Bab ini berisikan kesimpulan – kesimpulan yang didapat dari proses penulisan tugas akhir ini serta saran – saran untuk pengembangan penelitian serta saran – saran yang membangun agar dapat diperoleh penulisan skripsi yang lebih baik lagi dikemudian hari.
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
II.1 Teori Tekuk
II.1.1 Umum dan Latar Belakang
Kolom merupakan batang tekan tegak yang bekerja untuk menahan balok-balok loteng, rangka atap, lintasan crane dalam bangunan pabrik dan sebagainya yang untuk seterusnya akan melimpahkan semua beban tersebut ke pondasi.
Dengan berbagai macam sebutan, seperti kolom, tiang, tonggak, dan batang desak, batang ini pada hakekatnya jarang sekali mengalami tekanan aksial saja.Apabila sebuah batang lurus dibebani gaya tekan aksial dengan pemberian beban semakin lama semakin tinggi, maka pada batang tersebut akan mengalami perubahan. Perubahan dari keadaan sumbu batang lurus menjadi sumbu batang melengkung dinamakan Tekuk.
Pada hakekatnya batang yang hanya memikul tekan aksial saja jarang dijumpai dalam struktur namun bila pembebanan diatur sedemikian rupa hingga pengekangan ( restrain ) rotasi ujung dapat diabaikan atau beban dari batang-batang yang bertemu diujung kolom bersifat simetris dan pengaruh lentur sangat kecil dibandingkan dengan tekanan langsung maka batang tekan dapat direncanakan dengan aman sebagai kolom yang dibebani secara konsentris.
Dari mekanika bahan diketahui bahwa hanya kolom yang sangat pendek dapat dibebani hingga mencapi tegangan lelehnya, sedangkan keadaan yang umum yaitu lenturan mendadak akibat ketidakstabilan terjadi sebelum kekuatan bahan batang sepenuhnya tercapai. Keadaan demikian yang kita sebut dengan tekuk
(buckling). Jadi pengetahuan tentang kestabilan batang tekan perlu bagi pembaca yang merencanakan struktur baja.
Gambar II.1 Batang yang tertekuk akibat gaya aksial
( sumber : Salmon, 1992 )
Latar belakang tekuk kolom pertama kali dikemukakan oleh Leondharrt Euler pada tahun 1759. Batang dengan beban konsentris yang semula lurus dan semua seratnya tetap elastis hingga tekuk terjadi akan mengalami lengkungan yang kecil pada gambar II.1.1. Walaupun Euler hanya menyelidiki batang yang dijepit disalah satu ujung dan bertumpu sederhana ( simply supported ) di ujung yang lainnya, logika yang sama dapat diterapkan pada kolom yang berperletakan sendi, yang tidak memiliki pengekangan rotasi dan merupakan batang dengan kekuatan tekuk terkecil. Kita akan mendapatkan rumus-rumus gaya kritis yang dapat diterima oleh suatu batang sebelum tekuk terjadi.
Pendekatan Euler pada umumnya tidak digunakan untuk perencanaan karena tidak sesuai dengan percobaan, dalam praktek kolom dengan panjang umum tidak sekuat seperti yang dinyatakan oleh rumus-rumus Euler.
Considere dan Esengger pada tahun 1889 secara terpisah menemukan bahwa sebagian dari kolom dengan panjang yang umum menjadi inelastic sebelum tekuk terjadi dan harga E yang dipakai harus memperhitungkan adanya jumlah serat yang
P
P
L
tertekan dengan regangan diatas batas proporsional. Jadi mereka menyadari bahwa sesungguhnya kolom dengan panjang yang umum akan hancur akibat tekuk inelastic dan bukan akibat tekuk elastic.
Akan tetapi pengertian yang menyeluruh tentang kolom dengan beban konsentris baru dicapai pada tahun 1946 ketika Shanley menjabarkan teori yang sekarang ternyata benar. Ia mengemukakan bahwa hakekatnya kolom masih mampu memikul beban aksial yang lebih besar walaupun telah melentur, tetapi kolom mulai melentur pada saat mencapai beban yang disebut beban tekuk, yang menyertakan pengaruh inelastisitas pada sejumlah atau semua serat penampang lintang.
Untuk menentukan kekuatan kolom dasar, kondisi kolom perlu didealisir dengan beberapa anggapan. Mengenai bahan, kita dapat menganggap :
1. Sifat tegangan-regangan tekan sama diseluruh titik pada penampang
2. Tidak ada tegangan internal seperti akibat pendinginan setelah penggilingan (rolling)
3. Kolom lurus sempurna dan prismatis
4. Resultante beban bekerja melalui sumbu pusat batang sampai batang mulai melentur
5. Kondisi ujung harus statis tertentu sehingga panjang antara sendi-sendi ekivalen dapat ditentukan.
6. Teori lendutan yang kecil seperti pada lenturan yang umum berlaku dan gaya geser dapat diabaikan.
Setelah anggapan-anggapan diatas dibuat, sekarang disetujui bahwa kekuatan suatu kolom dapat dinyatakan sebagai:
σ
cr=
� �=
�2Et ���� �2 Dimana :σ
cr = tegangan rata-rata pada penampangE t = modulus tangen pada P/A
KL/r = angka kelangsingan efektif (ujung sendi ekivalen)
Seperti yang kita tahu batang tekan yang panjang akan runtuh akibat tekuk elastis dan batang tekan yang pendek yang buntak dapat dibebani sampai bahan meleleh atau bahkan sampai daerah pengerasan regangan (strain hardening). Pada keadaan yang umum, kehancuran akibat tekuk terjadi setelah sebagian penampang melintang meleleh, keadaan ini disebut dengan tekuk inelastic.
Tekuk murni akibat beban aksial sesungguhnya hanya terjadi apabila anggapan dari (1) sampai (7) diatas berlaku. Kolom biasanya merupakan satu kesatuan dengan struktur, dan pada hakekatnya tidak dapat berlaku secara independent. Dalam praktek, tekuk diartikan sebagai pembatasan antara lendutan stabil dan tidak stabil pada batang tekan: jika bukan kondisi sesaat yang terjadi pada batang langsing elastis yang diisolir. Banyak insinyur menyebut “beban tekuk praktis” ini sebagai “beban batas ultimate”.
II.1.2. Keruntuhan Batang Tekan
Dari mekanika bahan kita tahu bahwa batang tekan yang pendek akan dapat dibebani sampai beban meleleh. Batang tekan yang panjang akan runtuh akibat tekuk elastis. Pada keadaan umum kehancuran akibat tekan terjadi diantara keruntuhan akibat kelelehan bahan akibat tekuk elastis, setelah bagian penampang melintang meleleh, keadaan ini disebut tekuk inelastis (inelastic buckling).
Ada tiga jenis keruntuhan batang tekan, yaitu:
1. Keruntuhan akibat tegangan yang terjadi pada penampang telah melalui materialnya.
2. Keruntuhan akibat batang tertekuk elastic (elastic buckling). Keadaan ini terjadi pada bagian konstruksi yang langsing. Disini hukum Hooke masih berlaku bagi serat penampang dan tegangan yang terjadi tidak melebihi batas proporsional.
3. Keruntuhan akibat melelehnya sebagian serat disebut tekuk inelastic (inelastic buckling). Kasus keruntuhan semacam ini berada diantara kasus (1) dan kasus (2), dimana pada saat menekuk sejumlah seratnya menjadi inelastic maka modulus elastisitasnya ketika tertekuk lebih kecil dari harga awalnya.
II.1.3 Stabilitas dari Struktur Kolom
Analisa stabilitas suatu struktur batang berkaitan erat dengan masalah kesetimbangan. Oleh karena itu pemahaman terhadap masalah kesetimbangan merupakan suatu hal yang penting.
Konsep dari stabilitas sering diterangkan dengan menganggap kesetimbangan dari bola pejal dalam beberapa posisi seperti gambar berikut:
ball
(a) Stable (b) Neutral (c) Unstable
Gambar II.2 Stabilitas
Sumber : Alexander Chajes, “ Principles of Stability Theory ”
Walaupun bola dalam keadaan setimbang pada posisinya masing-masing, dalam pengamatan memperlihatkan adanya perbedaan dari ketiga keadaan tersebut.
- Posisi a
Bola berada pada permukaan yang cekung maka bila diberikan gangguan kecil dx, bola akan kembali keposisi semula setelah berisolasi beberapa kali.
Keadaan kesetimbangan ini disebut dengan kesetimbangan stabil.
- Posisi b
Apabila bola berada pada permukaan yang datar, bila diberikan gangguan kecil dx maka gangguan kecil ini tidak akan merubah gaya-gaya kesetimbangan maupun energy potensial bola. Keadaan kesetimbangan ini disebut dengan kesetimbangan netral.
- Posisi c
Bila bola berada pada permukaan yang cembung, diberikan gangguan kecil dx maka akan terjadi pergeseran mendadak ( progressive movement ). Kesetimbangan ini disebut dengan kesetimbangan tidak stabil.
Gambar II.3 Tekuk
- Batang a, diberi muatan P1 kecil, dari samping dimuati Q yang menekan batang
maka akan terjadi lenturan f1. Bila gaya Q dihilangkan, lenturan hilang dan batang lurus kembali. Peristiwa ini disebut dengan bola dalam tempat yang cekung.
- Batang b, ditekan dengan P2, dimana P2 > P1 . Dari samping ditekan Q maka terjadi
lenturan f2, Q dihilangkan tetapi f2 masih tetap ada. Keadaan ini disebut “indifferent”. Gaya P2 disebut gaya Pkritis, sedangkan tegangan (ssσ = ��) yang timbul dalam luas tampang disebut tegangan kritis (σkritis ).
- Batang c, ditekan dengan P3 , dimana P3 > P2 tetapi masih dalam batas batang
belum patah. Dari samping ditekan Q bahkan lebih kecil dari pada Q pada keadaan a. Lengkung f3 yang timbul akan menjalar terus sampai batang itu patah. Peristiwa ini
II.2 Sifat Bahan Baja
Sifat baja yang terpenting dalam pengunaanya sebagai bahan konstruksi adalah kekuatannya yang tinggi, dibandingkan dengan bahan lainnya seperti kayu, dan sifat keliatannya, yaitu kemampuan untuk berdeformasi secara nyata baik dalam tegangan, regangan maupun dalam kompresi sebelum kegagalan, serta sifat homogenitas yaitu sifat keseragaman yang tinggi.
Baja merupakan bahan campuran besi ( Fe ), 1,7 % Zat arang atau karbon (C), 1,65 % mangan 0,6 % silikon ( Si ) dan 0,6% tembaga ( Cu ). Baja dihasilkan dengan menghaluskan bijih besi dan logam besi tua bersama-sama dengan bahan tambahan pencampur yang sesuai, dalam tungku temperatur tinggi untuk menghasilkan massa-massa besi yang besar, selanjutnya dibesihkan untuk menghilangkan kelebihan zat arang dan kotoran-kotoran lain.
Berdasarkan persentase zat arang yang dikandung, baja dapat dikategorikan sebagai berikut :
1. Baja dengan persentase zat arang rendah ( low carbon steel ) Yakni lebih kecil dari 0.15 %
2. Baja dengan persentase zat arang ringan ( mild carbon steel ) Yakni 0.15 % - 0.29 %
3. Baja dengan persentase zat arang sedang ( medium carbon steel ) Yakni 0.30 % - 0.59 %
4. Baja dengan persentase zat arang tinggi ( High carbon steel ) Yakni 0.60 % - 1.7 %
Baja untuk bahan struktur termasuk kedalam baja yang persentase zat arang yang ringan ( mild carbon steel ), semakin tinggi kadar zat arang yang terkandung
didalamnya, maka semakin tinggi nilai tegangan lelehnya. Sifat-sifat bahan struktur yang paling penting dari baja adalah sebagai berikut :
1. Modulus Elastisitas ( E )
Modulus elastisitas untuk semua baja ( yang secara relative tidak tergantung dari kuat leleh ) adalah 28000 sampai 30000 ksi atau 193000 sampai 207000 Mpa. Nilai untuk desain lazimnya diambil sebesar 29000 ksi atau 200000 Mpa.
Berdasarkan Peraturan Perencanaan Bangunan Baja Indonesia ( PPBBI ), nilai modulus elastisitas baja adalah 2,1 x 106 kg/cm² atau 2,1 x 105 MPa.
2. Modulus Geser ( G )
Modulus geser setip bahan elastis dihitung berdasarkan formula : G = �
2(1+�)
Dimana μ = perbandingan poisson yang diambil sebesar 0,3 untuk baja. Dengan menggunakan μ = 0,3 maka akan memberikan G = 11000 ksi atau 77000 MPa.
Berdasarkan Peraturan Perencanaan Bangunan Baja Indonesia ( PPBBI ), nilai modulus geser ( gelincir ) baja adalah 0,81 x 106 kg/cm² atau 0,81 x 105 MPa.
3. Koefisien Ekspansi ( α )
Koefisien ekspansi adalah koefisien pemuaian linier. Koefisien ekspansi baja diambil sebesar 12 x 10-6 per 0C.
4. Tegangan Leleh ( σ )
Sifat – sifat ini termasuk massa jenis baja, yang sama dengan 490 pcf atau 7,850 t/m3, atau dalam berat satuan, nilai untuk baja sama dengan 490 pcf atau 76, 975 kN/m³, berat jenis baja umumnya adalah sebesar 7,85.
Untuk mengetahui hubungan antara tegangan dan regangan pada baja dapat dilakukan dengan uji tarik di laboratorium. Sebagian besar percobaan atas baja akan menghasilkan bentuk hubungan antara tegangan dan regangan seperti tergambar di bawah ini.
Gambar II.4 Hubungan tegangan - regangan untuk uji tarik pada baja lunak.
Keterangan gambar : σ = tegangan baja ε = regangan baja A = titik proporsional A’ = titik batas elastis B = titik batas plastis M = titik runtuh C = titik putus
Dari gambar diatas dapat dilihat bahwa sampai titik A hubungan antara tegangan dan regangan masih linier atau keadaan masih mengikuti hukum Hooke. Kemiringan garis OA menyatakan besarnya modulus elastisitas E. Diagram regangan untuk baja lunak memiliki titik leleh atas ( upper yield point ), σy dan daerah leleh
datar. Secara praktis, letak titik leleh atas ini, A’ tidaklah terlalu berarti sehingga pengaruhnya sering diabaikan. Titik A’ sering juga disebut sebagai titik batas elastis
( elasticity limit ). Sampai batas ini bila gaya tarik dikerjakan pada batang baja maka
batang tersebut akan berdeformasi. Selanjutnya bila gaya itu dihilangkan maka batang akan kembali kebentuk semula. Dalam hal ini batang tidak mengalami deformasi permanen.
Bila beban yang bekerja bertambah, maka akan terjadi pertambahan regangan tanpa adanya pertambahan tegangan. Sifat pada daerah AB inilah yang disebut sebagai keadaan plastis. Lokasi titik B, yaitu titik batas plastis tidaklah pasti tetapi sebagai perkiraan dapat ditentukan yakni terletak pada regangan 0.014.
Daerah BC merupakan daerah strain hardening, dimana pertambahan regangan akan diikuti dengan sedikit pertambahan tegangan. Disamping itu, hubungan tegangan dengan regangannya tidak lagi bersifat linier. Kemiringan garis setelah titik B ini didefenisikan sebagai Ez. Di titik M, yaitu regangan berkisar antara 20 % dari panjang batang, tegangannya mencapai nilai maksimum yang disebut sebagai tegangan tarik batas ( Ultimate tensile strength ). Akhirnya bila beban semakin bertambah besar lagi maka titik C batang akan putus.
Tegangan leleh adalah tegangan yang terjadi pada saat baja mulai meleleh. Dalam kenyataannya, sulit untuk menentukan besarnya tegangan leleh, sebab perubahan dari elastisitas menjadi plastis seringkali besarnya tidak tetap.sebagai
standar menentukan besarnya tegangan leleh dihitung dengan menarik garis sejajar dengan sudut kemiringan modulus elastisitasnya, dari regangan sebesar 0.2 %
Gambar 2.5 Penentuan tegangan leleh.
Dari titik regangannya 0.2 % ditarik garis sejajar dengan garis OB sehingga memotong grafik tegangan regangan dan memotong sumbu tegangan.Tegangan yang diperoleh ini disebut dengan tegangan leleh. Tegangan-tegangan leleh dari bermacam-macam baja bangunan diperlihatkan pada tabel 2.2 dibawah ini:
Tabel 2.2 Harga tegangan leleh
Macam Baja Tegangan Leleh Kg/cm2 Mpa Bj 34 2100 210 Bj 37 2400 240 Bj 41 2500 250 Bj 44 2800 280 Bj 50 2900 290 Bj 52 3600 360
Baja memiliki beberapa kelebihan sebagai bahan konstruksi, diantaranya : 1. Nilai kesatuan yang tinggi per satuan berat
2. Keseragaman bahan dan komposit bahan yang tidak berubah terhadap waktu 3. Dengan sedikit perawatan akan didapat masa pakai yang tidak terbatas 4. Daktalitas yang tinggi
5. Mudah untuk diadakan pengembangan struktur
Disamping itu baja juga mempunyai kekurangan dalam hal : 1. Kekuatan baja lemah dalam memikul beban tekan 2. Biaya pengadaan anti api yang besar ( fire proofing cost )
3. Dibandingkan dengan kekuatannya kemampuan baja melawan tekuk kecil 4. Nilai kekuatannya akan berkurang, jika dibebani secara berulang / periodik,
hal ini biasanya disebut dengan leleh atau fatigue.
Dengan kemajuan teknologi, perlindungan terhadap karat dan kebakaran pada baja sudah ditemukan, hingga akibat buruk yang mungkin terjadi bisa dikurangi/dihindari.
II.3 Analisa Kolom
P X x dx L Y P
Sebuah batang lurus dengan panjang L yang dibebani oleh gay aksial P seperti yang diperhatikan pada gambar II.3a uraian gaya-gaya yang bekerja pada potongan sejauh x dari tumpuan, diperlihatkan pada gambar II.3b dimana N dan Q adalah komponen gaya longitudinal dan transversal pada potongan itu, dan M adalah momen lentur.
Dx
M Q+dQ
Gambar II.7 Potongan batang sejauh x dari tumpuan
Pengaruh dari adanya rotasi struktur, persamaan kesetimbangan dari elemen kolom ramping yang terdeformasi diperlihatkan pada gambar II.3c.
Gambar II.8 Kolom Terdeformasi
M N Q Q+dQ N+dN M+dM +d
Untuk deformasi yang kecil, maka dapat diasumsikan bahwa sudut putar β adalah kecil. Dengan demikian sin β dan cos β secara berurutan dapat dianggap β dan l. Persamaan kesetimbangan gaya dapat diperoleh dengan menguraikan masing-masing gaya yang bekerja sesuai dengan subu x dan y. Dari uraian gaya pafa sumbu x diperoleh : -N + ( N + dN ) – Q β + ( Q + dQ ) ( β + dβ ) = 0 N I+ QI+ βI = 0 Dimana : N I = dN/dx QI = dQ/dx βI= dβ /dx
dari uraian gaya pada sumbu y diperoleh :
-Q + ( Q+dQ ) – Nβ – ( N + dN )( β + dβ ) = 0 -NβI+ βNI + QI = 0 Uraian Momen : M – ( M + dM ) + Qdx = 0 Q = MI Dimana : M = dM/dx
Untuk batang yang ramping dapat dianggap bahwa tegangan dan gaya geser melintang sangat kecil. Kita biasanya mengambil asumsi bahwa bentuk kuadratik yang menggambarkan interaksi nonlinear antara gaya geser yang kecil dan putaran
dapat diabaikan. Dari asumsi yang diambil maka tiga persamaan kesetimbangan disederhanakan menjadi bentuk berikut :
NI= 0 ( II.3a )
QI- βNI
= 0 ( II.3b )
Q = 0 ( II.3c )
Bentuk dari βNI
tidak terdapat ada persamaan II.3b karena telah hilang akibat persamaan II.3a dengan mengeliminasi Q dari persamaan II.3c sehingga menghasilkan.
NI = 0
MII= -EIyII ( II.3d )
Dimana I adalah momen Inersia dari penampang dan E adalah modulus elastis bahan. Persamaan II.3d kita subtitusikan kedalam persamaan II.3c diperoleh :
NI= 0
(EIII)II – NyII = 0
Untuk harga EI yang konstan, persamaan menjadi : NI= 0
EIyIV – NyII = 0
Persamaan II.3b merupakan bentuk kuadrik dalam variabel-variabel N dan Y. Oleh karena itu merupakan persamaan differensial non linier. Dari persamaan II.3a terlibat bahwa N konstan sepanjang X dan dari kondisi batas x=0 dan x=1, kita lihat bahwa N = -P. Dengan demikian persamaann II.3b dapat disederhanakan menjadi bentuk lazim dikenal :
Atau
EI ��4 ��4 + P
��2
��2= 0 ( II.3f )
Persamaan diatas adalah differensial dari kolom ramping yang mengalami tekukan. Dari persamaan dapat ditentukan besarnya pada saat struktur akan runtuh. Misalnya k2 = P/EI dan subtitusikan kedalam persamaan sehingga diperoleh :
��4
��4 + K
��2
��2= 0 ( II.3g )
Persamaan umum dari persamaan differensial adalah :
Y = A sin kx + B cos kx + Cx + D ( II.3h )
Dimana : A, B, C, D adalah tetapan tertentu yang dapat ditentukan dengan menggunakan syarat-syarat batas yaitu kondisi batas ujung-ujung batang ( boundary condition ).
II.3.1 Kolom Euler
Rumus kolom Euler diturunkan dengan membuat berbagai anggaan sebagai berikut : - Bahan elastic sehingga memenuhi Hukum Hooke
- Material homogen sempurna dan isotropis
- Batang pada mulanya lurus sempurna, prismatic dan beban terpusat dikerjakan sepanjang sumbu titik berat penampang
- Penampang batang tidak terpuntir, elemennya tidak dipengaruhi tekuk setempat dan distorsi lainnya selama melentur
- Ujung-ujung batang ditumpu sederhana. Ujung bawah ditumpu pada sendi yang tidak dapat berpindah, ujung atas ditumpu pada tumpuan yang dapat berotasu dengan bebas dan bergerak vertical tetapi tidak dapat bergerak horizontal.
- Deformasi dari batang cukup kecil sehingga bentuk ( y’ )² dari persamaan kurva y” / (1 + (y’)2)2/3 dapat diabaikan. Dari sini kurva dapat didekati dengan y”.
Gambar II.9 Kolom Euler
Bahwa batang yang ditekan akan mengalami bentuk yang sedikit melengkung seperti pada gambar II.3.1a. Jika sumbu koordinat diambil seperti dalam gambar, momen dalam yang terjadi pada penampang sejauh x dari sumbu asal adalah :
Mx = -EIy” ( II.3.1.a)
Dengan menyamakan momen lentur luar P.y, maka diperoleh persamaan :
EIy” + P.y = 0 (II.3.1.b)
P P P P P Y X -EIy" P y L
Persamaan ( II.3.1.a) adalah persamaan differential linear dengan koefisien konstan dan dapat dirubah menjadi :
y” + k².y = 0 (II.3.1.b)
dimana, k² = �
�� (II.3.1.c)
Penyelesaian umum persamaan (II.3.1.b)
y = A sin kx + B cos kx (II.3.1.d)
Untuk menentukan besaran konstanta A dan B, maka menggunakan syarat batas : y = 0 dan x = 0
y = 0 dan x = 1
Dengan memasukkan syarat batas pertama kedalam persamaan (II.3.1.d) maka diperoleh :
B = 0
Sehingga diperoleh :
y = A sin kx (II.3.1.e)
Dari syarat batas kedua diperoleh :
A sin kl = 0 (II.3.1.f)
Persamaan (II.3.1.f) dapat dipenuhi oleh tiga keadaan yaitu :
a. Konstanta A = 0, yaitu tidak ada lendutan (II.3.1.g1)
b. kl = 0, yaitu tidak ada beban luar (II.3.1.g2) c. kl = nл, yakni syarat terjadi tekuk (II.3.1.g3)
Subtitusi persamaan (II.3.1.g3) kedalam persamaan (II.3.1.c) dan persamaan (II.3.1.e) diperoleh : P = �2�2�� �2 (II.3.1.h) Y = A sin ��� � (II.3.1.i)
Pada beban yang diberikan oleh persamaan (II.3.1.h) kolom berada dalam keadaan kesetimbangan dalam bentuk yang agak bengkok, dimana bentuk deformasinya diberikan oleh persamaan (II.3.1.i).
Ragam (mode) tekuk dasar yaitu lendutan dengan lengkungan tunggal akan diperoleh jika nilai n diambil sama dengan 1, dengan demikian beban kritis Euler untuk kolom adalah :
Pcr = �2��
�2 (II.3.1.j)
Dan persamaan lendutan menjadi : Y = A sin ��
� (II.3.1.k)
Kelakuan kolom Euler dapat digambarkan secara grafik seperti pada gambar: P
Pcr = � 2��
�2
A
Dari grafik dapat dilihat bahwa sampai beban Euler dicapai, kolom harus tetap lurus. Pada beban Euler ada percabangan kesetimbangan yaitu kolom dapat tetap lurus atau dapat dianggap berubah bentuk dengan amplitude tidak tentu. Kelakuan ini menunjukkan bahwa keadaan kesetimbangan pada saat beban Euler merupakan transisi dari kesetimbangan stabil dan tidak stabil.
II.3.2 Rumus Kolom Euler
II.3.2.1 Kolom dengan Satu Ujung Terjepit dan yang lainnya Bebas
Gambar II.11
Tinjau suatu sumbu-sumbu koordinat seperti ditunjukkan pada gambar, dimana kolom dalam kedudukan yang agak melengkung, menghasilkan momen lentur pada suatu penampang melintang sebesar :
M = - P ( δ – y ) ( II.3.2.1a)
Dan persamaan differensial M = -EI �2�2 menjadi :
d
P P P
P
EI �2�
��2 = P (δ – y ) ( II.3.2.1b)
Karena ujung atas kolom adalah bebas, maka jelaslah bahwa tekuk pada kolom akan terjadi pada bidang dengan kekakuan lengkungan terkecil, yang dianggap merupakan bidang simetris.
Nilai EI yang terkecil ini digunakan dalam persamaan ( II.3.2.1b ) diatas dan dengan memakai notasi sebelumnya yaitu :
k² = � ��
Kita dapat menuliskan persamaan dalam bentuk :
�2�
��2+ k²y = k² δ
Penyelesaian umum dari persamaan ini adalah : Y = A cos kx + B sin kx + δ
Dimana A dan B adalah konstanta integrasi, yang ditentukan dari syarat-syarat ujung jepit kolom yaitu :
Y = ��
��= 0 pada x = 0 Syarat-syarat ini dipenuhi jika :
A = - δ B = 0
Dan persamaan b menjadi :
Y = δ ( 1 – cos kx ) ( II.3.2.1c)
Sedang syarat pada ujung bebas kolom menghendaki bahwa Y = δ pada x = 1
Yang memenuhi jika δ cos kl = 0
Persamaan c menghendaki bahwa salah satu δ dan cos kl harus nol. Bila δ = 0, maka lengkungan tidak ada. Bila cos kl = 0, kita akan memperoleh hubungan
Kl = ( 2n – 1 ) /2 ( II.3.2.1d)
Dimana n = 1, 2, 3,…… persamaan ini untuk menentukan nilai-nilai k sehubungan dengan bentuk tekukan yang terjadi.
Nilai kl terkecil yang memenuhi persamaan ( II.3.2.1d) diperoleh dengan mengambil n = 1, memberikan nilai beban kritis terkecil yaitu :
Kl = l ���� = � 2 Atau Pcr = � 2�� 4�2 ( II.3.2.1e)
Besaran kx dalam persamaan ( II.3.2.1c) untuk kasus ini berubah-ubah dari 0 s/d /2, dan bentuk lengkungan seperti ditunjukkan pada gambar diatas.
Dengan mensubtitusikan n = 2, 3, . . . . kedalam persamaan ( II.3.2.1d), kita peroleh hubungannya dengan nilai-nilai beban kritis sebagai berikut :
Pcr = 9� 2��
4�2 Pcr = 25�
2��
4�2
Besaran kx menurut persamaan (II.3.2.1c) dalam hal ini berubah dari 0 s/d 3/2, dari 0 s/d 5/2, . . . , dan hubungannya dengan kurva lengkungan pada gambar (II.3.2.1c) dan gambar (II.3.2.1d). Untuk bentuk kurva lengkungan pada gambar (II.3.2.1c) diperlukan suatu gaya sebesar sembilan kali beban kritis terkecil, dan
keadaan pada gambar (II.3.2.1d), diperlukan gaya sebesar dua puluh lima kali beban kritis terkecil.
Bentuk-bentuk tekukan seperti itu hanya dapat terjadi pada batang yang sangat ramping, dan dengan memasang penyokong pada titik peralihan untuk mencegah lengkungan lateral. Sebaliknya bentuk tekukan ini adalah tidak stabil, dan mempunyai arti praktis yang kecil, sebab struktur telah mengalami suatu lengkungan yang besar pada saat beban mendekati nilai-nilai yang diberikan oleh persamaan (II.3.2.1e).
II.3.2.2 Kolom dengan Kedua Ujungnya berupa Sendi
Gambar II.12
Pada suatu kasus kolom dengan kedua ujungnya berupa sendi (gambar II.3.2.2), tampak dari kesimetrisannya bahwa tiap setengah panjang batang adalah
P
P
x
y
0
d
.1/2
1/2
mirip dengan batang pada gambar II.3.2.2. Karena itu beban kritis pada kasus ini diperoleh dengan mensubtitusikan l/2 untuk besaran l dalam persamaan, yang