformasi .

ii. Karena konduktivitas termalnya bergantung pada suhu maka masalah tersebut bersifat nonlinear,

b. Titik pusat dan koordinat

Gambar 2.2 menunjukkan titik pusat dan sumbu koordinat.

Gambar 2.2. Ilustrasi koordinat terkait suhu c. Formula

i. Asumsi: konduksi transien satu dimensi dan suhu awalnya seragam.

ii. Persamaan umum:

𝜕

𝜕𝑥(𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑥) = 𝜌𝑐_𝑝𝜕𝑇

𝜕𝑡. (2.19)

iii. Kondisi awal dan kondisi batas:

𝑘(𝑇) 𝑥

𝑇_𝑖

∞

1. 𝑇(0, 𝑡) = 𝑇₀

2. 𝑇(∞, 𝑡) = 𝑇_𝑖 (2.20) 3. 𝑇(𝑥, 0) = 𝑇_𝑖

d. Penyelesaian

Mengikuti metode yang digunakan untuk menyelesaikan konduksi sementara pada daerah semi tak terbatas dengan sifat konstan maka diperkenalkan variabel 𝜂(𝑥, 𝑡) yang didefinisikan

𝜂(𝑥, 𝑡) = 𝑥

√𝑡. (2.21)

Kemudian, terapkan persamaan (2.17), sehingga diperoleh:

𝑑

𝑑𝜂(𝑘𝑑𝑇

𝑑𝜂) +𝜌𝑐_𝑝 2 𝜂𝑑𝑇

𝑑𝜂 = 0. (2.22)

dengan kondisi 1. 𝑇(0) = 𝑇₀ 2. 𝑇(∞) = 𝑇_𝑖 3. 𝑇(∞) = 𝑇_𝑖 Kesimpulan:

1. Masalah tersebut berhasil ditransformasikkan ke persamaan diferensial biasa dengan mengubah variabel 𝑥 dan 𝑡 menjadi 𝜂.

2. Persamaan (2.21) adalah orde kedua yang memenuhi dua kondisi batas.

Karena dua dari tiga kondisi menjadi identik dalam masalah tranformasi, persamaan (2.21) memiliki jumlah yang diperlukan kondisi.

3. Persamaan (2.22) adalah persamaan non linear karena 𝑘, 𝜌 dan 𝑐_𝑝 bergantung pada suhu.

4. Untuk kasus khusus dari konstanta 𝜌 dsan 𝑐_𝑝 pada persamaan (2.21) dapat diselesaikan dengan pendekatan berturut-turut.

G. Fungsi galat

Pada subab ini akan dibahas mengenai fungsi galat menurut Jiji (2003).

Dalam pemecahan masalah konduksi semi tak terbatas dengan menggunakan transformasi Boltzmann terdapat tiga kondisi (2.20). Dengan mendefinisikan variabel suhu tidak berdimensi 𝜃 adalah

𝜃 = 𝑇 − 𝑇_𝑖 𝑇₀− 𝑇_𝑖, sehingga kondisi awal dan kondisi batasnya menjadi

1. 𝜃(0, 𝑡) = 1 2. 𝜃(∞, 𝑡) = 0 3. 𝜃(𝑥, 0) = 0

Diberikan persamaan panas untuk konduksi satu dimensi transien adalah

𝜕²𝑇

𝜕𝑥² = 1 𝛼

𝜕𝑇

𝜕𝑡. (2.23)

sehingga kondisi awal dan kondisi batasnya menjadi 1. 𝜃(0, 𝑡) = 1

2. 𝜃(∞, 𝑡) = 0 3. 𝜃(𝑥, 0) = 0

Asumsikan bahwa dua variabel bebas 𝑥 dan 𝑡 dapat digabung menjadi satu variabel 𝜂 = 𝜂(𝑥, 𝑡), sehingga dapat ditulis

𝜃(𝑥, 𝑡) = 𝜃(𝜂). (2.24) dimana,

𝜂 = 𝑥

√4𝛼𝑡. (2.25) Dengan menggunakan persamaan (2.25) untuk membentuk turunan dari persamaan (2.23), sehingga diperoleh

Kemudian, substitusi ke persamaan (2.23), sehingga 𝑑²𝜃

𝑑𝜂² + 2𝜂𝑑𝜃

𝑑𝜂 = 0. (2.26)

Tiga kondisi akan diubah kedalam bentuk 𝜂. Dari persamaan (2.25), diperoleh 1. 𝑥 = 0, 𝑡 = 𝑡 menjadi 𝜂 = 0

2. 𝑥 = ∞, 𝑡 = 𝑡 menjadi 𝜂 = ∞ 3. 𝑥 = 𝑥, 𝑡 = 0 menjadi 𝜂 = ∞

Jadi kondisi awal dan kondisi batasnya berubah menjadi 1. 𝜃(0, 𝑡) = 𝜃(0) = 1

2. 𝜃(∞) = 0 3. 𝜃(∞) = 0

Penyelesaian untuk persamaan (2.26) menggunakan variabel terpisah yaitu 𝑑(𝑑𝜃 𝑑𝜂⁄ )

dimana 𝐴 adalah konstanta, integralkan dengan batas atas 𝜂 dan batas bawah 0

∫ 𝑑𝜃 = 𝐴 ∫ 𝑒^−𝜂2

Menggunakan kondisi batas (1) diperoleh 𝜃 = 1 + 𝐴√𝜋

2 [2

𝜋∫ 𝑒^{𝜂 −𝜂2}

0

𝑑𝜂] (2.27)

Pada persamaan (2.27) formula yg ada didalam kurung siku disebut dengan fungsi galat, sehingga didefinisikan sebagai berikut

erf 𝜂 = 𝜃 − 𝜃(0) = 𝐴 ∫ 𝑒₀^{𝜂 −𝜂2}𝑑𝜂.

Contoh nilai dari fungsi galat diberikan pada Tabel 2.1.

Tabel 2.1. Nilai erf 𝜂

𝜼 𝐞𝐫𝐟 𝜼

0 0

0.1 0.11246292

0.2 0.22270259

0.3 0.32862676

0.4 0.42839236

0.5 0.52049988

0.6 0.60385609

0.7 0.67780119

0.8 0.74210096

0.9 0.79690821

1 0.84270079

Catatan: nilai erf ∞ = 1.

H. Hukum Fourier

Pada subab ini akan dibahas mengenai Hukum Fourier menurut Jiji (2003).

Misalkan jika salah satu ujung batang logam dipanaskan maka suhu diujung batang yang lain akan naik. Hal tersebut dikarenakan adanya aktivitas molekuler.

Molekul pada ujung panas saling bertukar energi kinetik dan getaran dengan lapisan tetangga melalui gerak acak dan tabrakan. Gradien suhu atau kemiringan ditetapkan dengan energi yang diangkut ke arah penurunan suhu. Mode transfer energi ini disebut konduksi.

Misalkan suhu dari suatu dinding yang salah satu permukaan (𝑥 = 0) adalah 𝑇_𝑠𝑖 dan suhu dari permukaan lainnya (𝑥 = 𝐿) adalah 𝑇_𝑠𝑜. Ketebalannya adalah 𝐿 dan luas daerah permukaan 𝐴. Empat permukaan yang tersisa terisolasi dengan baik sehingga panas ditransfer dalam arah 𝑥 saja. Asumsikan panasnya stabil dan dibiarkan menjadi laju perpindahan panas dalam arah 𝑥. Hal tersebut menunjukkan

bahwa 𝑞_𝑥 berbanding lurus dengan 𝐴 dan (𝑇_𝑠𝑖− 𝑇_𝑠𝑜) tetapi berbanding terbalik dengan 𝐿, sehingga diperoleh persamaan

𝑞_𝑥𝐴(𝑇_𝑠𝑖− 𝑇_𝑠𝑜)

𝐿 (2.28)

Memperkenalkan suatu konstanta proporsionalitas 𝑘, maka diperoleh 𝑞_𝑥 = 𝑘𝐴(𝑇_𝑠𝑖− 𝑇_𝑠𝑜)

𝐿 (2.29)

dimana 𝑘 adalah sifat dari material/bahan (konduktivitas termal) dan 𝑞_𝑥 adalah laju perpindahan panas dalam arah 𝑥.

Persamaan (2.29) berlaku untuk kondisi stabil, konstanta 𝑘 dan konduksi satu dimensi. Menerapkan persamaan (2.29) ke elemen 𝑑𝑥 dan mengubah 𝑇_𝑠𝑖

Dari persamaan (2.30) diperkenalkan aliran panas 𝑞_𝑥, yang didefinisikan sebagai laju aliran panas per satuan luas permukaan normal ke 𝑥, dengan demikian

𝑞_𝑥^′′ =𝑞_𝑥

𝐴. (2.31)

Dari persamaan (2.31) dapat didefinisikan hukum Fourier. Hukum Fourier (Hukum konduksi panas) menyatakan bahwa tingkat perpindahan panas yang melalui sebuah material/ bahan adalah berbanding lurus dengan gradien negatif pada suhu dan luas, pada sudut siku pada gradien tersebut, melalui dimana panas mengalir.

Rumus Hukum Fourier (Jiji,2003) adalah 𝑞_𝑥 = −𝑘𝜕𝑇

𝜕𝑥

dimana tanda negatif menunjukan bahwa gradien negatif dan 𝑘 adalah konduktivitas panas dan 𝑇 adalah suhu permukaan bahan serta 𝑥 adalah arah perpindahan panas.

I. Metode Newton

Pada subab ini akan dibahas mengenai metode Newton menurut Burden (2010).

Metode Newton adalah salah satu metode yang paling kuat dan terkenal pada metode numerik dalam memecahkan masalah pencarian akar. Misalkan suatu fungsi 𝑓𝜖𝐶²[𝑎, 𝑏]. Andaikan 𝑝₀[𝑎, 𝑏] suatu pendekatan untuk 𝑝 sedemikian sehingga 𝑓^′(𝑝₀) ≠ 0 dan |𝑝 − 𝑝₀| kecil. Pertimbangkan dengan menggunakan deret Taylor polynomial pertama untuk 𝑓(𝑥) diperluas sekitar 𝑝₀ dan dievaluasi di 𝑥 = 𝑝.

𝑓(𝑝) = 𝑓(𝑝₀) + (𝑝 − 𝑝₀)𝑓′(𝑝₀) +(𝑝 − 𝑝₀)²

2 𝑓′′(𝜉(𝑝)),

dimana 𝜉(𝑝) berada diantara 𝑝 dan 𝑝₀. Karena 𝑓(𝑝) = 0, sehingga persamaannya menjadi

0 = 𝑓(𝑝₀) + (𝑝 − 𝑝₀)𝑓′(𝑝₀) +(𝑝 − 𝑝₀)²

2 𝑓′′(𝜉(𝑝)).

Metode Newton diturunkan dengan menggunakan asumsi bahwa karena

|𝑝 − 𝑝₀| kecil, sehingga (𝑝 − 𝑝₀) sangat kecil, jadi 0 ≈ 𝑓(𝑝₀) = (𝑝 − 𝑝₀)𝑓′(𝑝₀).

Sehingga diperoleh persamaan

𝑝 ≈ 𝑝₀− 𝑓(𝑝₀)

𝑓^′(𝑝₀)≡ 𝑝₁.

Selanjutnya, menetapkan tahapan untuk metode Newton yang dimulai dengan perkiraan awal dan menghasilkan urutan {𝑝_𝑛}_𝑛=0^∞ , sehingga

𝑝_𝑛 = 𝑝_𝑛−1−_𝑓′(𝑝^{𝑓(𝑝𝑛−1)}

𝑛−1), for 𝑛 ≥ 1.

Perkiraan metode Newton yang diperoleh dengan menggunakan garis singgung diilustrasikan pada Gambar 2.3. Dimulai dengan pendekatan awal 𝑝₀, 𝑝₁ adalah titik potong antara garis tangen dengan fungsi 𝑓 pada titik (𝑝₀, 𝑓(𝑝₀)).

Pendekatan 𝑝₂ adalah titik potong antara garis tangen dengan fungsi 𝑓 pada titik (𝑝₁, 𝑓(𝑝₁)).

𝑝

Gambar 2.3. Ilustrasi pendekatan metode Newton dengan garis singgung.

Contoh 2.11.

Tentukkan akar-akar pendekatan dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑥 𝑥 − 𝑥 dengan menggunakan metode Newton.

Penyelesaian:

Dengan menggunakan metode Newton, pertama dicara turunan pertama dari fungsi 𝑓 = 𝑐𝑜𝑥 𝑥 − 𝑥 diperoleh

𝑓^′(𝑥) = − sin 𝑥 − 1, pendekatan awalnya dimulai dengan 𝑝₀ = 𝜋/4, sehingga

𝑝_𝑛 = 𝑝_𝑛−1− 𝑓(𝑝_𝑛−1) 𝑓′(𝑝_𝑛−1)

= 𝑝_𝑛−1−cos 𝑝_𝑛−1− 𝑝_𝑛−1

− sin 𝑝_𝑛−1− 1 . Dengan meggunakan program Excel untuk 𝑛 ≥ 1, diperoleh

𝑥 𝑦

𝑝₂

(𝑝₁, 𝑓(𝑝₁)) Slope 𝑓′(𝑝₁)

(𝑝₀. 𝑓(𝑝₀)) 𝑝₀

𝑝₁

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Slope 𝑓′(𝑝0)

Tabel 2.2. Hasil akar pendekatan dari fungsi 𝑓(𝑥) = cos 𝑥 − 𝑥.

𝒏 𝒑_𝒏

1 0.739536134

2 0.739085178

3 0.739085133

4 0.739085133

Dari Tabel 2 diatas diperoleh pendekatan saat 𝑛 = 3 dengan akar pendekatannya 0.739085133.

J. Metode biseksi

Pada subab ini akan dibahas mengenai metode biseksi menurut Burden (2010).

Metode biseksi adalah algoritma pencarian akar dari sebuah fungsi 𝑓: ℝ → ℝ pada interval [𝑎, 𝑏]. Metode ini berlaku jika ingin memecahkan persamaan 𝑓(𝑝) = 0 dengan 𝑓(𝑝) adalah fungsi kontinu. Teorema nilai tengah menyiratkan bahwa 𝑝 berada pada interval [𝑎, 𝑏] dengan 𝑓(𝑝) = 0. Langkah-langkah metode biseksi sebagai berikut:

Misalkan 𝑎 = 𝑎₁ dan 𝑏 = 𝑏₁, 𝑝₁ adalah titik tengah dari interval [𝑎, 𝑏]

𝑝₁ = 𝑎₁+𝑏₁− 𝑎₁

2 = 𝑎₁+ 𝑏₁ 2 . 1. Jika 𝑓(𝑝₁) = 0, maka 𝑝 = 𝑝₁ berarti iterasi selesai.

2. Jika 𝑓(𝑝₁) ≠ 0, maka 𝑓(𝑝₁) mempunyai tanda yang sama dengan keduanya 𝑓(𝑎₁) atau 𝑓(𝑏₁).

a. Jika 𝑓(𝑝₁) dan 𝑓(𝑎₁) mempunyai tanda kurang dari maka 𝑝 ∈ (𝑝₁, 𝑏₁).

Sehingga didapat interval yang baru yaitu 𝑎₂ = 𝑝₁ dan 𝑏₂ = 𝑏₁. b. Jika 𝑓(𝑝₁) dan 𝑓(𝑎₁) mempunyai tanda lebih dari maka 𝑝 ∈ (𝑎₁, 𝑝₁).

Sehingga didapat interval yang baru yaitu 𝑎₂ = 𝑎₁ dan 𝑏₂ = 𝑝₁.

𝑝

Berdasarkan interval baru yang diperoleh dari hasil perhitungan , proses di atas diulangi sampai menemukan pembuat minimum dari fungsi 𝑓(𝑝). Pendekatan dengan metode biseksi diilustrasikan pada Gambar 2.4.

Gambar 2.4. Ilustrasi pendekatan metode biseksi. (Sumber: Burden, 2010) Contoh 2.12.

Tentukan akar-akar dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥³ + 4𝑥²− 10 pada interval [1,2]

dengan menggunakan metode Biseksi dengan tingkat keakuratan 10⁻⁴. Penyelesaian:

Iterasi pertama dari metode biseksi adalah menentukan titik tengah dari interval [1,2], diperoleh

sehingga 𝑓(1,5) = 1.5³+ 4(1.5)²− 10 = 2.375 > 0. Kemudian didapat interval baru [1,1.5] yang digunakan untuk iterasi kedua.

𝑝₂ =1 + 1.5

2 = 1.25,

Sehingga 𝑓(1,25) = 1.25³+ 4(1.25)²− 10 = −1.796875 < 0. Kemudian didapat interval baru [1.25,1.5] yang digunakan untuk iterasi ketiga.

𝑝₃ = 1.25 + 1.5

2 = 1.375

sehingga 𝑓(1,375) = 1.375³ + 4(1.375)²− 10 = 0.16211 > 0. Kemudian didapat interval baru yang akan digunakan untuk iterasi selanjutnya sampai mendapatkan tingkat keakuratan 10⁻⁴. Untuk iterasi selanjutnya akan di hitung menggunakan bantuan program Excel.

Tabel 2.3. Hasil akar pendekatan dari fungsi 𝑓(𝑥) = 𝑥³+ 4𝑥²− 10.

𝒏 𝒂_𝒏 𝒃_𝒏 𝒑_𝒏 𝒇(𝒑_𝒏)

1 1 2 1.5 2.375

2 1 1.5 1.25 -1.796875

3 1.25 1.5 1.375 0.162109375

4 1.25 1.375 1.3125 -0.848388672

5 1.3125 1.375 1.34375 -0.350982666

6 1.34375 1.375 1.359375 -0.096408844

7 1.359375 1.375 1.3671875 0.032355785

8 1.359375 1.3671875 1.36328125 -0.032149971 9 1.36328125 1.3671875 1.365234375 7.20248E-05 10 1.36328125 1.365234375 1.364257813 -0.016046691 11 1.364257813 1.365234375 1.364746094 -0.007989263 12 1.364746094 1.365234375 1.364990234 -0.003959102

13 1.364990234 1.365234375 1.365112305 -0.001943659

Kesimpulan jadi akar pendekatan untuk fungsi 𝑓 = 𝑥³ + 4𝑥² − 10 pada saat iterasi ke 19 yang mempunyai nilai 𝑝 = 1.365234375 karena nilai 𝑓(𝑝₉) sudah memenuhi keakuratan 10⁻⁴.

31 BAB III

MODEL UNTUK PENYELESAIAN PENGECORAN LOGAM

Dalam bab ini akan dijelaskan mengenai proses pengecoran logam dan metode transformasi Boltzmann. Metode tersebut digunakan untuk menyelesaikan model pada pengecoran logam.

A. Model matematis pada pengecoran logam

Proses pengecoran logam adalah menuangkan logam cair ke drum pendingin berputar. Proses tersebut akan digunakan untuk membuat lembaran logam dengan ketebalan 1mm sampai 10mm dan drum berputar dengan kecepatan 1m/s. Pengecoran logam diilustrasikan dalam Gambar 3.1.

Gambar 3.1. Ilustrasi pengecoran logam

Panjang genangan logam cair yaitu jarak antara titik di mana logam cair berada dengan logam cair yang telah memadat, dengan tujuan agar logam cair tidak mengalir pada saat drum pendingin berputar. Dengan demikian, logam cair harus memadat sebelum bergerak terlalu jauh di sekitar drum.

Untuk menentukan panjang genangan dilakukan dengan merumuskan model matematikanya. Drum berputar dengan kecepatan 𝑉, panjang genangan 𝑙 dengan formula

𝑙 = 𝑉𝑡_ℎ (3.1) dimana 𝑡_ℎ adalah waktu yang dibutuhkan untuk logam mengeras dengan ketebalan ℎ dari lembaran logam. Untuk menentukan waktu 𝑡_ℎ dapat dilakukan dengan memodelkan perpindahan panas dan pemadatan logam cair dengan pendekatan satu dimensi. Model matematis untuk perpindahan panas dan proses pemadatan logam diilustrasikan dalam Gambar 3.2.

drum padat cair

𝑥

𝑢₁(𝑥, 𝑡) 𝑢₂(𝑥, 𝑡) 𝑢_𝑓

𝑥 = 0 𝑥 = 𝑠(𝑡)

Gambar 3.2. Model satu dimensi untuk perpindahan panas dan proses pemadatan.

Dimana 𝑢_𝑓 adalah suhu pemadatan logam cair, 𝑢₂ merupakan suhu logam padat serta 𝑢₁ adalah suhu drum pendingin. Perpindahan panas radiasi diabaikan dengan mengasumsikan bahwa semua panas mengalir ke arah drum pendingin dan suhu logam cair diasumsikan konstan.

Jari-jari drum lebih besar dibandingkan dengan ketebalan logam. Oleh karena itu, dalam model satu dimensi diasumsikan drum sebagai daerah semi tak terbatas −∞ < 𝑥 < 0. Suhu dari drum pada jarak yang jauh dari permukaaan adalah 𝑈 ≅ 150℃.

Misalkan 𝑢₂(𝑥, 𝑡) suhu logam padat pada waktu 𝑡 dan jarak 𝑥 dari permukaan drum. Misalkan juga 𝑥 = 𝑠(𝑡) adalah posisi antarmuka bergerak antara logam cair dan logam padat dan 𝑠 adalah fungsi yang diketahui. Penyelesaian dari 𝑢₁ dan 𝑢₂ memenuhi persamaan konduksi panas yaitu

𝜕𝑢₁

𝜕𝑡 = 𝛼₁𝜕²𝑢₁

𝜕𝑥²,

(3.2)

𝜕𝑢₂

𝜕𝑡 = 𝛼₂𝜕²𝑢₂

𝜕𝑥²

dimana masing-masing persamaan mempunyai difusivitas termal yang berbeda 𝛼₁ dan 𝛼₂ karena bahan dari logam padat dan drum berbeda.

Kondisi batas untuk persamaan konduksi panas di atas adalah 𝑥 = −∞, 𝑥 = 0, dan pada batas bergerak antara padat dan cair.

Suhu inti drum pendingin 𝑢_𝑑 saat 𝑥 = 0, suhu dan aliran panasnya kontinu.

Suhu pada batas antara padat dan cair juga kontinu. Misalkan 𝑥 = 𝑠(𝑡) adalah posisi batas bergerak maka 𝑥 < 𝑠(𝑡) dinotasikan sebagai logam padat dan 𝑥 > 𝑠(𝑡) sebagai logam cair. Misalkan 𝑢_𝑓 adalah suhu pemadatan logam cair. Sehingga kondisi batasnya adalah

𝑢₁(−∞, 𝑡) = 𝑢_𝑑,

(3.3) 𝑢₁(0, 𝑡) = 𝑢₂(0, 𝑡),

−𝑘₁𝜕𝑢₁

𝜕𝑥 (0, 𝑡) = −𝑘₂𝜕𝑢₂

𝜕𝑥 (0, 𝑡), 𝑢₂(𝑠(𝑡), 𝑡) = 𝑢_𝑓

dimana 𝑘₁dan 𝑘₂ adalah konduktivitas drum dan logam padat.

Untuk menyelesaikan 𝑢₁ dan 𝑢₂ dibutuhkan kondisi batas tambahan dengan mempertimbangkan panas laten yang dilepaskan ketika logam cair memadat.

Penentuan kondisi batas dengan menggunakan kondisi Stefan. Kondisi Stefan dilakukan setelah menyelidiki beberapa konsep fisik dasar mengenai panas laten.

1. Panas laten

Perubahan fase adalah perubahan bentuk suatu zat menjadi bentuk lain.

Penyebab adanya perubahan fase adalah kalor. Pada suhu tertentu, energi panas yang ditambahkan ke suatu material/ bahan dapat mengubah struktur fisik material.

Contoh perubahan fase yaitu es batu yang mencair disebut mencair, air yang dimasukkan ke dalam freezer akan menjadi es batu disebut membeku.

Jumlah panas yang diperlukan pada perubahan fase disebut panas laten.

Panas laten fusi untuk bahan yang diberikan adalah jumlah panas yang diperlukan untuk mengubah massa padat pada suhu leleh menjadi cairan pada suhu yang sama.

Dalam proses perubahan fase dari cair menjadi padat, panas laten fusi adalah jumlah panas yang dilepaskan ketika bahan cair membeku.

Panas laten untuk perubahan fase dinyatakan per satuan massa yang dinotasikan dengan 𝜆 disebut panas laten spesifik dengan satuan joule/kg. Beberapa nilai 𝜆 ditunjukan pada tabel 3.1. Deskripsi yang serupa dapat diberikan untuk proses merebus cairan atau membalikkan kondensasi. Sebagai pembanding terdapat beberapa nilai untuk panas laten spesifik dari proses penguapan cairan yang ditunjukkan pada tabel 3.2.

Tabel 3.1. Suhu leleh 𝑢_𝑓 dan panas laten spesifik fusi 𝜆

Tabel 3.2. Suhu mendidih 𝑢_𝑣 dan panas laten spesifik dari penguapan 𝜆 𝒖_𝒗 ℃ 𝛌 𝐉 𝐤𝐠^−𝟏

Air 100 2.26

Etil alkohol 79 8.5 × 10⁻¹

Helium -269 2.5 × 10⁻²

2. Kondisi Stefan

Kondisi stefan digunakan untuk menentukan kondisi batas pada batas bergerak 𝑥 = 𝑠(𝑡). Diasumsikan batas bergerak dengan jarak 𝛿𝑠 dalam waktu 𝛿𝑡.

Diilustrasikan pada Gambar 3.3.

padat 𝛿𝑠 cair

𝑥 = 𝑠(𝑡)

𝑥 = 𝑠(𝑡 + 𝛿𝑡)

Gambar 3.3. Ilustrasi batas bergerak

Untuk daerah ketebalan 𝛿𝑠, akan dicari pelepasan panas dari proses pemadatan untuk menentukan jumlah panas yang dilepaskan dari proses konduksi.

Contoh berikut akan digunakan untuk menunjukkan bagaimana penggunaan konservasi energi untuk memperoleh tambahan kondisi batas pada 𝑥 = 𝑠(𝑡).

Contoh 3.1

Tentukan kondisi batas yang menyatakan absorsi dari panas laten.

Penyelesaian:

Persamaan berikut menyatakan konservasi panas untuk daerah 𝑠(𝑡) ke 𝑠(𝑡 + 𝛿𝑡) adalah

Misalkan 𝜆 adalah panas laten spesifik (per satuan massa) dari logam. Masa total dari bahan yang telah dipadatkan dalam interval waktu yang diberikan adalah 𝜌𝐴𝛿𝑠 = 𝜌𝐴(𝑠(𝑡 + 𝛿𝑡) − 𝑠(𝑡)). Dimana 𝜌 adalah massa jenis dari bahan (diasumsikan sama untuk fase padat dan cair) dan 𝐴 adalah daerah penampang. Jadi diperoleh

Karena logam cair diasumsikan berada pada suhu yang seragam maka tidak ada gradien dalam suhu berarah dari logam cair. Semua aliran panas berada pada batas 𝑥 = 𝑠(𝑡) kembali padat. Jumlah konduksi panas yang melewati 𝑥 = 𝑠(𝑡) diperoleh dengan mengalikan aliran panas dari persilangan daerah 𝐴 dan interval

waktu 𝛿𝑡. Dengan menggunakan hukum Fourier, 𝐽 =^{−𝑘𝜕𝑢}_𝜕𝑥 adalah aliran panas pada saat arah 𝑥 positif. Sehingga didapatkan

{

panas dilakukan kembali melalui penampang di x=s(t)

} = −𝐽𝐴𝛿𝑇 = 𝑘^𝜕𝑢_𝜕𝑥|

𝑥=𝑠(𝑡)𝐴𝛿𝑡 (3.5) (tanda negatif menyatakan bahwa panas dilakukan dalam arah 𝑥 negatif menuju padat).

Dari persamaan (3.4) dan (3.5) masing-masing dibagi dengan 𝐴𝛿𝑡, misalkan 𝛿𝑡 → 0 dan 𝛿𝑠 → 0. Maka diperoleh

𝑘𝜕𝑢

𝜕𝑥(𝑠(𝑡), 𝑡) = 𝜆𝜌𝑑𝑠

𝑑𝑡 (3.6)

Persamaan (3.6) disebut sebagai kondisi Stefan.

B. Penyelesaian model matematis pengecoran logam dengan transformasi Boltzmann

Pada subab ini dibahas mengenai transformasi Boltzmann untuk menyelesaikan model matematis pada pengecoran logam.

1. Transformasi Boltzmann

Konduksi panas di daerah semi-tak terbatas 0 < 𝑥 < ∞. Misalkan daerah

Konduksi panas di daerah semi-tak terbatas 0 < 𝑥 < ∞. Misalkan daerah