Bagian ini menampilkan kesimpulan dan saran.
2.1 Sistem Antrian
Sistem antrian adalah merupakan keseluruhan dari proses para pelanggan atau barang yang berdatangan dan memasuki barisan antrian yang seterusnya memerlukan pelayanan sebagaimana seharusnya berlaku. Dalam mempelajari suatu sistem antrian, perlu untuk diketahui struktur sistem antrian, yaitu unit yang memerlukan pelayanan disebut pelanggan (customer) dan yang melayani disebut pelayan (server). (Kakiay, 2004).
2.2. Komponen Antrian
3 (tiga) komponen utama dalam teori antrian yang harus benar-benar diketahui dan dipahami ( Morlok, 1978), yaitu:
a. Tingkat kedatangan b. Tingkat pelayanan c. Disiplin antrian
2.2.1Tingkat Kedatangan (λ)
Tingkat kedatangan yang dinyatakan dengan notasi λ adalah jumlah pelanggan yang bergerak menuju suatu atau beberapa tempat pelayanan dalam satu satuan waktu tertentu, bisa dinyatakan dalam satuan pelanggan/menit.
Model antrian menyediakan kerangka kerja dasar untuk menganalisis situasi praktis dalam proses produksi, jaringan komunikasi, sistem transportasi, dan perbaikan mesin. Dalam banyak sistem komunikasi kedatangan yang tergantung waktu dan dapat ditandai dengan prosesPoisson non-homogen(Suhasini, et al. 2012).
2.2.2 Tingkat Pelayanan (μ )
Tingkat pelayanan yangdinyatakan dengan notasi μ adalah jumlah pelanggan yang dapat dilayani oleh satu tempat pelayanan dalam satu satuan waktu tertentu, biasa dinyatakan dalam satuan kendaraan/jam atau orang/menit. Selain tingkat
6
pelayanan, juga dikenal Waktu Pelayanan (WP) yang dapat didefinisikan sebagai waktu yang dibutuhkan oleh satu tempat pelayanan untuk dapat melayani satu kendaraan atau satu orang, biasa dinyatakan dalam satuan menit/pelanggan, sehingga bisa disimpulkan bahwa :
wp = 1/μ (2.1)
Selain itu, dikenal juga notasi ρ yang didefinisikan sebagai nisbah antara tingkat kedatangan (λ) dengan tingkat pelayanan (μ ) dengan persyaratan bahwa nilai
tersebut selalu harus lebih kecil dari 1.
ρ = λ/μ <1 (2.2)
Jika nilai ρ>1, hal ini berarti bahwa tingkat kedatangan lebih besar dari tingkat
pelayanan. Jika hal ini terjadi, maka dapat dipastikan akan terjadi antrian yang akan selalu bertambah panjang (tidak terhingga).
2.2.3 Disiplin Antrian
Disiplin antrian mempunyai pengertian tentang bagaimana cara kendaraan atau manusia mengantri. Beberapa jenis antrian yang sering digunakan dalam bidang transportasi atau arus lalu lintas, adalah (Morlok, 1978):
1. First In First Out(FIFO) atauFirst Come First Served(FCFS)
Pelanggan yang pertama tiba pada suatu tempat pelayanan akan dilayani pertama. Sebagai contoh disiplin antrian FIFO adalah : antrian kendaraan yang terbentuk di depan pintu gerbang tol, atau antrian manusia pada loket pembayaran listrik atau telepon, loket pelayanan bank, dan banyak contoh-contoh lainnya.
2. First In Last Out(FILO) atauFirst Come Last Served(FCLS) Pelanggan yang pertama tiba akan dilayani terakhir.
Salah satu contoh disiplin FILO adalah antrian kendaraan pada pelayanan feri di terminal penyebrangan (kendaraan yang pertama masuk feri, akan keluar terakhir, atau barang yang pertama masuk gudang pada saat pemuatan akan keluar terakhir pada saat pembongkaran), dan cukup banyak contoh lainnya. 3. First Vacant First Served(FVFS)
Pelanggan yang pertama tiba akan dilayani oleh tempat pelayanan yang pertama kosong. Dalam kasus FVFS, hanya akan terbentuk 1 (satu) antrian tunggal saja, tetapi jumlah tempat pelayanan bisa lebih dari 1(satu).
Kinerja disiplin antrian FVFS akan sangat baik jika waktu pelayanan di setiap tempat pelayanan sangat bervariasi (atau dengan kata lain jika standar deviasi waktu pelayanan antar tempat pelayanan relatif besar).
Salah satu kelebihan utama dalam penerapan disiplin antrian FVFS adalah hanya akan terbentuk 1(satu) lajur antrian saja (lajur-tunggal). Pada praktiknya, antrian tersebut dapat digantikan dengan sistem kartu tunggu sehingga secara fisik antrian tersebut tidak perlu terbentuk, karena dapat digantikan dengan nomor urut kartu.
2.3 Faktor Sistem Antrian
Faktor – faktor yang berpengaruh terhadap barisan antrian dan pelayanannya adalah sebagai berikut (Kakiay, 2004):
1. Distribusi Kedatangan
Pada sistem antrian, distribusi kedatangan merupakan faktor penting yang berpengaruh besar terhadap kelancaran pelayanan.
Distribusi kedatangan terbagi dua, yaitu :
a. Kedatangan secara individu (tunggal =single arrivals) b. Kedatangan secara berkelompok (bulk arrivals)
Kedua komponen ini harus mendapatkan perhatian yang memadai pada saat pendisainan sistem pelayanan.
2. Distribusi Waktu Pelayanan
Distribusi waktu pelayanan berkaitan dengan berapa banyak fasilitas pelayanan yang dapat disediakan. Distribusi waktu pelayanan terbagi menjadi dua komponen penting, yaitu :
a. Pelayanan secara individual (single service) b. Pelayanan secara kelompok (bulk service) 3. Fasilitas pelayanan
Fasilitas pelayanan berkaitan erat dengan baris antrian yang akan dibentuk. Desain fasilitas pelayanan ini dapat dibagi dalam tiga bentuk, yaitu : a. Bentukseries, dalam satu garis lurus ataupun garis melingkar.
b. Bentukparalel, dalam bebeberapa garis lurus yang antara satu dengan yang lain parallel.
8
c. Bentuk network station, yang dapat didesain secara series dengan pelayanan lebih dari satu pada setiap stasiun. Bentuk ini dapat juga dilakukan secara paralel dengan stasiun yang berbeda-beda.
Dengan demikian bentuk fasilitas pelayanan ini juga harus diperhitungkan dalam sistem antrian.
4. Disiplin pelayanan
Disiplin pelayanan berkaitan erat dengan urutan pelayanan bagi pelanggan yang memasuki fasilitas pelayanan.
5. Ukuran dalam antrian
Besarnya antrian pelanggan yang akan memasuki fasilitas pelayanan pun perlu diperhatikan. Ada dua disain yang dapat dipilih untuk menentukan besarnya antrian, yaitu :
a. Ukuran kedatangan secara tidak terbatas (infinite queue) b. Ukuran kedatangan secara terbatas (finite queue)
6. Sumber pemanggilan
Dalam fasilitas pelayanan, yang berperan sebagai sumber pemanggilan dapat berupa mesin maupun manusia. Bila ada sejumlah mesin yang rusak maka sumber pemanggilan akan berkurang dan tidak dapat melayani pelanggan. Jadi masalahnya adalah apakah :
a. Sumber panggilan terbatas (finite calling source) b. Sumber panggilan tak terbatas (infinite calling source)
2.4 Proses Masukan
Diperlukan distribusi pola kedatangan untuk dapat masuk dalam sistem antrian. Pola kedatangan ini biasanya sudah dinyatakan pada suatu distribusi peluang tertentu yang sudah banyak dikenal, seperti distribusi Poisson ataupun distribusi Eksponensial. Namun demikian ada kalanya pola kedatangan tidak mempunyai distribusi tertentu sehingga memerlukan penanganan yang lebih mendalam. (Kakiay, 2004).
2.4.1 Pola Kedatangan
Pola kedatangan para pelanggan biasanya diperhitungkan melalui waktu antar kedatangan, yaitu waktu antar kedatangan dua pelanggan yang berurutan pada suatu
fasilitas pelayanan. Bila pola kedatangan pelanggan tiba satu per satu, maka kedatangan pelanggan mengikuti suatu proses dengan distribusi probabilitas tertentu. Distribusi probabilitas yang sering digunakan adalah distribusi Poisson, dimana kedatangan bersifat bebas, tidak berpengaruh oleh kedatangan sebelum atau sesudahnya. Asumsi distribusi Poisson menunjukkan bahwa kedatangan pelanggan sifatnya acak. Jumlah pelanggan yang datang dalam satuan waktu adalah laju kedatangan () dan panjang interval waktu antara dua kedatangan pelanggan adalah waktu antar kedatangan (1/).
2.5 Proses Keluaran
Pada sistem antrian diperlukan pola pelayanan yang dikenal dengan service time. Pola pelayanan ini memerlukan proses pelayanan yang dilakukan secararandom, dengan menggunakan distribusi peluang tertentu. Pelayanan harus dapat dilakukan setelah pelanggan memasuki antrian. Namun demikian apakah pelanggan tersebut dapat segera dilayani sangat tergantung dari jumlah pelanggan yang ada dalam antrian, yang dinyatakan dengan tidak terhingga atau terbatas. Setelah mendapatkan pelayanan yang baik maka pelanggan akan langsung meninggalkan fasilitas pelayanan. Kesemuanya ini kemudian dinyatakan sebagai proses keluaran.
Proses pelayanan pada umumnya menggunakan distribusi peluang tertentu, seperti distribusi Eksponensial negatif ataupun menggunakan parameter distribusi poisson.
2.5.1 Pola Pelayanan
Memilih distribusi dari sifat yang diketahui dari proses sering dilakukan untuk memilih sebuah distribusi yang tepat dengan mempertimbangkan sifat-sifat proses yang dimodelkan. Apabila kedatangan pelanggan pada bank yang sedang dimodelkan, maka mungkin masuk akal untuk mengasumsikan bahwa kedatangan pelanggan adalah secara acak, dan distribusi pelayanan menggunakan Eksponensial negatif. Distribusi Erlang, Gamma dan Lognormal dikenal untuk mewakili sifat dari proses pelayanan. Distribusi Gamma menyediakan rentang bentuk yang lebih besar dari pada Erlang. Distribusi Lognormal dapat memiliki probabilitas yang lebih besar antara Erlang atau distribusi Gamma. Jika waktu antara Kegagalan sedang dimodelkan, maka mungkin masuk akal untuk mengasumsikan distribusi Weibull (Robinson, 2004).
12
suatu kedatangan akan terjadi. Dalam hal ini, distribusi probabilitas Poisson menyediakan deskripsi yang cukup baik untuk suatu pola kedatangan. Formula untuk distribusi Poisson adalah sebagai berikut (Ross, 2007) :
P(x) = ! .e -x x λ λ , x = 0, 1, 2, 3… (2.3) dimana
= laju kedatangan pada periode waktu tertentu x = jumlah kedatangan pada periode waktu tertentu e = 2,71828 (Logaritma natural)
Misalkan sebuah fasilitas pelayanan mempunyai tingkat kedatangan rata-rata pelanggan adalah 5 orang perjam (=5). Tingkat probabilitas bahwa akan ada tepat 2 pelanggan (x=2) adalah8,42 % P(x=2) = ! 2 .2,71828 52 -5 = 1 . 2 0,006738 . 25 = 2 0,168449 =0,084225 b. Distribusi Eksponensial
Waktu pelayanan adalah waktu yang dihabiskan seorang pelanggan pada fasilitas pelayanan. Waktu pelayanan antar seorang pelanggan dengan pelanggan lainnya biasanya tidak konstan. Distibusi probabilitas untuk waktu pelayanan biasanya mengikuti distribusi probabilitas Eksponensial yang formulanya dapat memberikan informasi yang berguna mengenai operasi yang terjadi pada suatu antrian. Sifat dari distribusi Eksponensial yang membuat distribusi tersebut mudah untuk dianalisis adalah bahwa distribusi ini tidak tergantung pada waktu (memory less property atau sifat pelupa). Formula untuk distribusi Eksponensial adalah sebagai berikut (Ross, 2007) :
F(t) =.e-t
, t≥ 0 (2.4)
dimana
= jumlah pelanggan rata-rata yang dilayani pada periode waktu tertentu t = waktu pelayanan
e = 2,71828 (Logaritma natural)
Tingkat probabilitas bahwa seorang pelanggan akan dilayani dengan periode waktu tertentu dapat dihitung dengan menggunakan distribusi Eksponensial sebagai berikut :
P(T≤ t) = 1 –e-µt
Misalkan, tingkat pelayanan adalah 6 pelanggan per jam, maka probabilitas seorang pelanggan akan dilayani dalam waktu 10 menit (0,166 jam) adalah 0,631.
P(T≤ 0,17) = 1 –2,71828-6(0,166) = 1- 2,71828-0,996 = 1- 0,369
= 0,631
Untuk melihat hubungan antara distribusi Poisson dengan distribusi eksponensial dapat kembali dilihat dari peluang distribusi Poisson.
( )= Pr[X=x] = t x e x t λ λ ! ) ( (2.5)
dimana adalah rata-rata kedatangan dan t adalah periode waktu. Definisi T sebagai waktu suatu kejadian, diperoleh
F(t) = Pr(T≤ t) (2.6) F(t) = Pr(T≤ t) = 1 –Pr[T > t] (2.7) dimana Pr[T > t] = Pr[x-0] = λt eλt ! 0 ) ( 0 (2.8) Pr[T > t] = Pr[x-0] = e-t (2.9)
Selanjutnya disubstitusikan ke hasil Pr(T > t) dalam persamaan (2.5) maka diperoleh F(t) = 1 - et yang merupakan fungsi distribusi eksponensial (Ross, 2007).
c. Distribusi Weibull
Distribusi Weibull acap kali cocok pada persoalan lama waktu pelayana misal diloket layanan pelanggan, layanan perbaikan mesin dan lain sebagainya. Disamping itu juga sering terkait dengan waktu kerusakan sebuah komponen dalam masalah perawatan. Berikut ini merupakan probability density functiondari distribusi Weibull:
( ) =
Untuk sistem pelayanan diklasifikasikan berdasarkan jumlah server dan jumlah phase. Berdasarkan konfigurasi jumlah server dan jumlah phasenya, antrian dikelompokkan menjadi 4 bentuk dasar, yaitu single channel single phase, single channel multiphase, multichannel single phase dan multichannel multiphase. Dari keempat konfigurasi dasar ini berkembang menjadi berbagai macam bentuk yang lebih kompleks (Gross, et al. 1998).
Untuk mendefinisikan model suatu sistem antrian dan merincikan ciri dari suatu sistem antrian digunakan notasi kendall a/b/c/d/e/f (Kakiay, 2004), yang artinya adalah :
a : distribusi kedatangan (Arrival Distribution)
b : distribusi waktu pelayanan / keberangkatan (Service Time Departure) c : jumlah fasilitas pelayanan paralel (dimana c = 1, 2, 3...∞)
d : disiplin pelayanan (FIFO,LCFS,SIRO)
e : jumlah maksimum yang diizinkan dalam sistem (Queue and System) f : jumlah pelanggan yang ingin memasuki sistem sebagai sumber.
Untuk distribusi kedatangan pelanggan (a) dan distribusi waktu pelayanan pelanggan (b) yang sering digunakan di dalam suatu sistem antrian, yaitu :
M : Distribusi Markovian,Poisson, Eksponensial, atau Memoryless G : Distribusi General, Gamma, Weibull, dll
GI : Distribusi General Independen D : Distribusi Deterministic
Ek : Distribusi Erlang-k atau Gamma-k Hk : Distribusi Hyperexponensial-k Ck : Distribusi Cox-k
PHk : Distribusi Phase type at k stages
2.9.1 Model Antrian Pola Kedatangan Berkelompok
Pola kedatangan pada suatu sistem antrian dapat berupa batch arrival yaitu kedatangan sekelompok pelanggan pada satu waktu secara bersamaan. Untuk antrian yang memiliki pola kedatangan berkelompok, kedatangan yang terjadi mengikuti proses Poisson, tetapi setiap kedatangan tidak hanya terdiri dari satu pelanggan tetapi sejumlah pelanggan yang datang bersamaan dalam jumlah yang acak. Setiap
Dalam melakukan simulasi, pertama ditentukan dahulu nilai untuk controllable input, lalu nilai untuk probabilistic input ditentukan secara acak. Model simulasi menggunakan nilai controllable input dan nilai probabilistic input untuk menghitung nilai outputnya.
Dengan melakukan serangkaian eksperimen menggunakan nilai-nilai untuk controllable input, dapat dilihat bagaimana controllable input mempengaruhi atau mengubah output dari model simulasi. Setelah menganalisis hasil simulasi, biasanya akan dapat diambil keputusan untuk controllable input yang menghasilkan output yang diinginkan untuk sistem yang sebenarnya (Utami, 2009).
2.11.1 Simulasi Antrian
Simulasi antrian merepresentasikan keadaan sistem, termasuk jumlah pelanggan dalam antrian dan apakah fasilitas pelayanan sedang sibuk atau menganggur, akan berubah atau berkembang dari waktu ke waktu. Simulasi antrian termasuk dalam simulasi kejadian diskrit (discrete event Simulation). Simulasi kejadian diskrit adalah suatu simulasi yang menggunakan model sistem kejadian diskrit (discrete event) (Sridadi, 2009).
Untuk mensimulasikan suatu sistem antrian, pertama harus didefinisikan dahulu keadaan sistem dan dipahami konsep tentang event dan clock time. Event didefinisikan sebagai situasi yang menyebabkan keadaan sistem berubah secara cepat. Pada model antrian, hanya ada dua event yang mungkin dapat merubah keadaan sistem yaitu proses kedatangan pelanggan dan proses pelayanan pelanggan. Dalam simulasi, event-event ini akan dijadwalkan untuk menentukan titik tertentu dalam waktu. Waktu dalam simulasi diatur menggunakan sebuah variabel yang disebutclock time(Utami, 2009).
Pada simulasi antrian multiple server, waktu antar kedatangan adalah independent yang artinya suatu kedatangan tidak mempengaruhi kedatangan lainya. Pelanggan yang datang dapat segera dilayani jika serverdalam keadaan menggangur. Apabilaserversedang sibuk, maka pelanggan yang datang menunggu dalam satu garis antrian untuk kemudian bergerak menuju server yang kosong untuk dilayani dengan aturanFirst In First Out (FIFO). Waktu layanan untuk pelanggan merupakan variabel acak yang terdistribusi secara identik yang independent terhadap waktu antar kedatangan.
18
Sebelum simulasi dijalankan maka tidak ada pelanggan di dalam sistem dan server dalam keadaan mengganggur. Simulasi dimulai dan berakhir selama waktu durasi simulasi. Jadi waktu dimana simulasi berakhir adalah suatu variabel acak yang tergantung pada nilai yang diamati untuk variabel acak waktu antar kedatangan dan waktu pelayanan.
Untuk melihat performansi sistem, maka dihitung rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam antrian, rata-rata waktu tunggu pelanggan dalam sistem, rata-rata jumlah pelanggan dalam antrian, rata-rata jumlah pelanggan dalam sistem dan menghitungutilitas serverselama simulasi berlangsung.
2.12 Bilangan Acak
Untuk menentukaninput probabilistic, dibangkitkan bilangan acak yang sesuai dengan distribusi kejadian yang akan disimulasikan.
a. Bilangan acak distribusi Eksponensial
Untuk membangkitan suatu bilangan acak yang berdistribusi Eksponensial dapat diperoleh algoritma dengan metode inverse transformation sebagai berikut (Asmungi, 2007):
1. Bangkitkan U = U(0,1) 2. Hitung = ln( ) b. Bilangan acak distribusi Weibull
Untuk membangkitan suatu bilangan acak yang berdistribusi Weibull dapat diperoleh dengan metodeinverse transformation(Asmungi, 2007) :
1. Bangkitkan U = U(0,1) 2. Hitung = ( ln( ))
3.1 Rancangan Penelitian
Antrian yang dibahas pada penelitian ini adalah antrian dimana kedatangan pelanggan secara berkelompok mengikuti proses Poisson yang memiliki multiple serverdan satu garis/baris antrian (single queue) dengan aturan FIFO. Kelompok yang datang lebih dulu akan dilayani sampai semua pelanggan yang ada dalam kelompok itu selesai dilayani baru kemudianservermemulai pelayanan terhadap kelompok yang datang berikutnya.
Kelompok-kelompok yang datang ke sistem antrian memiliki probabilitasnya masing-masing. Jumlah probabilitas kelompok-kelompok yang datang harus sama dengan 1. Berdasarkan hal tersebut, masing-masing kedatangan berkelompok akan memiliki probabilitas yang berbeda-beda tetapi tidak menutup kemungkinan ada dua kelompok yang berbeda atau lebih bisa memiliki probabilitas yang sama.
Pelanggan yang datang dalam satu kelompok dilayani satu persatu olehserver, dimana urutan pelayanan terhadap pelanggan yang berada dalam satu kelompok adalah acak. Apabilaserverdalam keadaan mengganggur, maka salah satu pelanggan dalam kelompok yang datang dapat langsung dilayani. Waktu antar kedatangan pelanggan berdistribusi Eksponensial, waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dan Weibull.
Pada umumnya untuk membentuk model matematis dari suatu keadaan nyata sehari-hari diperlukan asumsi-asumsi untuk menyederhanakan model, sehingga dapat diselesaikan dengan simulasi komputer dengan baik. Adapun Notasi-notasi yang akan digunakan adalah sebagai berikut :
K : Ukuran kelompok (batch size) : Laju kedatangan
: Laju pelayanan C :Server
20
M :random variabel
: Probabilitasserversibuk
Ls : Rata-rata pelanggan dalam sistem Lq : Rata-rata pelanggan dalam antrian Ws : Rata-rata waktu tunggu dalam sistem Wq : Rata-rata waktu tunggu dalam antrian
Untuk menghitung mean batch sizedigunakan nilai harapan (expected value). Misalnya X menyatakan suatu variabel acak diskrit yang dapat mengambil nilai x1, x2, x3,..xn, yang masing-masing mempunyai probabilitas p(x1), p(x2), p(x3),…p(xn) dimana p(x1) + p(x2) + p(x3) + p(xn) = 1, maka nilai harapan (expected value) dari X, yang dinyatakan sebagai E(X) didefinisikan sebagai berikut :
[ ] = . ( ) (3.1)
Sedangkan untuk performansi sistem antrian dapat dicari dengan rumus sebagai berikut :
a. Waktu tunggu pelanggan dalam Antrian
= Waktu dimulai pelayananan–waktu kedatangan pelanggan b. Waktu tunggu pelanggan dalam sistem
= Waktu selesai pelayanan–waktu kedatangan pelanggan c. Rata-rata waktu tunggu dalam antrian (Wq)
=
d. Rata-rata waktu tunggu dalam sistem (Ws)
=
e. Rata-rata pelanggan dalam antrian (Lq)
=
f. Rata-rata pelanggan dalam sistem (Ls)
=
g. Probabilitas server sibuk (ρ)
=
3.2 Penyelesaian Dengan Simulasi
Simulasi dilakukan dengan memberi input parameter maksimum batch size (K) dan diproses untuk membangkitkan bilangan acak sebanyak K. Proses tersebut akan menghasilkanbatch size,batch probability, probabilitas kumulatif, rentang awal dan rentang akhir. Pada proses tersebut akan diuji kerandomannya apakah sebuah sample mewakili sebuah populasi telah diambil secara acak (random) dengan kondisi yang harus dipenuhi adalah rlower ≤ r ≤ rupper dengan = 0.05 (5% level of significance). Jika kondisi tersebut sudah dipenuhi maka input parameter selanjutnya yang perlu diinput adalah laju kedatangan, laju pelayanan, banyaknya server dan durasi simulasi. Sebelum Simulasi dijalankan maka terlebih dahulu dilakukan proses uji input parameter dengan kondisi yang harus dipenuhi adalah.E[X] < . C. Jika input parameter sudah memenuhi kondisi tersebut maka simulasi dijalankan untuk membangkitkan jumlah pelanggan dan waktu antar kedatangan pelanggan. Dari proses kedatangan pelanggan maka simulasi yang dilakukan selanjutnya adalah proses pelayanan pelanggan dengan distribusi waktu pelayanan Eksponensial dan Weibull.
3.2.1 Proses Uji Input Parameter
Proses uji input berfungsi untuk menguji input parameter batch size (K), laju kedatangan (), laju pelayanan (), jumlah server (C) dengan kondisi yang harus dipenuhi .E[X] <. C, dimana E[X] dapat diperoleh dari rumus (3.1).
22
Gambar 3.1 Flowchart Uji Input Parameter
3.3.2 Proses Bilangan Acak (Random) UntukBatch Size
Ukuran kelompok (batch size) dan probabilitas kelompok (batch probability) diperoleh dari proses membangkitkan bilangan acak (Random) dari U(0,1), serta untuk menghitung peluang kemunculan setiap kelompoknya berdasarkan pada probabilitas masing- masing kelompoknya.
24
3.3.3 Proses Uji Random (Runs Test of Randomness)
Uji kerandoman pada prinsipnya ingin menguji apakah sebuah sampel mewakili sebuah populasi telah diambil secara acak (random) dengan kondisi yang harus dipenuhi rlower ≤ r ≤ rupperdengan= 0.05 (5%level of significance) dimana :
rlower= 90 29 16 96 . 1 3 1 2 n n (3.2) rupper= 90 29 16 96 . 1 3 1 2 n n (3.3)
Data pertama sebagai data pembanding untuk data kedua, data kedua menjadi pembanding untuk data ketiga dan seterusnya. Dari hasil perbandingan setiap data, diberi tanda (+) jika datanya naik dan diberi tanda (–) jika datanya menurun. Dan Setiap rentetan data yang berkelompok disebut sebagai saturun(r). Misalkan ada data bilangan acak (random) sebagai berikut :
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Bilangan
Acak 0,12 0.02 0.16 0.08 0.13 0.11 0.12 0.11 0.08 0.06 Tanda
+ + +
Dari bilangan acak (random) diatas, maka jumlahrun(r) adalah 7, maka : rlower= 90 29 10 16 96 . 1 3 1 10 2 = 6,333–2,363 = 3,97 rupper= 90 29 10 16 96 . 1 3 1 10 2 = 6,333 + 2,363 = 8,69
Bilangan acak diatas diterima karena memenuhi kondisi dimana rlower ≤ r ≤ rupper.
26
3.3.4 Proses Kedatangan dan Pelayanan
Proses kedatangan merupakan suatu proses untuk membangkitkan kedatangan pelanggan secara berkelompok. Waktu antar kedatangan pelanggan secara berkelompok adalah acak (random). Jumlah pelanggan di dalam setiap kelompok dan probabilitas kelompok juga dilakukan secara acak (random). Pada proses kedatangan dilakukan input parameter yaitubatch size, laju kedatangan, laju pelayanan, dan durasi simulasi. Hasil proses ini adalah menentukan seberapa banyak kedatangan, membangkitkan bilangan acak pelanggan yang berfungsi untuk menentukan jumlah pelanggan untuk setiap kelompok, membangkitkan bilangan acak waktu antar kedatangan dan untuk menentukan waktu kedatangan kelompok selama durasi simulasi.
Proses pelayanan merupakan suatu proses dimana pelanggan mulai dilayani sampai dengan selesainya pelayanan yang diberikan kepada pelanggan dan meninggalkan sistem. Pada proses ini waktu pelayanan yang diberikan kepada pelanggan adalah bilangan acak. Di proses ini juga dihitung waktu tunggu pelanggan didalam antrian, waktu tunggu pelanggan didalam sistem dan total waktu pelanggan dalam sistem. Kemudian untuk pelayanan selanjutnya ditentukan kapan mulainya pelayanan dengan melihat waktu kedatangannya di sistem dan selesainya pelayanan sebelumnya.
Proses utama model antrian terdiri dari kedatangan (arrival) dan pelayanan (service). Untuk rancangan proses utamanya terdapat padaflowchartkedatangan yang ditunjukkan pada gambar 3.4 Flowchart Kedatangan dan flowchart pelayanan yang ditunjukkan pada gambar 3.5 Flowchart Pelayanan Dengan Distribusi Ekponensial dan 3.6 Flowchart Pelayanan Dengan Distribusi Weibull.
28
Gambar 3.5 Flowchart Pelayanan Dengan Distribusi Ekponensial
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Hasil
Simulasi dilakukan dengan memodelkan suatu antrian yang memiliki pola kedatangan berkelompok dan pelayanan berkelompok dengan mempertimbangkan aspek-aspek yang dapat mempengaruhi karakteristik antrian.
4.1.1 Perancangan Form Masukan
Program simulasi antrian pelayanan berkelompok oleh banyak server ini memiliki tampilan masukan sebagai berikut :
1. Form input parameter
Form input parameter adalah form untuk menginput Batch Size (K), laju kedatangan (), laju pelayanan () dan jumlahserver(C). Input parameter tersebut harus memenuhi kondisi .E[X] < .C. Form input parameter juga berfungsi untuk mengacak ukuran kelompok (batch size), probabilitas kelompok (batch probability), jumlah pelanggan, waktu antar kedatangan pelanggan (interarrival time), waktu kedatangan pelanggan (arrival time) dan untuk menguji random (runs test randomness), dan menampilkan beberapa field-field, antara lain :
a. Fieldkedatangan
Untuk menampilkan kedatangan pelanggan selama durasi simulasi. b. Fieldacak pelanggan
Untuk menampilkan acak pelanggan berdasarkan probabilitas kelompok.
c. Fieldjumlah pelanggan
Untuk menampilkan berapa jumlah pelanggan yang datang dalam setiap kedatangan berdasarkan acak pelanggan.
d. Fieldbilangan acakinterarrival
Untuk menampilkan bilangan acak waktu antar kedatangan.