B. Saran
BAB II
NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN
Dalam bab ini, akan dibahas tentang nilai eigen, vektor eigen dan diagonalisasi matriks. Teori yang terdapat pada bab ini akan digunakan pada bab selanjutnya dalam perhitungan untuk mengetahui persamaan eksplisit pewarisan genotipe keturunan generasi ke-n pada kacang kapri.
A. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Kata “vektor eigen” adalah gabungan bahasa Jerman dan Inggris. Dalam bahasa Jerman “eigen” diartikan sebagai “sebenarnya” atau “karakteristik”. Oleh karena itu nilai eigen dapat juga dinamakan nilai sebenarnya atau nilai karakteristik.
Definisi 2.1.1 (Anton,2014) Misalkan 𝐴 adalah matriks berukuran 𝑛 𝑥 𝑛, maka vektor tak nol 𝒙 di 𝑅𝑛 disebut vektor eigen dari 𝐴, jika 𝐴𝒙 adalah kelipatan skalar dari 𝒙
𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 (1)
untuk suatu skalar 𝜆. Skalar 𝜆 disebut nilai eigen dari 𝐴 dan 𝒙 dikatakan sebuah vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆.
Contoh 2.1.2:
Diketahui matriks 𝐴 berukuran 2 x 2
�3 0 8 −1�
dengan nilai eigen yang bersesuaian adalah 𝜆 = 3 dan vektor 𝒙 = (1,2) merupakan vektor eigen, karena
𝐴𝒙 = �38 −1� �0 12� = �36� = 3 �12� = 3𝒙 = 𝜆𝒙 Catatan :
1. Jika 𝒙 = 𝟎, persamaan 𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 berlaku untuk semua bilangan real 𝜆. 2. Jika 𝒙 merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen 𝜆, 𝑠𝒙,
dengan 𝑠 merupakan bilangan real tak nol, juga merupakan vektor eigen, karena
𝐴(𝑠𝒙) = 𝑠𝐴𝒙 = 𝑠λ𝐱 = λ(𝑠𝒙)
Persamaan Karakteristik Teorema 2.1.3
Bilangan real 𝜆 merupakan nilai eigen dari matriks 𝐴 jika dan hanya jika 𝜆 memenuhi persamaan karakteristik
|𝐴 − 𝜆𝐼|= 𝟎 (2)
Bukti
Misalkan 𝐴 matriks berukuran 𝑛 𝑥 𝑛. Berdasarkan definisi, 𝜆 adalah nilai eigen dari matriks 𝐴 dengan vektor tak nol 𝒙 merupakan vektor eigennya
jika dan hanya jika
𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 = 𝜆𝐼𝒙 (3)
jika dan hanya jika
Supaya λ menjadi nilai eigen, maka harus ada penyelesaian yang tidak nol dari persamaan (𝐴 − 𝜆𝐼)𝒙 = 𝟎. Persamaan ini akan mempunyai penyelesaian nontrivial (taknol) jika dan hanya jika
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼)= 0
Persamaan 𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼)= 0 dengan 𝜆 sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks 𝐴. Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen (nilai-nilai karakteristik) dari matriks 𝐴. Det (𝐴 − 𝜆𝐼) = 𝑓(𝜆) berupa polinom dalam 𝜆 yang dinamakan polinom karakteristik.
Matriks 𝐴 − 𝜆𝐼 dapat dijabarkan sebagai berikut
⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡𝑎11− 𝜆 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 𝑎21 𝑎22− 𝜆 𝑎23 … 𝑎2𝑛 𝑎31 𝑎32 𝑎33− 𝜆 … 𝑎3𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑎𝑛1 𝑎𝑛2 𝑎𝑛3 … 𝑎𝑛𝑛− 𝜆⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎤
Dari pemahaman definisi di atas, jelas bahwa jika 𝐴 adalah matriks 𝑛𝑥𝑛, maka persamaan karakteristik dari matriks 𝐴 mempunyai derajat 𝑛 dengan bentuk
𝑑𝑒𝑡(𝐴 − 𝜆𝐼)=𝑓(𝜆)= 𝑎0+ 𝑎1𝜆1+ 𝑎2𝜆2+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1+ 𝑎𝑛𝜆𝑛 = 0
Dengan 𝑎0+ 𝑎1𝜆1+ 𝑎2𝜆2+ ⋯ + 𝑎𝑛−1𝜆𝑛−1+ 𝑎𝑛𝜆𝑛 merupakan persamaan karakteristik yang mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda, sehingga suatu matriks 𝑛𝑥𝑛 mempunyai paling banyak n nilai eigen yang berbeda.
Contoh 2.1.4:
𝐴 = �4 −12 1 � Penyelesaian:
𝐴 − 𝜆𝐼 = �4 −12 1 � − �𝜆 00 𝜆� = �4 − 𝜆2 1 − 𝜆�−1 Dengan menggunakan persamaan karakteristik
|𝐴 − 𝜆𝐼|=(4 − 𝜆)(1 − 𝜆)+ 2 = 0
�𝜆2− 5𝜆 + 6� = 0
dengan kata lain
(𝜆 − 2)(𝜆 − 3) = 0
Maka nilai-nilai eigen dari A harus memenuhi persamaan (𝜆 − 2)(𝜆 − 3) = 0.
Oleh karena itu, nilai eigennya adalah 𝜆1 = 2, 𝜆2 = 3. Untuk mencari vektor eigen yang bersesuaian, substitusikan setiap 𝜆 pada matriks 𝐴 − 𝜆𝐼.
• Untuk 𝜆1= 2 𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 �4 −1 2 1 � �𝑥𝑥12�= 2�𝑥1 𝑥2� 4𝑥1 − 𝑥2 = 2𝑥1 ⟺ 4𝑥1− 2𝑥1 = 𝑥2 ⟺ 2𝑥1 = 𝑥2 Maka vektor eigen �𝑥1
𝑥2�=�12�. • Untuk 𝜆2= 3 𝐴𝒙 = 𝜆𝒙 �4 −1 2 1 � �𝑥𝑥12�= 3�𝑥1 𝑥2�
4𝑥1 − 𝑥2 = 3𝑥2 ⟺ 4𝑥1 = 4𝑥2 ⟺ 𝑥1 = 𝑥2 Maka vektor eigen �𝑥1
𝑥2�=�1 1�.
B. Diagonalisasi Matriks
Diagonalisasi matriks berguna untuk mempermudah menghitung matriks 𝐴𝑘 dengan 𝐴 adalah matriks persegi dan 𝑘 adalah bilangan asli yang cukup besar. Apabila tidak didiagonalisasikan kita harus mengalikan entri-entri matriks tersebut satu per satu. Apabila matriks tersebut telah diubah ke dalam matriks diagonal maka hanya tinggal menghitung pangkat dari entri tak nol matriks diagonalnya.
Definisi 2.2.1 (Anton, 2014) Sebuah matriks persegi 𝐴 dikatakan dapat didiagonalisasi jika terdapat sebuah matriks 𝑃 yang dapat dibalik sedemikian rupa sehingga 𝑃−1𝐴𝑃 adalah sebuah matriks diagonal. Matriks 𝑃 dikatakan mendiagonalisasi 𝐴.
Terorema 2.2.2 (Anton, 2014) Jika 𝐴 adalah suatu matriks 𝑛𝑥𝑛, maka pernyataan berikut ekivalen:
a. 𝐴 dapat didiagonalkan
b. 𝐴 mempunyai 𝑛 vektor eigen yang bebas linear Bukti:
(a)→(b) : karena 𝐴 dapat didiagonalkan, maka ada suatu matriks yang dapat dibalik
sedemikian sehingga 𝑃−1𝐴𝑃 diagonal untuk suatu matriks invertibel 𝑃 dan matriks diagonal 𝐷. Katakanlah 𝑃−1𝐴𝑃 = 𝐷 , dimana
𝐷 = � 𝜆1 0 … 0 0 𝜆2 … 0 0 0 ⋱ 0 0 0 … 𝜆𝑛 � (6)
Dari rumus 𝑃−1𝐴𝑃 = 𝐷 kita dapatkan bahwa 𝐴𝑃 = 𝑃𝐷yaitu: 𝐴𝑃 = 𝐴[𝒙𝟏 𝒙𝟐 ⋯ 𝒙𝒏]
= [𝐴𝒙𝟏 𝐴𝒙𝟐 ⋯ 𝐴𝒙𝒏]
dan
𝑃𝐷 = [𝜆1𝒙𝟏 𝜆2𝒙2 ⋯ 𝜆𝑛𝒙𝒏]. (7) Jika kita menganggap 𝒙𝟏, 𝒙2, … , 𝒙𝒏 vektor-vektor kolom dari 𝑃 dimana 𝑃 bersifat invertibel, maka kolom-kolom dari 𝐴𝑃 berturut-turut adalah 𝐴𝒙𝟏, 𝐴𝒙𝟐, … ,𝐴𝒙𝒏. Karena 𝐴𝑃 = 𝑃𝐷 maka berlaku
𝐴𝒙𝒋 = 𝜆𝑗𝒙𝒋
dengan 𝜆𝑗 adalah nilai eigen, untuk 𝑗 = 1,2, … , 𝑛 Ini berarti bahwa 𝒙𝒋 merupakan
vektor eigen yang bersesuaian dengan 𝜆𝑗. Karena 𝑃 adalah matriks tak singular maka vektor-vektor kolom dari 𝑃 bebas linear. Jadi 𝑃 mempunyai 𝑛 vektor eigen yang bebas linear.
(b)→(a) : Misalkan 𝐴 matriks berukuran 𝑛𝑥𝑛. Asumsikan 𝐴 mempunyai 𝑛 vektor eigen yang bebas linear yaitu 𝒙𝟏, 𝒙2, … , 𝒙𝒏. Vektor-vektor eigen tersebut dapat ditulis sebagai kolom dari matriks berukuran 𝑛𝑥𝑛, yaitu
Matriks tersebut tak singular karena mempunyai 𝑛 vektor kolom di ℝ𝑛 yang bebas linear. Maka
𝐴𝑃 = 𝐴[𝒙𝟏 𝒙𝟐 … 𝒙𝒏] = [𝐴𝒙𝟏 𝐴𝒙𝟐 … 𝐴𝒙𝒏] dengan demikian
𝐴𝑃 = [𝜆𝟏𝒙𝟏 𝜆2𝒙2 … 𝜆𝑛𝒙𝒏] (8)
karena 𝐴𝒙𝑖 = 𝜆𝑖𝒙𝑖, dengan 𝜆𝑖 merupakan nilai eigen yang bersesuaian dengan vektor eigen 𝒙𝑖. Dalam hal ini, mungkin terjadi bahwa beberapa vektor eigen yang berbeda memiliki nilai eigen yang sama.
Misalkan 𝐷 matrks diagonal yang berisi nilai eigen 𝜆𝑖 yang bersesuaian dengan 𝒙𝑖, dapat ditulis 𝑃𝐷 = [𝒙𝟏 𝒙𝟐 … 𝒙𝒏] � 𝜆1 0 … 0 0 𝜆2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … 𝜆𝑛 � = [𝜆𝟏𝒙𝟏 𝜆2𝒙𝟐 … 𝜆𝑛𝒙𝒏]
Maka dapat disimpulkan bahwa
𝐴𝑃 = 𝑃𝐷
Karena 𝑃 mempunyai invers, persamaan tersebut dapat dikalikan dengan 𝑃−1 sehingga diperoleh
𝑃−1𝐴𝑃 = 𝑃−1𝑃𝐷
Karena vektor-vektor kolom dari 𝑃 bebas linear maka 𝑃 dapat dibalik sehingga 𝐴 dapat didiagonalkan.
Adapun prosedur dalam mendiagonalkan suatu matriks adalah sebagai berikut (Anton, 2014):
1. Cari n vektor eigen yang bebas linear dari 𝐴 katakanlah 𝒙𝟏,𝒙𝟐, … , 𝒙𝑛
2. Bentuk matriks 𝑃 yang mempunyai 𝒙𝟏,𝒙𝟐, … , 𝒙𝑛 sebagai vektor-vektor kolomnya.
3. Selanjutnya matriks 𝑃−1𝐴𝑃 akan menjadi matriks diagonal dengan 𝜆1,𝜆2, … , 𝜆𝑛 berturut-turut sebagai entri diagonalnya, dengan 𝜆𝑖, adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan 𝜆𝑖, untuk 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.
Teorema 2.2.3 (Vektor eigen yang berkaitan dengan nilai eigen)
Misalkan 𝒙1 dan 𝒙2 adalah dua vektor eigen dari matriks 𝐴 yang berkaitan dengan nilai eigen 𝜆1 dan 𝜆2. Jika 𝜆1≠ 𝜆2 maka {𝒙1, 𝒙2} bebas linear. (Wono Setya B, 1995 : 283)
Bukti :
Karena 𝒙𝟏 dan 𝒙𝟐 merupakan vektor eigen dengan nilai eigen masing masing 𝜆1 dan 𝜆2 maka
𝐴𝒙𝟏= 𝜆1𝒙𝟏 dan 𝐴𝒙𝟐= 𝜆2𝒙𝟐 (10)
Akan ditunjukkan kedua vektor eigen bebas linear, dicari bilangan 𝑠1 dan 𝑠2 yang memenuhi
𝑠1𝒙𝟏+ 𝑠2𝒙𝟐= 𝟎 (11)
Kalikan persamaan 𝑠1𝒙1+ 𝑠2𝒙2 = 𝟎 dengan matriks 𝐴 dan diperoleh 𝐴(𝑠1𝒙𝟏+ 𝑠2𝒙𝟐) = 𝟎
Kemudian dengan menggunakan persamaan 𝐴𝒙𝟏= 𝜆1𝒙𝟏dan 𝐴𝒙𝟐 = 𝜆2𝒙𝟐, diperoleh
𝑠1𝜆1𝒙𝟏+ 𝑠2𝜆2𝒙𝟐= 𝟎 (12)
Misalkan 𝜆1≠ 0 kemudian kalikan 𝜆1 dengan persamaan 𝑠1𝒙𝟏+ 𝑠2𝒙𝟐= 𝟎 lalu kurangkan dengan persamaan 𝑠1𝐴𝒙𝟏+ 𝑠2𝐴𝒙𝟐= 𝟎 sehingga
𝜆1(𝑠1𝒙𝟏+ 𝑠2𝒙𝟐)= 0 𝑠1𝜆1𝒙1+ 𝑠2𝜆1𝒙2= 0 (𝑠1𝜆1𝒙1+ 𝑠2𝜆1𝒙2) −(𝑠1𝜆1𝒙1+ 𝑠2𝜆2𝒙2)= 0 𝑠1𝜆1𝒙1− 𝑠1𝜆1𝒙1+ 𝑠2𝜆1𝒙2− 𝑠2𝜆2𝒙2= 0 𝑠2𝜆1𝒙2− 𝑠2𝜆2𝒙2= 0 𝑠2(𝜆1− 𝜆2)𝒙2= 0
Karena (𝜆1− 𝜆2)𝒙𝟐 ≠ 𝟎 maka 𝑠2= 0. Kemudian substitusikan nilai 𝑠2 ke persamaan 𝑠1𝒙𝟏+ 𝑠2𝒙𝟐= 𝟎, dan diperoleh 𝑠1𝒙𝟏= 𝟎. Karena 𝒙𝟏≠ 𝟎 maka 𝑠1 = 0. Dengan demikian kedua vektor eigen bebas linear. ∎
Teorema 2.2.4 (Matriks 𝑛 × 𝑛 yang mempunyai 𝑛 buah nilai eigen)
Jika matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 mempunyai 𝑛 buah nilai eigen yang berbeda, maka matriks 𝐴 dapat didiagonalkan. (Wono Setya B, 1995 : 284)
Pembuktian Teorema 2.2.4 menggunakan induksi matematis. Pembuktian dengan induksi matematis :
1. Langkah awal : teorema tersebut bernilai benar untuk 𝑛 = 2, karena
matriks 𝐴 berukuran 2 × 2 mempunyai dua buah vektor eigen 𝒙1 dan 𝒙2 yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda 𝜆1 dan 𝜆2 maka berdasarkan Teorema 2.2.3 𝒙1 dan 𝒙2 bebas linear. Sehingga menurut Teorema 2.2.2 matriks 𝐴 dapat didiagonalkan.
2. Langkah induksi : misalkan teorema tersebut benar untuk 𝑛 = 𝑘, yaitu
matriks 𝐴 berukuran 𝑘 × 𝑘 mempunyai 𝑘 buah vektor eigen yakni 𝒙1, 𝒙2, 𝒙3, … , 𝒙𝑘 yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda
𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑘. Karena 𝒙1, 𝒙2, 𝒙3, … , 𝒙𝑘 bebas linear. Sehingga menurut Teorema 2.2.2 matriks 𝐴 dapat didiagonalkan.
Akan dibuktikan bahwa teorema juga berlaku untuk 𝑛 = 𝑘 + 1
Misalkan 𝒙1, 𝒙2, 𝒙3, … , 𝒙𝑘+1 adalah vektor eigen dari matriks 𝐴 berukuran
(𝑘 + 1)× (𝑘 + 1) yang bersesuaian dengan nilai-nilai eigen yang berbeda 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑘+1. Akan dibuktikan bahwa {𝒙1, 𝒙2, 𝒙3, … , 𝒙𝑘+1} adalah himpunan bebas linear.
Diasumsikan {𝒙1, 𝒙2, 𝒙3, … , 𝒙𝑘+1} tidak bebas linear. Dengan demikian, skalar 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … , 𝑠𝑘+1 tidak semuanya bernilai nol, sehingga
𝑠1𝒙1+ 𝑠2𝒙2+ 𝑠3𝒙3+ ⋯ + 𝑠𝑘+1𝒙𝑘+1= 𝟎 (13)
Karena 𝒙1, 𝒙2, 𝒙3, … , 𝒙𝑘+1 adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan masing-masing nilai eigen 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑘+1 maka
𝐴𝒙1 = 𝜆1𝒙1, 𝐴𝒙2 = 𝜆2𝑥, 𝐴𝒙3 = 𝜆3𝒙3, … , 𝐴𝒙𝑘+1 = 𝜆𝑘+1𝒙𝑘+1 (14) Kalikan persamaan (13) dengan matriks 𝐴
𝐴(𝑠1𝒙1+ 𝑠2𝒙2+ 𝑠3𝒙3+ ⋯ + 𝑠𝑘+1𝒙𝑘+1) = 𝟎 𝑠1𝐴𝒙1+ 𝑠2𝐴𝒙2+ 𝑠3𝐴𝒙3+ ⋯ + 𝑠𝑘+1𝐴𝒙𝑘+1= 𝟎 Dengan menggunakan persamaan (14) diperoleh
𝑠1𝜆1𝒙1+ 𝑠2𝜆2𝒙2+ 𝑠3𝜆3𝒙3+ ⋯ + 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒙𝑘+1= 𝟎 (15)
Misalkan 𝜆𝑘+1≠ 0 kemudian kalikan 𝜆𝑘+1 dengan persamaan (13) 𝜆𝑘+1(𝑠1𝒙1+ 𝑠2𝒙2+ 𝑠3𝒙3+ ⋯ + 𝑠𝑘+1𝒙𝑘+1) = 𝟎
𝑠1𝜆𝑘+1𝒙1+ 𝑠2𝜆𝑘+1𝒙2+ 𝑠3𝜆𝑘+1𝒙3+ ⋯ + 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒙𝑘+1= 𝟎
Persamaan (15) dikurangkan dengan persamaan yang di atas sehingga diperoleh (𝑠1𝜆1𝒙1+ 𝑠2𝜆2𝒙2+ 𝑠3𝜆3𝒙3+ ⋯ + 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒙𝑘+1)− (𝑠1𝜆𝑘+1𝒙1+ 𝑠2𝜆𝑘+1𝒙2+ 𝑠3𝜆𝑘+1𝒙3+ ⋯ + 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒙𝑘+1) = 𝟎 𝑠1𝜆1𝒙1− 𝑠1𝜆𝑘+1𝒙1+ 𝑠2𝜆2𝒙2− 𝑠2𝜆𝑘+1𝒙2+ 𝑠3𝜆3𝒙3− 𝑠3𝜆𝑘+1𝒙3+ ⋯ + 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒙𝑘+1− 𝑠𝑘+1𝜆𝑘+1𝒙𝑘+1= 𝟎 𝑠1(𝜆1− 𝜆𝑘+1)𝒙1+ 𝑠2(𝜆2− 𝜆𝑘+1)𝒙2+ 𝑠3(𝜆3− 𝜆𝑘+1)𝒙3+ ⋯ + 𝑠𝑘(𝜆𝑘− 𝜆𝑘+1)𝒙𝑘= 𝟎
Karena {𝒙1, 𝒙2, 𝒙3, … , 𝒙𝑘} merupakan himpunan bebas linear sehingga persamaan ini menjadi
𝑠1(𝜆1− 𝜆𝑘+1)= 𝑠2(𝜆2− 𝜆𝑘+1)= 𝑠3(𝜆3− 𝜆𝑘+1)= ⋯ = 𝑠𝑘(𝜆𝑘− 𝜆𝑘+1)= 0 Dan karena 𝜆1, 𝜆2, 𝜆3, … , 𝜆𝑘+1 berbeda, maka diperoleh
𝑠1 = 𝑠2= 𝑠3= ⋯ = 𝑠𝑘 = 0 (16)
Subsitusikan nilai-nilai di atas ke persamaan (13) dan diperoleh 𝑠𝑘+1𝒙𝑘+1= 0
Karena vektor Eigen 𝒙𝑘+1 tak nol, maka
𝑠𝑘+1= 0 (17)
Persamaan (16) dan (17) bertentangan dengan pernyataan bahwa 𝑠1, 𝑠2, 𝑠3, … , 𝑠𝑘+1 tidak semuanya bernilai nol, sehingga muncul kontradiksi. Jadi terbukti bahwa {𝒙1, 𝒙2, 𝒙3, … , 𝒙𝑘+1} bebas linear. Sehingga menurut Teorema 2.2.2 matriks 𝐴 dapat didiagonalkan.
Maka terbukti bahwa Teorema 2.2.4 benar untuk matriks 𝐴 berukuran 𝑛 × 𝑛 yang mempunyai 𝑛 buah nilai eigen yang berbeda maka 𝐴 dapat didiagonalkan.∎ Namun apabila suatu matriks hanya memiliki 𝑘 < 𝑛 buah nilai eigen belum tentu matriks tersebut tidak dapat didiagonalkan.
Contoh 2.2.5:
Diberikan matriks 𝐴 berikut
𝐴 = �0 0 −21 2 1 1 0 3 �
Akan dicari suatu matriks 𝑃 yang mendiagonalkan matriks 𝐴 tersebut. Jawab :
Diperoleh persamaan karakteristiknya adalah
(𝜆 − 1)(𝜆 − 2)2=0
Vektor eigen yang bersesuaian adalah:
ketika 𝜆 = 2 ⟶ 𝒙1 =�−1 0 1 �, 𝒙2 = � 0 1 0� ketika 𝜆 = 1 ⟶ 𝒙3 =�−2 1 1 �
Selanjutnya dibentuk matriks 𝑃 = �−1 0 −20 1 1
1 0 1 �
Menurut Teorema 2.2.3 telah ditunjukan bahwa ketiga vektor eigen tersebut bebas linear, maka dapat langsung dicari matriks diagonal yang terbentuk.
𝐷 = 𝑃−1𝐴𝑃 𝑃 = (𝒙1 𝒙2 𝒙3) 𝑃 = �−1 0 −20 1 1 1 0 1 � Hitung 𝑃−1. 𝐾𝑜𝑓(𝑃) = ⎝ ⎜ ⎜ ⎛ �1 10 1� − �0 11 1� �0 11 0� − �0 −20 1 � �−1 −21 1 � − �−1 01 0� �0 −21 1 � − �−1 −20 1 � �−1 00 1� ⎠ ⎟ ⎟ ⎞ 𝐾𝑜𝑓(𝑃) = �1 1 −10 1 0 2 1 −1�
𝐴𝑑𝑗𝑜𝑖𝑛 (𝑃) = � 11 01 21 −1 0 −1� 𝐷𝑒𝑡 (𝑃) = �−1 0 −20 1 1 1 0 1 � = −1 �1 10 1� − 0 − 2 �0 11 0� = −1 − 0 + 2 = 1 𝑃−1= 1� 1 0 2 1 1 1 −1 0 −1� 𝑃−1=� 1 0 2 1 1 1 −1 0 −1� sehingga 𝐷 = 𝑃−1𝐴𝑃 = � 11 01 21 −1 0 −1� � 0 0 −2 1 2 1 1 0 3 � � −1 0 −2 0 1 1 1 0 1 � = �2 0 00 2 0 0 0 1�
Terdapat beragam permasalahan di dalam ilmu matematika terapan yang membutuhkan perhitungan pangkat tinggi dari sebuah matriks persegi. Akan ditunjukkan bahwa diagonalisasi matriks dapat digunakan untuk menyederhanakan perhitungan pangkat tinggi tersebut untuk matriks-matriks yang dapat didiagonalisasi.
Untuk dapat menghitung 𝐴𝑛 secara lebih mudah, maka harus diketahui bahwa 𝐴 adalah matriks 𝑛𝑥𝑛 yang terdiagonalkan dengan matriks invertibel 𝑃 yang
kolomnya berisi vektor eigen dari matriks 𝐴 dan matriks diagonal 𝐷 yang berisi nilai eigen sedemikian sehingga
𝐴 = 𝑃𝐷𝑃−1 Dengan melakukan pengkuadratan pada kedua ruas:
𝐴2= �𝑃𝐷𝑃−1�2
𝐴2 = (𝑃𝐷𝑃−1)(𝑃𝐷𝑃−1) 𝐴2 = 𝑃(𝐷𝑃−1𝑃)𝐷𝑃−1
Proses tersebut dapat diulang pada pangkat yang lebih tinggi, sehingga secara umum diperoleh
BAB III
APLIKASI DIAGONALISASI MATRIKS DALAM PERSILANGAN DIHIBRID
KACANG KAPRI
Dalam bab ini, akan dibahas tentang analisis pewarisan sifat genetika lebih khususnya pada persilangan dihibrid. Dengan bantuan ilmu di bidang matematika dapat diterapkan teori teori tentang matriks, peluang, diagonalisasi matrik untuk mengetahui distribusi populasi pada keturunan ke-n, dengan cara mengaplikasikan teori-teori matriks dalam genetika.
A. Genetika
Genetika erat hubungannya dengan pewarisan sifat, faktor keturunan, variasi keturunan, evolusi, dan perkembangan. Setiap individu memiliki gen yang merupakan kesatuan terkecil di dalam sel yang berperan menentukan sifat keturunan. Terdapat banyak sifat pada tanaman, binatang dan mikroba yang diatur oleh suatu gen. Pada tumbuhan, masing-masing induk akan mewariskan sifat kepada keturunannya. Pewarisan yang dapat dikenali dari orang tua kepada keturunannya secara genetik disebut hereditas.
Gen sendiri terdapat di dalam kromosom. Kromosom merupakan struktur di dalam inti sel yang terdiri dari satu molekul DNA dan berbagai protein yang membentuk informasi genetik. Kromosom secara garis besar terbagi menjadi dua bagian yaitu autosom dan gonosom. Autosom adalah kromosom yang tidak menentukan jenis kelamin. Sedangkan gonosom adalah kromosom yang menentukan jenis kelamin individu.
Gen merupakan faktor turunan tersimpan di dalam kromosom, yaitu di dalam manik-manik yang disebut kromomer atau nukleosom dari kromosom. Gen sebagai suatu zat yang berukuran sangat kecil yang mengandung satuan informasi genetik yang mengatur sifat-sifat menurun tertentu dan memenuhi lokus suatu kromosom. Setiap kromosom mengandung banyak gen. Gen terdiri dari DNA yang diselaputi dan diikat oleh protein. Jadi, secara kimia dapat disebut bahwa material yang menyimpan informasi genetik itu adalah DNA.
Dalam ilmu biologi sering terjadi adanya hasil-hasil persilangan yang terkadang tidak diinginkan. Dalam ilmu genetika khususnya pewarisan sifat pada manusia, dapat ditemukan adanya variasi sifat yang diturunkan. Variasi sifatnya seperti, struktur rambut, bentuk hidung, golongan darah, warna kulit, ukuran tubuh dan lain sebagainya. Pada tumbuhan terdapat variasi seperti batang suatu tanaman ada yang tinggi dan ada yang rendah, bunga suatu tanaman memiliki variasi warna, ada yang warna merah dan ada yang berwarna putih.
Pada kenyataannya sifat keturunan tidak hanya dapat dilihat oleh mata, sebab tidak cukup hanya membedakan suatu batang tanaman yang tinggi dari yang rendah saja, melainkan masih perlu diperhatikan variasi yang ada pada batang tanaman tersebut. Timbulnya suatu variasi persilangan dalam sifat keturunan tertentu disebabkan oleh pengaruh gen yang terdapat pada suatu makhluk hidup.
Anggota dari pasangan gen yang memiliki pengaruh berlawanan disebut alel. Alel dominan pada suatu makhluk hidup menyatakan sifat yang kuat pada makhluk hidup tersebut dan disimbolkan dengan huruf besar, sedangkan alel resesif menyatakan sifat yang lemah pada suatu makhluk hidup dan disimbolkan dengan huruf kecil. Sebagai contoh pada tumbuhan kacang polong yang memiliki variasi bentuk pada bijinya. Jika B menentukan bentuk bulat pada biji, K menentukan warna kuning pada biji, maka B, K merupakan alel dominan. Jika b menentukan bentuk keriput pada biji, k menetukan warna hijau pada biji, maka b,
k adalah alel resesif. Maka B, b, K, k merupakan alel pada persilangan dihibrid. Hasil persilangan antara dua individu yang mempunyai sifat yang berbeda adalah hibrid.
Sifat keturunan yang dapat kita lihat serta amati berdasarkan warna, bentuk, ukuran disebut dengan fenotip seperti warna tumbuhan, tinggi tumbuhan. Sedangkan sifat keturunan yang tidak tampak oleh mata dan tidak berubah karena faktor lingkungan pada suatu makhluk hidup disebut genotip. Contoh genotip pada persilangan kacang polong adalah BK (bulat kuning), bk (hijau keriput).
Individu yang genotipnya terdiri dari alel yang sama disebut homozigot (misalnya BBKK adalah homozigot dominan yang menyatakan sifat yang kuat pada suatu tanaman yaitu bulat kuning, sedangkan bbkk menunjukkan homozigot resesif ( sifat lemah) pada suatu tanaman yaitu hijau keriput ), sedangkan individu yang genotipnya terdiri dari alel yang berbeda disebut heterozigot (misalnya BbKk yaitu terdapat alel dominan dan alel resesif). Gamet adalah sel reproduksi pada suatu makhluk hidup atau sering juga disebut sel kelamin pada makhluk hidup. Terdapat beberapa istilah yang dipakai dalam persilangan antara lain:
P1 = pasangan induk pertama dari persilangan biji P2 = pasangan induk kedua dari suatu makhluk hidup F1 = keturunan pertama pada makhluk hidup
F2 = keturunan kedua dari suatu makhluk hidup ♂ = tanda jenis kelamin jantan
BBKK = alel dominan homozigot bbkk = alel resesif homozigot BbKk = alel heterozigot
B = gen untuk bentuk bulat pada biji b = gen untuk bentuk keriput pada biji K = gen untuk warna kuning pada biji k = gen untuk warna hijau pada biji
Anggota dari pasangan gen yang memiliki pengaruh berlawanan disebut alel. Misalnya B menentukan bentuk bulat pada biji, K menentukan warna kuning pada biji, b menentukan bentuk keriput pada biji, dan k menentukan warna hijau pada biji. Maka B, b, K, k merupakan alel pada persilangan dihibrid.
Pada kasus pertama akan disilangkan tumbuhan kapri yang memiliki sifat yang tidak seutuhnya unggul (sifat unggulnya adalah bentuk biji yang bulat sedangkan sifat yang tidak unggulnya adalah biji berwarna hijau dengan genotip BBkk) dengan semua kemungkinan yang ada.
Pada kasus kedua akan disilangkan tumbuhan kapri yang memiliki sifat yang tidak seutuhnya unggul (sifat unggulnya adalah biji berwarna kuning sedangkan sifat yang tidak unggulnya adalah bentuk biji yang keriput dengan genotip bbKK) dengan semua kemungkinan yang ada.
1. Kacang kapri (pisum sativum)
Kapri atau kacang kapri (pisum sativum) adalah sejenis tumbuhan sayur yang mudah dijumpai di pasar-pasar tradisional Indonesia. Kapri termasuk dalam golongan sayur buah, artinya buahnya yang dimakan sebagai sayur dan
tidak digolongkan sebagai buah-buahan, seperti juga tomat dan cabai. Tipe buah ini adalah polong, dipanen ketika masih muda dan bijinya belum berkembang penuh, sehingga berbentuk pipih dan lunak. Berikut adalah sifat kacang kapri yang dipelajari oleh Mendel (Strickberger, 1976):
a. biji bulat dan berkerut b. keping biji kuning dan hijau c. warna bunga putih dan ungu d. polong yang penuh dan mengerut e. polong kekuningan dan hijau
f. polong dekat poros batang dan di ujung g. tanaman tinggi dan pendek
2. Persilangan Monohibrid
Persilangan Monohibrid adalah persilangan antara dua individu dengan satu sifat beda. Contoh persilangan monohibrid yang dilakukan pengamatan pada biji tumbuhan dengan menyilangkan tumbuhan biji bulat dengan biji keriput : Homozigot untuk biji bulat Homozigot untuk biji keriput P1
(genotipe induk pertama)
♀BB x ♂ bb
Gamet 1
(Sel kelamin induk pertma)
♀ B ♂ b
F1
(Keturunan pertama)
Bb (biji bulat)
Dibawah ini terdapat persilangan monohibrid pada biji tumbuhan dengan menyilangkan tumbuhan biji bulat dengan biji bulat hasil dari keturunan pertama pada persilangan
Heterozigot
untuk biji bulat
Heterozigot untuk biji bulat P2
(genotipe induk kedua)
♀Bb x ♂ Bb
Gamet 2 (Sel kelamin induk
kedua) ♀ B, b ♂ B, b F2 (Keturunan kedua) BB (biji bulat) Bb (biji bulat) Bb (biji bulat) bb (biji keriput)
Hasil persilangan yang diperoleh adalah tiga genotipe biji bulat yaitu BB, Bb, Bb dan satu genotipe biji keriput yaitu bb.
3. Persilangan Dihibrid
Persilangan dihibrid adalah persilangan antara dua individu dengan dua sifat beda. Berikut adalah persilangan kacang kapri dihibrid berbiji bulat kuning dan berbiji keriput hijau yang dilakukan Mendel:
Homozigot untuk biji bulat kuning
Homozigot untuk biji keriput hijau
P1 ♀ BBKK X ♂ bbkk
Gamet 1 ♀ BK ♂ bk
Hasil persilangan untuk keturunan pertama adalah bulat kuning karena B bersifat dominan terhadap b dan K bersifat dominan terhadap k. Hasil dari persilangan F1 antara BbKk dan BbKk akan menghasilkan empat macam gamet. Pembentukan gamet dari F1:
Bb Kk
BK Bk bK bk
Heterozigot untuk biji bulat kuning
Heterozigot untuk biji bulat kuning
P2 ♀ BbKk X ♂ BbKk Gamet 2 ♀ BK ♂ BK
Bk Bk
bK bK
bk bk
Tabel 3.1 Hasil persilangan dihibrid antara genotipe BbKk dan BbKk Gamet ♀ Gamet ♂ BK Bk bK bk BK BBKK (bulat kuning) BBKk (bulat kuning) BbKK (bulat kuning) BbKk (bulat kuning) Bk BBKk (bulat kuning) BBkk (bulat hijau) BbKk (bulat kuning) Bbkk (bulat hijau) bK BbKK (bulat kuning) BbKk (bulat kuning) bbKK (keriput kuning) bbKk (keriput kuning)
bk BbKk (bulat kuning) Bbkk (bulat hijau) bbKk (keriput kuning) bbkk (keriput hijau) Satu genotipe terdiri dari pasangan alel yang bersifat dominan, maka hanya ada empat macam fenotipe yang tampak yaitu:
1. Bulat kuning : BBKK, BBKk, BbKK, BbKk, BBKk, BbKk, BbKK, BbKk, BbKk.
2. Keriput kuning : bbKK, bbKk, bbKk 3. Bulat hijau : BBkk, Bbkk, Bbkk 4. Keriput hijau : bbkk
Jika dibentuk dalam tabel, maka terdapat sembilan macam keturunan pada persilangan dihibrid kacang kapri yaitu:
Tabel 3.2 Keturunan dari persilangan dihibrid (dua sifat beda) antara genotipe
BbKk dan BbKk
No Genotipe Fenotipe Jumlah Probabilitas
1. BBKK bulat – kuning 1 1 16 2. BBKk bulat – kuning 2 1 8 3. BBkk bulat – hijau 1 1 16 4. BbKK bulat – kuning 2 1 8 5. BbKk bulat – kuning 4 1 4 6. Bbkk bulat – hijau 2 1 8 7. bbKK keriput – kuning 1 1 16
8. bbKk keriput – kuning 2 1 8
9. bbkk keriput – hijau 1 1
16
B. Penggunaan Matriks Pada Persilangan Dihibrid Kacang Kapri (pisum sativum)
Matriks dapat memudahkan kita dalam memprediksi hasil dari suatu persilangan dan sifat yang akan muncul. Dengan metode perhitungan matriks, perhitungan akan lebih mudah untuk dimengerti. Misalkan pada populasi tanaman kapri yang memiliki genotipe BBkk dan bbKK. Pada tugas akhir ini akan dibahas dua kasus genotipe pada kacang kapri yaitu genotipe yang tidak seutuhnya unggul BBkk dan bbKK. Alel Bk menggambarkan tumbuhan dengan biji bulat dan warna hijau dengan sifat unggulnya pada bentuk bulatnya sementara alel bK adalah tumbuhan dengan biji keriput dan warna kuning dengan sifat unggulnya pada warnanya.
Pada akhirnya akan diketahui sifat generasi ke-n pada tanaman kapri yang telah disilangkan antara genotipe yang tidak seutuhnya unggul dengan berbagai macam kemungkinan keturunan yang ada. Dari hasil tersebut dapat dilihat apakah tumbuhan kapri yang genotipenya tidak seutuhnya unggul akan tetap menghasilkan genotipe yang seutuhnya tidak unggul atau malah menghasilkan genotipe unggul seluruhnya.
1. Genotipe BBkk (bulat hijau)
Adapun nilai peluang dari setiap keturunan diperoleh dengan cara :
a) Persilangan antara BBkk dan BBKK menghasilkan keturunan dengan genotipe BBKk dengan nilai peluangnya adalah 1. Adapun nilai
peluang yang diperoleh dari kemungkinan genotipe yang disilangkan adalah:
P (induk) : BBkk (Bulat Hijau) x BBKK (Bulat Kuning) Gamet : Bk dan BK
Tabel 3.3 Persilangan BBkk dan BBKK
Gamet BK
Bk BBKk (Bulat Kuning)
P(BBKk) =n(BBKk)n(S) =11 = 1
yang dapat dilihat pada baris kedua kolom pertama tabel 3.7.
b) Persilangan antara BBkk dan BBKk memperoleh nilai peluang 1 2 pada
keturunan bergenotipe BBKk dan 1
2pada keturunan bergenotipe BBkk.
Adapun nilai peluang yang diperoleh dari kemungkinan genotipe yang disilangkan adalah:
P (induk) : BBkk (Bulat Hijau) x BBKk (Bulat Kuning) Gamet : Bk dan BK, Bk
Tabel 3.4 Persilangan BBkk dan BBKk
Gamet BK Bk Bk BBKk (Bulat Kuning) BBkk (Bulat Kuning) P(BBKk) =n(BBKk)n(S) = 12 P(BBkk) =n(BBkk)n(S) = 12
yang dapat dilihat pada baris kedua dan ketiga pada kolom kedua tabel 3.7.
c) Persilangan antara BBkk dan BBkk memperoleh nilai peluang 1 yang sepenuhnya memeliki keturunan bergenotipe BBkk. Adapun nilai peluang yang diperoleh dari kemungkinan genotipe yang disilangkan adalah:
P (induk) : BBkk (Bulat Hijau) x BBkk (Bulat Hijau) Gamet : Bk dan Bk
Tabel 3.5 Persilangan BBkk dan BBkk
Gamet Bk
Bk BBkk (Bulat Hijau)
P(BBKK) = n(BBkk)n(S) =11 = 1
yang dapat dilihat pada baris dan kolom ketiga tabel 3.7.
d) Persilangan antara BBkk dan BbKK memperoleh nilai peluang 1 2
dengan keturunan yang memiliki genotipe BBKk dan 1
2 pada keturunan
dengan genotipe BbKk Adapun nilai peluang yang diperoleh dari kemungkinan genotipe yang disilangkan adalah:
P (induk) : BBkk (Bulat Hijau) x BbKK (Bulat Kuning) Gamet : Bk dan BK
Tabel 3.6 Persilangan BBkk dan BbKK
Gamet BK bK
Bk BBKk
(Bulat Kuning)
BbKk
P(BBKK)=n(BBKkn(S) )=12
P(BBKK) =n(BbKk)n(S) =12
yang dapat dilihat pada baris kedua dan kelima pada kolom keempat tabel 3.7.
Untuk selanjutnya dilakukan cara yang sama untuk mendapatkan setiap nilai peluang setiap keturunan.
Suatu individu mewarisi suatu gen dari tiap pasangan gen induknya untuk membentuk pasangan gennya sendiri. Sehingga, jika persilangan induk BBkk dan BBKK maka kecenderungan bahwa keturunannya akan mewarisi gen BK atau gen Bk dari induk tersebut. Dalam kondisi lain, jika persilangan induk BBkk dan BBKk maka kecenderungan bahwa keturunannya akan mewarisi genotipe BBKk atau genotipe BBkk sama besarnya. Adapun gen yang diwarisi adalah gen Bk dan BK. Sedangkan, persilangan induk BBkk dan BBkk maka kecenderungan bahwa keturunannya akan mewarisi gen Bk sepenuhnya. Begitu juga dengan pewarisan gen yang lainnya dilakukan dengan hal yang sama.
Tabel 3.7 Tabel nilai peluang pada persilangan antara genotipe BBkk (Bulat Hijau) dengan semua kemungkinan yang ada
Genotipe keturunan Genotip induk BBkk x BBKK BBkk x BBKk BBkk x BBkk BBkk x BbKK BBkk x BbKk BBkk x Bbkk BBkk x bbKK BBkk x bbKk BBkk x bbkk 𝑎𝑛−1 𝑏𝑛−1 𝑐𝑛−1 𝑑𝑛−1 𝑒𝑛−1 𝑓𝑛−1 𝑔𝑛−1 ℎ𝑛−1 𝑖𝑛−1 𝒂𝒏 BBKK 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝒃𝒏 BBKk 1 ½ 0 ½ ¼ 0 0 0 0 𝒄𝒏 BBkk 0 ½ 1 0 ¼ ½ 0 0 0 𝒅𝒏 BbKK 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝒆𝒏 BbKk 0 0 0 ½ ¼ 0 1 ½ 0 𝒇𝒏 Bbkk 0 0 0 0 ¼ ½ 0 ½ 1 𝒈𝒏 bbKK 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝒉𝒏 bbKk 0 0 0 0 0 0 0 0 0 𝒊𝒏 bbkk 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Berdasarkan Tabel 3.7, pasangan induk BBkk x BBKK menghasilkan genotipe keturunan BBKk. Pasangan induk BBkk x BBKk menghasilkan genotipe keturunan BBKk dan BBkk. Pasangan induk BBkk x BBkk
menghasilkan genotipe keturunan BBkk. Pasangan induk BBkk x BbKK menghasilkan genotipe keturunan BBKk dan BbKk. Pasangan induk BBkk x BbKk menghasilkan genotipe keturunan BBKk, BbKk, Bbkk. Pasangan induk BBkk x bbKK menghasilkan genotipe keturunan BbKk. Pasangan induk BBkk x bbKk menghasilkan genotipe keturunan BbKk dan Bbkk. Pasangan induk BBkk x bbkk menghasilkan genotipe keturunan bbkk.
Distribusi dari kesembilan genotipe yang mungkin pada kacang kapri tersebut setelah sejumlah generasi dapat dibuat :